[0369] Factos e argumentos sobre a Educação (VII): agir, pensar e teorizar em conjunto

Em Portugal, os vinte anos que se seguiram ao «25 de Abril» constituem um período que se tem vindo a revelar interessante para compreender como as suas dinâmicas transformantes iniciais foram sendo apaziguadas e, em grande parte, reduzidas a rotinas institucionais.

O caso da educação interessa-me em particular, por, a partir de 1979-80, nele ter estado envolvido.


Três curtas histórias com professores

1974-75

O testemunho intitulado 25 de Abril: As Transformações nas Escolas e nos Professores, da autoria da professora Eduarda Dionísio, faz parte de um livro que pretendeu fazer um balanço do movimento que, em 1974-75, iniciou a transformação do nosso país:

Desde o início a sua autora quis deixar claro que “mesmo quando vencemos [referindo-se aos professores que dinamizaram as transformações que iria descrever], fomos minoritários e as escolas em 74-75 não foram evidentemente um mar de rosas que se recorde simplesmente com saudade.”
Depois, colocando quase sempre de lado as dificuldades resultantes desse relativo isolamento, esta professora descreve e comenta algumas das transformações que foram realizáveis nesse tempo excepcional, como as implícitas nestes excertos:
“Rapidamente, cada um tomou em mãos a mudança da escola onde trabalhava, sem muito esperar por qualquer «orientação de política educacional». Contando cada escola com as suas próprias forças. […]. Em breve, os professores descobririam também o que até ali não tinha sido uma evidência: nas escolas, havia estudantes e, para estes, também o 25 de Abril tinha chegado. E havia «funcionários administrativos» — e «auxiliares», que, de um momento para o outro, já não eram designados por «pessoal menor» ...”
“Foram muitos os professores que não quiseram ter férias em 74. Tomaram «revolucionariamente» para si as tarefas que anteriormente cabiam ao reitor e às secretarias - desde as matrículas à organização das turmas, passando pelos horários e pela organização da escola. Tratava-se de, quando o «Ano Lectivo nº 1» da «Era da Revolução» se iniciasse, ter entre as mãos uma escola nova.”
Embora as escolas não tenham sido o único campo da sua acção, pois os professores referidos também se investiram na fundação do sindicalismo docente, “foi sobretudo nas escolas que se iam dando as grandes transformações. Os professores estavam organizados em «grupos de trabalho» que proliferavam - para tudo e mais alguma coisa - para estudar, propor, pôr em prática. Os «organigramas» - palavra nova - dos novos modelos de «gestão escolar» - conceito novo - sucediam-se e eram vivamente discutidos. Tratava-se de assegurar a máxima participação de todos os que trabalhavam e estudavam nas escolas, a maior representatividade de todos em todos os órgãos (todos eles novos - desde os conselhos de grupo aos conselhos de turma, passando pelas reuniões de escola e de sector, etc. ...), a mais larga «abertura ao meio». Tratava-se de ter nas mãos a escola em que se trabalhava ou se estudava - que se «habitava», como se dizia então -, fazê-la acompanhar o movimento social, a «revolução», quando não até ultrapassar o seu passo ... Isto passava-se sobretudo nas escolas que batalhavam […] pela «autonomia» e que eram contra um modelo único de gestão, como o Ministério e a [corrente dominante no] Sindicato preconizavam.”

1988-89

Década e meia depois, o Núcleo de Lisboa da recém fundada Associação de Professores de Matemática (APM) organizou uma série de encontros para «intercâmbio de ideias». Para os divulgar, os seus animadores elaboraram um folheto em que convidavam os colegas a participar, tendo, quando aberto (o folheto seria dobrado em três), um apelo à participação, num dos seus lados, e o programa dos encontros, no verso. Eis o lado correspondente ao apelo:

Aqui se destacava a “mudança da escola”, a “reflexão” sobre as “experiências” já feitas, o “intercâmbio” e, talvez como conceito global, a ideia de que a “renovação currículo” se estava a fazer na “acção”.

1994-95

Pouco tempo depois, em 1992, as diferentes Associações de Professores decidiram criar um Secretariado («SIAP») que lhes permitisse ser um “forum de discussão pedagógica”, intervir na “definição da política educativa nacional” (nomeadamente na Reforma Educativa cuja generalização estava então em curso) e organizar “formação contínua de professores no âmbito interdisciplinar.”
Uma das iniciativas do SIAP ocorreu em Maio de 1995, tendo por tema “Cumprir os Programas”:

O encontro foi constituido por uma Mesa Redonda, em que participaram representantes de várias Associações de Professores, e por três Conferências, a cargo de outros tantos professores.

Na síntese da Mesa Redonda, feita pelo seu moderador, Luís Filipe Teixeira, afirmou-se a necessidade de alterar o “pendor centralizador” do Ministério da Educação, em direcção de uma “gestão dos programas mais descentralizada e flexível”, de modo a reconhecer uma maior “autonomia” e “capacidade de inovação e de acção” aos professores; defendeu-se que os programas deveriam ter uma “visão mais global”, se se pretendia “formar cidadãos intervenientes e livres”, e que, para tal, deveria haver “formação” e “sensibilização dos professores”; e criticou-se o “sistema de avaliação em vigor”, em particular devido à ”leitura específica e redutora dos programas” que as “provas globais” tinham introduzido.

Numa das conferências, Alcino Matos Vilar, com base em vários estudos da teoria educacional, descreveu diversos modelos de “inovação curricular” que poderiam servir de apoio à “mudança do sistema educativo”.

Noutra das conferências, Angelina Carvalho analisou a ligação entre a “inovação” e a “reforma” educativa; depois de questionar o significado atribuído a estas palavras, concluíu que é no seio das Associações de Professores, desde que estas não se remetessem a um espaço de “corporativismo defensivo e pouco problematizador”, que poderiam crescer as “elites de transformação” que desejava.

E, na terceira conferência, Fernando Nunes apresentou os resultados de um inquérito que a APM dirigira, cerca de um ano antes, a professores de Matemática do ensino não superior de todo o país, concluindo que, apesar de existir entre os inquiridos uma óbvia «diversidade de opiniões», os professores estavam interessados na Reforma Curricular, embora tanto a considerassem como “positiva” como a sentissem com algum “desconforto”, dadas as desfavoráveis condições de implementação de que dispunham.


Alguns contributos de dois investigadores

Depois de aprovada a Lei de Bases do Sistema Educativo, em 1986, e de iniciados os trabalhos de preparação da Reforma Educativa que viria a ser conhecida pelo nome do Ministro da Educação que a lançou, Roberto Carneiro, as transformações educativas «a partir de cima» concentraram-se na definição da carreira docente. Pelo que foi neste contexto que alguns investigadores, preocupados com a autonomia dos professores e com o papel das escolas nas mudanças educativas, escreveram e divulgaram um conjunto de reflexões e de propostas.

1991-92

Um desses investigadores foi António Nóvoa. Em 1991, como se lembrasse aos professores que a profissão docente tinha uma história, ele descreveu as etapas que, em Portugal, tinham marcado a sua evolução.
A primeira dessas etapas correspondera ao exercício da profissão docente, ou a tempo inteiro, ou como actividade principal. A segunda, à existência de um suporte legal para o exercício da docência. A terceira, à constituição de instituições específicas para a formação de professores. E, por fim, a quarta, que correspondia à “diversificação das dinâmicas associativas”, expressa na constituição de associações de professores, sucedânea do “modelo sindical” hegemónico, e que optara ou pela “identificação a um saber disciplinar”, ou pela “manifestação de tendências pedagógicas”, ou pela “vontade de exercer um novo poder profissional”.
E, esquematicamente, apresentou estas quatro etapas assim:

Tratando-se de etapas já parcialmente cumpridas, o seu futuro, acrescentou Nóvoa, iria depender do modo como, por um lado, fossem estabelecidos os «saberes» de referência dos professores, existindo, sobre isso, uma tensão entre a sua transmissão e a sua produção; e, por outro, do modo como fossem definidas as «normas» e os «valores» da sua cultura profissional, tais como as condições de acesso, de progressão, de avaliação, etc.. Pelo que, advertiu, se “os próprios professores não se investirem neste projecto é evidente que outras instâncias (Estado, Universidades, etc.) ocuparão o território deixado livre”.

Ainda nesse ano, ao intervir no encontro anual da Associação de Professores de Matemática, realizado no Porto, António Nóvoa insistiu neste tema da caracterização da docência. Segundo afirmou, “grande parte dos actores educativos encara a convivialidade como um valor essencial e rejeita uma centração exclusiva nas aprendizagens escolares”, pelo que eram passíveis de crítica as perspectivas científicas sobre o que deve ser o professor, sobre como ele deve ensinar e sobre como o deve fazer na sala de aula. Essas perspectivas, explicou, vieram impor “uma separação entre o eu pessoal e o eu profissional”, favorecendo, ao serem passadas para o “plano institucional”, o “processo de proletarização” dos docentes.
Consequentemente, Nóvoa defendeu que o “processo identitário dos professores” é sustentado pela “Adesão” (caso da confiança que eles têm na “capacidade dos educandos”), pela “Acção” (como o é a sua “maneira de trabalhar na sala de aula”) e pela “Autoconsciência” (ou seja, pelo “«trabalho de pensar o trabalho»”, não só consumindo conhecimento, mas também o produzindo “do ponto de vista teórico e conceptual”), pelo que, concluíu, a definição da “identidade” profissional seria um “processo” que exigiria “tempo” e que incluiria a “capacidade de exercermos com autonomia o nosso trabalho”.

No ano seguinte, 1992, António Nóvoa deslocou a sua atenção para o papel das escolas, começando por fundamentar um problema central com que elas se deparavam: se “as variáveis sociais, culturais e familiares interferem no sucesso dos alunos”, essas “diferenças [...] só se transformam em desigualdades devido à estrutura e ao funcionamento do sistema educativo.” Pelo que, prosseguiu, nos últimos anos “a renovação da investigação educacional tem-se feito a partir de um esforço de construção de uma pedagogia centrada na escola”, o que “implica a elaboração de uma nova teoria curricular e o investimento dos estabelecimentos de ensino como lugares dotados de margens de autonomia, como espaços de formação e de auto-formação participada, como centros de investigação e experimentação, enfim, como núcleos de interacção social e de intervenção comunitária.”

E, noutra ocasião, Nóvoa abordou uma das vias pela qual os professores podiam transformar as escolas, a via da formação. Depois de admitir que “a reflexão científica na área da formação de professores [...] continua a denotar grandes fragilidades, sendo incapaz de produzir novos paradigmas de pensamento e acção”, instigou assim os docentes: “É preciso ter a coragem de uma crítica frontal, assumida em primeira linha no interior da profissão docente, das instituições de formação de professores e da comunidade científico-educacional. Caso contrário, outros actores sociais se encarregarão de liderar esta reflexão, com consequências imprevisíveis para o prestígio profissional e a autonomia científica dos professores.” E, em particular, visou a formação contínua, pois ela tendia a “articular-se” com “os objectivos do sistema, nomeadamente com o desenvolvimento da reforma”, o que, comentou, é “inaceitável”, devendo antes ser concebida “na lógica do desenvolvimento profissional dos professores e do desenvolvimento organizacional das escolas”. Pelo que propôs que ela visasse mais fortemente o seu contexto, se abrisse às decisões tomadas no local e na região, fosse mais individualizada, explorasse as potencialidades das estratégias de investigação-acção e de investigação-formação, se integrasse na situação de trabalho, introduzisse as novas tecnologias educativas e utilizasse as teorias da aprendizagem da formação de adultos.

Sendo assim, a formação contínua baseada nas escolas poderia apoiar um triplo desenvolvimento:
«Desenvolvimento pessoal: produzir a vida do professor». Cada professor deve desempenhar, em simultâneo, «o papel de formador e de formando», pois “A formação não se constrói por acumulação (de cursos, de conhecimentos ou de técnicas), mas sim através do trabalho de reflexividade crítica sobre as práticas e de (re)construção permanente de uma identidade pessoal. Por isso é tão importante investir a pessoa e dar um estatuto ao saber da experiência.”
«Desenvolvimento profissional: produzir a profissão docente». Se a formação organizada «em torno dos professores individuais» favorece o «isolamento» e a imagem dos «professores como transmissores de um saber produzido no exterior da profissão», as “Práticas de formação que tomem como referência as dimensões colectivas contribuem para a emancipação profissional e para a consolidação de uma profissão que é autónoma na produção dos seus saberes e dos seus valores.” “Os professores têm de se assumir como produtores da «sua» profissão. Mas sabemos hoje que não basta mudar o profissional; é preciso mudar também os contextos em que ele intervém”. “As escolas não podem mudar sem o empenhamento dos professores; e estes não podem mudar sem uma transformação das instituições em que trabalham.”
«Desenvolvimento organizacional: produzir a escola». “A formação deve ser encarada como um processo permanente, integrado no dia-a-dia dos professores e das escolas, e não como uma função que intervém à margem dos projectos profissionais e organizacionais”. “A formação contínua deve capitalizar as experiências inovadoras e as redes de trabalho que já existem no sistema educativo português, investindo-as do ponto de vista da sua transformação qualitativa, em vez de instaurar novos dispositivos de controlo e de enquadramento.”

Um outro investigador que escreveu e divulgou textos de apoio à autonomização dos professores e das escolas foi Rui Canário. Através de alguns artigos publicados em 1991 e 1992, ele, tal como Nóvoa, procurou alargar e reconceptualizar a visão tradicional que ainda prevalecia sobre as escolas: “Uma escola eficaz dos pontos de vista educativo e social”, escreveu ele, “supõe uma mudança de natureza das práticas pedagógicas, diversificação de práticas, adequadas a públicos social e culturalmente diferenciados. Só assim a escola poderá promover processos de aprendizagem pertinentes relativamente aos contextos culturais dos alunos, o que implica uma articulação mais interactiva entre a escola e a comunidade local.” Pelo que não apostava nos “sistemas escolares”, mas sim nas “escolas”, pois “é por aí que passam as mudanças”. As escolas, prosseguiu, “estão condenadas à inovação e a fazê-lo num contexto estrutural de penúria de recursos. Para que as inovações sejam possíveis e pertinentes não é necessário convencer os professores a trabalhar mais, ou mobilizá-los de forma voluntarista, mas sim favorecer situações que lhes permitam aprender a pensar e agir de forma diferente, à escala do estabelecimento de ensino, enriquecendo, reconstruindo e reorientando a sua cultura profissional.” Com as escolas vocacionadas para a diversidade dos alunos e com os professores no centro das escolas, seria pois à luz de uma “fusão num processo único das vertentes da inovação, da formação e da investigação [por parte dos professores] que, a nosso ver deverá ser reequacionada a questão do processo de mudança das escolas.”

Argumentos

Os professores envolvidos nas três curtas histórias e os dois investigadores que os procuraram apoiar no início da década de 1990 tinham um desígnio transformante em comum: a vontade de desenvolver uma forte autonomia dos docentes e das escolas, em função do apoio às aprendizagens de alunos social e culturalmente diferenciados.
Essa maior autonomia pressupunha uma menor influência tutelar por parte de Estado, bem como por parte de outros actores com quem o Estado se aliasse.

Tanto professores como investigadores reconheceram, embora apenas de passagem, a existência de diversidades, por vezes grandes, nas suas próprias comunidades profissionais. Mas nem professores nem investigadores trabalharam conceptualmente o modo de essas diversidades serem encaradas para que a respectiva comunidade fosse eficaz.

Nos vinte anos que se seguiram ao «25 de Abril», o contexto político e educacional mudou muito, em particular para os docentes, e nem estes o explicitaram, nem os investigadores realçaram as consequências dessa mudança sobre as suas propostas.
Se em 1974-75 os professores empenhados na transformação das escolas e de si próprios puderam recusar qualquer tutela e se, no início da década de 1990, estes professores ainda não tinham desistido de uma parte das suas iniciativas transformantes, pouco tempo depois, como se notou na organização do encontro do SIAP, já se notava uma certa resignação perante as imposições reformistas da tutela: por muito que alguns dos intervenientes tenham pretendido encarar de forma crítica a proposta de «Cumprir os Programas», esta bandeira era um sinal de capitulação. O que, alguns anos mais tarde, também foi notado por Sérgio Niza, quando se queixou de a criação do SIAP ter querido transformar as associações profissionais em “parceiros” de uma “reforma educativa concebida e dirigida pelo Estado”.

Estas duas debilidades (as consequências mal esclarecidas das diversidades internas às comunidades de docentes e de investigadores; e a fraca consciência do papel acrescido que o Ministério da Educação entretanto assumira) tornaram-se particularmente relevantes a propósito de duas das etapas da definição da profissionalidade docente, a da constituição das instituições de formação de professores e a da emergência do associativismo profissional dos docentes. Em ambos os casos já tinham sido desenvolvidos esboços de alianças com a tutela por partes das comunidades envolvidas na concretização daquelas etapas.

Um tema que deveria ter sido debatido antes do final da primeira metade da década de 1990, pelos professores e pelos investigadores mais interessados em transformações que conduzissem a maiores autonomias docentes e escolares, seria o da «nova teoria curricular», pois aí se poderiam ter afrontado aquelas duas debilidades. Ao não o terem feito, aqueles que poderiam resistir à iniciativa de «revisão e reorganização curriculares» tomada pela nova tutela na segunda metade dessa década ficaram desarmados e as suas escolas foram definitivamente integradas nas rotinas institucionais.

Em resumo, os professores teorizaram pouco; e os investigadores teorizaram sem que tal resultasse de um contacto demorado com os professores. Ambas as comunidades parece terem estado excessivamente fechadas em si próprias, ou incapazes de saírem de si.


Nota:
Nesta argumentação pressupus que: agir implica alterar o que existe e pressupõe, sempre, alguma forma de teoria; e pensar é a ligação que se estabelece entre a acção e a teoria.
Daqui deduzo que a procura de uma melhor teoria é uma forma de apoiar uma melhor acção.


Fontes (texto e imagens): livro com artigo de Dionísio (1994), livro do SIAP (1995), livros com artigos de Canário (1991 e 1992 [a] e [b]), de Nóvoa (1991 [a] e [b], 1992 [a], [b] e [c]) e de Niza (2015); e folheto do Núcleo de Lisboa da APM (1989)

[0368] Matemática Cultural (II): a matematização do espaço

A exposição Crónicas de uma Lisboa desconhecida está patente no Palácio Pimenta (Campo Grande), sede do Museu de Lisboa, até ao próximo mês de Março.

Na produção de algumas das peças exibidas nesta exposição (plantas, mapas, modelos) foram utilizadas ferramentas que fazem parte do dia-a-dia profissional de Agrónomos, de Arquitectos, de Desenhadores, de Engenheiros, de Geógrafos, de Urbanistas e de Topógrafos, com a finalidade de lhes conferir uma relação biunívoca com a realidade física (a cidade) que pretendem representar.

Uma parte importante dessas ferramentas faz parte do mundo que costumamos designar por Matemática.

Um primeiro exemplo é o da «Planta dos principais centros industriais de Lisboa», elaborada pelo topógrafo J. M. Pinto Leal e datada de 1934:

Nela está bem evidente a sua escala: 1 : 25 000. Mas, como mostrarei abaixo, esta não é a única forma de estabelecer a razão de proporcionalidade que liga a métrica da realidade e a da sua representação.

Numa outra planta de Lisboa, elaborada por Carlos Pezerat, Pierre Joseph Pezerat e Francisco Goullard e concluída em 1856, figura o Campo de Santa Anna (actual Campo dos Mártires da Pátria):

Aqui, a ferramenta em destaque é a utilização das curvas de nível.

Sendo o «mapa» e a «planta» representações em duas dimensões, a «maqueta» (ou «modelo») é uma representação em três dimensões: as curvas de nível também estão lá, mas podem confrontar-se com as dimensões verticais dos edificados urbanos, proporcionando uma maior aproximação visual ao que a realidade é, ou se pretende que seja, como nesta «Maqueta da zona dos Olivais Sul», de autoria desconhecida, produzida em 1960-61, em madeira, cortiça e cartão, à escala 1 / 500:

Nesta outra planta da Cidade de Lisboa, datada de cerca de 1900 e igualmente de autoria desconhecida, o destaque está na utilização de um sistema de coordenadas que permite a quem a utilizar uma rápida localização dos elementos urbanos (como a generalidade das ruas e os edifícios notáveis). Para tal, a planta foi quadriculada e aos intervalos horizontais (abcissas) foram atribuídos números e aos verticais (ordenadas) atribuídas letras, como se se tratasse de um gigantesco tabuleiro da Batalha Naval:

Um dos aspectos interessantes na história das plantas e dos mapas é a diversidade de modos de representar as respectivas escalas. Entre outros exemplos, nesta exposição encontram-se estes dois, ambos baseados numa representação «física» das distâncias (um segmento de recta que equivale, na realidade, a uma determinada distância):

A unidade de medida é o «palmo»

A unidade de medida é o «metro»

As ferramentas matemáticas usadas para produzir estas plantas e mapas encontram-se na intersecção das práticas culturais de diversas profissões (conforme referi acima), que por sua vez interagem com a cultura dos matemáticos profissionais da respectiva época. E é tendo esta observação em conta que essas ferramentas, e o modo como são usadas, se podem considerar como fazendo parte de uma Matemática Cultural específica.


Fonte: peças patentes na exposição temporária «Crónicas de uma Lisboa desconhecida» (Palácio Pimenta / Museu da Cidade, Lisboa)
Fotografias: Pedro Esteves

[0367] Um painel de azulejos cuja classificação matemática não é tão fácil como parece

No Núcleo Urbano Antigo do Seixal ainda existe um apreciável número de fachadas de edifícios que ainda hoje ostentam painéis e frisos de azulejo. E a regulamentação municipal exige que a renovação exterior de um edifício não altere essa imagem, pelo que, na mais radical das hipóteses, os azulejos podem ser retirados, se estiverem velhos, desde que sejam substituídos por azulejos semelhantes mas novos. E foi isso que sucedeu aquando da renovação de um dos edifícios situado na Praça da República, cujo azulejo gerador do painel da fachada tem esta imagem:

O painel gerado por este azulejo ficou com este aspecto:

À primeira vista, este painel possui quatro famílias de eixos de simetria: uma vertical, outra horizontal e duas diagonais às anteriores:

Há, no entanto, um pormenor no interior de cada azulejo que invalida estas simetrias: os arcos externos não as admitem, pois se sobrepõem ligeiramente num dos extremos, conforme se nota neste seu zoom:

Assim, este painel apenas admite rotações que tenham por centro o ponto médio de qualquer dos azulejos!
Sendo de 90º a menor rotação executável para que a imagem do painel não se altere, a sua classificação sob o ponto de vista matemático (ver mensagem «0119») é «p4».


Fonte: a fotografia do painel é de Eva Maria Blum; as imagens do azulejo e do seu centro resultam do scan de um seu exemplar e da sua manipulação com o apoio do programa Paint; e o desenho é meu

[0366] Laboratório de Matemática (I): as origens

A ideia de Laboratório de Matemática é um resultado da centenária utilização de ferramentas que incorporam modelos matemáticos e que tanto servem para obter respostas práticas como, embora com menos frequência, para investigar os conceitos que lhe estão subjacentes.

A integração conceptual de ferramentas como os círculos trigonométricos e as máquinas de calcular num ambiente laboratorial talvez tenha sido estimulada pelos desafios que o ensino-aprendizagem da Matemática foi crescentemente colocando aos educadores, motivação que parece bem patente em alguns exemplos vindos das décadas portuguesas de 1940, 1950 e 1960:
* Em 1941, Bento de Jesus Caraça propôs, no nº 8 da «Gazeta de Matemática», que se estudasse “A possível introdução de métodos novos de ensino tais como os métodos laboratoriais para os rudimentos de geometria”, “A possível utilização do cinema no ensino da matemática”, “A difusão do gôsto pelo estudo da matemática por meios extra-escolares, tais como a criação de clubes matemáticos, etc.”;
* Em 1951, no nº 47 da mesma revista, Matilde O. Macagno publicou um artigo intitulado «El método de laboratorio en la enseñanza de la Matemática»;
* Em 1962, C. Gattegno orientou um curso sobre o material Cuisenaire, destinado a professores de todo o país, no âmbito de uma experiência iniciada no ano anterior por J. Nabais no Colégio Vasco da Gama;
* E em 1967, no nº 5 da «Folha Informativa dos Professores do 1º Grupo (E.T.P.)» (a primeira publicação periódica portuguesa “consagrada exclusivamente à educação matemática” e na qual estão representadas uma “diversidade de perspectivas pedagógicas”) foram publicados diversos artigos sobre «clubes de Matemática» e «laboratórios de Matemática» e editada uma «secção de problemas».

Nestes exemplos, a ideia de Laboratório de Matemática está associada a preocupações com a motivação dos alunos, com o recurso a materiais manipuláveis e a tecnologias próprias da época e com a utilização de espaços pedagógicos exteriores à sala de aula.

No entanto a onda de utilização de Laboratórios de Matemática desapareceu.

Em 1977, portanto já depois do 25 de Abril, José Sebastião e Silva (investigador, professor e promotor da muito conhecida Reforma da Matemática Moderna) leu bem este conjunto de possibilidades ao reconhecer o papel que os computadores, que então davam tímidos passos para serem de acesso democratizado, poderiam vir a desempenhar: “Haveria muitíssimo a lucrar em que o ensino destes assuntos fosse [...] tanto quanto possível laboratorial, isto é, baseado no uso de computadores, existentes nas próprias escolas ou fora destas, em laboratórios de cálculo.”

Paralelamente às iniciativas que favoreciam a via laboratorial no ensino-aprendizagem, mas surgindo mais tarde, também a divulgação da Ciência, e em particular a da Matemática, começou a socorrer-se daquilo que viria a ser designado por hands on (ou «mãos na massa). Tratando-se da Física, cita-se frequentemente o papel pioneiro do «Exploratorium», criado, em São Francisco, na década de 1960, por Frank Oppenheimer. A Matemática poderá ter sido mais lenta a entrar nesta via; foram muito visitadas, em Portugal, no final da década de 1980, as duas exposições «Horizons des Mathematiques», concebidas em La Villette (em Paris). Eis a capa do catálogo de uma delas:

Decidir explorar num Laboratório ou divulgar num Museu podem ser escolhas que se complementam, mas também podem ser prioridades discordantes para diferentes educadores. Foi isso que aconteceu numa Mesa Redonda organizada (em 1990 ou 1991) pela revista «Noesis» na qual participaram Domingos Fernandes, Jaime Carvalho Silva, José Manuel Matos e Leonor Vieira, além de eu próprio, Pedro Esteves. O tema era a Educação Matemática e a dada altura o Jaime chamou a atenção para a falta de “centros de recursos” para apoiar, nas universidades, a formação inicial dos professores. E a isso eu respondi que, além desses centros, que se poderiam localizar nas grandes cidades, as escolas do ensino não superior, como a minha, deveriam “ser elas próprias centros de recursos”, pois se os recursos se destinam a ser “utilizados pelos alunos, aí é que devem estar”; e, acrescentei, também seria importante criar “formas de circulação das «boas ideias»”, quer através de “encontros específicos”, quer através de “revistas que possam chegar um pouco a toda a parte.” O Jaime insistiu que a sua ideia de “centralização relativamente descentralizada” seria uma “maneira mais económica” e também “mais eficaz e mais realista”.
Esta pequena troca de opiniões, apesar de se referir em comum a «centros de recursos», realçou duas possibilidades muito diferentes para desenvolver a Educação Matemática, uma mais centralista (da universidade para os professores e destes para os alunos), a outra mais descentralizada. Mas não se tratava, ainda, nem de «Laboratórios de Matemática» nem da «Divulgação da Matemática».
 
A expressão Laboratório de Matemática sugere duas acções distintas: por ser «Laboratório», a experimentação; e por ser «Matemática», a demonstração. Ao se juntarem, elas sugerem que a Matemática, tanto a que se faz como a que se ensina-e-aprende, precisa dessas duas acções.
Esta expressão não sugere um outro aspecto que só a prática evidencia: a qualquer laboratório está associada uma cultura e, no caso de fazer parte de um sistema educativo, terá de estar aberto a várias culturas.

Os argumentos a favor de a experimentação fazer parte da Matemática-que-se faz-e-que-se-ensina-e-se-aprende nunca esquecem a necessidade da demonstração, como já diversos autores evidenciaram.
Para Ubiratan d`Ambrósio, a Matemática sempre teve um lado experimental. E, para o fundamentar, ele cita Euler: “as propriedades de números que nós conhecemos foram usualmente descobertas por observação e descobertas bem antes de sua validade ter sido confirmada por demonstração [...]. É por observação que progressivamente descobrimos novas propriedades, que nós logo fazemos o máximo possível para provar.”

E para Philip Davis e Reuben Hersh, “Os empiristas sustentavam que todo o conhecimento, exceptuando o conhecimento matemático, é fruto da observação. Não se preocupavam em explicar de onde vem o conhecimento matemático. Uma excepção foi John Stuart Mill [1806-1873]. Mill propôs uma teoria empirista do conhecimento matemático, que afirmava que as matemáticas são uma ciência natural, não diferente das demais.” Depois de Mill, a revolução na filosofia das ciências proposta, em 1934, por Karl Popper (1902-1994) postulou que “as teorias científicas não são inferidas indutivamente a partir de factos; são pelo contrário inventadas com o carácter de hipóteses, especulações e, inclusivé, conjecturas” , sendo, depois, submetidas a “ensaios experimentais mediante os quais os críticos tentam refutá-las.” “Quando uma teoria sobrevive a tais provas pode ser considerada provisoriamente estabelecida; mas nunca demonstrada.” Algumas décadas mais tarde, Imre Lakatos (1922-1974) sustentou que também “as matemáticas informais são uma ciência no sentido de Popper, que se desenvolve através de um processo de crítica e de refinamento sucessivo das teorias e da proposta de teorias novas que competem entre si (e não mediante as deduções das matemáticas formalizadas).”

Esta distinção feita por Lakatos, entre «matemáticas informais» e «matemáticas formalizadas», introduz a necessidade de se considerar as culturas que lhe estão respectivamente associadas: Sendo assim, um Laboratório de Matemática não se pode alhear da interacção cultural que nele inevitavelmente se gera; e se está inserido num sistema educativo que valoriza particularmente a formalização matemática, os desafios colocados pela necessidade da «demonstração» farão parte dessa interacção.
Este face-a-face de diferentes culturas matemáticas nas situações, laboratoriais ou não, em que se aprende e se ensina resulta, claramente, do modo como a Sociologia da Matemática se tem vindo a orientar. Para J. Stiegler e R. Baranes, ela “toma como premissa que os fundamentos da Matemática serão encontrados através da análise das práticas culturais nas quais as actividades matemáticas estão incorporadas [...].” Por isso, “a Matemática não é um domínio universal e formal do conhecimento esperando ser descoberto, mas um conjunto culturalmente construído de representações simbólicas e de procedimentos para manipular essas representações. Este reportório de símbolos e de procedimentos está incorporado em, e é guardado por, diversas instituições e actividades culturais, nas quais se incluem a escola, o trabalho, a televisão, os museus e, aos níveis mais avançados, a comunidade de matemáticos profissionais.”
Este ponto de vista tem fortes implicações educacionais. Segundo Teresinha Nunes, é necessário “reconsiderarmos nossas explicações para o sucesso e o fracasso dos alunos em matemática”, pois os “alunos que parecem incapazes de compreender algo ao resolverem um problema usando um sistema simbólico podem, posteriormente, demonstrarem sua capacidade de raciocínio quando resolvem o mesmo tipo de problema com o apoio de outro sistema simbólico.” “[...] é importante notarmos que frequentemente existem em nossa cultura sistemas de representação distintos para o mesmo fim, como é o caso de sistemas de numeração oral e escrito com suas respectivas práticas aritméticas. Nesse caso, parece importante que estabeleçamos ligações entre os dois sistemas na sala de aula. Se essas conexões não forem estabelecidas, estaremos perdendo a oportunidade de utilizar em sala de aula conhecimentos desenvolvidos fora da escola.” Como consequência, o que se torna importante na «sala de aula» é igualmente importante num Laboratório de Matemática.
Este desafio encontra, no entanto, escolhos nos sistemas educativos. Tal como testemunhou Stieg Mellin-Olsen, ao fazer um balanço pessoal da sua participação na reforma conhecida como da Matemática Moderna, é preferível “tentar construir teorias da educação e da instrução matemática (ou da educação em geral) nas quais a cultura é um conceito básico, do que fazer novas tentativas para neutralizar as influências culturais na aprendizagem [como a Matemática Moderna fizera].” Pelo que, desabafou: “Até que ponto a matemática popular é reconhecida como um conhecimento importante é uma questão política e por conseguinte uma questão sobre o poder.”

Os ambientes laboratoriais que haviam sido experimentados nas décadas de 1940, 1950 e 1960 em Portugal deixaram de estar em voga, talvez devido aos efeitos negativos (que nem todos terão desejado) da Reforma da Matemática Moderna. Mas no início da década de 1990, imediatamente após à Mesa Redonda referida acima, iniciou-se um novo surto de Laboratórios de Matemática, por inciativa de um grupo de professores do ensino básico dos concelhos de Almada e Seixal. Não sei se o Jaime Carvalho e Silva ficou ou não à espera de financiamento para a sua ideia de Centros de Recursos associados a universidades, mas na margem Sul do Tejo os professores não universitários foram buscá-lo e souberam utilizá-los [ver testemunhos «049» e «055» do blogue «Aprendizagens»].
Tomando como ponto de partindo a sua experiência profissional, estes professores consideraram, na versão do projecto através do qual se candidataram a um concurso promovido pelo Instituto de Inovação Educacional, que:
* O «processo de ensino-aprendizagem da Matemática sofre diversos bloqueamentos», atribuíveis, entre outras origens, “ao seu encerramento na escola, à rigidez do espaço-tempo a ele dedicado (a aula), e à dificuldade de aproveitamento das explorações espontâneas realizadas pelos alunos”;
* É possível “criar espaços exteriores às aulas, dentro da Escola, capazes de gerar interesse e iniciativa dos jovens em relação à Matemática”, os quais podem “favorecer o desenvolvimento de capacidades como a cooperação, o sentido de risco, a elaboração de projectos e estratégias e a definição de valores” e contribuir “para o melhoramento da Matemática feita na Escola”. Pelo que se propuseram “Criar e institucionalizar em cada Escola […] um espaço, a ser utilizado livremente pelos alunos, com condições para a realização de actividades e para a exploração de desafios de carácter matemático (em sentido amplo)”, e que permita “a interacção com as actividades curriculares” e “a dinamização e integração de iniciativas a nível das comunidades” em que as suas Escolas se inseriam.

Cerca de dois anos depois, em 1993, com as novas experiências entretanto obtidas, estes professores apresentaram a seguinte definição:
Na medida em que o Laboratório de Matemática também “é um Centro de Recursos”, “tem de possuir informação - com origem no exterior e nas actividades que desenvolve -, instrumentos de trabalho e matéria prima”, e, “como consequência da sua vocação para promover as explorações e as elaborações matemáticas, tem de possuir um Plano de Trabalho, isto é,
- objectivos sistematizados,
- dinâmicas de experimentação / elaboração,
- memória de pesquisas,
- avaliação regular e
- organização a longo prazo”.

Em 1994, a Associação de Professores de Matemática reconheceu a importância da constituição de Laboratórios de Matemática.
E em 1997 o próprio Ministério da Educação, num documento com indicações sobre os novos programas para o ensino da Matemática, a nível do Secundário, afirmou claramente: “Deve tender-se para a constituição nas Escolas Secundárias de Laboratórios de Matemática que integrem [os] recursos [pedagógicos] e outros que se venham a revelar necessários.” Esta tomada de posição, situada no plano das tendências a prazo foi depois reforçada por uma disposição legal conjunta das Direcções-Regionais de Educação, destinada a vigorar em 1997-98: o Projecto de Desdobramento em Turnos das Turmas do Ensino Secundário, estabeleceu para a Matemática o mesmo princípio de gestão que vigorava na utilização de laboratórios por outras disciplinas.

Se institucionalização da ideia de Laboratório de Matemática seria sempre um passo necessário à sua sobrevivência, e ainda mais à sua expansão, este seu início de institucionalização veio provocar o primeiro choque entre a realidade em construção e a riqueza de potencialidades evidenciada ao longo da sua demorada gestação: deveria este espaço ser destinado somente a um nível de ensino, o do Secundário? e deveria ser destinado apenas às actividades lectivas?

Ainda em 1997, a Rita Vieira e eu, dois dos professores que haviam tomado a iniciativa de ressuscitar os Laboratórios de Matemática, escrevemos: sendo evidente a actual aceleração do “movimento de renovação dos espaços de aprendizagem da Matemática”, será nas suas “profundas implicações sobre os currículos e a Escola que é necessário encontrar o desafio com que todos os actores educativos se defrontam. E em particular, no modo de articular, na aprendizagem, a Matemática formalizada, a Matemática produzida na própria Escola e a que é praticada pelas comunidades de onde os alunos provêm.”


Fontes:
Actas «ProfMAT 92»: intervenção de Nunes (1994; pp. 32 e 33)
Actas «PrfMAT 93»: intervenção de Esteves, Nascimento e Vieira (1993; p. 164)
Blogue «Aprendizagens»: testemunhos «049» e «055» (2023 e 2024)
Boletim «APM Informação», nº 21 (1994): artigo da Direcção da APM
Circulares de: Ministério da Educação (1997; p. 10); Direcções-Gerais da Educação (135/97, de 8/7)
Livros de: Ambrósio (1986; p. 105); Davis & Hersh (1989; pp. 240-241, 251-252 e 254); Mellin-Olsen (1987; pp. 11 e 15); Matos (1989; pp. 27, 28, 35, 37 e 84); e Silva (1977; p. 89)
Revista «Educação e Ensino» (1997): artigo de Esteves e Vieira (p. 29)
Revista «Educação e Matemática», nº 33 (1995): artigo da Direcção da APM
Revista «Noesis», nº 21 (1991): Mesa Redonda

Revista «Review of Research in Education», vol. 15: artigo de Stiegler e Baranes (1988; p. 258)

[0365] Um «jogo de reflexão» que é, no fundo, um «quebra-cabeças»: o «Bois e Vacas»

O Bois e Vacas opõe dois jogadores e apenas exige que ambos disponham de papel e de lápis.
A versão numérica deste jogo é a mais simples: cada jogador escreve um número secreto com quatro dígitos diferentes; em cada jogada, os dois jogadores tentam adivinhar o número secreto do seu opositor, recebendo dele a informação sobre em quantos dígitos acertou, ou na posição correcta (os «bois»), ou numa posição errada (as «vacas»). Por exemplo, se o número secreto for 4271 e a tentativa de o adivinhar for 1234, a informação recebida será «1 boi e 2 vacas».
Ganha o jogo quem acertar no número secreto do seu adversário num menor número de tentativas.

Não é obrigatório usar quatro dígitos como número secreto: podem ser três ou mais de quatro.
E também se pode disputar este jogo entre equipas, o que certamente proporcionará bons momentos de reflexão a cada uma delas.
Foram criados muitos programas informáticos para disputar esta versão do «Bois e Vacas», pelo menos desde o de Frank King, em 1968; hoje há telemóveis que dispõem de uma dessas versões.

Exemplo de uma série de tentativas registadas num ecrã de uma destas ferramentas informáticas, incluindo, em baixo, à direita, o tempo necessário até chegar ao número secreto: 

A versão alfabética tanto pode ser jogada por escrito como oralmente, devendo as quatro (ou outro número de) letras corresponder a uma palavra existente na(s) língua(s) que estiver(em) a ser usada(s).

É óbvia a semelhança entre este jogo e o muito conhecido quebra-cabeças Master Mind (que referi na mensagem «0263»), inventado, em 1970, por Mordecai Meirowitz. É portanto bastante plausível que o «Master Mind» se tenha inspirado no «Bois e Vacas», optando pelo uso de pinos coloridos, em vez de «números» ou «palavras», e por pinos brancos e negros, em vez de «bois» e de «vacas».

Penso que o jogo «Bois e Vacas» (em inglês ele é designado por «Bulls and Cows», ou, alternativamente, por «Cows and Bulls» e por «Pigs and Bulls») é, essencialmente, um quebra-cabeças, pois os dois adversários (individuais ou colectivos) resolvem desafios diferentes.
Por outro lado, penso que o «Master Mind» veio favorecer a individualização excessiva deste desafio, que, afinal, pode muito mais interessantemente ser resolvido por equipas!


Fonte e imagem: Wikipédia

[0364] Um exemplo de aprendizagem: o confronto das tentativas individuais com a experiência colectiva

As provas combinadas mais conhecidas no Atletismo são o Heptatlo, para as Mulheres, e o Decatlo, para os Homens.

Tratando-se de uma combinação de provas, e não de uma prova única, o Heptatlo e o Decatlo exigem o recurso a uma tabela que converta em pontos os resultados obtidos em cada uma das provas que os compõem (tempos das corridas e distâncias dos saltos e dos lançamentos). Assim, a competição entre os diferentes atletas é decidida confrontando as respectivas pontuações totais.

No início da década de 1960, a meio da minha adolescência, comecei a interessar-me pelo Pentatlo e pelo Decatlo, pelo que me surgiu a necessidade de dispor de uma tabela, ferramenta que, naqueles anos, apenas era acessível a um muito restrito número de pessoas que, claro, não me incluía.
Decidi então criar uma tabela própria. Depois de pensar durante algum tempo cheguei a uma solução: os desempenhos nos saltos e nos lançamentos seriam pontuados aplicando a «proporcionalidade directa» à sua extensão; e os desempenhos nas corridas seriam pontuadas aplicando a «proporcionalidade inversa» à sua duração.
Seria portanto simples, só sendo necessário fixar a que marcas corresponderiam os 1000 pontos de cada prova (os «1000 pontos», conforme me apercebera pelos jornais, era a pontuação que, mais ou menos, equivalia a um resultado entre o «bom» e o «muito bom» numa prova não combinada, portanto ainda um pouco distante do correspondente máximo mundial).
Já não me recordo das marcas a que decidi atribuir os 1000 pontos, mas vou agora supor que seriam a de 10,4 segundos para a corrida de 100 metros e a de 7,76 metros para o salto em comprimento (estas são as marcas a que as tabelas actualmente adoptadas nas competições internacionais fazem corresponder os 1000 pontos).
Então, os 13 segundos de que eu precisava para terminar a primeira destas provas equivaleriam a (10,4 x 1000) / 13 = 800 pontos.
E os 5,7 metros que saltava no comprimento equivaleriam a (5,7 x 1000) / 7,76 = 734 pontos.

Este meu modo de estabelecer pontuações para as provas individuais tinha várias fraquezas. Uma delas tornou-se-me evidente pelo facto de eu ser melhor no salto em comprimento do que na corrida de 100 metros e, no entanto, obter melhor pontuação nesta segunda prova.
Uma outra tinha a ver com a atribuição de pontos a desempenhos que nunca ocorrem nas competições de atletismo, como os saltos em comprimento excessivamente curtos (por exemplo: meio metro) e as corridas de 100 metros demasiado lentas (por exemplo: 10 minutos); deste modo, a acuidade do meu método era muito enfraquecida.
E a última fraqueza tinha a ver com os valores mais altos da curva de pontos correspondente a cada prova: quanto mais um resultado estivesse próximo de ser «excepcional», mais difícil seria a sua progressão (pois se está no limiar das potencialidades humanas); portanto, nestas circunstâncias, qualquer progresso (por exemplo: meio metro no salto em comprimento; ou meio segundo nos 100 metros) deve ser pontualmente valorizado do que se fosse obtido se o resultado fosse «médio» ou «bom» (aonde as proporcionalidades directa e inversa se aplicam melhor).

Algum tempo depois deste meu esforço foram publicadas as tabelas de Fernando Amado (1899 – 1968) para as provas combinadas do Atletismo, que chegaram a ser adoptadas nalguns países, mas não nas provas internacionais. Comprei um exemplar dessas tabelas, tendo-me então apercebido de elas se baseavam no estudo estatístico dos resultados das várias provas, tendo deste modo em conta os resultados situados nos extremos das curvas de pontuação (o 2º e o 3º pontos fracos do meu método). Era algo que estava para além das ferramentas de que eu dispunha …

Desde as tabelas de Fernando Amado até hoje foram construídas diversas outras tabelas, que têm tido crescentes apoios estatísticos e a colaboração internacional dos respectivos estudiosos. As que actualmente têm a aprovação da IAAF (Federação Internacional das Associações de Atletismo) atribuem 1 ponto a uma corrida de 100 metros que dure 17,83 segundos e a um salto em comprimento de 2,25 metros. E segundo elas os meus 13 segundos na corrida dos 100 metros equivaleriam a 468 pontos e os 5,7 metros no salto em comprimento a 523 pontos.

Por curiosidade, aqui vai a comparação entre as tabelas actualmente em vigor para a IAAF e as que, implicitamente, corresponderiam ao meu método, primeiro para a corrida dos 100 metros, depois para o salto em comprimento (uso valores arredondados):

Não me importou muito ir descobrindo as limitações desta minha tentativa de autonomia como adolescente: se não o tivesse feito não perceberia tão bem o que depois fui descobrindo no trabalho daqueles que tinham muito mais experiência do que eu!


Fontes: PDF do IAAF (2001); Wikipédia (para Fernando Amado)
Gráficos: Pedro Esteves