[0383] Um problema de Matemática de Malba Tahan (III): entra Diofanto em cena

 

UM PROBLEMA DE MATEMÁTICA DE MALBA TAHAN

2ª parte

 

Narrador matemático (de novo confiante):
Olhando para a história dos três marinheiros, que representará a expressão (8 x – 65) : 81?

 

Público:
Bom, o x inicial era o número de moedas doado pelo proprietário. E as sucessivas expressões eram o que resultava das intervenções dos três marinheiros e, no fim, do tesoureiro …
Então (8 x – 65) : 81 é o que cada um dos marinheiros do tesoureiro!

Narrador matemático:
Certíssimo. Portanto, terá de ser um número inteiro, pois houve moedas desaparecidas mas não houve moedas cortadas ao meio …
Agora temos de considerar o seguinte nessa expressão: multiplicar x por 8 dará um número inteiro; retirar-lhe 65 também (embora possa ser negativo). Mas dividir (8 x – 65) por 81 só por sorte dará um número inteiro!
Ou seja, não é a partir de qualquer x que os três marinheiros e, no fim, o tesoureiro fariam as quatro subtrações de 1 moeda seguidas das divisões por 3 obtendo sempre números inteiros!
Temos de chamar o Diofanto!

 

Público:
«Dio» quê?

 

Narrador matemático (orgulhoso):
DIOFANTO. Um matemático grego, que trabalhou em Alexandria por volta do século III d. C. e que é considerado o «pai da Álgebra».
É melhor ouvi-lo em pessoa, mas, por favor, não lhe façam perguntas. Compreendem, não é …?

 

Diofanto (surgindo sob uma luz que se acende lentamente num dos cantos; e depois falando muito pausadamente):
Olá!
É verdade, eu apercebi-me de situações matemáticas que para vocês, hoje, são frequentes: são aquelas em que temos de estudar um polinómio à medida que a sua variável assume diferentes valores (estou a usar as vossas palavras, pois as do meu tempo eram diferentes).
O vosso caso é desse tipo: (8 x – 65) : 81 é um polinómio, podemos dar a x infinitos valores e de cada vez o resultado desta expressão é diferente. Interessei-me por isto pensando só nos valores inteiros do resultado, pelo que decidi fazer assim: (8 x – 65) : 81 = y, devendo portanto o y ser inteiro.
Isto é uma «equação», e vocês chamaram a este tipo «equação diofantina linear», tendo o «linear» a ver com o facto de nenhuma das «variáveis» (o x e o y) surgir aqui com um expoente superior a «1» (portanto, nem ao quadrado, nem ao cubo, etc.). E o «diofantina» tem a ver com o meu nome, claro.
Sim, antecipando-me à vossa dúvida: há outras «equações diofantinas» que não são lineares, pelo que são de tratamento muito mais difícil.
O vosso Narrador matemático poderá ajudar-vos a resolver esta equação. Tenham um bom resto de dia …

 

Público (levanta-se e aplaude Diofanto, enquanto a luz que o iluminava se vai desvanecendo)

 

Narrador matemático (aclarando a voz):
Há um pormenor da história que ainda não vos contei …

Narrador da história (reaparecendo subitamente):
Não tínhamos combinado quem falaria nisso, mas penso que faz parte da história que me incumbe a mim contar. O Malba Tahan acrescentou uma informação importante sobre o número inicial de moedas: elas seriam entre 200 e 300!

 

Narrador matemático (pacientemente):
Sim, era esse o pormenor …
Peço-vos então o seguinte: transformem (8 x – 65) : 81 = y numa equação com coeficiente inteiros.

Público:
O que é isso?

 

Narrador matemático:
Ah! Sim! Vou explicar-vos: é uma equação do tipo a x + by = c, em que o «a», o «b» e o «c» são inteiros.

 

Público (depois de uma curta demora):
Fica 8 x = 81 y + 65.

 

Narrador matemático:
Deixem-me agora ser eu a dar o próximo passo, pois é um bocado manhoso.
Se em vez de escrevermos 8 x = 81 y + 65 escrevermos 8 x = 80 y + (y + 65) e depois escrevermos x = 10 y + (y + 65) : 8, e sabendo que o x é um número inteiro, então para que 10 y + (y + 65) : 8 também seja inteiro o (y + 65) terá de ser divisível por 8.
São capazes de me dar um exemplo de y inteiro que faça com que (y + 65) seja divisível por 8?

 

Público (respondendo não muito depois da pergunta do Narrador):
Se o (y + 65) for igual a 72 é divisível por 8. Para isso o y tem de ser igul a 7.

 

Narrador matemático:
Certo.
Então se y for igual a 7, qual o valor de x?

 

Público:
Dá x = 79!

 

Narrador matemático:
Certo.
Mas nós queremos que x esteja entre 200 e 300 …!

 

Público:
Ah! Pois, pode haver outras soluções para y!

Público (ao fim de algum tempo de silêncio):
O y também pode ser igual a 15, a 23, a 31, … é de 8 em 8.

 

Narrador matemático:
E quais os correspondentes valores de x?!

Público:
O x será para esses casos igual a 160, a 241 e a 322.
Ah! Então o x terá de ser o 241, pois está entre 200 e 300!!!
Incialmente, havia na caixa 241 moedas de ouro! Este problema do Malba Tahan está resolvido!!!

 

FIM

Comentários entre alguns grupos, à saída da peça:

Então o 1º Marinheiro ficou inicialmente com 80 moedas e no fim com mais 23, ou seja, com 103 moedas no total. O 2º Marinheiro ficou com 53 mais 23, portanto com 76 moedas. E o 3º Marinheiro com 35 mais 23, no total com 58 moedas.

Grande diferença!
E se somássemos para ver se bate certo?
103 + 76 + 58 dá 237: não dá!
Espera, faltam as 4 moedas, as que sairam uma a uma: com elas dá as 241. Bate mesmo certo!

Acham que os Marinheiros acabaram por emendar equitativamente o erro que cometeram?
Não sabemos, mas seria giro se o tivessem feito!
E com o total de 237 moedas que tinham dariam 79 a cada um, sem precisarem de voltar a deitar fora uma delas!

Fontes: vídeo do Ledo Vaccaro (conclusão do problema); Wikipédia (sobre Diofanto e as equações diofantinas); imagem das máscaras de teatro, Co Pilot do meu computador (recorrendo a ferramentas de IA)

[0373] Laboratórios de Matemática (II): alguns exemplos práticos do que neles pode ser experimentado e uma justificação para isso

Muitas das mensagens deste blogue reflectem a curiosidade com que ainda observo e estudo o modo como a Matemática vai procurando compreender os problemas que surgem à nossa volta e contribuir para a sua resolução.
Se esta é a faceta prática da Matemática, há uma sua outra faceta, a teórica, que imagina modelos e os organiza com consistência lógica.

A fase inicial do trabalho associado a qualquer destas facetas tem um carácter experimental, nela se fazendo a triagem entre conjecturas que se revelam erradas e conjecturas que valem a pena continuarem a ser exploradas.
Se este experimentalismo for organizado (com recursos diversos e registos das tentativas já feitas), o ambiente de trabalho é o de um Laboratório de Matemática.

Consultando a página «Matemática» deste blogue (para tal, é preciso clicar no respectivo ícone, como mostro abaixo), escolhi alguns exemplos de mensagens que abordam temas susceptíveis de um tratamento «laboratorial».

Organizando por blocos esses temas, eis os exemplos escolhidos:

* Compreender documentos da História da Matemática (como é o caso do Papiro de Rhind, na mensagem «46», e da Etnomatemática, na mensagem «101»);
* Utilizar ferramentas matemáticas para estudar práticas culturais com que todos contactamos, como a Azulejaria («11»), o Desporto («68»), a Cerâmica («75»), os Jogos («79»), as Magias («99»), a Agricultura («228») e a Cozinha («355»);
* Compreender os fundamentos matemáticos de instrumentos que utilizamos socialmente, como os Relógios de Sol («170»), os Calendários («198»), os Faróis («200»), os Códigos de Barras («310») e o Método de Hondt («356»), ou que as diversas Ciências usam, como são os casos da Arqueologia («190»), da Geografia («224») e da Cristalografia («245»);
* Criar modelos que proporcionem uma noção intuitiva de fenómenos estudados em disciplinas como a Estatística (o Tabuleiro de Galton, em «272»), a Geologia, a Biologia e a História (as escalas reduzidas, em «255»);
* Compreender e/ou usar ferramentas matemáticas para efectuar medições, como o Gnómon («229»), o Báculo de Jacob («236»), o Quadrante («237») e o nosso próprio corpo («350»).

Há quase trinta anos, quando me candidatei a equiparado a bolseiro para o ano lectivo de 1997-98, apresentei no projecto a que me propuz quatro argumentos a favor dos Laboratórios de Matemática, com base na experiência histórica, na perspectiva cultural, no que se estava a fazer e nos resultados que daí poderiam ser obtidos para a educação.
O primeiro e o terceiro argumentos evocavam factos.

O argumento «cultural» lembrava as tendências recentes, por um lado da Etnomatemática e da Sociologia da Matemática e, por outro, da investigação em Educação Matemática, todas elas defendendo, nas respectivas esferas de influência, a importância de ter em conta as culturas externas, quer à Matemática, quer ao Sistema Educativo.
E o último argumento defendia a perspectiva laboratorial como via para o desenvolvimento curricular, para o desenvolvimento organizacional das escolas e para os desenvolvimentos profissional e pessoal dos professores.


Apesar de o caminho que as escolas foram induzidas a percorrer nestas três últimas décadas se ter afastado do que procurei fazer neste projecto, continuo, hoje, a pensar o mesmo sobre a aprendizagem e o ensino da Matemática: esta deve ser vista como parte integrante das diversas culturas, pois cada uma a adoptou e a tem expressado a seu modo; e partilha com todas elas um dos seus traços fundamentais, o da exploração inicial, a que se segue a organização lógica dos resultados. Mas até esta organização, baseada na demonstração, começa por ser experimental …


Fonte: página «Matemática» deste blogue
Imagems: cabeçalho deste blogue

[0363] Matemática Cultural (I): uma proposta de definição

O modo mais comum de associar a Matemática à Cultura é considerar a Matemática como parte do «Património Cultural da Humanidade». Assim, a diversidade interna da Matemática, que tanto é origem como consequência da sua história, fica encoberta por um véu de aparente uniformidade.

Para começar a destapar o que esse véu encobre pode-se seguir três grandes caminhos, o da Antropologia, o da História e o da própria Matemática. As considerações e exemplos que se seguem não palmilham estritamente nenhum deles, pois, como se irá tornando evidente, eles se cruzam constantemente.

Ubiratan d`Ambrósio afirmou que a Etnomatemática (de que é considerado pai) corresponde à “matemática que é praticada em grupos culturais identificáveis, tais como as sociedades nacionais-tribais, grupos de trabalho, crianças de uma determinada idade, classes profissionais, etc.” Deste modo, ele encara a «Etnomatemática» como abarcando toda a História, desde os primórdios até à actualidade, embora a pareça querer manter um pouco distinta daquilo a que, hoje, se chama «Matemática».

Para Philip Davis e Reuben Hersh, dois matemáticos, “Não é possível compreender a matemática de períodos anteriores sem penetrar a consciência individual e colectiva da respectiva época.” Ou seja, eles admitem que tanto hoje como no passado se fez Matemática, embora de modos diferentes, pois os ambientes em que se viveu outrora possuíam particularidades que inevitavelmente se lhe associaram. No entanto, e simetricamente a d`Ambrósio, parece que eles têm alguma reservas em considerar, na actualidade, a existência de diversas consciências colectivas associadas à Matemática.

Um primeiro exemplo que nos desafia a pensar nestes dois pontos de vista é o seguinte objecto, que já divulguei na mensagem «0317» deste blogue:

Para as tribos Tucano do Rio Negro, que vivem na fronteira amazónica do Brasil com a Colômbia, trata-se de um Suporte para Panelas (está uma panela no seu topo), feito com canas, fixas através de fibras vegetais. Mas, para um membro da actual tribo dos matemáticos profissionais, trata-se de uma concretização de um Hiperbolóide de Revolução, uma superfície que é «regrada», isto é, que pode ser gerada através da rotação (sob certas condições) de uma recta (cada «cana» representa essa «recta»).
Será adequado dizer que o acto que produziu este objecto é equivalente a «fazer Matemática», ou dizer que objecto produzido é um «objecto matemático»?
A resposta a estas duas perguntas não pode ser dada pelos membros das tribos Tucano, pois o seu mundo era concebido de modo diferente do mundo que hoje olha para este objecto. Essas duas perguntas só podem ser respondidas por nós, a partir do nosso mundo, e do conceito (um bocado vago) que a palavra «Matemática» nele tem; e a nossa resposta habitual tem sido a de incorporar na Matemática actual, como suas manifestações juvenis, os procedimentos e/ou objectos que nela se encaixam, como é o caso deste «Suporte», por ele ser uma concretização prática do sofisticado «Hiperbolóide de Revolução» que entretanto teorizámos.

Um segundo exemplo - um dos muitos que Dirk Struik, especialista em História da Matemática, nos oferece - é o da vida e obra de um mercador chamado Leonardo, que viveu, aproximadamente, entre 1170 e 1240. Ele viajou pelo Oriente e, no regresso, escreveu um livro onde descreveu as diferentes aritméticas e álgebras que conhecera nas suas viagens. A principal consequência desta divulgação terá sido a de o sistema de numeração indo-árabe ter sido adoptado na Europa ocidental (já tinha surgido pontualmente na Península Ibérica mas fora esquecido), apesar da lentidão com que o foi e apesar de, paralelamente, se ter mantido por muito tempo o uso dos ábacos para proceder a cálculos numéricos e de os respectivos resultados terem continuado a ser registados no sistema de numeração romano. O livro que tornou famoso o mercador Leonardo foi o «Liber Abaci» (1202) e ele acabou por ficar conhecido como Fibonacci.
A seguinte gravura mostra a coexistência, e também a competição, em plena Renascença, entre duas diferentes tradições algorítmicas para o cálculo numérico:

Algoritmos em competição: a escrita versus o ábaco
(gravura de Gregor Reisch, 1508)

Um terceiro exemplo mostra como os próprios objectos matemáticos, já depois de terem sido consagrados como tal, podem ser associados a concepções do mundo que nada têm a ver com a Matemática tal como ela é vista hoje. O célebre astrónomo Kepler (1571-1630), que tão bem soube usar os instrumentos matemáticos que teve à sua disposição, defendeu, no seu «Misterium Cosmographicum» (1596), que os cinco poliedros regulares (ou platónicos), conhecidos e estudados desde a Grécia Clássica, correspondiam ao plano geométrico que Deus elaborara para o Universo (naquela altura só eram conhecidos cinco planetas do Sistema Solar):

As meias Esferas são as órbitas dos planetas
(Saturno, Júpiter, Marte, Terra e Mercúrio)
e estes são representados pelos Poliedros
(cada Esfera inscreve um Poliedro e cada
Poliedro, excepto o último, inscreve uma Esfera)

Mais tarde Kepler rejeitou este seu modelo de juventude; mas esta sua tentativa falhada encaixa-se muito bem no «Platonismo», uma Filosofia da Matemática que defende a existência dos objectos matemáticos numa espécie de céu divino, cabendo-nos a nós descobri-los com o nosso trabalho - foi o que Kepler tentou fazer, tendo dessa vez errado.

Se Davis e Hersh não arriscam muito no que respeita à diversidade de consciências colectivas associadas à actual Matemática, eles não deixam de lhe deixar as portas um pouco abertas. Por um lado, escreveram eles, houve “pessoas de todas as condições” que, no “passado”, se dedicaram à Matemática: “Thomas Bradwardine (1325) era arcebispo de Canterbury. Ulugh Beg, o das tábuas trigonométricas, era neto de Tamerlão. Luca Pacioli (1470) era monge. Ferrari (1548), cobrador de impostos. Cardano (1550), professor de medicina. Viète (1580) era jurista do conselho privado real. Van Ceulen (1610), mestre de esgrima. Fermat (1635) era advogado.” Mas, prosseguem, se os antigos contributos para aquilo que hoje se chama Matemática eram relativamente desconectados, isso contrasta com a forte unificação da Matemática actual, o que não se verifica apenas na articulação conceptual desta, sendo também evidente entre os seus produtores e os seus utilizadores: “Na medida em que todas as crianças aprendem algo de Matemática, e que a linguagem comum contém uma pequena fracção de noções matemáticas, a comunidade dos matemáticos e o conjunto da população poderiam, em princípio, considerar-se idênticas. Não obstante, nos níveis mais elevados desta profissão, os níveis em que se criam e transmitem novos conhecimentos matemáticos, somos um colectivo francamente reduzido.” Portanto, poderiam eles ter resumido: existe, hoje, uma «comunidade de matemáticos única», embora com uma enorme diferença de papéis no seu seio, entre a grande maioria dos «utilizadores» e a pequena minoria dos «criadores». Mas, pergunto eu: se no passado houve criadores «de todas as condições», por que não admitir que, na actualidade, entre os que se suporia apenas utilizarem a Matemática, haja variantes na forma de interpretar e de operacionalizar a Matemática, em função de «consciências colectivas» que podem ser profissionais, regionais ou outras?

Um último exemplo - que Davis e Hersh poderiam ter acrescentado à sua lista de «pessoas de todas as condições» que deram contributos para a Matemática - é o do Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon (1707-1788). Ele foi sobretudo um naturalista, tendo, quando jovem, por curiosidade, desenvolvido um método experimental que permite calcular, como limite, o valor do número p através do lançamento de uma agulha; ele é hoje considerado, na Estatística, como o primeiro exemplo do chamado Método de Monte Carlo. Segundo Jason Roberts, “Os cientistas atuais usam técnicas que descendem da Agulha de Buffon para contabilizar o número de células de uma amostra de tecido, para calcular a área da superfície interna de um pulmão e para quantificar o número de neurónios num cérebro humano. Os meteorologistas usam-nas para prever o desenvolvimento de tempestades. As firmas financeiras usam-nas para calcular riscos de investimento e os governos para criarem políticas económicas.” Ou seja, quem usa este método (e talvez quem lhe impulsiona novas aplicações) são sobretudo os cientistas, os técnicos e, talvez, muitos de nós, deixando aos matemáticos profissionais (é certamente assim que a distribuição de trabalho acontece) o desafio de investigar os seus fundamentos e de os validar.

Buffon lançando as suas agulhas

Então, o que será «Matemática Cultural»?
A definição de Ubiratan D`Ambrósio poderia ser a primeira resposta, faltando-lhe apenas incluir nela a Matemática que resulta da cultura do grupo dos matemáticos profissionais. Ou até as suas várias culturas: Davis e Hersh, por exemplo, referem-se-lhes como divididos entre os que adoptam a posição filosófica do «platonismo», do «formalismo» e do «construtivismo», o que é apenas um exemplo da sua diversidade interna e, portanto, das suas possíveis «comunidades culturais».
Se olharmos para outros campos da actividade humana, encontramos preocupações semelhantes às de D`Ambrósio. Por exemplo, Eva Maria Blum e Gisela Welz (inspiradas em Sanyal), ao procurarem uma boa definição para as «culturas de planeamento» (no âmbito das questões colocadas pelo Urbanismo), propuseram a seguinte: as “culturas de planeamento” devem ser entendidas como “um processo cultural no qual os atores incorporam as suas ideias e orientações”, introduzindo-lhe adaptações e reconfigurações resultantes da sua “prática quotidiana”, da “articulação de discursos” entre “grupos e especialistas” e do “resultado dos conflitos políticos e sociais” em que estão envolvidos. Também aqui não existe uma só cultura; e todas elas se influenciam mutuamente (o que por vezes até é conflitual).

Proporei, então, a seguinte definição: a Matemática Cultural é aquela que é ou foi produzida e utilizada na actividade das comunidades cidadãs, de vida e de trabalho, incluindo as dos matemáticos profissionais, estando portanto associada a opções, a saberes e a decisões individuais e colectivas.
Se esta definição permite que se arrisque afirmar que toda a Matemática é Etnomatemática e que toda a Matemática é Cultural, com ela não se esgota a atenção que é preciso prestar ao que é designável por «processo intercultural das matemáticas», que por um lado as «unifica» e, por outro, as faz entrar nas escolas …


Fontes: livros de Gerdes (2007; d`Ambrósio é citado na p. 187), de Davis & Hersh (1989; pp. 26 e 40; as traduções são minhas), de Roberts (2025; pp. 81-83) e de Struik (1989; pp. 138-140); artigo de Blum (pp. 266-267)
Imagens (por ordem): 1ª, fotografia de Eva Maria Blum; 2ª e 3ª, Wikipédia; 4ª, livro de Roberts