[0381] Um problema de Matemática de Malba Tahan (I): mas quem é Malba Tahan?!

Enviaram-me há dias um vídeo onde é abordado um dos problemas de Matemática que Malba Tahan divulgou no seu célebre livro O Homem Que Calculava:

Capa da 1ª edição (1938)

O que Malba Tahan nos contou nessa sua obra resume-se em poucas palavras:

 

O narrador da história, Hank Tade-Maiá, ao viajar de Samarra para Bagdade, conheceu Beremiz Samir, um matemático extraordinário, nascido e crescido na Pérsia. E decidiram prosseguir juntos a viagem.
Em Bagdade os dons de Beremiz tornaram-se rapidamente famosos, sendo solicitado por pessoas comuns e por nobres, embora tanto lhes despertasse simpatias como invejas.
Sabendo de tal fama, o Grão-vizir Ibrahim Maluf convidou Beremiz para seu secretário e Tade-Maiá para seu escriba, tendo ambos aquiescido. Coube ainda a Beremiz ensinar Matemática à filha do poeta Iezid, através de quem ele conheceu Telassim.
O califa de Bagdade, ao ouvir falar das proezas de Beremiz, concede-lhe uma audiência, e ficou encantado com a sua argúcia. Para testar definitivamente a sua capacidade, preparou uma segunda audiência durante a qual Beremiz seria interrogado por sete sábios.
Beremiz respondeu brilhantemente às provas a que o submeteram e, como recompensa, pediu em casamento a mão de Telassim, por quem havia se apaixonado.
Belemiz casou-se com Telassim, com quem teve três filhos, convertendo-se mais tarde ao cristianismo e mudando-se, com o seu amigo Tade-Maiá, para Constantinopla, então capital do Império Bizantino.

 

Eis uma história bem ao estilo daquelas que, no Ocidente, se julga serem as histórias que acontecem entre o Próximo e o Médio Oriente: encantadoramente extraordinárias. Tal como as que lemos nas «Mil e Uma Noites».

Foi certamente essa a ideia de Júlio César de Mello e Souza, nascido no Rio de Janeiro, em 6 de Maio de 1895, e falecido no Recife, em 18 de Junho de 1974:

Ele foi professor, pedagogo, conferencista, matemático e escritor, tendo participado na movimento do modernismo brasileiro. E, através dos seus romances destinados ao público mais jovem, foi um dos maiores divulgadores da Matemática no Brasil.
Com alguns dos seus colegas do Colégio Pedro II, como Cecil Thiré, Euclides Roxo e Irene Albuquerque, escreveu livros de Matemática e participou no movimento de modernização do ensino da matemática no Brasil, tendo entre as suas finalidades associar a Matemática à diversão, ao lazer, ao prazer, à criatividade e à alegria. Durante muitos anos, Júlio César foi ainda responsável pela «Revista Al-Karism», destinada a divulgar a Matemática Recreativa.

Sim, já perceberam, Júlio César de Mello e Souza é Malba Tahan, nome pelo qual é, aliás, mais conhecido no Brasil: foi portanto ele que escreveu «O Homem Que Calculava».
Numa entrevista que concedeu a Silveira Peixoto e a Monteiro Lobato, narrou assim o nascimento desta sua segunda identidade:

 

“O caminho, então, seria tratar de escrever com um pseudônimo estrangeiro. Pensei mais sobre o caso. Qual o pseudônimo a adotar?
Deveria ser um que tivesse todo cunho de realidade. Americano? Mas não. Queria um pseudônimo que se conformasse bem com o caráter dos trabalhos que pretendia escrever ... Seria um árabe. - Por quê? - O árabe é homem que faz poesia a propósito de tudo. Suas atitudes sempre são romanescas. Não compreende a vida sem a poesia. Mas o pseudônimo não deveria ser nem masculino e nem feminino. Teria de ser sonoro. Teria de dar a necessária impressão de perfeita autenticidade. Na Escola Normal, havia uma aluna com um sobrenome interessante: «Maria Tahan». Simpatizei-me com esse «Tahan». Perguntei-lhe que queria dizer. «Moleiro» - respondeu-me ela. Fui, dias depois, descobrir num mapa da Arábia, o nome de uma cidade - Malba, aldeia perdida na Arábia Pétrea ... - E nasceu Malba Tahan ... - Que, como vê, pode ser traduzido por «moleiro de Malba». Comecei, então, a estudar a civilização árabe. Li Gustave Le Bon, comprei o Alcorão, numa edição comentada, percorri as obras de Almaçudi. Tomei um professor de árabe: o dr. Jean Achar. Tempos depois, quando já havia me enfronhado nas coisas do Oriente, procurei Irineu Marinho, a esse tempo um dos diretores de A Noite. Apresentei-lhe uns trabalhos de Malba Tahan. Disse-lhe que se tratava de um escritor árabe; acentuei que eu apenas havia traduzido alguns de seus trabalhos.”

 

O problema que consta no vídeo que me enviaram é o seguinte (descrito com sumárias palavras minhas):

 

Um barco que estava em risco de naufrágio foi salvo pelos seus três marinheiros.
O proprietário decidiu recompensá-los oferecendo-lhes uma caixa com moedas de ouro, que o seu tesoureiro dividiria, por igual, entre eles.
Todos foram dormir.
A meio da noite um dos marinheiros acordou, levantou-se, dirigiu-se à caixa e dividiu as moedas em três partes. Como sobrava uma, deitou-a ao mar. Guardou para si um terço das moedas restantes, deixou os dois terços para os outros dois marinheiros e foi-se deitar.
Mais tarde um segundo marinheiro acordou, levantou-se e dirigiu-se à caixa. Dividiu as moedas em três partes e, como sobrava uma, deitou-a ao mar. Guardou para si um terço das moedas restantes, deixou os dois terços para os outros dois marinheiros e foi-se deitar.
Já perto da manhã o terceiro marinheiro também acordou. Levantou-se, dirigiu-se à caixa e dividiu as moedas em três partes. E como sobrava uma, deitou-a ao mar. Guardou para si um terço das moedas restantes, deixou os dois terços para os outros dois marinheiros e foi-se deitar.
Já de manhã, o tesoureiro dirigiu-se à caixa para cumprir as instruções do proprietário: dividiu as moedas em três partes, mas sobrava uma, pelo que decidiu ficar com ela como pagamento pelo seu trabalho. E, por fim, entregou as moedas que sobraram aos três marinheiros.
Quantas moedas estavam na caixa, sabendo (disse-nos Malba Tahan) que seriam entre as 200 e as 300?

 

Vou regressar a este problema nas duas próximas mensagens. Tanto pela Matemática como pela forma como a divulgamos (ou, talvez, pelas preocupações com a Educação que, penso, deve estar subjacente a qualquer acto de divulgação).


Fontes: Wikipédia (texto sobre Júlio Souza / Malba Tahan, mais as imagens associadas); vídeo sobre uma aula de Ledo Vaccaro (acessível em: https://youtu.be/GVKGgnise-g?is=1UC2lKGqxsuw8206)

[0380] Factos e argumentos sobre a Educação (VIII): e se os espaços escolares começassem a funcionar em rede?

Fiz estágio na Escola Poeta António Aleixo, em Portimão. E durante os dois anos que ele durou (1983-85) aluguei o andar superior de uma casa situada na periferia Norte da cidade.
Um dia estava num café próximo, provavelmente preparando aulas, ou anotando as que já tinham acontecido, quando se ouviu o forte som de um vidro a cair e a partir-se no chão: era um copo que estava numa plataforma colocada na parede, um bocado acima das cabeças dos clientes.
No breve debate que esta queda originou, entre o proprietário do café e alguns dos clientes, foram sugeridas várias possibilidades justificativas para a queda espontânea do copo:
* O copo tinha uma batata doce assente na sua boca, em contacto com água, o que lhe desenvolvera raízes e folhas;
* A dupla queda tinha sido ajudada tanto pela base fina do copo como pelo facto de as folhas da batata doce estarem pendentes para fora da plataforma, em vez de parcialmente apoiadas nela;
* Antes da queda, quase toda a água já se tinha evaporado, diminuindo o peso total do copo;
* E o peso da batata doce também diminuíra, pois grande parte das folhas fora por ela alimentada.

No caso que estou a descrever
a base do copo era mais estreita e os longos
ramos com folhas saíam para fora do copo

Até hoje lembrei-me múltiplas vezes deste acontecimento, pensando que ele era um exemplo muito interessante daquilo a que alguns chamam Etnociências: as pessoas comuns observam, colocam questões ao que observaram, tiram conclusões e, com base nelas, desenvolvem teorias sobre o que acontece à sua volta. E como falam uns com os outros sobre isso, vão transformando as suas teorias em algo partilhado.

Se um professor de Física estivesse presente naquele café, preferiria explicar o que se passou com o copo usando ferramentas teóricas como «centro de gravidade», «força» e «momento». Mas, na sua ausência, ninguém precisou desse tipo de conceitos, pois dispunham de outros.

Existindo então «conhecimentos populares», mais ou menos comunitários, paralelos aos conhecimentos da Ciência (e mais antigos do que eles), é bastante aceitável pensar que, numa escola, possam «entrar» situações como a que descrevi, como ponto de partida para o trabalho entre alunos e professores. Para tal, é necessário que o professor esteja aberto a ouvir os alunos; que, consequentemente, estes se convençam de que vale a pena falarem com o seu professor; que passe algum tempo até que os alunos comecem a trazer situações que lhes pareceram intrigantes; que haja algum espaço para se conversar sobre isso com o professor; e que este se prepare para prolongar a curiosidade dos seus alunos com experiências em que uns conhecimentos são confrontados por outros.
Para o professor, uma possível estratégia poderá ser esta:

 

O acontecimento a explicar é descrito pelos alunos que o observaram;
Abre-se algum tempo para que todos sugiram hipóteses explicativas (tal como aconteceu no café);
O professor organiza uma experiências para testar cada uma das hipóteses colocadas pelos alunos;
Os alunos interpretam os resultados desses testes com base nas suas próprias teorias;
O professor propõe ferramentas da Ciência que também interpretam as conclusões dos testes;
Todos confrontam as diferentes interpretações dos testes e procuram uma explicação que articule logicamente os resultados de todo o processo seguido;
Se necessário, fazem-se mais testes, propostos pelos alunos ou pelo professor.

 

Se se pensar no exemplo que dei acima, tratar-se-á, num primeiro momento, de algo a tratar exclusivamente em aulas dedicadas à disciplina da Física. Mas haverá outros exemplos que podem colocar em diálogo os «conhecimentos etnocientíficos» com os «conhecimentos científicos» abrangendo outras disciplinas, como a Biologia e a Matemática, ou simultaneamente a duas ou mais delas, colocando até questões às áreas das Artes e das Humanidades.

Situações como a que descrevi, vindas das «culturas» das «comunidades educativas» em que os alunos estão imersos, ao entrarem na escola tanto questionam a forma unilateral como os conhecimentos académicos estão organizados, como questionam a organização tradicional da escola.
O investigador Rui Canário (1948-2025) já havia chamado a atenção para a ligação entre estes dois questionamentos: para ele, se se pretende «mudar a educação» é indispensável colocar em causa os “invariantes organizacionais da escola”: as turmas, os horários, as disciplinas, etc.. Ora as reformas educativas implementadas nas últimas décadas, afirmando-se sempre contribuir para a «mudança», (quase) nada mudaram na «organização escolar».
Mas está nas mãos das escolas encontrar vias para alterar uma das facetas inabaladas da sua organização, se começar a quebrar o isolamento mútuo em que estão os seus espaços experimentais (laboratórios, oficinas), de comunicação (biblioteca central e bibliotecas das diversas disciplinas; intranet, se houver) e de expressão (ateliês, ginásios, campos de jogos). Fazendo-o com o apoio de grupos de professores e de alunos, a forma de educar começará, certamente, a mudar.


Imagem: solicitei ao Copilot do meu computador uma “Imagem de uma batata doce sobre um copo com água a deixar crescer folhas” e ele encontrou a figura que inseri acima

[0379] Matemática Cultural (III): a matematização da floresta

A silvicultura baseia-se primeiro no conhecimento qualitativo (identificação e propriedades das plantas, relações entre elas e os solos e o clima, etc.) e, complementarmente, recorre a conhecimentos quantitativos (como as dimensões e a distribuição das plantas e a sua produtividade).

O envolvimento da Matemáticos na silvicultura pode começar a ser exemplificado por duas curiosas tradições que proporcionaram aos lenhadores padrões para formar uma pilha de lenha com o volume aproximado de um metro cúbico e para seleccionar um tronco de árvore com esse mesmo volume (designados, na Alemanha, respectivamente, por «Raummeter» e «Festmeter»):

Raummeter

Festmeter

Enquanto no primeiro caso a solução matemática se apoia num cubo com cerca de um metro de lado, no segundo caso a solução não é única, pois é necessário articular o comprimento com a espessura do tronco (fiz as contas para um cilindro com 8 m de comprimento e 0,2 m de raio médio e obtive um volume igual a 1, 0048 m³), o que plausivelmente queria dizer que se tratava de comparar troncos com aproximadamente a mesma idade, ou seja, com a mesma espessura, apenas importando, portanto, o seu comprimento.

O Triângulo do Lenhador (já abordado na mensagem «228») é outro exemplo de como a Matemática se foi envolvendo na silvicultura tradicional.

Num documentário sobre as florestas da Nova Zelândia, vi um exemplo que talvez tenha origem origem mais recente: uma fita que, ao abraçar o perímetro de uma árvore, nos indica o seu diâmetro: a sua graduada deverá estar espaçada de 3,14 centímetros, pois o perímetro de uma circunferência é igual a 3,14 vezes o seu diâmetro!

Se estas técnicas se destina(va)m a ser usadas por quem trabalha(va) na floresta, outros métodos foram desenvolvidos para quem trabalha indirectamente na floresta.

Um deles recorre ao Método de Monte Carlo com a finalidade de obter um valor aproximado da área da projecção horizontal da copa de uma árvore - se esta for a da figura verde à esquerda e se dispusermos sobre ela uma folha transparente com um ponteado distribuído uniformemente, então a razão entre a área da copa e a área do quadrado que a envolve é aproximadamente a mesma que se verifica entre os pontos que se situarem sobre a copa e os que situarem dentro do quadrado:

Bastante mais complexo é o caso do Dendrómetro de Kramer. Trata-se de um pequeno instrumento de metal que foi desenvolvido pelo Institut für Waldinventur und Waldwachstum der Universität Göttingen e a que aí foi dado o nome de «Dedrometer». As duas faces de uma variante simplificada deste instrumento são estas:

Entre as suas aplicações encontram-se:
* Medir aproximadamente a altura de uma árvore;
* Determinar aproximadamente a área basal plantada;
* Estimar por onde cortar uma árvore em quatro partes de massa aproximadamente igual;
* Determinar o volume plantado.
Como a fundamentação matemática deste instrumento merece uma mensagem própria, nada adiantarei agora sobre ela.

Têm sido feitos muitas outras tentativas de modelação matemática da floresta e das suas plantas. Por exemplo, R. F. Burton, ao pretender calcular aproximadamente a massa da maior árvore do mundo, a sequóia gigante (Sequoiadendron giganteun), começou por fazer equivaler o seu tronco principal a um cone. Depois, para concretizar o cálculo, escolheu a altura de 83 metros (por ser a de um exemplar conhecido como «General Sherman», situado numa floresta californiana) e o diâmetro basal de 9 metros (um valor médio). Então, concluiu, o volume do tronco seria dado por 173 x 83 x 3,14 x (9/2)², o que dá 1760 m³ para volume do tronco principal, aproximadamente; pelo que, se a densidade média desta árvore for igual à da água (1000 kg/m³), a sequóia pesará 1,8 x 10⁶ kg. Indo um pouco mais longe, ao querer acrescentar a esta massa a dos ramos, das raízes e das folhas, Burton usou como termo de comparação os pinheiros e os abetos (que fazem parte da família das sequóias), para os quais se estima que essa outra massa esteja entre os 20 e os 30 % da massa seca total; adicionando então o peso correspondente a esta percentagem ao peso do tronco principal, o peso total da sequóia atingirá os 2 x 10⁶ kg (com o resultado reduzido a um algarismo significativo).

Com base neste pequeno número de exemplos, pode afirmar-se que tem convergido na «floresta» uma variedade de contribuições matemáticas, prestadas e utilizadas por actores situados em posições muito distintas em relação a «onde se encontram as plantas». Por isso, designar essa convergência como uma forma de Matemática Cultural significa dizer que existe uma rede de cooperações em torno das ferramentas matemáticas usadas directa e indirectamente na silvicultura, algumas das quais não existiriam se não fossem os desafios específicos que foram colocados às mentes de todos quantos contribuíram para as criar.


Fontes: folheto do MUED (sem data) e livro de Burton, R. F. (2001)
Fotografias: Pedro Esteves, em 2008 (o «Raummeter» e o «Festmeter» nos espaços florestais dos arredores de Frankfurt am Main)
Imagem: desenho de Pedro Esteves usado numa Sessão Prática sobre o tema «Cortiça»

[0378] A distribuição mundial da riqueza, em 2024

O Global Wealth Report 2025, um relatório publicado anualmente na Suíça pela UBS, parece mostrar uma atracção muito especial pelos «milionários», ou seja, por aqueles que possuem uma riqueza superior a um milhão de dólares americanos (a moeda que este banco escolheu como referência neste estudo).

Um dos diagramas que nos é apresentado dá-nos uma ideia do número de adultos que, numa larga amostra de países estava, em 2024, em cada patamar de riqueza, variando desde o mais baixo (inferior a 10 000 dólares) até ao mais alto (superior a 1 milhão de dólares):

A distribuição dos «milionários» é, como seria de esperar, bastante diferente de país para país. O seu número era aproximadamente o seguinte em 25 dos países estudados:

Os Estados Unidos da América, com quase 24 milhões de «milionários», e a China, com mais de 6 milhões estavam no topo desta distribuição, com a França em destaque na Europa e a Brasil na América Latina.

E a densidade com que os «milionários» estão distribuídos em cada país também variava: na Suíça e no Luxemburgo, diz-nos este relatório, mais de um em cada sete adultos é «milionário», seguindo-se, com cerca de um em cada dez adultos, Hong Kong, Austrália, Estados Unidos da América e Holanda.

Não sendo apenas uma curiosidade, este relatório destaca o crescimento, entre os milionários», daqueles que designa por «Everiday Millionaires» (ou «EMILLIs»), cujo número quadriplicou desde 2000. Eles foram definidos por possuírem entre 1 e 5 milhões de activos financeiros e, em finais de 2024, eram cerca de 52 milhões no mundo, tendo um perfil muito diverso e não apresentando padrões de consumo extravagantes.

Por fim, este relatório está consciente das desigualdades que estes padrões de riqueza representam. O coeficiente de Gini de alguns dos países estudados era o seguinte (quanto mais próximo de «1» maior é a desigualdade; quanto mais próximo de «0» menor é a desigualdade):

Destaques negativos para: o Brasil na América do Sul (e no mundo); a Rússia na Ásia; a Suécia,na Europa; a África do Sul em África; e os Estados Unidos da América no norte continental americano.
Importante também: destes 32 países, 14 são europeus …


Fonte e imagens: relatório, acessível em https://www.ubs.com/global/en/wealthmanagement/insights/global-wealth-report.html

[0377] Quais são as principais ideias que atravessam este blogue?

Este é um blogue de um professor e cidadão.

Como professor, não posso separar a Matemática (a principal disciplina que me coube ensinar) da Educação, pois esta constitui a matriz de qualquer processo de ensino-aprendizagem)
Como cidadão, devo prestar toda a atenção às Comunidades em que estou inserido, ou com que estou em contacto, e perspectivá-la de acordo com uma visão do Mundo como um todo.

Tal como qualquer outro professor e cidadão, estabeleço uma relação minimamente fluída entre as minhas «práticas» e as minhas «teorias»: trata-se de uma diferença essencial em relação a quem está subordinado a uma hierarquia.

Na mensagem «0116» (publicada em 11 de Abril de 2018) procurei pela primeira vez fazer uma síntese daquilo a que, na apresentação deste blogue, chamei Currículos Abertos.
Se o «currículo» é a peça central da organização dos processos «formais» de ensino e aprendizagem, ao desejá-lo «aberto» pretendi que ele também integrasse os processos «informais» e os «não formais», favorecendo para isso um outro modo de o definir: não hierárquico e mais interactivo.

Retomo a seguir essa síntese, procedendo-lhe a alterações e a alguns comentários: eles reflectem o que a minha aprendizagem ao longo dos últimos oito anos me sugere que faça.
O que publicar hoje passará a figurar na página «Currículo» deste blogue, até que sinta a necessidade de a voltar a rever.

Os currículos abertos começam a ser estabelecidos fora da escola

A escola ignora o que as crianças já sabem quando nela entram:

Disse João dos Santos (psicólogo educacional; 1913-1987): “o drama é que não há continuidade entre o que se aprende livremente antes de se entrar para a escola e aquilo que se aprende na escola”; antes de se entrar para a escola “aprende-se a viver e a conviver e num plano de relação verbal”, enquanto “o que se ensina na escola, é apenas a linguagem escrita, só tem que ver com a linguagem escrita, que é vista pela escola como se tudo o resto não tivesse importância nenhuma, como se o falar, o dialogar, o brincar não tivesse importância nenhuma”.
“É que o importante na escola, para começar, é que o adulto se aperceba de que a criança já sabe imensas coisas. E a maior parte das vezes a escola e os professores ignoram que a criança já tem um saber, e que é um saber extraordinariamente importante, e partem do princípio de que o que elas sabem não tem nenhum valor, o que é perfeitamente errado e prejudicial.” No fim de contas, a escola pretende que “o que não é mensurável, quer dizer, o que vai até ao infinito, ao céu e às estrelas”, seja reduzido “a uma escala do mensurável”, pelo que “a criança que ainda está numa fase de instabilidade, que anda a percorrer o seu universo e a alargá-lo para o compreender”, vê-se reduzida “às dimensões de uma mesa, de um papel”. É por isso que “todas as dificuldades escolares têm que ver com um estado de tristeza da criança.” [mensagem «0112»]

A conversa de que resultou este excerto aconteceu há décadas: terá a escola entretanto melhorado a sua permeabilidade aos conhecimentos com que as crianças a elas chegam?

As aprendizagens no quotidiano resultam de iniciativas individuais e de grupo:

Um vídeo intitulado «Aprender, Viver e Trabalhar na Península de Setúbal», encomendado pelo Instituto das Comunidades Educativas e concluído em 1997, foi organizado em 4 partes: «Tocar, cantar, conviver, representar»; «Ler, escrever, falar, divulgar»; «Reunir, conservar, instruir, fazer»; e «Herdar, trocar, descobrir». Em cada uma destas partes ilustram-se aprendizagens no quotidiano.
Escreveu Ângela Luzia sobre ele: “Juntam-se diferentes gerações, contextos e interesses, mas procura-se destacar o que é transversal: todos os testemunhos refletem a importância da experiência coletiva, do processo de aprender para fazer, experimentar e criar com outros, ganhar confiança, partilhar saberes, procurar saber mais, alargar e diversificar experiências, do tornarmo-nos diferentes. Já então se reconhece a importância da escola, do que pode ser, mas também as suas limitações.” [testemunho «110» do blogue «Aprendizagens»; e texto de Luzia (2026)]

Em 2015, o Museu Nacional de Arte Antiga, pretendendo divulgar a exposição «Coming Out – e se o museu saísse à rua?», afixou réplicas de trinta e um dos seus quadros na Baixa de Lisboa.

Ao fim de dois meses tinham desaparecido catorze dessas réplicas. Mas quatro, o «Retrato do Conde de Farrobo», o «São Damião», o «Retrato do Senhor de Noirmont» e «Conversação», continuavam acessíveis à contemplação de qualquer um - mas do outro lado do rio, na Outra Banda:

O «Conde de Farrobo», na Outra Banda

Segundo o jornal «Observador», os autores desta mudança foram dois jovens (que não se quiseram identificar), tendo um deles esclarecido: “Não é roubo, é um deslocamento.” Desde o início os dois pretendiam colocar estas réplicas perto das suas casas, num bairro entre o Laranjeiro (Almada) e Miratejo (Seixal): “Gostámos muito da atividade do museu e achámos que devia ser alargado a outros sítios”.

Quem também parece ter gostado foram os moradores do bairro situado junto da Avenida Professor Rui Luís Gomes. “Ninguém tentou levar nem vandalizar, está intacto. Há pessoas que disseram que era o quadro mais bonito que já tinham visto”, conta um dos promotores da mudança. Ali, a pintura “ganha outra magnitude”; e seria bom que estes quatro quadros “levassem gente de fora ao bairro” para os ver, tal como acontece aos quadros que ainda estão no Chiado [mensagem «0087»].

Se se compreende a recusa de fazer equivaler «ensinar» a «transmitir», e se é tentador que a alternatica seja fazer equivaler o «aprender» a «construir», não será também de destacar que essa construção começa com uma «apropriação»?

Na escola, os currículos abertos resultam dos contributos de todos

As perguntas e as respostas de cada um são o contributo decisivo para as suas aprendizagens:

Queixou-se Karl Popper (filósofo da ciência; 1902-1994): “(…) a nossa pedagogia consiste em sobrecarregar as crianças com respostas, sem que elas tenham colocado questões, e às perguntas que fazem não se presta atenção”. “Esta é a pedagogia habitual: respostas sem perguntas e perguntas sem respostas.” [mensagem «0077»]

Penso que esta formulação é insuficiente: não se trata apenas de prestar atenção às «perguntas» que os aprendentes fazem: trata-se também de prestar atenção às suas «respostas». A relação entre quem ensina e quem aprende não será, afinal, um diálogo em que todos colocam questões e arriscam respostas?

Os saberes dos diversos colectivos são os principais apoios para qualquer aprendizagem:

Afirmou Jerome Bruner (psicólogo educacional e pedagogo; 1915-2016): “Há coisas que cada indivíduo sabe (mais do que ele próprio julga); mais ainda conhece o grupo ou é passível de ser descoberto por meio da discussão em grupo; e muito mais ainda se encontra armazenado algures – na «cultura», isto é, nas cabeças das pessoas mais sabedoras, nos directórios, nos livros, nos mapas, e por aí adiante.” [mensagem «0006»]

E dois dos fundadores da Etnomatemática, Ubiratan d`Ambrósio (1932) e Paulus Gerdes (1952-2014), mostraram como a ela é uma das vias para revelar saberes culturais.

O primeiro evidenciou os conflitos existentes entre as aprendizagens realizadas fora e dentro da escola: a “aptidão numérica «erudita» elimina a assim chamada aptidão numérica «espontânea». (...). Há uma crescente perda de utilidade para o modo tradicional de fazer aritmética (...). Uma vez indo à escola, a tendência é perder essas habilidades, e não ser capaz de substituí-las pela forma «erudita».” [mensagem «0101»]

E o segundo definiu assim a Etnomatemática: “é o campo que estuda ideias matemáticas nos seus contextos histórico-culturais”; “Cada povo – cada cultura e sub cultura – desenvolve a sua própria matemática, de certa maneira específica.” [mensagem «0010»]

A formulação de Ubiratan parece-me tímida, pois cabe a cada aprendente o direito a fazer a sua síntese entre a sua experiência e aqilo que a escola e outras instituições lhe proporcionam.

A diversidade dos saberes é favorecida pelos currículos abertos

Os «saberes» são muito mais do que «conhecimento»:

Boaventura de Sousa Santos (sociólogo) lembrou que a riqueza e a complexidade do paradigma da modernidade se tem mostrado “tão susceptível de variações profundas como de desenvolvimentos contraditórios”; e que ela assenta em dois pilares, o da “regulação” (princípios do Estado, do mercado e da comunidade) e o da “emancipação” (racionalidades “estético-expressiva das artes e da literatura”, “cognitivo-instrumental da ciência e da técnica” e “moral-prática da ética e do direito”). “Desde o início que se previra a possibilidade de virem a surgir excessos e défices, mas tanto uns como outros foram concebidos de forma reconstrutiva [... o que …] foi progressivamente confiada à ciência e, de forma subordinada, embora também determinante, ao direito. Promovida pela rápida conversão da ciência em força produtiva, os critérios científicos de eficiência e eficácia logo se tornaram hegemónicos, ao ponto de colonizarem gradualmente os critérios racionais das outras lógicas emancipatórias.” [mensagem «0057»]

A hegemonização do paradigma da modernidade pelas racionalidades «cognitivo-instrumental» tem implicado o empobrecimento do seu pilar «emancipatório». Mas essas dificuldades são agravadas pela tendência para a subordinação destas racionalidades aos princípios regulatórios do «Estado» e do «mercado».
Os «saberes» poderão ser a expressão sincrética das persistentes tentativas de estabelecer um novo equilíbrio entre a «emancipação» e a «regulação».


Nova fonte: PDF de Luzia (2026)

Imagens: capas de livros de João dos Santos e de Ubiratan d`Ambrósio; e fotografia de André Costa (parcialmente reproduzida)

[0376] Laboratórios de Matemática (III): como diversificar a apresentação de uma magia?

Na mensagem «373» apresentei diversos exemplos de temas já abordados neste blogue que podem ser objecto de trabalho num Laboratório de Matemática. Um dos exemplos era o de “Uma soma que «bate certo» … por magia” (mensagem «99»).

Um novo exemplo, relativamente simples, permite-nos começar a formar uma ideia dos desafios que surgem quando se prepara a apresentação de magias baseadas na Matemática. Tomei conhecimento dele através de um artigo de Tiago Hirth, que descrevo a seguir à minha maneira:

* O mágico mostra 2 dados comuns (isto é, com seis faces) ao seu público; solicita que alguém os inspecione (não vá surgir a suspeita de eles terem algo de «errado»); e depois pede que alguém os lance;
* Começa agora o recurso explícito à Matemática, através das seguintes multiplicações solicitadas ao público (que pode ou não usar uma calculadora): as pintas do cimo de um dos dados pelas pintas da parte de baixo do outro; as pintas da parte de baixo do primeiro dado pelas pintas do cimo do segundo dado; as pintas do cimo dos dois dados; as pintas de baixo de ambos os dados;
* E, para concluir o papel atribuído ao público, mais um pouco de Matemática solicitado ao público: adicionar os quatro produtos anteriores.

Cabe agora ao mágico, com maior ou menor aparato, adivinhar o resultado desta soma, que ele dirá ser: «49»!

Este é o primeiro desafio que um grupo de alunos tem de defrontar num «laboratório»: porquê «49»? e será sempre «49»?

Se este grupo não conseguir formular uma boa pista, o professor poderá sugerir:
* Designem por «a» as pintas do topo do primeiro dado e por «b» as pintas da sua base; e designem por «c» e por «d» às correspondentes pintas do segundo dado.
* Procedam às multiplicações referidas usando estas letras (agora trata-se de Álgebra, já não da simples Aritmética solicitada ao público).
* Procurem simplificar a expressão obtida (se for necessária, uma segunda a sugestão: utilizem as propriedades associativa e distributiva).

O segundo desafio é o estudo dos dados comuns, ou a apenas a informação de que existem regras para a sua correcta «construção». Esta é a que nos interessa: as faces opostas devem somar «7», ou seja, as faces «1» e «6» opõem-se, bem como as «2» e «5» e também as «3» e «4».
Donde (espera o professor que os alunos de imediato concluam), a expressão que tinham obtido,

(a + b) (c + d)

será sempre igual a «49», pois tanto a + b = 7 como c + d = 7.

O terceiro desafio é mais aberto do que os anteriores. E parte da seguinte observação: o mágico não pode repetir este truque, pois o público perceberá de imediato que há «qualquer coisa» com o «49».
Não é que a maioria das pessoas que assistem a estas exibições acredite que elas são «magia», só que não consegue encontrar pistas sobre onde está o truque, deixando-se embalar na doçura da ilusão). Por isso, de certa forma, o trabalho do mágico é ir adiando o momento em que alguém percebe o que ele está a fazer, e, para isso, vai tornando as suas exibições mais complexas, obrigando os membros mais irreverentes do seu público a um trabalho cada vez mais intenso.
Não é isso que acontece entre o «ensinar» e o «aprender»?

Então, perguntar-se-á no Laboratório, como pode o mágico complexificar a sua actuação de modo a poder repetir esta magia sem que se compreenda facilmente qual o seu fundamento?

Uma hipótese será recorrer à diversidade de dados: nas mensagens «5», «136» e «320» já foram referidos os sólidos platónicos e a possibilidade de transformar quatro deles em dados que obedecem à característica que interessa ao mágico. Ao Hexaedro (6 faces; soma das faces opostas igual a «7), podem então ser acrescentados o Octaedro (8 faces, soma «9»), o Dodecaedro (12 faces, soma «13») e o Icosaedro (20 faces, soma «21»):

Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro e Isosaedro

Consequentemente, uma proposta para o mágico será:
* Leve oito dados para a sessão, dois de cada um destes tipos;
* Peça ao público para escolher dois desses dados, sejam eles iguais ou diferentes;
* E prepare-se para «adivinhar magicamente» os resultados das diferentes combinações que lhe podem surgir!

Quem está a ler estas linhas pode agora fazer as suas contas …


Fonte: artigo de Hirth em revista (2021)
Imagem: recorte da imagem usada na mensagem «5»

[0375] Factos e argumentos sobre a Educação (VII): para que serve o «Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória»?

Este «perfil», após ter sido homologado, em 2017, foi assim apresentado pelo Ministério da Educação:

“O Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória (PA) concretiza uma medida de política educativa que visa a promoção da melhoria da qualidade da aprendizagem e o sucesso de todos os alunos no final dos 12 anos de escolaridade obrigatória, constituindo o enquadramento para a construção de um currículo para o século XXI.
O PA foi submetido a debate e a discussão pública e está associado a várias iniciativas, das quais se salienta a participação no projeto Future of Education 2030, da Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Económico (OCDE), bem como a iniciativa “A Voz dos Alunos”, entre outras.
Homologado pelo Despacho n.º 6478/2017, 26 de julho, o PA constitui-se como um documento de referência para a organização de todo o sistema educativo, contribuindo para a convergência e a articulação das decisões inerentes às várias dimensões do desenvolvimento curricular, por parte dos gestores e atores educativos ao nível dos organismos responsáveis pelas políticas educativas e dos estabelecimentos de ensino. Tem como finalidade contribuir para a organização e gestão curriculares e, ainda, para a definição de estratégias, metodologias e procedimentos pedagógico-didáticos a utilizar na prática letiva.
O PA pretende assegurar a qualidade da educação inclusiva possibilitadora da aprendizagem ao longo da vida, envolvendo currículo e educação para a cidadania, de uma forma intencionalmente integrada. Este documento orientador visa assegurar que, independentemente das trajetórias escolares, todas as aprendizagens sejam norteadas por Princípios, Visão, Valores e Áreas de Competências comuns. Neste sentido, o PA estabelece «uma visão de escola, constituindo-se para a sociedade em geral como um referencial que enuncia os princípios fundamentais em que assenta numa educação de qualidade».
Com o Despacho n.º 6605-A/2021, de 6 de julho, o Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória é definido como um dos referenciais curriculares das várias dimensões do desenvolvimento curricular, incluindo a avaliação externa.”

Os Princípios, Valores e Áreas de Competências aqui referidos foram agregados deste modo:

Para uma leitura completa deste documento, clicar em:

 

Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória (PA)

 

Comentário:

Não tenho experiência da vigência deste documento, mas tenho-a em relação às versões mais simples que o antecederam, sobretudo da versão que, no início deste século, foi associada à reorganização curricular do Ensino Básico. Talvez possa sintetizar a evolução deste tipo de documentos através do seguinte:
* Antes de 1974 os resultados da educação escolar eram avaliados em duas áreas, a dos Conhecimentos e a dos Comportamentos; muitas décadas depois de 1974 ainda era a estas duas focagens que alguns professores, e muitos encarregados de educação, recorriam quando se encontravam em momentos de aperto conceptual, nomeadamente nas reuniões dos Conselhos de Turma;
* Depois de 1974 ensaiou-se um outro sistema para avaliar os jovens inseridos na educação escolar, o das Atitudes, Capacidades e Conhecimentos; a principal novidade estaria nas «capacidades» mas, na prática (isto é, nas decisões sobre o futuro imediato de cada aluno, sobretudo quanto a transitar ou não transitar de ano), os professores continuaram a dar importância especial aos «conhecimentos» (os «comportamentos» só interessavam para as situações de indisciplina na turma e na escola);
* No início deste século deu-se o grande salto conceptual, com a introdução do sistema baseado em Competências, sendo cada uma destas uma combinação de «conhecimentos», «capacidades» e «atitudes»; o problema fundamental que surgiu resultou do seu conflito com os «programas» das diversas disciplinas, que estão organizados como «conhecimentos»; para o tentar resolver, as «competências» foram desdobradas em «gerais», «específicas» e «transversais», ou seja, geraram uma nuvem de conceitos paralelos aos dos «conhecimentos», e estes ganharam, pois a sua avaliação (sobretudo através dos exames) já há muito se sabia muito bem fazer;
* Actualmenre, o sistema baseado em Princípios, Valores e Competências, cimentado por uma Visão, parece ser uma evolução «barroca» do anterior, não resolvendo o seu problema fundamental e recorrendo a mais uma nuvem de conceitos, de operacionalização e de avaliação impraticáveis; se é assim, então para que serve?

Pressupondo que a educação não deve ficar reduzida aos «conhecimentos, parece-me argumentável que se insista na direcção aberta pelos dois últimos sistemas (os que têm estado em vigor este século) desde que:
* Não se leve muito a sério a lista de «princípios», de «valores» e de «competências» incluída neste último; se em muitos casos o que nela está escrito poderá ser consensual, noutros casos não o é;
* Se considere que esta lista é apenas uma proposta, que pode ser parcialmente ou totalmente substituída por outras propostas (sobretudo as feitas por quem está no «terreno»);
* Se considere que teremos entrado num período de transformação do sistema educativo, menos baseado nos «conhecimentos», servindo esta lista, ou quaisquer outras, para estimular a imaginação dos que estão a experimentar direcções para essa mudança;
* Se leve a sério a ideia, explícita na apresentação deste «perfil», de que essa transformação é global, ou seja, abrange jovens e adultos, e portanto as aprendizagens formais, não formais e informais;
* E, para que assim seja, todos os actores terão de estar em contacto com todos os actores, com o mínimo de hierarquia possível; ao Estado cabe o papel da criação de condições para que isso seja possível.


Fontes: Ministério da Educação (sítio referido acima)

Testemunhos meus que são consultáveis; Esteves (artigo, 2003; livro, 2023)

[0374] Maio, as flores da Escalónia e da Papoila-dormideira e os frutos da Olaia são alguns dos sinais da intensa vida das plantas

Registo a seguir imagens e comentários sobre três espécies fotografadas nos últimos dias, procurando desse modo chamar a atenção para o que habitualmente vemos como «paisagem vegetal», sem que identifiquemos a particularidade dos contributos de cada planta.

A Escalónia é um arbusto originário das Américas e pertencente à família das Escaloneáceas:

Surge nos ambientes urbanos como sebe ou vedação de quintais.
O seu nome científico: Escallonia rubra.


A Papoila-dormideira é uma prima da Papoila comum, menos vistosa, muito menos frequente. Foi surpreendente encontrar uma, sendo necessário identificá-la, pois tanto parecia uma Papoila, pela forma, como uma Esteva, pelas pintas:

Trata-se de uma planta nativa do Mediterrâneo, pertence à família das Papaveráceas. Sendo o seu nome científico Papaver somniferum, partilha o género Papaver com a Papoila mais comum.


A Olaia, muito plantada em jardins e arruamentos, é bem conhecida pelas suas flores garridas, que surgem bem cedo e que rapidamente se transformam em frutos com a forma de «feijões». Este ano, à semelhança de muitas outras plantas, estas pequenas árvores parecem ter apreciado bastante a abundância de chuva que tiveram no Inverno, e o resultado foram as inúmeras flores que começaram a exibir em Março e que, agora, em Maio, já se transformaram em frutos:

A forma dos frutos da Olaia é a primeira pista para identificar a família a que pertence: trata-se de uma Fabácea (nome científico: Cercis siliquastrum), tal como as acácias, as albízias, a alfarrobeira, a ervilheira, a faveira, os feijões, as giestas, os piornos, a robínia, as tipuanas e os tojos.

Os botões florais das Olaias podem ser consumidos nas saladas.


Identificador (para os casos em dúvida): Plant Net (https://identify.plantnet.org/pt )

Fonte: livro de Bingre & outros (2007; pp. 178-227, para as Fabáceas); Wikipédia (para a Escalónia e a Papoila-dormideira)
Fotografias (todas em Miratejo, Corroios): Eva Maria Blum

[0373] Laboratórios de Matemática (II): alguns exemplos práticos do que neles pode ser experimentado e uma justificação para isso

Muitas das mensagens deste blogue reflectem a curiosidade com que ainda observo e estudo o modo como a Matemática vai procurando compreender os problemas que surgem à nossa volta e contribuir para a sua resolução.
Se esta é a faceta prática da Matemática, há uma sua outra faceta, a teórica, que imagina modelos e os organiza com consistência lógica.

A fase inicial do trabalho associado a qualquer destas facetas tem um carácter experimental, nela se fazendo a triagem entre conjecturas que se revelam erradas e conjecturas que valem a pena continuarem a ser exploradas.
Se este experimentalismo for organizado (com recursos diversos e registos das tentativas já feitas), o ambiente de trabalho é o de um Laboratório de Matemática.

Consultando a página «Matemática» deste blogue (para tal, é preciso clicar no respectivo ícone, como mostro abaixo), escolhi alguns exemplos de mensagens que abordam temas susceptíveis de um tratamento «laboratorial».

Organizando por blocos esses temas, eis os exemplos escolhidos:

* Compreender documentos da História da Matemática (como é o caso do Papiro de Rhind, na mensagem «46», e da Etnomatemática, na mensagem «101»);
* Utilizar ferramentas matemáticas para estudar práticas culturais com que todos contactamos, como a Azulejaria («11»), o Desporto («68»), a Cerâmica («75»), os Jogos («79»), as Magias («99»), a Agricultura («228») e a Cozinha («355»);
* Compreender os fundamentos matemáticos de instrumentos que utilizamos socialmente, como os Relógios de Sol («170»), os Calendários («198»), os Faróis («200»), os Códigos de Barras («310») e o Método de Hondt («356»), ou que as diversas Ciências usam, como são os casos da Arqueologia («190»), da Geografia («224») e da Cristalografia («245»);
* Criar modelos que proporcionem uma noção intuitiva de fenómenos estudados em disciplinas como a Estatística (o Tabuleiro de Galton, em «272»), a Geologia, a Biologia e a História (as escalas reduzidas, em «255»);
* Compreender e/ou usar ferramentas matemáticas para efectuar medições, como o Gnómon («229»), o Báculo de Jacob («236»), o Quadrante («237») e o nosso próprio corpo («350»).

Há quase trinta anos, quando me candidatei a equiparado a bolseiro para o ano lectivo de 1997-98, apresentei no projecto a que me propuz quatro argumentos a favor dos Laboratórios de Matemática, com base na experiência histórica, na perspectiva cultural, no que se estava a fazer e nos resultados que daí poderiam ser obtidos para a educação.
O primeiro e o terceiro argumentos evocavam factos.

O argumento «cultural» lembrava as tendências recentes, por um lado da Etnomatemática e da Sociologia da Matemática e, por outro, da investigação em Educação Matemática, todas elas defendendo, nas respectivas esferas de influência, a importância de ter em conta as culturas externas, quer à Matemática, quer ao Sistema Educativo.
E o último argumento defendia a perspectiva laboratorial como via para o desenvolvimento curricular, para o desenvolvimento organizacional das escolas e para os desenvolvimentos profissional e pessoal dos professores.


Apesar de o caminho que as escolas foram induzidas a percorrer nestas três últimas décadas se ter afastado do que procurei fazer neste projecto, continuo, hoje, a pensar o mesmo sobre a aprendizagem e o ensino da Matemática: esta deve ser vista como parte integrante das diversas culturas, pois cada uma a adoptou e a tem expressado a seu modo; e partilha com todas elas um dos seus traços fundamentais, o da exploração inicial, a que se segue a organização lógica dos resultados. Mas até esta organização, baseada na demonstração, começa por ser experimental …


Fonte: página «Matemática» deste blogue
Imagems: cabeçalho deste blogue

[0372] Energia!

Qualquer processo que tenha decorrido ou venha a decorrer no Cosmos pode ser descrito, em termos da Física fundamental, como uma sequência de conversões de energia.

Restringindo-nos ao nosso planeta, assim se poderiam descrever os monótonos processos que decorreram durante os primeiros milhões de anos de vida da Terra: erupções vulcânicas, terramotos, tempestades atmosféricas.

Há cerca de 3,5 mil milhões de anos os primeiros seres vivos recorriam à energia da radiação infravermelha e não produziam oxigénio.
Só centenas de milhões de anos depois as cianobactérias começaram a usar a energia solar visível para converter CO₂ e água em compostos orgânicos e oxigénio.

Cerca de 600 milhões de anos antes da actualidade surgiram animais marinhos móveis, compostos por células diferenciadas, cujo metabolismo precisa do oxigénio. Seguiu-se-lhes uma sucessão de novas plantas e de novos animais que gradualmente se foram expandindo por todo o planeta.

Só há algumas centenas de milhares de anos um pequeno grupo de animais, pertencentes ao género Homo, começou a usar energia externa ao seu corpo, ao dominarem o fogo, com a qual cozinham e obtém conforto e segurança.

Há cerca de dez mil anos, alguns dos descendentes desse grupo começaram a cultivar plantas, convertendo através delas, para seu benefício, uma pequena parte da energia solar. E pouco depois estes cultivadores também se iniciaram a domesticar animais, usando não apenas a sua carne como também a sua energia. E há cinco mil anos eles iniciaram-se a usar velas, há dois mil anos a usar noras e há mil anos a usar moinhos de vento, três exemplos de fontes inanimadas de energia.

Há 400 anos, este inicialmente pequeno grupo do género Homo começou a substituir a energia calorífica que lhe era proporcionada pela combustão da madeira pela combustão do carvão (que armazenara a energia produzida pela fotossíntese umas dezenas de milhões de anos antes).
Duzentos anos depois, cerca de 98 % do calor e da luz produzidos por esta espécie de bípedes provinha destes combustíveis vegetais, enquanto mais de 90 % da energia mecânica necessária para a agricultura, a construção e a produção fabril passava pelos músculos humanos e animais. Actualmente, cada um dos descendentes deste espécie do género Homo tem ao seu dispor, em média, quase 700 vezes mais energia útil do que os seus longínquos antepassados!

Em 1964, ano em que o petróleo ultrapassou o carvão como o mais importante combustível fóssil, o astrónomo russo Nicolai Kardashev propôs que as civilizações existentes no Universo fossem classificadas com base no seu consumo de energia. Para ele, uma civilização do Tipo I utiliza toda a energia da luz da Estrela que ilumina o seu planeta. Uma civilização do Tipo II utiliza toda a energia solar produzida pelo seu sol. E uma civilização do Tipo III utiliza toda a energia de uma galáxia.

O físico Michio Kaku fez os seguintes cálculos (ver mensagem nº 0244):
* Tendo em conta a quantidade de luz da nossa Estrela que ilumina um metro quadrado e multiplicando-a pela área terrestre que é iluminada pelo Sol, conclui-se que uma civilização do Tipo I na Terra utilizará 7 x 10¹⁷ watts, mil vezes mais do que actualmente os descendentes do género Homo utilizam; somos então uma civilização do Tipo 0,7.
* Extrapolando para toda a energia do Sol, uma civilização do Tipo II utilizará 4 x 10²⁶ watts.
* E conhecendo aproximadamente o número de estrelas da Via Láctea, uma civilização do Tipo III utilizará 4 x 10³⁷ watts.
* Se o nosso consumo de energia crescer entre 2 e 3 % por ano, precisaremos de 1 a 2 séculos para sermos uma civilização do Tipo I e uns milhares de anos para sermos uma civilização do Tipo II; mais difícil é o cálculo seguinte, devido ao problema constituído pelas viagens interestelares, mas há estimativas que apontam para precisarmos de pelo menos 100 mil anos, no máximo 1 milhão de anos, para sermos uma civilização do Tipo III.

Cálculos estes que pressupõem algumas importantes simplificações no futuro dos actuais descendentes do género Homo como, por exemplo, a sua sobrevivência a drásticas mudanças climáticas e a uma série de guerras idiotas e intermináveis.

E no entanto, apesar das múltiplas formas sob que a energia se pode manifestar (gravitacional, cinética, térmica, elástica, eléctrica, química, radiante, nuclear, de massa) ninguém sabe o que ela é. Eis como o físico norte-americano Richard Feynman (1918-88) o reconheceu:
“É importante que se perceba que, na física actual, não temos conhecimento do que é a energia. Não temos uma imagem de que a energia nos chegue em pequenos grânulos de uma quantidade definida. Não é assim. Não obstante, existem fórmulas que nos permitem calcular uma quantidade numérica, e quando somamos tudo, temos [...] sempre o mesmo número. Trata-se de uma coisa abstracta, já que isso não nos diz os mecanismos, nem as razões das várias fórmulas.”


Fontes: livros de Kaku (2018; pp. 322; 332-333) e de Smil (2022; capítulo 1)
Imagem: pixabay.com

[0371] A deusa Tara, do Sri Lanka

No inicio da décima primeira parte do livro «Uma história do mundo em 100 objetos», Neil MacGregor refere-se assim ao período que decorreu entre 700 e 900 depois de Cristo: enquanto na Europa se atravessavam “tempos caóticos”, noutras partes do mundo as “civilizações tang, chinesa, do império islâmico e do império Maia, na Mesoamérica, estavam no seu auge.”

Dos cinco objectos do British Museum que MacGregor seleccionou para ilustrar o esplendor palaciano deste período, eu escolhi uma representação de Tara do Sri Lanka, que, para os devotos budistas, representava o “espírito da compaixão generosa”. Trata-se de uma estátua de bronze maciço, fundida como uma única peça, e depois dourada. O seu rosto é semelhante aos do Sul da Ásia e tem cerca de 3 / 4 da altura de uma pessoa adulta:

Diferentemente do actual modo de ver ocidental, esta deusa combinava, sem qualquer problema, o seu papel de protetora espiritual com a sua imagem de sensualidade. “Tara não existia para ser adorada, mas para ser o foco de meditação das qualidades que encarna: a compaixão e o poder para salvar.”

O Sri Lanka, que está separado da Índia por cerca de 40 quilómetros de mar, era, no final do Iº milénio depois de Cristo, um centro do comércio marítimo no Oceano Índico, exportando, nomeadamente, rubis e granadas.

Tara, que, inicialmente, era a deusa-mãe hindu, foi mais tarde adoptada pelo budismo. Este, tendo nascido no Norte da Índia, onde Buda ensinou por volta de 500 a. C., foi-se transformando num “sistema filosófico e espiritual destinado a libertar a alma individual da ilusão e do sofrimento deste mundo”, e o Sri Lanka estava-lhe exposto, quando esta estátua foi produzida, há mais de mil anos.

Tendo sido produzida para uma corte de idioma cingalês, influenciada estilisticamente pelo mundo tâmil e pelo das cortes hindus do Sul da Índia, esta estátua, era, usando uma linguagem moderna, uma “imagem inclusiva”, apesar de, na altura, como ainda hoje, as influências sociais e culturais que lhe deram origem no Sri Lanka tanto cooperarem como, noutros momentos, guerrearem.

Do diálogo entre budismo e hinduismo surgiram muitas outras manifestações ainda hoje visíveis em estátuas e edifícios do Sudeste asiático. E a elas se podem juntar os milhões de pessoas que, especialmente no Nepal e no Tibete, continuam actualmente a invocar o auxílio da deusa Tara.

As anteriores mensagens baseadas em Uma História do Mundo em 100 Objetos foram a «0036», a «0042», a «0045», a «0046», a «0048», a «0049», a «0052», a «0098», a «0246». e «0285»

Fonte: livro de McGregor (pp. 336-341)
Fotografia: Wikipédia

[0370] Mais um Jogo de Reflexão: o «Abalone»

Este jogo foi criado por Michel Lalet e Laurent Levi em 1987 e comercializado a partir de 1990.

Trata-se de um jogo para dois jogadores.
O seu tabuleiro é hexagonal e dispõe de 61 casas onde, inicialmente, estão colocadas 14 peças negras e 14 peças brancas ocupando dois dos seus lados opostos, como se mostra nesta figura:

O jogador que tem as peças negras joga em primeiro lugar, sendo as suas jogadas alternadas entre os dois jogadores.

Como as casas são pequenos buracos feitos no tabuleiro e as peças são berlindes, cada peça pode deslizar suavemente do buraco onde se encontra para um dos 6 buracos que lhe são adjacentes, se este estiver vazio. Este é o modo de jogar um só peça.
Há ainda três modos de deslocar 2 ou 3 peças de uma só vez.

a) Deslocando duas ou três peças lateralmente:

b) Deslocando duas ou três peças em fila:

c) Deslocando duas ou três peças em fila empurrando, simultaneamente, um menor número de peças da outra cor que lhes estejam encostadas na mesma fila (duas peças apenas podem empurrar uma peça; três podem empurrar duas ou uma)

Caso a peça mais afastada que vai ser empurrada estiver na borda do tabuleiro, ao sê-lo vai sair do tabuleiro.
O jogo é ganho pelo primeiro jogador que empurrar 6 peças adversárias para fora do tabuleiro.
Trata-se, portanto, de um jogo que não admite empates.


A experiência dos que jogam regularmente ao Abalone mostra que alguns jogadores têm tendência para o fazer defensivamente, podendo prolongar indefinidamente um jogo. Dois ex-alunos meus, que se defrontavam regularmente na Ludoteca da nossa escola, inventaram uma posição das peças a que chamaram «Rosa», com a ideia de poder ter uma prolongada atitude defensiva. Eis como eles procuravam colocar as peças:

Para dificultar este tipo de situações em campeonatos, nalguns países adoptaram-se posições de partida diferentes, de que as seguintes são dois exemplos:

Havendo 14 berlindes de uma terceira cor, é possível jogar a uma variante do Abalone destinada a três jogadores, sendo então escolhidos para a posição inicial das peças três lados não adjacentes do tabuleiro.


É possível jogar Abalone on-line em https://www.playabalone.com/pt/.


As regras deste jogo já se encontram na Drop Box que está acessível a partir da página «Documentos» deste blogue, clicando aí em Jogos de Reflexão.


Texto e imagens: informações de exemplar comercializado deste jogo; e Wikipédia («Abalone»)