[0360] A Matemática e as Ludotecas (VI): a combinatória do Xadrez 960

O jogo do Xadrez, apesar de muito interessante, proporciona muita vantagem a quem possui um conhecimento pormenorizado das suas primeiras jogadas (as «aberturas«). Entre as suas muitas variantes que já foram experimentadas, uma foi proposta, em 1996, pelo ex-campeão mundial Bobby Fisher (1943 – 2008), com o objectivo de favorecer jogos em que a criatividade tivesse mais espaço. Começou por ser conhecida como «Xadrez Aleatório de Fischer» (Fischer Random Chess), sendo igualmente designada por Xadrez 960.

O Xadrez 960 utiliza o mesmo tabuleiro e as mesmas peças que o Xadrez Clássico, mas coloca aleatoriamente as que se situam na primeira fila dos dois jogadores, submetendo a colocação a algumas condições e mantendo as peças brancas e negras dispostas simetricamente (Rei em frente de Rei, Dama em frente de Dama, etc.).

No sítio https://lichess.org/ é possível jogar esta variante contra o computador (que usa o programa Stockfish), escolhendo para este o nível que se desejar e para si próprio ou as brancas ou as negras. No figura seguinte está a posição inicial de uma partida, em que um Anónimo (que fui eu) joga de brancas, estando o Stockfish no nível 4 (ele tem 14, mas só os 8 primeiros nos são disponibilizados):

Antes de Fisher propor esta variante já havia sido experimentada uma outra, com ela muito parecida, em que não havia qualquer limitação à distribuição aleatória das grandes peças. O primeiro jogo que se conhece, registado, decorreu na cidade alemã de Mannheim, em 1842, opondo Van der Hoeven e Alexandre.
O que Fisher introduziu de novo foram duas condições destinadas a garantir, tal como no Xadrez Clássico, que os Bispos estejam situados em casas de cor diferente e que as Torres estejam situadas de modo que o Rei fique entre elas, para que possa ser executado um dos roques.

O que me atraiu a pensar nesta variante foi o número «960»: como teria sido ele calculado?

Para trabalhar este problema (que é do tipo «combinatório») com alunos, deve ser-lhes deixado algum tempo para que imaginem possíveis estratégias e as discutam, antes de avançarem para a resolução. Uma que poderá ser escolhida é a seguinte, dividida em quatro passos:

(1) Colocação dos Bispos. Havendo 4 casas brancas e 4 casas pretas disponíveis, o total de combinações para a posição destas duas peças é 4 x 4 = 16.

(2) Colocação do Rei e das Torres. O Rei só pode ser colocado numa das 6 casas centrais (isto é, excluídos os «cantos»), para que qualquer dos «roques» possa ser feito; mas é preciso ter em conta que, algures, estão os dois Bispos, sendo portanto necessário ver o que acontece nas 16 posições em que os Bispos podem estar colocados no tabuleiro; um exemplo é este (um Bispo colocado num canto e o outro a alguma distância dele:

Entre os dois Bispos tem de ser reservada 1 casa para uma das Torres, pelo que só sobram 4 casas para o Rei (tal como expliquei, não podem ser ocupadas nem a casa ao lado do Bispo esquerdo nem a casa do extremo direito); começando pela esquerda, a primeira dessas 4 posições do Rei é a seguinte:

A Torre da esquerda só tem 1 casa para ser colocada; e a outra tem 4 casas; então o total de combinações para as Torres é 1 x 4 = 4.

A segunda das 4 posições do Rei é esta:

Agora a Torre da esquerda tem 2 casas para ser colocada e a da direita tem 3; o total de combinações para a sua colocação é 2 x 3 = 6.

A terceira das 4 posições do Rei:

A Torre da esquerda tem 3 casas para ser colocada e a da direita tem 2; total de combinações, 3 x 2 = 6.

Finalmente, a quarta das 4 posições do Rei:

A Torre da esquerda tem 4 casa para ser colocada e a da direita só tem 1 casa; então o total de combinações para as Torres é 4 x 1 = 4.

Para esta posição inicial dos Bispos há 4 + 6 + 6 + 4 = 20 combinações viáveis para a colocação do Rei e das duas Torres; fazendo um raciocínio semelhante para as outras 15 posições iniciais dos Bispos, chega-se à mesma conclusão, em qualquer delas há apenas 20 combinações para a colocação destas três peças.

(3) Colocação da Dama e dos Cavalos. Como só sobram 3 casas vagas, há 3 possibilidades para a colocação da Dama; e os Cavalos são colocados nas 2 casas restantes; assim, o total de combinações para a posição destas três peças é 3.

(4) Então o número de posições iniciais possíveis para as oito peças é de 16 x 20 x 3, ou seja, 960.

Resta ainda uma questão prática: como colocar as peças aleatoriamente?
Existe software para o fazer (como o Lichess nos mostra), mas há outras soluções. Tendo em conta que apenas é preciso escolher «entre 2», «entre 3» e «entre 4» casas, como usar para tal um simples dado de 6 faces?
Alguém faz uma proposta?

Para quem gosta de jogar o melhor é experimentar. A partir da posição inicial mostrada acima (nela o Lichess informa-nos que ela é a nº 249), tentei a minha sorte (fiz alguns erros pelo meio, que me levaram a «andar para trás» depois de perceber que alguns lances tinham sido maus, usando para isso uma seta enrolada que está visível, à direita, durante o jogo) e consegui a vitória que vos dedico abaixo (clicar para ver o GIF):

https://lichess1.org/game/export/gif/white/EdiTsGJA.gif?theme=brown&piece=cburnett.

Boa sorte para quem quiser experimentar!


Nota: Ingo Althöfer já propôs um modo de usar um dado de 6 faces para a distribuição aleatória das peças, mas não fui procurar como ...


Fonte s(informação e imagens): sítios da Lichess e da Wikipédia

[0357] Um problema de Xadrez inspirado no Natal nórdico

O problema proposto aos visitantes do sítio www.chess,com no dia do último Natal foi o seguinte:

A solução, não sendo trivial, também não é particularmente difícil, sendo até ajudada pelo título dado ao problema, bem adequado ao imaginário da época: «Corrida de Renas».

Reparem, o tabuleiro está disposto para quem joga com as peças brancas, pelo que os seus dois Peões está quase a ser coroados.
E reparem também, como curiosidade, que todas as peças pretas ainda se encontram no tabuleiro, pelo que a sua vantagem parece ser desmesurada – no entanto ...

Tentem então descobrir a solução do problema.
Se não conseguirem resolvê-lo, ou se quiserem verificar a correcção da vossa solução, apreciem a como o programa Stockfish o resolveu este desafio clicando aqui:

 

https://lichess1.org/game/export/gif/white/qL6GFhUw.gif?theme=brown&piece=cburnett .

 

Eis a posição do xeque-mate:

Fontes: https://www.chess.com/daily-chess-puzzle/2024-12-25 (problema e imagem) e https://lichess.org (solução)

[0354] Jogos para os quais há material em casa (XI): o «Leopardos e Vacas»

Este jogo, originário do Sri Lanka, simula o combate entre 2 Leopardos e 24 Vacas, pertencendo assim à família dos «jogos de caça» (como o «Raposa e Galinhas», que este blogue divulgou através da mensagem «0258») e dos «jogos de guerra» (como o «Assalto», aqui divulgado pela mensagem «0332»).
O tabuleiro onde se joga é o seguinte:

Trata-se de um jogo para dois jogadores, que se alternam a jogar.
Começa o que tem os Leopardos, colocando um deles em qualquer ponto (intersecção de linhas azuis) do tabuleiro. Depois, o outro jogador coloca uma Vaca, num ponto livre do tabuleiro. De seguida são colocados o último Leopardo e uma segunda Vaca. E a partir daqui as jogadas dos Leopardos consistem na movimentação de um deles; e as das Vacas na colocação das restantes vinte e duas, só então podendo ser movimentada uma delas quando for a sua vez de jogar.

O movimento de uma Vaca é feito entre dois pontos vizinhos do tabuleiro, ligados por uma linha, estando livre o ponto de chegada.
O movimento de um Leopardo é realizado de um de dois modos:
* ou deslocando-o entre dois pontos do tabuleiro, tal como se movem as Vacas;
* ou fazendo-o saltar sobre uma (ou mais) Vaca(s), como no jogo das Damas, retirando do tabuleiro a(s) Vaca(s) assim capturadas (este movimento só é possível se o ponto situado a seguir a uma Vaca a capturar estiver livre, podendo o Leopardo, após cada captura, mudar de direcção para capturar outra Vaca).

Para que o jogador que tem as Vacas não adopte uma atitude meramente defensiva, o seu objectivo deve ser o de encurralar os dois Leopardos, isto é, não lhes permitir realizar qualquer movimento (de deslocação, de captura); se não o conseguir, os Leopardos acabarão por capturar todas as Vacas.

Após terminar um jogo, os jogadores trocam de peças, jogando assim, rotativamente, tantas vezes quantas as que acordarem.

Para jogar o Leopardos e Vacas em casa, são portanto necessárias 2 peças para representar os Leopardos, 24 peças para representar as Vacas e um tabuleiro. Este pode ser obtido através da página Documentos deste blogue, aí clicando em Jogos de Reflexão e procurando na respectiva Drop Box o ficheiro sobre este jogo, o qual permite imprimir o tabuleiro ou ajudar a que se faça dele um paciente desenho.

Nem todas as fontes apresentam exactamente as mesmas regras para este jogo, e a té o mesmo tabuleiro. Um outra versão deste é semelhante à anterior, sem as 4 x 3 = doze casas mais afastadas do centro:

Fontes: regras divulgadas pela organização Oikos; livro de Guik (pp. 257-258)
Desenhos: Pedro Esteves

[0332] Jogos para os quais há material em casa (X): o Jogo do Assalto

O tabuleiro deste jogo, em forma de cruz, é constituído por 33 casas circulares, ligadas por diversos caminhos.

Num dos braços da cruz há um quadrado de 3 x 3 casas que se destaca, para simbolizar uma fortaleza.

No princípio do jogo há 24 peões atacantes, colocados nas casas exteriores à fortaleza, e 2 peões defensores, colocados nas casas da fortaleza que o jogador que defende escolher.
O objectivo dos defensores é eliminar os atacantes. E o objectivo dos atacantes é ocupar as 9 casas da fortaleza, ou cercar os defensores, impedindo-os de jogar.

Os jogadores alternam-se a jogar, cabendo ao que ataca iniciar o jogo. Cada jogada é constituída pelo movimento de um peão, de uma para outra casa.
Os atacantes podem deslocar-se entre duas casas vizinhas, ligadas por uma linha vermelha, não lhes sendo permitido recuar. Os defensores podem deslocar-se entre duas casas vizinhas, ligadas por uma linha vermelha ou azul, sendo-lhes permitido avançar, recuar ou deslocar-se lateralmente.

O movimento de um peão defensor pode consistir em saltar sobre um ou mais peões atacantes, eliminando-os do tabuleiro, tal como se faz no jogo das damas, podendo haver mudanças de direcção em cada salto. Este tipo de movimento do defensor é obrigatório, quando for viável executá-lo, e deve ser escolhido o (ou um dos) caminho(s) que elimina o maior número de atacantes.

Se, num dado momento do jogo restarem menos de 9 atacantes, os defensores são considerados vencedores, o mesmo sucedendo se os atacantes não puderem mover-se.

Neste jogo não podem ocorrer empates.

A partir da página «Documentos» deste blogue é possível aceder a um ficheiro (clicando em «Jogos de Reflexão») com as regras e o tabuleiro deste jogo.
Para o jogar, será necessário imprimir o tabuleiro e arranjar 24 peões atacantes e 2 peões defensores.

[0330] A Matemática e as Ludotecas (V): diferença entre «táctica» e «estratégia» nos jogos de reflexão

Para exemplificar o que distingue a «táctica» da «estratégia» podemos observar o que se passa no Jogo do Galo.

O Jogo do Galo é o parente mais simples de três outros jogos de alinhamento já referidos noutras mensagens, o Quatro em Linha (mensagem «265»), o Cinco em Linha (mensagem «4») e o Jogo do Moinho (mensagens «55», «296» e «315»).

Nos jogos de reflexão a táctica pode ser definida como o cálculo exacto de um pequeno número de lances; baseia-se, portanto, na lógica, e equivale, na Matemática, a uma demonstração. Já a estratégia não é exacta, tendo no entanto a vantagem de olhar para o médio e longo prazo; ela equivale a uma heurística (ver a mensagem «265»), um procedimento que se baseia na experiência e que não tem equivalente na Matemática formal.

Quem já jogou um bom número de vezes ao Jogo do Galo sabe que o único resultado razoável que há a esperar é o empate. Mas também sabe que há neste jogo algumas distrações que podem ser fatais. Por isso, o jogador experiente, e que não gosta de perder, costuma ter uma estratégia

Admitamos, meramente como exemplo, que a estratégia do primeiro jogador é: «jogar de modo a maximizar o potencial das peças que já jogou». E admitamos ainda que o segundo jogador escolhe os seus lances sem grande cuidado.
Ora, neste jogo, existem 8 alinhamentos de peças que ganham: cada uma das 3 linhas verticais, cada uma das 3 linhas horizontais e cada uma das 2 diagonais. E há três possibilidades de colocar a primeira peça no tabuleiro: ou num dos seus 4 vértices, ou no meio de um dos seus 4 lados, ou no seu centro.
Que decisão deve então tomar o primeiro jogador para seu lance inicial? Se jogar num vértice, dispõe de 3 alinhamentos ganhantes (um horizontal, um vertical e um diagonal); se jogar a meio de um dos lados apenas dispõe de 2 (um vertical e outro horizontal); e se jogar no centro do tabuleiro dispõe de 4 (um vertical, um horizontal e as duas diagonais. Joga, então, no centro do tabuleiro (a marca X no diagrama seguinte): ele não fez nenhum cálculo, apenas aplicou uma «estratégia» que achou ser prometedora e que já terá sido por ele experimentado, com sucesso, noutras ocasiões.
Como mínimo, ao jogar assim, o primeiro jogador já impediu que o segundo utilize com êxito 4 dos 8 alinhamentos ganhantes!

Face a este lance, o segundo jogador, que não pensa estrategicamente, tem duas possibilidades distintas, ou jogar num dos 4 vértices, ou jogar no meio de um dos 4 lados (marcas O no diagrama):

Em ambos os casos, restam ao primeiro jogador 3 alinhamentos ganhantes com a sua única peça (no primeiro caso, um vertical e dois diagonais; e, no segundo, um vertical, um horizontal e um diagonal).
Mas no primeiro caso ele pode calcular rigorosamente o que vai seguir-se: se jogar numa das três casas de cima, ou numa das três de baixo, ele tem a certeza de ganhar: apenas não tem a certeza de o conseguir se jogar na casa situada a meio do lado esquerdo. Dispõe, agora, de um lance táctico.
O próximo diagrama mostra o que acontece depois de o primeiro jogador jogar num dos vértices e de o segundo jogador apenas jogar para não perder de imediato:

Agora o segundo jogador não pode responder a duas ameaças de ganho do primeiro jogador e este ganhará com o seu quarto lance.
O leitor desta mensagem pode imaginar o que acontecerá se o segundo lance do primeiro jogador for outro.

E que acontecerá se o segundo jogador tiver escolhido uma das casas de vértice para seu primeiro lance?
Pensando de acordo com a sua estratégia, o primeiro jogador apenas deve recusar jogar na diagonal onde já se encontram uma peça de cada jogador, pois essa diagonal já não é ganhante para nenhum deles; qualquer outro lance do primeiro jogador alinha duas suas peças, estando a terceira casa ainda por preencher. O diagrama seguinte mostra o que sucede após um desses lances (ambos os jogadores, estando atentos, vêem-se obrigados a impedir que o outro coloque uma terceira peça alinhada):

É claro que o segundo jogador impede também esta última tentativa de alinhamento do primeiro jogador, terminando o jogo com um empate.

Se o segundo jogador usasse a estratégia do primeiro, nunca efectuaria o primeiro lance a meio de um lado do tabuleiro, casa que só lhe permite um alinhamento, mas sim num vértice, pois aí a peça jogada dispõe de dois alinhamentos potenciais.
Se os dois jogadores optassem por seguir esta estratégia, empatariam sempre!

E se o primeiro jogador decidisse jogar o seu segundo lance fora da sua estratégia, ou seja, alinhando três peças (duas dele e uma do adversário) na mesma diagonal?
Há também quem chame táctico a este lance, não lógico. É que o segundo jogador dispõe agora de dois maus lances (a meio de um lado) e de apenas um bom lance (num dos vértices), pelo que o seu modo descuidado de jogar o coloca em risco. O último diagrama mostra o que lhe sucede após uma das más escolhas:

E agora o segundo jogador não pode responder a duas ameaças de ganho do primeiro.

O leitor pode imaginar o que acontecerá se o segundo lance do segundo jogador for outro.
Nem sempre jogar com estratégia é o melhor lance …

A Lógica (e a Matemática) não explica(m) tudo nos Jogos de Reflexão.

[0322] Um pequeno desafio sobre Xadrez (para quem conhece as regras deste jogo)

Ao deambular por uma determinada rede social deparei com a seguinte imagem, não acompanhada por qualquer palavra:

O tabuleiro e as peças que nela figuram são semelhantes aos utilizados nos diagramas do jogo de Xadrez, pelo que é admissível que a imagem nos queira colocar um desafio sobre este jogo.
Mas qual?

As primeiras observações permitem tirar duas conclusões:
A mais óbvia é: num jogo normal, nenhum jogador poderia ter tantas peças como as que o jogador que joga com as negras dispõe no tabuleiro – mesmo que todas as suas peças iniciais fossem conservadas e os seus oito peões fossem ou não promovidos, as negras só poderiam dispor, no máximo, de 16 peças, e, neste diagrama, elas são 62!
E a conclusão menos óbvia é: em qualquer jogo, quando uma peça se desloca, deixa uma casa vazia atrás de si (aquela de onde partiu) – ora neste diagrama não há casas vazias, pelo que, cumprindo as regras de jogo, não pode ter havido uma posição anterior a esta.

Admito, portanto, que se trata de um problema meramente teórico, talvez mesmo alegórico (por exemplo: poderão as peças brancas resistir a tantas peças negras?).
Mas, nesse caso, a quem cabe fazer a próxima jogada, as brancas ou as negras?

Se cabe às negras jogar (tomando o Cavalo, ou com o Bispo, ou com a Torre, ou com uma de duas Dama), o jogo está empatado, pois as brancas não podem mover o seu Rei (jogo «afogado»).
Então cabe às brancas jogar. E, confirmando a alegoria admitida acima, as brancas, apesar da sua enorme fraqueza numérica, jogam e dão mate em 3 lances!
Como?

Solução: com 3 saltos, tomando 3 Damas negras, sem nunca poder ser tomado a seguir a qualquer destes movimentos, o Cavalo branco dá mate ao Rei negro, que está impedido de se mover pelas suas próprias peças

[0315] Jogos para os quais há material em casa (IX): o Jogo do Moinho

O nome «moinho» designa um conjunto de jogos, para dois jogadores, que têm como objectivo alinhar três peças num tabuleiro. Às três peças alinhadas dá-se o nome de «moinho», ou «três em linha».

Este tipo de jogo já era conhecido na Grécia Antiga.

O tabuleiro é constituído por três quadrados concêntricos e por quatro segmentos que lhes são perpendiculares e que os dividem em quatro partes iguais, estando todos os ângulos rectos assinalados como pontos para a colocação de peças:

Na versão mais conhecida, cada jogador recebe nove peças.
Alternadamente, os dois jogadores colocam uma das suas peças num dos pontos livres, procurando formar um «moinho» (este deve estar sobre o lado de um dos quadrados).
Quando todas as peças estiverem colocadas no tabuleiro, e continuando a jogar alternadamente, cada jogador, na sua vez de jogar, desloca uma das suas peças para um dos pontos contíguos que estiver livre, procurando formar um «moinho» ou impedir que o seu adversário o faça.
Sempre que um «moinho» é formado, o jogador que o formou retira uma peça ao seu adversário, à escolha entre as peças que não estiverem a formar um «moinho» (este só pode ser desfeito pelo jogador que o formou).
Qualquer peça retirada do tabuleiro não volta a entrar no jogo.

O jogador que reduzir o número de peças do adversário a duas, impedindo-o de voltar a formar um «moinho», vence o jogo.
Igualmente vence o jogo o jogador que bloquear todas as peças do adversário, impedindo-o de jogar.

Para jogar ao Moinho basta desenhar o tabuleiro e procurar 18 peças, entre as coisas de que dispomos em casa (9 de uma cor / forma; e 9 de outra cor / forma).

Neste blogue já se falou sobre este jogo, primeiro na mensagem «0037» (no «Libro de los juegos» ele é referido sob a designação «Alquerque dos 9»), depois na mensagem «0055» (na exposição «Pedras que jogam» ele é um dos exemplos de jogos cujos tabuleiros se encontram gravados em pedras de espaços públicos, para aí serem jogados).

Na página «Documentos» deste blogue, clicando em «Jogos de Reflexão», é possível descarregar um ficheiro com as regras deste jogo e o respectivo tabuleiro.

[0298] A Matemática e as Ludotecas (IV): o Jogo do Hex à prova

O Jogo do Hex, cujas regras já aqui fora apresentadas (na mensagem «0268»), é um dos jogos de que podem desfrutar os visitantes do Jardim do Campo Grande (ver mensagem «0296).

Não sendo um «jogo matemático», o Hex pode ser estudado pela Matemática. O primeiro grande contributo que os matemáticos lhe deram, através de David Gale (em 1979), foi a demonstração de que não pode haver empates neste jogo (o que, claro, já era conhecido por aqueles que o jogavam).
Um modo de verificar empiricamente esta impossibilidade de empate é colocarmos ao acaso as peças de ambos os jogadores num tabuleiro, até este estar totalmente preenchido, e confirmar que dois dos lados opostos estão ligados. Por exemplo, neste tabuleiro 6 x 6, o lado inferior esquerdo está ligado ao lado superior direito, tanto pelas peças verdes como pelas peças vermelhas (o jogador a quem cabia ligar esses lados seria, portanto, o vencedor):

Outro modo de proceder a esta verificação empírica é colocarmos as peças segundo uma regra que não vise a vitória de um dos jogadores, e concluir que também não conseguiríamos deixar de ligar dois dos lados opostos. Por exemplo, se juntássemos, no tabuleiro 6 x 6, as peças de cada jogador em pacotes de 2 x 3:

Desta vez são os lados inferior direito e superior esquerdo que estão ligados, tanto para um como para outro jogador.

O segundo grande contributo que os matemáticos deram para a compreensão deste jogo veio, uns anos mais tarde, de John Nash. Ele demonstrou que o primeiro jogador dispõe de uma «estratégia ganhante» (ver o que isso significa na mensagem «0274»). No entanto, apesar de o ficarmos a saber, continuamos a desconhecer que estratégia é essa, caso o tabuleiro seja suficientemente grande, como, por exemplo, o tabuleiro 11 x 11.
Para tabuleiros pequenos, já são conhecidas estratégias explícitas para o ganho do primeiro jogador: em 2002, Yang Jing, Simon Liao e Mirek Pawlak encontraram-na para o tabuleiro 7 x 7. E, em 2009, Philip Henderson, Broderick Arneson e Ryan B. Hayward fizeram o mesmo para o tabuleiro 8 x 8.

Apesar do que está matematicamente provado, jogar ao Hex (em tabuleiros grandes) continua a ser um desafio interessantemente falível!

 

Fontes: livros de Neto & Silva (2004; p. 91) e de Buescu (2014; p. 138); Wikipédia

[0290] Jogos para os quais há material em casa (VIII): o «Isola»

No dia 23 de Abril de 1991, há um pouco mais de 30 anos, o Celestino e o Rui jogavam assim, muito concentradamente, na Ludoteca da Escola Secundária José Afonso (ESJA): 

Esta fotografia é o primeiro anúncio do blogue de memórias sobre os 25 anos em que estive ligado à ESJA. Espero iniciá-lo dentro de algumas semanas.

Mas a que estavam a jogar o Rui e o Celestino?
Ao Isola!
Este jogo foi criado por Bernd Kienitz, em 1972, e é por vezes designado por Isolation. Envolve dois jogadores, joga-se sobre um tabuleiro com 6 x 8 casas e exige dois Peões de cor diferente e quarenta e seis marcas de uma terceira cor.
No início do jogo os Peões estão colocados na posição a seguir indicada, correspondendo cada um deles a um dos jogadores:

Depois de tirarem à sorte quem fará o primeiro lance, cada jogador, na sua vez de jogar, efectua obrigatoriamente duas operações:

·      primeiro, movimenta o seu Peão para uma das casas adjacentes da que ocupa (ou na horizontal, ou na vertical, ou em diagonal);

·      segundo, elimina uma das casas livres, colocando nela uma das quarenta e seis marcas (essa casa já não poderá vir a ser ocupada por qualquer dos Peões).

 

É objectivo de cada jogador impedir o adversário de movimentar o seu Peão, cercando-o com casas eliminadas e mantendo, ao mesmo tempo, casas livres para o movimento do seu próprio Peão.

Um ficheiro com as regras e o tabuleiro deste jogo já se encontram na pasta «Jogos de Reflexão» acessível através da página «Documentos» deste blogue: guarde-o, imprima o tabuleiro (ou desenhe um semelhante), arranje dois Peões e quarenta e seis marcas e … toca a jogar!

E, não se esqueça: dentro de algumas semanas haverá mais um blogue!

 

Fotografia: Pedro Esteves

[0287] A Matemática e as Ludotecas (III): qual o valor relativo das peças de Xadrez?

Lembro-me de num dos meus primeiros livros de Xadrez ter lido uma argumentação matemática para fundamentar o valor relativo que os jogadores habitualmente atribuem às peças deste jogo.

O início dessa argumentação era o seguinte: colocadas no centro do tabuleiro, sem os entraves resultantes da presença de outras peças, cada uma delas dispõe aí do seu número máximo de movimentos possíveis, a Dama com 27, a Torre e o Bispo com 14 e o Cavalo com 8:

Mas se estas peças se aproximarem dos bordos do tabuleiro, o seu número de movimentos reduz-se, excepto no caso da Torre. O seguinte mapa mostra o número de movimentos possíveis de cada uma delas a partir das 64 casas do tabuleiro (no caso do Bispo são apenas 32 casas, pois ele só se movimenta ou em casas brancas, ou em casas pretas):

Esta quantificação justifica um dos princípios que costumam ser ensinados aos jogadores principiantes: quase sempre, as peças colocadas no centro do tabuleiro são mais valiosas.

A partir daqui já não me recordo como prosseguia a argumentação matemática que li naquele velho livro de Xadrez. Talvez fosse parecida com a que se segue.
No tabuleiro em geral, o valor de cada peça pode ser traduzido pela adição dos movimentos possíveis nas 64 casas, que é igual a 1456 no caso da Dama, a 896 no da Torre, a 280 no do Bispo e a 336 no do Cavalo.
Agora, para transformar estes valores absolutos em importância relativa, pode-se dividir todos eles, sucessivamente, pelos mesmos divisores, até que todos os dividendos sejam inferiores a 10. Por exemplo:

Esta valorização relativa das peças é próxima daquela que é tradicionalmente ensinada no caso das duas peças mais fortes, e não tão próxima no caso das duas mais fracas: a Dama valerá 9, a Torre 5 e o Bispo, tanto como o Cavalo, 3, valores que oscilarão com as particularidades estruturais de cada jogo e com o potencial das peças (e dos Peões e dos Reis) à medida que o jogo se desenrola.

O raciocínio meramente quantitativo não explica as razões pelas quais o Bispo e o Cavalo são mais valorizados pela experiência do que pela argumentação que desenvolvi acima. Talvez seja suficiente dizer que estas duas peças têm maiores oportunidades para se movimentar quando as posições de jogo são mais fechadas. E que os Bispos têm uma grande facilidade em se articular com os seus Peões.
Este é um bom exemplo para mostrar que o «conhecimento» se origina na «experiência», e não na «ciência», sendo esta apenas uma das fronteiras em que o «conhecimento» é socialmente validado.

[0278] Jogos para os quais há material em casa (VII): o Jogo do Soldado

Este jogo era conhecido no Império Romano por Ludus Latrunculorum. Tem, entretanto, sido traduzido por Jogo do Soldado, Jogo do Mercenário e Jogo do Ladrão. As suas regras explicam, em parte, porquê …

Trata-se de um jogo de estratégia, embora nalgumas versões inclua um factor aleatório, através do uso de dados. Os achados arqueológicos sugerem que podia ser jogado em tabuleiros diferentemente quadriculados, sendo mais frequente a quadricula 8 x 8.
As seguintes peças, que se presume estarem relacionadas com este jogo, foram achadas nas ruínas arqueologicamente estudadas do Forte Romano de Housestead, na Escócia, estando datadas entre o século II e o século III d. C.:

É plausível que o essencial das suas regras fosse constituído por:

Tabuleiro quadrado, com 8 x 8 casas:

Cada jogador tem inicialmente 17 peças, sendo 16 iguais (os soldados) e 1 diferente (o «Dux», ou «comandante»).
Na primeira fase do jogo, os jogadores, jogando alternadamente, colocam os «soldados» no tabuleiro, 2 de cada vez, em casas não ocupadas, sendo o «comandante» colocado no fim (convenciona-se a seguir que umas peças são vermelhas e as outras azuis).
Durante esta fase nenhuma peça é movimentada, nem eliminada.
Na segunda fase do jogo, cada jogador, na sua vez de jogar, movimenta uma das suas peças no tabuleiro, ou na vertical, ou na horizontal (não em diagonal), procurando «capturar» uma das peças do adversário.
A captura de uma peça adversária ocorre quando ela é colocada entre duas peças próprias, ou na vertical, ou na horizontal:

A peça capturada é imediatamente retirada do tabuleiro e não voltará a ser utilizada no jogo.
Num só movimento uma peça pode «capturar» mais de uma peça adversária:

Após capturar uma ou mais peças, o jogador que procedeu à captura movimenta de novo uma das suas peças.
O «comandante» movimenta-se como os «soldados», mas pode saltar sobre uma peça adversária (sem a capturar), para uma casa vazia, com o objectivo de «capturar» outra peça:

O «comandante» pode ser capturado de modo semelhante ao de qualquer outra peça.
O jogador que capturar todas as peças do adversário ganha o jogo.
Se um dos jogadores conseguir formar uma «barreira» com as suas peças (uma fila completa de peças), o jogo termina, ganhando o jogador que possuir mais peças (caso os dois jogadores possuam o mesmo número de peças, o jogo é considerado empatado).

 

As regras deste jogo e a imagem do tabuleiro encontram-se num ficheiro acessível a partir da página Documentos deste blogue, na pasta Jogos de Reflexão.
O tabuleiro pode ser impresso a partir desse ficheiro (mas também não é difícil de desenhar).
As peças podem ser feitas a partir do material disponível em casa (por exemplo, tampas de garrafas), ou que seja viável construir a partir deles (por exemplo, embalagens de cartão) ou procurar perto de casa (por exemplo, sementes de Eucalipto).

 

Fontes: catálogo da exposição «Pedras que Jogam»
Imagem arqueológica: sítio Ancient Games

[0268] Jogos para os quais há material em casa (VI): o Hex

O tabuleiro do HEX é composto por hexágonos (origem do nome dado ao jogo), formando aquilo que se parece com um «losango». Os «lados» opostos deste «losango» têm a mesma cor, que no exemplo figurado a seguir, são o azul e o vermelho:

Os jogadores experientes escolhem tabuleiros com lados formados por onze, ou até por mais, hexágonos.
As peças de um dos jogadores têm uma das cores dos «lados» e as peças do outro têm a outra cor (basta serem de cor diferente)
Na sua vez de jogar, cada jogador coloca uma das suas peças num hexágono desocupado, com o objectivo de formar uma cadeia contínua com as suas peças ligando um dos lados do tabuleiro ao lado oposto (os lados que têm a cor das suas peças).
Cada um dos jogadores tenta não só completar a sua própria cadeia, como, naturalmente, impedir a formação da cadeia do seu adversário.

Usualmente, os hexágonos situados nos «vértices» do «losango» são considerados parte integrante dos «lados» de ambos os jogadores, mas antes de iniciarem um jogo os dois jogadores podem acordar em exclui-los.

Os principiantes podem usar tabuleiros mais pequenos. As figuras (a) e (b) ilustram os resultados de dois jogos entre principiantes:

Este jogo, inventado pelo matemático dinamarquês Piet Hein, em 1942, tem uma característica pouco frequente: não pode haver empates!
É possível demonstrar este facto recorrendo a métodos matemáticos. Mas ele também pode ser argumentado a partir do simples raciocínio lógico: alguém tenta?

Na Drop Box associada a este blogue encontra-se um ficheiro com as regras deste jogo e a imagem do tabuleiro de tamanho 12 x 12. Para jogar, basta imprimir o tabuleiro e arranjar o número de peças suficiente para nele jogar, nem que sejam «grãos» contra «feijões»!

[0258] Jogos para os quais há material em casa (V): Raposa e Galinhas

Os jogos sempre estiveram em interacção com a época em que surgiram.
No tempo em que a caça era um modo de vida, foram inventados, um pouco por todo o mundo, jogos que simulavam a competição entre aqueles que caçam e aqueles que evitam ser caçados. O jogo Raposa e Galinhas (também conhecido por Raposa e Gansos) é um deles, e ainda era jogado na Europa da Idade Média.

O seu tabuleiro tem a forma de cruz, subdividida em 20 quadrados. Um dos jogadores tem treze Galinhas e o outro tem uma Raposa.

Inicialmente, as Galinhas estão juntas no fundo da cruz, como está ilustrado a seguir, ficando a posição inicial da Raposa à escolha do seu jogador (desde que a casa esteja livre):

A Raposa é a primeira a movimentar-se; a partir daí, os movimentos dos jogadores alternam-se.
Cada movimento é feito entre dois cruzamentos vizinhos, em qualquer direcção, de modo a terminar numa casa que esteja livre.
Alternativamente, a Raposa pode saltar sobre uma Galinha que esteja numa casa adjacente, retirando-a do tabuleiro, tal como se faz no jogo das Damas (o cruzamento de chegada tem de estar livre, claro), podendo, de uma só vez, mudando ou não de direcção, capturar diversas Galinhas. Mas, diferentemente das Damas, a capturar da(s) Galinha(s) não é obrigatória.
As Galinhas vencem se conseguirem encurralar a Raposa, impedindo-a de jogar:
A Raposa vence se capturar Galinhas suficientes para não poder ser encurralada pelas sobreviventes.

 

Como as Galinhas dispõem de alguma vantagem, este jogo deve ser jogado um número par de vezes, alternado quem joga com a Raposa e com as Galinhas.

 

Trata-se de um jogo não simétrico (pelas peças, pelos objectivos).
Existirá uma estratégia ganhadora para um dos jogadores?

 

Se não puder imprimir o tabuleiro (há um ficheiro a que pode aceder na página «Documentos» deste blogue), pode desenhá-lo numa folha de papel, de preferência quadriculada.
Para a Raposa, como é só uma peça, é fácil encontrar em casa algo que a represente. Para as Galinhas, podem ser usadas moedas, ou sementes de Eucalipto apanhadas no jardim mais próximo!

[0230] Jogos para os quais há material em casa (IV)

Este jogo foi inventado por um grupo de crianças, num clube de Matemática. Elas foram desafiadas a criar um novo jogo, baseado no Jogo do Galo. Elas assim fizeram, inspirando-se também no Jogo do Xadrez.

Trata-se de um jogo para dois jogadores, sendo apenas necessário desenhar um tabuleiro quadriculado com 5 x 5 casas.

 O primeiro jogador escolhe uma casa do tabuleiro, desenhando nela a sua marca, por exemplo um O (para poder registar o jogo ela é simbolizada na figura por O₁, ou seja, a primeira jogada, realizada por O).

De seguida o segundo jogador escolhe uma casa livre, desenhando nela a sua marca, por exemplo um X (representado, na figura, por X₂, isto é, a segunda jogada, realizada por X), situada a um salto de cavalo (tal como se faz no Xadrez) em relação à anterior.

E assim sucessivamente, até não ser possível dar um novo salto.

Na figura seguinte estão representados os 6 primeiros movimentos dos dois jogadores:

O objectivo de qualquer dos jogadores é realizar o máximo de alinhamentos com as suas marcas (ou cavalos), quer na vertical, quer na horizontal, quer na diagonal.

A pontuação atribuída baseia-se em quatro regras (os alinhamentos só são considerados se as marcas estiverem colocadas sem intervalos entre elas):

·      alinhamento de três cavalos, 1 ponto;

·      alinhamento de quatro cavalos, 2 pontos;

·      alinhamento de cinco cavalos, 3 pontos;

·      última jogada, 1 ponto.

No exemplo figurado, o jogador das marcas O já conseguiu dois alinhamentos de três cavalos (as marcas O₇, O₉ e O₁₁ não constituem um alinhamento, pois têm um intervalo entre as duas primeiras) e o das marcas X conseguiu um alinhamento de três cavalos. Mas, para que o jogo termine, ainda há muitos lances pela frente …

As regras deste jogo (e um tabuleiro para imprimir, sobre o qual se pode jogar com marcas materiais, como moedas ou peões), está acessível através da página «Documentos» deste blogue (clicar em «Jogos de Reflexão»).

Fonte: Bolt (1991; pp. 61-63)

[0227] Jogos para os quais há material em casa (III)

O ZIGUEZAGUE é disputado por dois jogadores num tabuleiro com 7 x 7 ou 9 x 9 pontos. O papel quadriculado é uma boa alternativa para o tabuleiro.

O ponto de partida é o ponto central: I.

O objectivo de cada jogador é chegar à sua casa antes do adversário (o ponto A é a casa do primeiro jogador e o ponto B a do segundo jogador).

O jogador que joga em primeiro lugar une por uma seta o ponto central a um dos pontos mais próximos dele, ou na vertical (para cima ou para baixo) ou na horizontal (para a direita ou para a esquerda), mas não na diagonal.

O segundo jogador faz o mesmo, mas partindo da extremidade da seta acabada de desenhar pelo seu adversário, como se mostra no exemplo abaixo. Não pode ser reutilizado nenhum ponto já usado.

Jogando alternadamente, os dois jogadores formam um trajecto contínuo que vai permitir a um deles chegar à sua casa antes do outro ...

As regras e os tabuleiros deste jogo já estão acessíveis através da página «Documentos» deste blogue (clicar em «Jogos de Reflexão»)

[0226] Jogos para os quais há material em casa (II)

 

 

Desenha-se numa folha de papel quadriculado um tabuleiro com 6 x 6 casas. O tabuleiro pode ser maior, se se quiser, mas terá de ser quadrado.

Trata-se de um jogo para dois jogadores. Estes alternam-se a jogar. Um coloca a marca O nas quadrículas livres e o outro coloca a marca X. Ganha o jogador que conseguir que quatro das suas marcas formem um quadrado. A figura seguinte mostra um quadrado que acaba de ser formado:

Variante: joga-se até todas as casas estarem preenchidas; o vencedor é o jogador que tiver formado o maior número de quadrados.

Outra variante: o objectivo é não formar quadrados (perde o jogador que formar um).

As regras deste jogo, bem como as da Batalha Naval (mensagem «0219»), já estão acessíveis através da página «Documentos» deste blogue (clicar em «Jogos de Reflexão»)

[0219] Jogos para os quais há material em casa (I)

Toda a gente sabe jogar à Batalha Naval, ou, se o não sabe, rapidamente encontra quem lho explique. A seguir são sugeridas algumas ideias para quem quiser inventar e / ou experimentar variantes deste jogo.

Na Batalha Naval é costume usar-se o sistema dos 3 tiros: quando um jogador joga, anuncia 3 casas do seu adversário sobre as quais disparou. Mas existem duas regras diferentes sobre o modo de o adversário reagir: ou indica o que aconteceu em cada casa, ou indica globalmente o que aconteceu (por exemplo, 2 tiros na água e 1 tiro num barco de dois canos); esta opção torna mais difícil adivinhar onde estão situados os barcos. Escolher uma ou outra destas variantes leva a um tipo de batalha razoavelmente diferente.

Outra variante na forma de disparar é a seguinte: cada jogador anuncia um só tiro de cada vez, recebendo logo a informação sobre o seu resultado; se o tiro falhou, passa ao seu adversário a vez de jogar, mas se o tiro tiver acertado num barco, continua a jogar, sem interrupção, até falhar.

A forma tradicional do tabuleiro corresponde a um quadriculado de 10x10 casas. Esta condição pode ser alterada para dimensões superiores (por exemplo, um quadriculado de 15x15 casas), se se quiser incluir mais barcos, ou barcos dispostos em diagonal, ou ilhas dispondo de canhões, ou uma frota de aviões - ou se se quiser movimentar os barcos e os aviões!

Um exemplo de alteração do tabuleiro a que podemos chamar Batalha Naval e Terrestre: o tabuleiro é de 12x12 casas e a frota é a habitual, podendo cada jogador colocar alguns ou todos os seus barcos de 2, 3 e 4 canos em diagonal; além disso, cada jogador possui 1 ou 2 ilhas, com a(s) forma(s) que quiser, desde que a sua área total seja de 25 casas, colocando nela(s) 5 canhões, cada um correspondendo a 1 casa; os barcos, as ilhas e os canhões não se podem tocar, nem pelos lados, nem pelos vértices; o objectivo é atingir barcos e canhões; quando um tiro falha, o adversário deve indicar se foi água ou terra.

Um exemplo de colocação dos barcos, das ilhas e dos canhões:

[0216] (I) O tabuleiro de Xadrez e o crescimento exponencial

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ZOOM … ID da reunião: …… Senha: ……

START!

: Professor: Bom dia pessoal!

: Vários: Bom dia Stor … / Hey Teacher!

: Professor: António, já verificaste se estamos todos?

: António: Só falta a Beatriz. Disseram-lhe para não se cansar com as aulas em que estamos todos. Eu enviei-lhe as minhas notas e falei um bocado com ela pelo telemóvel. Mesmo isolada, está bem disposta. Se precisar de mais explicações pergunta ao Stor por email.

: Professor: OK. Então durante algumas aulas vamos ver aquilo que vocês quiseram esclarecer: «O que é um crescimento exponencial?». O título pode ser este, pode escrevê-lo.

: Cátia: Esta matéria vem para exame?

: Professor: Ai, ai! Já tínhamos falado sobre isso! Não podemos andar a pensar sempre nos exames, nem nos testes, nem na avaliação. Estamos a falar sobre este assunto porque vocês quiseram perceber o que se diz nos jornais e na televisão sobre a evolução das pandemias. Além disto, este assunto nem faz parte do programa do 3º Ciclo nem este ano vai haver exames!

: Cátia: Pronto, pronto, foi só uma pergunta …

: Professor: Então vamos começar. Ainda me lembro da primeira vez que me mostraram um exemplo bastante convincente acerca dos crescimentos exponenciais. Tratava-se de uma lenda sobre as origens do Jogo de Xadrez …

Dizia essa lenda que na antiga Índia um Rei pediu que lhe inventassem um jogo interessante, para combater o aborrecimento que sentia. E o jogo que lhe apresentaram foi o Xadrez.

Agradecido, o Rei quis recompensar o inventor. Mas este, um desconhecido filósofo, apenas pediu ao Rei que lhe oferecesse um grão de trigo colocado no primeiro quadrado do tabuleiro, dois no segundo quadrado, quatro no terceiro, e assim sucessivamente, até ao 64º quadrado, sempre duplicando o número de grãos.

O Rei achou a recompensa demasiado modesta, mas o filósofo insistiu que não era uma recompensa modesta. Agora aborrecido com esta resposta, o Rei deu ordem para que o pagamento em grãos de trigo fosse feito.

Algum tempo depois os responsáveis pelos armazéns reais vieram dizer ao Rei que não havia grãos de trigo em quantidade suficiente para satisfazer o pedido. Desta vez intrigado, talvez um pouco furioso, o Rei pediu uma explicação para tal falta. É que à medida que se duplicava o seu número, responderam-lhe, a quantidade de grãos necessários eram enormes, não havendo tantos em toda a Índia.

Começando a compreender a magnitude da recompensa que lhe fora pedida, o Rei agradeceu ao inventor do Xadrez a sua perspicácia, nomeando-o seu eterno conselheiro.

: Professor: Acho que na altura tentei fazer as contas, e devo ter desistido de as acabar … Querem começar a fazer os cálculos?

: Vários: Podemos usar a máquina de calcular?

: Professor: Não têm outra hipótese … e é melhor usarem a do computador!

ËTodos: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 …

: Daniel (alarmado): E agora quando é que paramos!?

: Professor: Pois! Antes de se atirarem à máquina têm de pensar um pouco. De que precisam?

: Daniel: Do número de quadrados do tabuleiro?

: Emília: Então, 8 vezes 8 são 64.

: Daniel: Então paramos no 64?

: Professor: Imaginem o tabuleiro a ser preenchido com grãos, quadrado a quadrado, segundo as regras do filósofo.

: Fernanda: No primeiro quadrado 1 grão, no segundo dois grãos, no terceiro quatro, … Começamos com 1 na calculadora e depois multiplicamos sessenta e três vezes por 2. Será assim?

: Vários: Sim, é isso.

: Professor: Eu marco o ritmo. Estão todos prontos? Teclem no 1. OK? Este foi o primeiro quadrado. Agora vou dizer 2, 3, 4, 5, etc., até 64 quadrados. Sempre que eu disser um número vocês multiplicam por 2.

ËTodos: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 …

: Professor: … 64. Teclem agora no sinal de igual. Que têm vocês no ecrã?

: Professor: Seria então este o número de grãos que o filósofo queria receber por recompensa e que os armazéns reais não tinham?

: Vários (um pouco a medo): Não foi isso que calculámos?

: Professor: Lembrem-se lá do que a lenda diz …

: Gustavo: Ah! Este é o número de grãos … só no último quadrado! O filósofo queria os grãos de todos os quadrados!

: Quase todos: O quê? Somar todos estes números?!

: Professor: Não desesperem … Eu vou dizer quanto dá a soma, e explico como se chega lá na nossa próxima aula. O número é (escrevam): 18  446  744  073  709  551  615. Quem descobrir uma relação entre o número que estava no ecrã e este vai ter uma menção como «observador». Mas vão ter outra tarefa: se estes grãos de trigo fossem espalhados por igual sobre toda a superfície da Terra, que altura atingiriam? As ideias razoáveis para resolver esta questão vão para a menção como «inventor». Agora portem-se bem e tenham muita paciência com os vossos pais! Até à próxima aula!

: Todos: Tchau Stor!

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ZOOM

CLOSE L

Imagem: tabuleiro de Xadrez pertença do Museo de la Alhambra, fotografada pelo próprio Museu