[0383] Um problema de Matemática de Malba Tahan (III): entra Diofanto em cena

 

UM PROBLEMA DE MATEMÁTICA DE MALBA TAHAN

2ª parte

 

Narrador matemático (de novo confiante):
Olhando para a história dos três marinheiros, que representará a expressão (8 x – 65) : 81?

 

Público:
Bom, o x inicial era o número de moedas doado pelo proprietário. E as sucessivas expressões eram o que resultava das intervenções dos três marinheiros e, no fim, do tesoureiro …
Então (8 x – 65) : 81 é o que cada um dos marinheiros do tesoureiro!

Narrador matemático:
Certíssimo. Portanto, terá de ser um número inteiro, pois houve moedas desaparecidas mas não houve moedas cortadas ao meio …
Agora temos de considerar o seguinte nessa expressão: multiplicar x por 8 dará um número inteiro; retirar-lhe 65 também (embora possa ser negativo). Mas dividir (8 x – 65) por 81 só por sorte dará um número inteiro!
Ou seja, não é a partir de qualquer x que os três marinheiros e, no fim, o tesoureiro fariam as quatro subtrações de 1 moeda seguidas das divisões por 3 obtendo sempre números inteiros!
Temos de chamar o Diofanto!

 

Público:
«Dio» quê?

 

Narrador matemático (orgulhoso):
DIOFANTO. Um matemático grego, que trabalhou em Alexandria por volta do século III d. C. e que é considerado o «pai da Álgebra».
É melhor ouvi-lo em pessoa, mas, por favor, não lhe façam perguntas. Compreendem, não é …?

 

Diofanto (surgindo sob uma luz que se acende lentamente num dos cantos; e depois falando muito pausadamente):
Olá!
É verdade, eu apercebi-me de situações matemáticas que para vocês, hoje, são frequentes: são aquelas em que temos de estudar um polinómio à medida que a sua variável assume diferentes valores (estou a usar as vossas palavras, pois as do meu tempo eram diferentes).
O vosso caso é desse tipo: (8 x – 65) : 81 é um polinómio, podemos dar a x infinitos valores e de cada vez o resultado desta expressão é diferente. Interessei-me por isto pensando só nos valores inteiros do resultado, pelo que decidi fazer assim: (8 x – 65) : 81 = y, devendo portanto o y ser inteiro.
Isto é uma «equação», e vocês chamaram a este tipo «equação diofantina linear», tendo o «linear» a ver com o facto de nenhuma das «variáveis» (o x e o y) surgir aqui com um expoente superior a «1» (portanto, nem ao quadrado, nem ao cubo, etc.). E o «diofantina» tem a ver com o meu nome, claro.
Sim, antecipando-me à vossa dúvida: há outras «equações diofantinas» que não são lineares, pelo que são de tratamento muito mais difícil.
O vosso Narrador matemático poderá ajudar-vos a resolver esta equação. Tenham um bom resto de dia …

 

Público (levanta-se e aplaude Diofanto, enquanto a luz que o iluminava se vai desvanecendo)

 

Narrador matemático (aclarando a voz):
Há um pormenor da história que ainda não vos contei …

Narrador da história (reaparecendo subitamente):
Não tínhamos combinado quem falaria nisso, mas penso que faz parte da história que me incumbe a mim contar. O Malba Tahan acrescentou uma informação importante sobre o número inicial de moedas: elas seriam entre 200 e 300!

 

Narrador matemático (pacientemente):
Sim, era esse o pormenor …
Peço-vos então o seguinte: transformem (8 x – 65) : 81 = y numa equação com coeficiente inteiros.

Público:
O que é isso?

 

Narrador matemático:
Ah! Sim! Vou explicar-vos: é uma equação do tipo a x + by = c, em que o «a», o «b» e o «c» são inteiros.

 

Público (depois de uma curta demora):
Fica 8 x = 81 y + 65.

 

Narrador matemático:
Deixem-me agora ser eu a dar o próximo passo, pois é um bocado manhoso.
Se em vez de escrevermos 8 x = 81 y + 65 escrevermos 8 x = 80 y + (y + 65) e depois escrevermos x = 10 y + (y + 65) : 8, e sabendo que o x é um número inteiro, então para que 10 y + (y + 65) : 8 também seja inteiro o (y + 65) terá de ser divisível por 8.
São capazes de me dar um exemplo de y inteiro que faça com que (y + 65) seja divisível por 8?

 

Público (respondendo não muito depois da pergunta do Narrador):
Se o (y + 65) for igual a 72 é divisível por 8. Para isso o y tem de ser igul a 7.

 

Narrador matemático:
Certo.
Então se y for igual a 7, qual o valor de x?

 

Público:
Dá x = 79!

 

Narrador matemático:
Certo.
Mas nós queremos que x esteja entre 200 e 300 …!

 

Público:
Ah! Pois, pode haver outras soluções para y!

Público (ao fim de algum tempo de silêncio):
O y também pode ser igual a 15, a 23, a 31, … é de 8 em 8.

 

Narrador matemático:
E quais os correspondentes valores de x?!

Público:
O x será para esses casos igual a 160, a 241 e a 322.
Ah! Então o x terá de ser o 241, pois está entre 200 e 300!!!
Incialmente, havia na caixa 241 moedas de ouro! Este problema do Malba Tahan está resolvido!!!

 

FIM

Comentários entre alguns grupos, à saída da peça:

Então o 1º Marinheiro ficou inicialmente com 80 moedas e no fim com mais 23, ou seja, com 103 moedas no total. O 2º Marinheiro ficou com 53 mais 23, portanto com 76 moedas. E o 3º Marinheiro com 35 mais 23, no total com 58 moedas.

Grande diferença!
E se somássemos para ver se bate certo?
103 + 76 + 58 dá 237: não dá!
Espera, faltam as 4 moedas, as que sairam uma a uma: com elas dá as 241. Bate mesmo certo!

Acham que os Marinheiros acabaram por emendar equitativamente o erro que cometeram?
Não sabemos, mas seria giro se o tivessem feito!
E com o total de 237 moedas que tinham dariam 79 a cada um, sem precisarem de voltar a deitar fora uma delas!

Fontes: vídeo do Ledo Vaccaro (conclusão do problema); Wikipédia (sobre Diofanto e as equações diofantinas); imagem das máscaras de teatro, Co Pilot do meu computador (recorrendo a ferramentas de IA)