[0066] Alguns comentários prévios ao «Projeto de Autonomia e Flexibilidade Curricular», do Ministério da Educação

A flexibilização curricular, no contexto da autonomia das escolas, foi experimentada no Ensino Básico no início deste século, em todas as escolas portuguesas, durante quase uma década.

Depois de uma interrupção devida a uma mudança de política educativa, que introduziu as metas curriculares e muitos mais exames, ela vai agora ser retomada, alargando-se ao Ensino Secundário e assim abarcando todo o ensino obrigatório.

Quando ela começou a ser preparada, em meados da década de 1990, expressei as minhas reservas a alguns dos seus principais impulsionadores. Mas quando foi implementada fiz o possível para que tivesse sucesso. Apesar de este esforço ter sido partilhado por muitos outros professores, a primeira tentativa de flexibilização foi definhando, até ser travada e substituída pela outra política.

Em abstracto, a flexibilização curricular é interessante. No entanto as condições concretas desta nova tentativa, comparadas com as da anterior, apesar de uma ou outra melhoria, mostram sobretudo importantes motivos para preocupação:

(1) Aumentaram imenso as possibilidades de flexibilização: cada escola pode escolher partes importantes do currículo e organizar, a seu modo, o trabalho lectivo (ver, nos «Documentos», o Despacho nº 5908).

(2) As competências, que se supunha orientarem o trabalho dos professores durante a primeira tentativa de flexibilização, foram substituídas por um perfil do aluno, que se pretende seja atingido no final da escolaridade obrigatória (ver, nos «Documentos», o Despacho nº 6478).

(3) A principal origem para a perversão da primeira tentativa de flexibilização curricular, a avaliação para a classificação, continuará a marcar todo o trabalho lectivo, pois será lembrada no final de cada ano escolar e por cada exame.

(4) As experiências de aprendizagem, consideradas na primeira tentativa como indispensáveis para que as competências fossem desenvolvidas, e logo de seguida esquecidas por toda a gente, dentro e fora das escolas, desapareceram da segunda tentativa; mas elas são fundamentais, juntamente com as competências / perfil, pois fornecem aos professores das diferentes disciplinas uma linguagem comum, que lhes permite, gradualmente, entenderem-se e cooperarem.

(5) A primeira tentativa de flexibilização foi experimentada nalgumas escolas, escolhidas a dedo, e só depois, subitamente, generalizada; a generalização foi a segunda razão para a sua perversão; nesta segunda tentativa cada escola decide se entra ou não no primeiro ano (2017-18), supondo-se que só o fará se tiver equipas de professores motivadas para tal; mas nada é dito sobre o que acontecerá nos anos seguintes, isto é, sobre como enfrentar a perversão da generalização; não deverá esta ser feita apenas nos casos em que houver equipas motivadas? não deverão ser concebidas outras experiências, paralelas, que correspondam a outros interesses e necessidades de alunos e pais e a outras motivações dos professores?

(6) A autonomia das escolas era muito fraca aquando da primeira tentativa; agora não existe (dizem-no os directores das escolas); os professores foram entretanto manietados por toda a espécie de regras e burocracias, a maioria está profundamente desmotivada; portanto, metade do que está pressuposto na designação deste projecto é uma ficção.

(7) A opinião pública foi pressionada nos últimos anos no sentido de confundir a qualidade da educação com os seus resultados quantitativos mais primários (o dos exames e dos rankings das escolas e internacionais); este ambiente não irá favorecer que se trabalhe em função de os alunos atingirem o perfil que se deseja que atinjam no final da escolaridade obrigatória, mas sim que continuem a obter boas notas para acesso ao ensino superior.

(8) O próprio perfil (ver, nos «Documentos», o «Perfil dos Alunos»), tal como já aconteceu com as competências, é discutível; deverá poder mudar, em função de um debate público que não está prometido; de igual modo, não se sabe como irá ser feito o acompanhamento desta segunda tentativa de flexibilização.

Acesso aos documentos referidos: na página com este nome, clicar na pasta «Ministério da Educação»

[0065] Plantas que nos transformaram

(páginas 1 e 3)

(páginas 2 e 4)

Fonte (reprodução de folheto): Ferrão (2017)

[0064] Adivinhar um número usando tabelas (parte III)

A utilização de tabelas para adivinhar números naturais, como as referidas nas mensagens «0033» e «0062», exige que o «mágico» seja capaz de realizar mentalmente algumas operações, possivelmente rodeado por um público participante um pouco agitado.

Apenas no caso das tabelas na base 2 essas operações se restringem a adições. Nos casos das tabelas na base, na base 4, etc., também é necessário proceder a multiplicações.

Portanto, para qualquer das bases com que o mágico decida trabalhar, é prudente limitar o número de cartões a usar.

Conclui-se, empiricamente, que (as cores dos textos correspondem às dos números):

Verifica-se, também empiricamente, que o maior número natural adivinhável com N cartões é uma unidade inferior ao número mais baixo que figura no cartão N + 1 (por exemplo, na base 2, o 15 do 4º cartão é igual ao 16 do 5º cartão menos 1): cada novo cartão começa com o mais baixo número que não poderia ter sido adivinhado apenas com os cartões anteriores.

[0063] E como se garantiria que os fios-de-prumo da «Groma» estavam alinhados perpendicularmente?

O alinhamento de três fios-de-prumo da Groma (instrumento romano referido na mensagem «60») permitia que as paredes, os muros, as ruas e as estradas (e outros elementos arquitectónicos e urbanísticos) fossem traçados em linha recta.

Utilização da Groma

Mas este instrumento permitia ainda traçar perpendiculares a uma linha recta que já tivesse sido traçada, dispondo para tal de mais dois fios-de-prumo alinhados perpendicularmente aos primeiros.

A cruzeta de madeira que encimava a Groma garantia estes alinhamentos, pelo que se lhe pode colocar a questão: como seria ela fabricada para que os seus dois pedaços principais estivessem colocados perpendicularmente um ao outro?

Não sei.

Esta ignorância, parece-me, é um bom estímulo para nós próprios pensarmos num modo de resolver, hoje, este desafio (ou de o colocar aos nossos alunos …).

Depois de procurar na memória situações elementares em que agimos geometricamente, lembrei-me da seguinte: não dispomos de qualquer instrumento (régua e compasso seriam muito úteis), apenas de uma simples folha de papel; dobramo-la e vincamos a linha da dobra (obtemos assim uma recta); depois abrimos a folha e voltamos a dobrá-la, de modo a que a recta se dobre sobre si própria; e voltamos a abrir a folha (obtivemos uma recta perpendicular à primeira).

Não acredito que os romanos procedessem assim …

Fotografia: Eva Maria Blum (6 de Fevereiro de 2016, no Museu do Teatro Romano, em Lisboa)

[0062] Adivinhar um número usando tabelas (parte II)

A Magia (variante mais exigente da apresentada na mensagem «0033»):

O público que assiste escolhe um número natural, inferior ou igual ao mais alto número que figura num conjunto de cartões de que o mágico dispõe. Toda a gente sabe qual foi o número escolhido, excepto o mágico, que prometeu adivinhá-lo.

O mágico mostra então os seus cartões ao público, um de cada vez. E é-lhe respondido se o número escolhido «figura» ou «não figura» em cada um dos cartões e, caso figure, com que «cor».

Se o número limite for o «80», são precisos os seguintes 4 cartões (é possível descarregar uma sua versão em «word» a partir da página «Documentos» deste blogue):

Conhecendo as respostas do público, o mágico pode dizer qual foi o número escolhido …

O que o mágico faz (mentalmente):

Se o número escolhido pelo público não figurar num cartão, o mágico esquece esse cartão.

Se figura a azul, o mágico multiplica por «1» o número mais baixo desse cartão (é sempre o que figura em cima, á esquerda).

Se figura a vermelho, o mágico multiplica por «2» o número mais baixo desse cartão.

E vai soma mentalmente estes produtos.

Por exemplo, o público escolheu o «42»: ele não figura no primeiro cartão e figura a vermelho no segundo e a azul no terceiro e no quarto.

Então, mentalmente: 2 x 3 (segundo cartão) + 1 x 9 (terceiro cartão) + 1 x 27 (quarto cartão) = 42.

A explicação (matemática):

Quando escrevemos números naturais utilizamos, habitualmente, a «base 10».

Os cartões usados na mensagem «0033» utilizavam a chamada «base 2» (só podemos usar dois algarismos, o «0» e o «1»).

Desta vez os cartões utilizam a «base 3» (só podemos usar três algarismos, o «0», o «1» e o «2»); tal como nas outras bases, podemos escrever qualquer número natural nesta base. Desta vez como soma das seguintes parcelas (em que «k» é igual ou ao «0», ou ao «1», ou ao «2»):

k 3⁰ + k 3¹ + k 3² + k 3³ + k 3⁴ + k 3⁵ + …,

o que se percebe melhor assim,

1 k + 3 k + 9 k + 27 k + 81 k + 243 k + …

Como se chega ao «42» sem os cartões?

Começa-se pela maior daquelas parcelas que cabe em «42: é o «27 x 1» (k = 1).

Depois prossegue-se com a maior parcela que cabe no que sobra (42 – 27 = 15): é o «9 x 1» (k = 1).

E assim sucessivamente: 15 – 9 = 6 leva a escolher o «3 x 2» (k = 2). E como já nada resta, o processo acabou.

Então, 42 = 27 x 1 + 9 x 1 + 3 x 2.

Que fazer na escola (ou com o pessoal que estiver interessado):

Não é boa ideia entrar em processos expositivos e dedutivos (“estão a perceber onde está a Matemática, não é, então vejam como isso se aplica à magia …”).

Por um lado, experimentar a magia, e tentar melhorar todos os seus aspectos práticos.

Por outro, experimentar a compreensão da Matemática, por exemplo criando tabelas com a escrita dos números na base 3 e analisando porque é assim).

Por fim, ir estabelecendo pontes entre estes dois processos, de acordo com os conhecimentos, o estilo e o interesse de cada um …

Dois exemplos dos aspectos práticos:

Entre os ficheiros acessíveis a partir da página «Documentos» encontra-se um com cartões para a «base 3 (até 121)»; estes cartões não foram uma boa escolha, por causa do «121», fazendo com que os cartões sejam desequilibrados (nem sempre com a mesma quantidade de números); que cartões serão bons para cada base?

Um outro ficheiro acessível a partir da página «Documentos» tem cartões para a «base 4 (até 63)»; como deve o mágico usar estes cartões?

Inspiração: Atractor (2016)

[0061] Três famílias de padrões geométricos que encontramos nas cidades

As seguintes transformações geométricas planas conservam as formas e as dimensões das figuras às quais se aplicam, sendo por isso designadas por isometrias:

Os padrões geométricos planos com que nos deparamos nas cidades podem ser identificados e classificados usando estas três isometrias:

Exemplos de moldes de madeira usados para fazer a calçada portuguesa:

   Com rotação («rosácea») e com reflexão 

   Sem rotação, mas com reflexão

Se a aplicação destes moldes se repete, por translação, ao longo de uma rua, gera um «friso»; se se repete, por dupla translação, no plano de uma praça, gera um «papel de parede».

O mesmo se dirá de um azulejo que se repita numa só ou em duas direcções.

Fonte bibliográfica (da qual adaptei a fundamentação e, sobretudo, o fluxograma): Silva (2017)

Fotografias: Eva Maria Blum (em 23 de Julho de 2017, na exposição «Debaixo dos Nossos Pés», em Lisboa)

[0060] A «Groma», instrumento romano para traçar linhas rectas e linhas perpendiculares

Como terão começado a ser traçadas as linhas rectas e as linhas perpendiculares na construção das casas, das ruas, dos monumentos e das cidades?

Certamente terão sido inventadas várias técnicas. Os romanos usaram a Groma (palavra da qual deriva a agrimensura), um suporte vertical com cinco prumos de bronze, pendentes de um suporte em cruz, como se mostra na seguinte peça, idealizada e realizada por Marco Calado, Rui Inácio, Carlos Loureiro e Fernando Manteigas (e mostrada no Museu do Teatro Romano, em Lisboa), e de que o desenho junto sugere uma utilização:

Alinhar visualmente três fios de prumo garantia a sua linearidade: e como se garantiria que o outro alinhamento de três fios lhe era perpendicular?

Imagens: respetivamente, Pedro Esteves (23 de Julho de 2017, no Torreão Poente da Praça do Comércio) e Eva Maria Blum (6 de Fevereiro de 2016, no Museu do Teatro Romano), em Lisboa

[0059] Realidade, imagem, mistério: René Magritte

Escreveu René Magritte, pintor, belga (1898-1967):

“A minha pintura são imagens visíveis que não escondem nada; elas evocam o mistério. O mistério também não significa nada, é incognoscível.”

«La clef des champs / A Porta para a Liberdade» é uma das suas obras, datada de 1933 (e que se encontra no Museo Thyssen-Bornemisza, em Madrid):

Pretende-se sugerir a existência da liberdade para além da janela?

É ela uma ilusão fomentada pelas imagens que a representam?

Ou a uma pintura cria uma realidade com outras regras?

Fonte bibliográfica: Klingsöhr-Leroy (2005; pp. 62-65)

Fonte da imagem: www.wikiart.org/en (acedida em 22 de Maio de 2017)

[0058] «Eu Não Sou o Teu Negro»: se não conhecemos o outro, não mudamos

Quando algo está mal e precisa de ser mudado, poderá essa mudança acontecer sem que primeiro conheçamos os outros com quem vamos mudar?

Esta é uma das perguntas feitas por James Baldwin, intelectual negro americano, ao reflectir, entre 1979 e 1987, sobre as vicissitudes dos negros na sociedade norte-americana.

Cartaz do filme

I`m Not Your Negro: documentário que Raoul Peck concluiu em 2016, baseado em «Remember This House», um esboço de 30 páginas de James Baldwin

[0057] Boaventura de Sousa Santos: o desequilíbrio entre «regulação» e «emancipação

Boaventura de Sousa Santos chamou a atenção para que a complexidade do paradigma da modernidade tem sido distorcida a favor de um dos seus pilares, o da «regulação».

Na minha opinião, a educação, pressionada pela opinião social dominante, tem sido uma das formas de induzir os cidadãos mais novos nessa distorção.

Para aqueles que o quiserem possam pensar, aqui vão alguns excertos da posição deste empenhado sociólogo:

“O paradigma sócio-cultural da modernidade surgiu entre o século XVI e os finais do século XVIII, antes de o capitalismo industrial se ter tornado dominante nos actuais países centrais. A partir daí, os dois processos convergiram e entrecruzaram-se, mas, apesar disso, as condições e a dinâmica do desenvolvimento de cada um mantiveram-se separadas e relativamente autónomas.”

“O paradigma da modernidade é muito rico e complexo, tão susceptível de variações profundas como de desenvolvimentos contraditórios. Assenta em dois pilares, o da regulação e o da emancipação, cada um constituído por três princípios ou lógicas.”

Pilar da regulação:

o “princípio do Estado, formulado essencialmente por Hobbes”, “consiste na obrigação política vertical entre cidadãos e Estado”;

o “princípio do mercado, desenvolvido sobretudo por Locke e por Adam Smith”, “consiste na obrigação política horizontal individualista e antagónica entre os parceiros de mercado”;

o “princípio da comunidade, que domina toda a teoria social e política de Rousseau”, “consiste na obrigação política horizontal solidária entre membros da comunidade e entre associações”.

Pilar da emancipação, “constituído pelas três lógicas de racionalidade definidas por Weber”:

“a racionalidade estético-expressiva das artes e da literatura”;

“a racionalidade cognitivo-instrumental da ciência e da técnica”;

“a racionalidade moral-prática da ética e do direito”.

“Desde o início que se previra a possibilidade de virem a surgir excessos e défices, mas tanto uns como outros foram concebidos de forma reconstrutiva (...). Essa gestão reconstrutiva dos excessos e dos défices foi progressivamente confiada à ciência e, de forma subordinada, embora também determinante, ao direito. Promovida pela rápida conversão da ciência em força produtiva, os critérios científicos de eficiência e eficácia logo se tornaram hegemónicos, ao ponto de colonizarem gradualmente os critérios racionais das outras lógicas emancipatórias.”

Fonte bibliográfica: Santos (2002; pp. 46-48)

Fonte da imagem: blogue «Esencial o Menos» (de Juan José Guirado)

[0056] A criatividade que surge com a moleza de Verão …

Uma das memórias mais fortes que tenho dos tempos em que estive activo como professor diz respeito à disponibilidade da minha mente durante as férias de Verão: era um tempo em que não havia um dia de ontem, nem de hoje, e sobretudo amanhã não era dia. Estava com a mente completamente livre. E por isso me surgiam as mais diversas questões e hipóteses sobre o que me rodeava, que ia anotando num dos blocos de notas que sempre me acompanharam. E, mais tarde, à medida que me interessava pelo que tinha anotado, enfrentava galhardamente alguns dos desafios que me tinha colocado … e ia perdendo a memória sobre os restantes.

Agora isso não me acontece (tanto, nem especialmente no Verão), porque a minha actividade é mais homogénea ao longo de todo o ano.

Na mensagem «0046» figurava o seguinte problema, colocado no papiro de Rhind, escrito há mais de 3 500 anos: “Em sete casas há sete gatos. Cada gato apanha sete ratos. Se cada rato comer sete espigas, e se cada espiga semeada produzir sete alqueires, qual é a soma total?”

Este texto tem cinco frases, surgindo nas três interiores a palavra “cada”; admito então (não estando de modo nenhum certo disso) que na primeira frase, “Em sete casas há sete gatos”, não se quis dizer “Em cada uma de sete casas há sete gatos”.

Então, para o(s) autor(es) deste texto, cada gato seria faraó numa casa (tal como hoje):

Se cada (cada um dos 7) gato(s) apanhava 7 ratos, teríamos 7 x 7 ratos apanhados.

Se cada rato comia 7 espigas, teríamos 7 x 7 x 7 espigas comidas.

Se cada espiga produzia 7 alqueires, a produção seria de 7 x 7 x 7 x 7 alqueires.

Mas que quereria(m) o(s) autor(es) dizer com “soma total”?

Uma hipótese: ele(s) referir-se-ia(m)-se aos “alqueires”. Então a resposta seria 7 x 7 x 7 x 7 (ou 7⁴).

E outra hipótese: ele(s) quereria(m) somar todos aqueles números, para chatear todos os egípcios que tentassem resolver ao problema. Então a resposta seria:

(7) + (7 x 7) + (7 x 7 x 7) + (7 x 7 x 7 x 7)

Como ainda não havia exames obrigatórios no final de cada ciclo de escolaridade, duvido que fosse esta a solução esperada.

E se houvesse, talvez no papiro com as soluções viesse escrito:

(7 + 7³) x (1 + 7).

Imagem não identificada: estátua de gato, em bronze, do Egipto Antigo

[0055] A exposição «Pedras que Jogam»

A exposição «Pedras que Jogam», apresentada publicamente em 2004, veio lembrar-nos uma das vias populares pela qual os jogos se difundiram e praticaram.

O catálogo desta exposição, já referida na mensagem «0037», está acessível a partir da página «Outros documentos» deste blogue, onde também há acesso a outros ficheiros sobre «jogos de reflexão»:

A imagem da capa deste catálogo mostra-nos um tabuleiro do jogo Alquerque dos Doze (que será motivo de uma próxima mensagem).

Autoria do catálogo: Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa & Museu da Cidade da Câmara Municipal de Lisboa (2004)

[0054] Séneca, um político e um filósofo contemporâneo de Cristo

Escreveu Séneca, numa das suas cartas a Lucílio:

“Se a sabedoria só me for concedida na condição de a guardar para mim, sem a compartilhar, então rejeitá-la-ei: nenhum bem há cuja posse não partilhada dê satisfação. […] cada um de nós ao ser útil aos outros é útil a si mesmo.”

Séneca nasceu em Córdova, no ano 4 antes da nossa era, e viveu em Roma, onde morreu no ano 65 da nossa era.

Foi perceptor de Nero, de quem tentou fazer um imperador esclarecido, só o tendo conseguido durante alguns anos, acabando por ser por ele condenado à morte.

Fontes bibliográficas: Séneca, citado por Vieira (2010; p. 19); Droit (2011; pp. 197-203)

Imagem: Encyclopaedia Britannica

[0053] A exuberância da «Viagem da Camélia»

Jun Shirasu (nascido no ano de 1963, em Tóquio) apresentou este ano, na Galeria Ratton (Lisboa), um conjunto de painéis de azulejos intitulados, globalmente, A Viagem da Camélia.

A Camélia, ou Japoneira, chegou à Europa vinda do Extremo Oriente.

Primeiro painel, a ler da direita para a esquerda, como na escrita japonesa:

Um navio português, com os

mastros substituídos por

uma cameleira / japoneira,

parte da baía de Nagazaqui;

em terra, representados à

semelhança dos biombos,

estão miúdos, monges,

piratas, animais,

objectos diversos

Parte outro navio português;
a sua tripulação está
representada

como nos biombos Namban

Estes painéis de Jun Shirasu foram pintados em azul cobalto sobre esmalte branco.

O azul cobalto surgiu na antiga Pérsia, tendo daí chegado à antiga China, através da rota da seda. Na China, entre os séculos XIII e XIV, o cobalto foi adoptado na decoração das porcelanas; e a influência destas na Europa levou à sua adopção no azulejo, onde se tornou predominante no século XVII.

Fonte: folheto de Meco (2017)

Fotografias: Eva Maria Blum

[0052] As três histórias contadas por uma pedra

A Pedra de Roseta, o 33º objecto descrito por Neil MacGregor em «Uma História do Mundo em 100 Objetos», provém de al-Rashid, no Egipto.

Trata-se de uma pedra de granito, partida. Foi gravada em 196 a.C. com três textos: um em grego clássico (usada pelos administradores públicos), outro em demótico (usada então pelo povo) e o último em hieróglifos (usados pelos sacerdotes).

Depois da morte de Alexandre, o Grande, um dos seus generais, Ptolomeu, assenhoreou-se do poder em Alexandria (a nova capital que Alexandre fundou para o Egipto, depois de o ter conquistado na segunda metade do século IV a.C.) transformando o Egipto no primeiro império europeu em África.

A dinastia dos Ptolomeus durou até Cléopatra VII e António terem sido derrotados pelo romano Augusto (na segunda metade do século I a.C.).

Segundo MacGregor, esta pedra conta-nos três histórias: a dos Ptolomeus (que, a certa altura, para sobreviver, foram obrigados a usar outras línguas para além do grego); a da competição entre franceses e ingleses (a pedra foi encontrada pelos soldados de Napoleão quando este invadiu o Egipto com a intenção de cortar a rota inglesa para a Índia); e a da decifração dos hieróglifos (pois os três textos são traduções uns dos outros).

Fonte bibliográfica: MacGregor (2014; pp. 211-216)

Fonte da imagem: www.britishmuseum.org/explore/a_history_of_the_world/objects (em Janeiro de 2015)

[0051] Análise indutiva do truque de Kardini

Voltando ao desafio da mensagem «47» (ao qual não houve a coragem de uma simples resposta …).

Pensando indutivamente (isto é, dos exemplos para a visão geral):

(1º) os números de dois dígitos vão de 10 a 99 (percebe-se que Kardini se refere apenas aos números naturais);

(2º) se escolhermos vários destes números e procedermos às respectivas subtracções de «dígitos», chega-se sempre um dos seguintes números: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 e 81;

(3º) observando qualquer das tabelas apresentadas por Kardini (a seguir figura a segunda) estes números estão sempre associados ao mesmo sinal (neste caso o f); procedendo assim … o mágico acerta sempre!

Podíamos ficar, espantados, por aqui.

Interessante (pelo menos para alguns) é perceber porquê as subtrações de Kardini chegam sempre a um daqueles números e que números são esses.

Quem tentar compreendê-lo está a entrar na … Matemática!

Aqui vai:

(1º) um número de dois dígitos pode ser escrito assim: ab (sendo a maior que 0);

(2º) como nós sabemos (todos escrevemos números destes há muitos anos), escrever ab é o mesmo que escrever 10 vezes o dígito a mais o dígito b (exemplo: 74 = 70 x 7 + 4);

(3º) subtrair a 10 a + b os próprios dígitos é igual a 10 a + b – a – b;

(4º) simplificando (o b corta com o – b), resulta 10 a – a = 9 a, o que nos diz que esta subtração é sempre um múltiplo natural de 9 (ou seja, um dos números que Kardini associou ao seu sinal mágico: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 e 81).

Já agora, dois pormenores psicológicos (muito importantes em qualquer magia): em cada tabela, que sinais associou Kardini aos outros números? e que modificou ele de tabela para tabela?

E também um pormenor matemático: em ambas as tabelas da mensagem «47» Kardini associou o seu sinal mágico ao 0, mas não ao 90; terá procedido bem?

[0050] Voltando às Torres de Hanói: uma estratégia e uma fórmula

Recordando o quebra-cabeças Torres de Hanói (mensagem nº 44):

·      O seu objectivo é: estando N discos encaixados numa das três colunas (a figura seguinte exemplifica-o para N = 3 discos) pretende-se encaixá-los noutra coluna, com o apoio da terceira;

·      E a única regra para deslocar os discos de uma coluna para outra coluna é: um disco não pode ser colocado sobre outro disco com diâmetro inferior.

Uma estratégia para resolver este quebra-cabeças (admitindo que o número de discos é tão grande quanto se quiser):

E assim sucessivamente …

Quantos movimentos são necessários para executar esta estratégia?

Sem o demonstrar, apenas para verificar (até N = 6):

Nº de discos (N):	1	2	3	4	5	6
Nº de movimentos (MN = 2N – 1):	1	3	7	15	31	63

[0049] A música e a harmonia social, segundo Confúcio

Neil MacGregor, director do Museu Britânico, destacou assim, em «Uma História do Mundo em 100 Objetos», a grande tendência que se verificou entre 500 e 300 a.C.:

“em todo o mundo, diferentes civilizações desenvolviam modelos de governo da sociedade que iam influenciar os milhares de anos seguintes. Enquanto Sócrates ensinava o povo de Atenas a discordar, na China, Confúcio propunha a sua filosofia política da harmonia, e os persas descobriam um modo de coexistência de vários povos no seu vasto império. Na América Central, os olmecas criaram sofisticados calendários, religião e artes que iriam marcar mais de um milénio a civilização centro-americana. No Norte da Europa não havia vilas ou cidades, Estados ou impérios, nem escrita ou moeda, mas os seus objetos mostram que, apesar de tudo, essas civilizações tinham uma visão sofisticada delas próprias e do seu lugar no mundo global.”

O 30º objecto que MacGregor descreveu, um sino chinês de bronze do século V a. C., provém dessa época. A China vivia uma grande instabilidade social, como consequência da luta entre os feudos que procuravam obter uma posição de supremacia. E para fazer face a essa instabilidade, debatia-se vivamente como a sociedade ideal deveria ser, e Confúcio destacava-se entre os que participavam desse debate. “Diz-se – escreve MacGregor – que um dos seus mais célebres pensamentos era: «A música produz uma espécie de prazer sem o qual a natureza humana não pode passar.»” A música era, pois, para Confúcio, uma metáfora de uma sociedade harmoniosa.

Este sino tem o tamanho de uma barrica de cerveja e não é circular, é elíptico. Possuir um sino com esta dimensão e decorações era um sinal de poder, mas também poderia revelar o que o seu proprietário pensava da sociedade e do cosmos.

Os mais antigos sinos chineses têm 5 mil anos. Inicialmente possuíam um badalo, mais tarde abandonado a favor do batimento com um martelo. Este sino deve ter pertencido a conjunto de nove ou de catorze sinos, cada um de seu tamanho e produzindo dois tons diferentes, de acordo com o local onde era batido.

Na Europa, só foi possível fundir um sino com estas dimensões no final da Idade Média, um milénio e meio depois da fundição deste sino chinês.

Fontes bibliográficas: MacGregor (2014; pp. 169 e 193-197)

Fonte da imagem: www.britishmuseum.org/explore/a_history_of_the_world/objects (em Janeiro de 2015)