[0385] A Matemática e as Ludotecas (VI): o registo de soluções dos quebra-cabeças

A Ludoteca da Escola Secundária Nº 1 do Seixal (actualmente E. S. José Afonso) proporcionou aos alunos, durante mais de uma década, a possibilidade de se envolverem em jogos de reflexão e na resolução de quebra-cabeças.

No caso dos quebra-cabeças, para que as soluções encontradas fossem registadas, de modo a divulgá-las nos painéis de parede de que a Ludoteca dispunha, foram desenhadas folhas de registo, que depois eram fotocopiadas para que os alunos desenhassem nelas as suas descobertas (e que, por vezes, resultavam de um trabalho colectivo).

Houve cinco quebra-cabeças cujas soluções foram alvo deste tipo de «registo» e de «divulgação»: o Circuito Fechado, os Pentaminós, o Seis Cores, o Soma Cubo e o Tangram, tendo quase todos eles gerado um interessante «movimento participativo», através do qual os alunos tanto procuraram apresentar a «quantidade» das suas soluções como a «criatividade» de muitas delas.


O Tangram propunha que, com sete peças (sempre todas), fossem recontituídas as silhuetas de diversas figuras. Mas também desafiava à criação de novas figuras, se possível designando-as de um modo sugestivo.
Devemos uma destas figuras mais bonitas à criatividade do Bruno Rocha e do Marco Cristóvão, que a designaram por «Patinador».
Eis como, mais tarde, a reconstituí:

O Soma Cubo foi o quebra-cabeças cujo registo de soluções foi mais desafiante, pois se tratava de construir figuras com três dimensões, usando sete peças diferentes.
O original da folha de registo (que, tal como os outros, foi feito por mim) sugeria dois métodos para o fazer, ou por «andares» (estando cada peça identificada por um número), ou em «perspectiva», podendo, como aconteceu com a solução seguinte, tratar-se de uma mistura dos dois métodos (tal como no Tangram, além dos desafios propostos num «catálogo», os alunos podiam inventar novas figuras; e esta é uma das novas figuras):

Além da Tânia Dias, muitos outros alunos inventaram novas figuras, como foi o caso da dupla João Paulo Reis e João Pedro Alves (figuras redesenhadas por mim numa das folhas de divulgação)

O redesenho das soluções mostrava por vezes métodos alternativos de registo,
como se mostra nesta folha, e alguns dos alunos estudavam-no e procuraram imitá-los!

O Seis Cores foi o quebra-cabeças cujo registo ofereceu menos dificuldades, tendo também sido aquele a que menos alunos prestaram atenção. Tratando-se de colocar 36 quadradinhos com seis cores diferentes (cada uma delas com seis exemplares) num tabuleiro 6 x 6, eis a única folha de registo de que disponho, com três soluções do Sandro Matos e uma do Marco Cristóvão:

Para os Pentaminós o objectivo era colocar doze peças com formas diferentes, todos constituídos por 5 quadradinhos, sobre um tabuleiro constituído por 60 quadradinhos. Havia vários tipos de tabuleiro, sendo um deles o de 2 x 30 quadradinhos, talvez um dos mais difíceis, pois apenas três alunos arranjaram para ele uma solução, o Alcino Romão, o Bruno Santana e o Emanuel Martins. Eis a solução do Emanuel (para cada tabuleiro havia várias soluções), imortalizada na folha de registo que ele usou:

Para este quebra-cabeças contribuiu também o professor Vítor Solha. Além de soluções para alguns dos tabuleiros, fez esta pesquisa curiosa, que eu comentei a vermelho - apenas com uma parte das peças, ele formou a letra W em diferentes tamanhos:

Só conservei uma folha de registo do Circuito Fechado, a utilizada pelo Nuno Rocha:

Este quebra-cabeças era constituído por 18 peças constituídas por dois quadrados em que estavam desenhados curvas, pretendendo-se colocar todas as peças num tabuleiro 6 x 6 de modo a que as curvas formassem um circuito fechado.
Além da que figura acima, foram entregues muitas outras soluções, em pedacinhos de papel, tendo várias delas partes em comum, o que permitiu criar algumas «famílias» de soluções e desafiar os alunos a «esgotar» as soluções dessas famílias. Outro dos desafios foi o de encontrar soluções que fossem «simétricas».
Uma das tentativas mais sistemáticas para responder a estes desafios foi a do Rui «Master» Pinela (que chamou «Esquilo» a uma das suas soluções):

Que têm estes registos a ver com a Educação e, em particular, com a Matemática?
Eles são, antes do mais, sistemas descritivos, todos baseados no desenho.
Depois, eles solicitam a atenção para a transferência da solução que está sobre a mesa (a três dimensões, caso do Soma Cubo, para o papel; se nesta transferência os casos a duas dimensões (como o Tangram) não é demasiado complexo, os a três dimensões (Soma-cubo) solicitam uma capacidade que é poucas vezes trabalhada nas escolas (e muitos alunos tiveram a oportunidade de desenvolver essa capacidade na Ludoteca).
Por fim, é possível encarar as diversas soluções sob os pontos de vista da «classificação» (em famílias) e dos «padrões» (nomeadamente simetrias), pesquisando-as de forma tendencialmente sistemática.


Fonte: pasta com soluções dos quebra-cabeças resolvidos na Escola Secundária do Seixal (José Afonso), descrita nas «fontes do blogue «Aprendizagens»

Nota: neste blogue, quatro destes cinco quebra-cabeças foram já referidos nas mensagens «22» (Soma Cubo). «153» (Tangram). «251» (Pentaminós) e «269» (Circuito Fechado)

[0384] Matemática Cultural (IV): a geometria dos jardins

Não é a Natureza que está organizada «matematicamente: é a Humanidade que se inspira nos «padrões» físicos e biológicos da Natureza para desenvolver novas ideias sobre a Matemática; e, depois, lapida a Natureza com uma parte dessas ideias, ou porque a sua simplicidade estética agrada, ou porque dá jeito a forma como as coisas ficam (parcialmente) organizadas.

O arquitecto paisagista Sidónio Pardal parece também o ver desse modo (citando Giulio Carlo Argan):
“Com as ideias do Iluminismo, a natureza deixou de ser entendida como uma pré-ordenação exemplar e imutável do mundo. A paisagem na melhor tradição do Barroco assume-se como simples suporte da vida individual e social. O território e a consciência que se tem do mesmo passa a ser uma realidade adaptável e coube à escola paisagista inglesa (landscape gardening) assumir a prática de uma arquitectura das transformações a empreender no território à escala da paisagem, assumindo-se como «uma arte que não imita nem representa mas que modifica a natureza, adaptando-se aos sentimentos humanos e às oportunidades da vida social, ou seja, apresentando-se como domínio da vida».”

Alguns exemplos desta projecção do «humano» no «natural»:

Dois jardineiros aperfeiçoam a forma de uma trepadeira que cresce apoiada num suporte semi-cilíndrico (Jardim da Casa de Mateus, Vila Real):

O Buxo, deixado crescer de modo a formar um labirinto, e, no seu interior, o Teixo, recortado com o objectivo de se assemelhar a sólidos de revolução (jardim do Palácio do Marquês de Fronteira, Lisboa):

Planta de um dos mais conhecidos jardins do mundo (Palácio de Versalhes, França):

A Humanidade, ao conceptualizar a Natureza, não pode restringir-se à ideia de que ela existe em «três dimensões»: tal como escreveu Francisco Caldeira Cabral, se “o jardim é um espaço a três dimensões”, o modo como o arquitecto paisagista precisa de o conceber “é sempre a quatro dimensões”, pois o tempo vai-o modificando.

A construção de um jardim pode recorrer a ferramentas matemáticas, desenvolvidas por quem neles trabalha (como no caso da chamada Elipse do Jardineiro»):

Para ver uma versão dinâmica desta construção, clicar em: https://www.atractor.pt/geral/temp/ConstrucoesConicas.html

No jardim do Campo Grande, em Lisboa, já referido na mensagem «296», a Matemática é «ilustrada» através de algumas das suas construções, como a das sete Pontes de Königsberg, que cruzam um dos seus lagos; noutros pontos, é «acrescentada» como informação (a métrica de um dos passeios laterais; a referência ao teorema de Pascal) ou como diversão (os jogos reflexivos disponibilizados):

Fontes: livro de Pardal (1997; pp. 1-2); livro de Cabral (2003; pp. 57 e 132)
Fotografias: de Nicolas Sapieha (no jardim da Casa de Mateus); de Eva Maria Blum (no jardim do Palácio Fronteira); em https://deathwing-army.blogspot.com/2021/04/plan-jardin-chateau-de-versailles.html (sobre o jardim do Palácio de Versalhes); de Pedro Esteves (no jardim do Campo Grande)

Imagem animada: de Atractor (https://www.atractor.pt/geral/temp/ConstrucoesConicas.html, para a construção da elipse)

[0383] Um problema de Matemática de Malba Tahan (III): entra Diofanto em cena

 

UM PROBLEMA DE MATEMÁTICA DE MALBA TAHAN

2ª parte

 

Narrador matemático (de novo confiante):
Olhando para a história dos três marinheiros, que representará a expressão (8 x – 65) : 81?

 

Público:
Bom, o x inicial era o número de moedas doado pelo proprietário. E as sucessivas expressões eram o que resultava das intervenções dos três marinheiros e, no fim, do tesoureiro …
Então (8 x – 65) : 81 é o que cada um dos marinheiros do tesoureiro!

Narrador matemático:
Certíssimo. Portanto, terá de ser um número inteiro, pois houve moedas desaparecidas mas não houve moedas cortadas ao meio …
Agora temos de considerar o seguinte nessa expressão: multiplicar x por 8 dará um número inteiro; retirar-lhe 65 também (embora possa ser negativo). Mas dividir (8 x – 65) por 81 só por sorte dará um número inteiro!
Ou seja, não é a partir de qualquer x que os três marinheiros e, no fim, o tesoureiro fariam as quatro subtrações de 1 moeda seguidas das divisões por 3 obtendo sempre números inteiros!
Temos de chamar o Diofanto!

 

Público:
«Dio» quê?

 

Narrador matemático (orgulhoso):
DIOFANTO. Um matemático grego, que trabalhou em Alexandria por volta do século III d. C. e que é considerado o «pai da Álgebra».
É melhor ouvi-lo em pessoa, mas, por favor, não lhe façam perguntas. Compreendem, não é …?

 

Diofanto (surgindo sob uma luz que se acende lentamente num dos cantos; e depois falando muito pausadamente):
Olá!
É verdade, eu apercebi-me de situações matemáticas que para vocês, hoje, são frequentes: são aquelas em que temos de estudar um polinómio à medida que a sua variável assume diferentes valores (estou a usar as vossas palavras, pois as do meu tempo eram diferentes).
O vosso caso é desse tipo: (8 x – 65) : 81 é um polinómio, podemos dar a x infinitos valores e de cada vez o resultado desta expressão é diferente. Interessei-me por isto pensando só nos valores inteiros do resultado, pelo que decidi fazer assim: (8 x – 65) : 81 = y, devendo portanto o y ser inteiro.
Isto é uma «equação», e vocês chamaram a este tipo «equação diofantina linear», tendo o «linear» a ver com o facto de nenhuma das «variáveis» (o x e o y) surgir aqui com um expoente superior a «1» (portanto, nem ao quadrado, nem ao cubo, etc.). E o «diofantina» tem a ver com o meu nome, claro.
Sim, antecipando-me à vossa dúvida: há outras «equações diofantinas» que não são lineares, pelo que são de tratamento muito mais difícil.
O vosso Narrador matemático poderá ajudar-vos a resolver esta equação. Tenham um bom resto de dia …

 

Público (levanta-se e aplaude Diofanto, enquanto a luz que o iluminava se vai desvanecendo)

 

Narrador matemático (aclarando a voz):
Há um pormenor da história que ainda não vos contei …

Narrador da história (reaparecendo subitamente):
Não tínhamos combinado quem falaria nisso, mas penso que faz parte da história que me incumbe a mim contar. O Malba Tahan acrescentou uma informação importante sobre o número inicial de moedas: elas seriam entre 200 e 300!

 

Narrador matemático (pacientemente):
Sim, era esse o pormenor …
Peço-vos então o seguinte: transformem (8 x – 65) : 81 = y numa equação com coeficiente inteiros.

Público:
O que é isso?

 

Narrador matemático:
Ah! Sim! Vou explicar-vos: é uma equação do tipo a x + by = c, em que o «a», o «b» e o «c» são inteiros.

 

Público (depois de uma curta demora):
Fica 8 x = 81 y + 65.

 

Narrador matemático:
Deixem-me agora ser eu a dar o próximo passo, pois é um bocado manhoso.
Se em vez de escrevermos 8 x = 81 y + 65 escrevermos 8 x = 80 y + (y + 65) e depois escrevermos x = 10 y + (y + 65) : 8, e sabendo que o x é um número inteiro, então para que 10 y + (y + 65) : 8 também seja inteiro o (y + 65) terá de ser divisível por 8.
São capazes de me dar um exemplo de y inteiro que faça com que (y + 65) seja divisível por 8?

 

Público (respondendo não muito depois da pergunta do Narrador):
Se o (y + 65) for igual a 72 é divisível por 8. Para isso o y tem de ser igul a 7.

 

Narrador matemático:
Certo.
Então se y for igual a 7, qual o valor de x?

 

Público:
Dá x = 79!

 

Narrador matemático:
Certo.
Mas nós queremos que x esteja entre 200 e 300 …!

 

Público:
Ah! Pois, pode haver outras soluções para y!

Público (ao fim de algum tempo de silêncio):
O y também pode ser igual a 15, a 23, a 31, … é de 8 em 8.

 

Narrador matemático:
E quais os correspondentes valores de x?!

Público:
O x será para esses casos igual a 160, a 241 e a 322.
Ah! Então o x terá de ser o 241, pois está entre 200 e 300!!!
Incialmente, havia na caixa 241 moedas de ouro! Este problema do Malba Tahan está resolvido!!!

 

FIM

Comentários entre alguns grupos, à saída da peça:

Então o 1º Marinheiro ficou inicialmente com 80 moedas e no fim com mais 23, ou seja, com 103 moedas no total. O 2º Marinheiro ficou com 53 mais 23, portanto com 76 moedas. E o 3º Marinheiro com 35 mais 23, no total com 58 moedas.

Grande diferença!
E se somássemos para ver se bate certo?
103 + 76 + 58 dá 237: não dá!
Espera, faltam as 4 moedas, as que sairam uma a uma: com elas dá as 241. Bate mesmo certo!

Acham que os Marinheiros acabaram por emendar equitativamente o erro que cometeram?
Não sabemos, mas seria giro se o tivessem feito!
E com o total de 237 moedas que tinham dariam 79 a cada um, sem precisarem de voltar a deitar fora uma delas!

Fontes: vídeo do Ledo Vaccaro (conclusão do problema); Wikipédia (sobre Diofanto e as equações diofantinas); imagem das máscaras de teatro, Co Pilot do meu computador (recorrendo a ferramentas de IA)