[0168] O tabuleiro e as peças de Xadrez de Josef Hartwig

O movimento que ficou conhecido por Bauhaus desenvolveu-se primeiro em Weimar, entre 1919 e 1925, depois em Dessau, entre 1925 e 1932, na Alemanha. Comemora em 2019, portanto, os 100 anos da sua fundação.

Surgido quando se começava a tornar claro que o futuro próximo pertenceria à indústria, pretendia-se, na Bauhaus, estabelecer uma ligação entre as artes e a tecnologia.

Josef Hartwig (1880 – 1955), um dos mestres artesãos envolvido neste movimento, produziu, em 1923-2 4, um tabuleiro de Xadrez cujas peças representam o espírito da Bauhaus, esteticamente belas, tecnologicamente fáceis de reproduzir:

Exemplar do «Xadrez de Hartwig» existente no «The Museum of Modern Art» (Nova Iorque)

À simplicidade geométrica com que desenhou cada uma das peças, Hartwig juntou uma sugestão sobre a sua funcionalidade (nos diagramas seguintes estão indicadas as casas para onde cada peça se pode deslocar, a partir daquela onde se encontra):

Nota: os movimentos do Rei e, sobretudo, o dos Peões, são mais complexos do que os ilustrados acima

Fontes: sítio do The Museum of Modern Art; Föhl & outros (1999)

[0167] O Jogo de Marienbad, uma variante do Jogo do Nim

No Verão passado sugeri que quem gostasse de jogar experimentasse na praia o Jogo do Nim (mensagem «0131»). E há dias referi uma sua variante, o Jogo de Marienbad (mensagem «0164»), muito conhecida por aparecer recorrentemente num dos filmes de Alain Resnais.

Tal como o Nim, trata-se de um jogo em que um dos jogadores possui uma estratégia ganhante, pelo que o seu interesse não reside tanto em jogá-lo, mas em compreendê-lo.

À partida existem 16 peças (pedrinhas, fósforos, moedas, …) dispostas sobre uma mesa, tal como se mostra a seguir (quatro filas com, respectivamente, 1, 3, 5 e 7 peças):

Alternadamente, os dois jogadores retiram uma ou mais peças de uma das filas, à sua escolha, desde uma a todas as peças dessa fila. Perde o jogador que retirar a última peça.

Este jogo também se pode jogar sobre uma folha de papel, onde são traçados riscos equivalentes às peças, que cada jogador, quando joga, vai cortando, em vez de tirar.

Para chegar empiricamente a uma estratégia ganhante pode-se começar por jogar diversas vezes (o que até se pode fazer contra si próprio) e anotar as posições sobre as quais se tem a certeza que conduzem a um desfecho certo.

Por exemplo, nas seguintes posições (as filas são sempre horizontais) o jogador a quem cabe jogar não conseguirá evitar a derrota, se o seu adversário souber jogar:

Um bom exercício: demonstrar esta afirmação por exaustão (isto é, analisando todos os casos).

Que outras posições deste género podem ocorrer numa partida do Marienbad?

E como transformar o conhecimento dessas posições numa estratégia ganhante?

A regra quem tira a última peça perde pode ser alterada para quem quem tira a última peça ganha: que consequências tem isso na estratégia ganhante?

[0166] Professor, quer saber como eu pensei?

Um livro que tem uma visão nada dogmática sobre a Matemática e que, aqui e acolá, mostra como entre as nossas capacidades há intuições brilhantes à espera de professores que as não baralhem:

Nele, o autor (nascido em 1979) conta-nos a seguinte história, acontecida quando explicava Matemática a um miúdo de oito anos:

“Certa vez, durante uma lição sobre a adição, o miudito teve uma intuição, pequena mas brilhante. Estava a copiar os trabalhos de casa para os vermos juntos. A soma era 12 + 9, mas ele escreveu 19 + 2. A resposta, reparou ele, era a mesma. Tanto doze mais nove como dezanove mais dois, dava vinte e um. Achou engraçado o seu erro involuntário; fez uma pausa para pensar. Eu fiquei à espera, sem querer falar com medo de lhe baralhar os pensamentos. Mais tarde pedi-lhe para fazer uma soma muito maior, qualquer coisa como 83 + 8. Ele fechou os olhos e disse: «Oitenta e nove, noventa, noventa e um». Percebi então que ele tinha compreendido.”

Fonte: Tammet (2016; pp. 53-54)

[0165] Um Sistema de Unidades de Peso do início do século XVI (com muita experiência matemática)

Em finais do século XV diversos monarcas europeus iniciaram esforços que visavam introduzir alguma uniformização na grande diversidade de sistemas de pesos e medidas usados nos seus reinos.

Em Portugal, foi D. João II (1481 a 1495) quem lançou os primeiros passos dessas reformas, tendo-os D. Manuel I (1495 a 1521) prosseguido, tendo obtido especial sucesso no respeitante ao sistema de pesos. As regras deste sistema foram incluídas no Regimento dos Ofiçiais das Çidades, Villas e Lugares destes Regnos, a primeira lei (tanto quanto se sabe) impressa em Portugal, o qual foi enviado para muitos dos concelhos do país em 1504, acompanhado pelos novos padrões de pesos.

O essencial do «Regimento dos Ofiçiais das Çidades, Villas e Lugares destes Regnos» foi mais tarde incluído nas chamadas Ordenações Manuelinas, a compilação de leis que D. Manuel I mandou publicar em 1512-13 e que posteriormente teve duas outras versões.

Segundo a última versão, a de 1521, cada concelho deveria possuir uma cópia do padrão de pesos em função do seu número de «vizinhos»: o padrão maior, adequado para mais de 400 vizinhos, era de um Quintal, sendo composto por dezasseis peças, sendo a maior peça a própria caixa onde as outras peças eram incluídas, que pesava meio Quintal:

Padrão manuelino composto por dezasseis peças

A leitura dos «Ordenações Manuelinas» permite-nos entender a hierarquia dos pesos envolvidos nestes padrões, e que certamente reflectia as unidades de peso que tinham até então tinham estado em vigor:

Sob o ponto de vista actual, este sistema de unidades de peso estava estruturado segundo as potências de base 2. E quanto àquilo a que hoje chamaríamos design, as diferentes unidades foram concebidas de modo a poderem encaixar-se umas nas outras, como «bonecas russas»:

Padrão de duas arrobas
(caixa aberta contendo treze pesos,
faltando o mais pequeno)

Certamente devido à experiência que os matemáticos da época tinham, sabia-se que a soma das sucessivas potências com base 2 era igual à potência seguinte menos uma unidade, o que, usando a simbologia actual, se escreve assim:

2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + … + 2ⁿ + 1 = 2ⁿ⁺¹

Foi por esta razão que nas «Ordenações Manuelinas» se escreveu que a caixa pesava um Quintal e que isso equivalia à adição sucessiva de meio Quintal, com uma Arroba, etc., etc., com uma Oitava e, por fim, com «duas peças de meia oitava cada hũa»: estas duas peças correspondem ao 2⁰ e ao 1 na expressão que figura acima!

Se pegarmos numa calculadora vulgar podemos verificar este conhecimento experimental dos matemáticas da época:

1 + 2 +

(o ecrã mostra 3, inferior em uma unidade a 4)

4 +

(ecrã: 7)

8 +

(ecrã: 15)

16 +

(ecrã: 31)

32 +

etc.

As peças descritas acima podem ser observadas no Museu de Metrologia, que faz parte do Instituto Português da Qualidade.

Fonte: Neves, concepção e coordenação (2018)

Imagens dos padrões: sítio do Museu de Metrologia