[0387] Laboratórios de Matemática (IV): os problemas sobre calendários

Coleccionar problemas sobre um tema; explorar alguns deles com os alunos; registar o essencial das descobertas feitas; voltar, com outros alunos, à exploração desses problemas; e enriquecer com novos problemas esse tema– eis um exemplo do que pode ser num Laboratório de Matemática. E, para aqueles que só pensam em trabalhar em «sala de aula», uma parte deste trabalho pode ser, independentemente, aí feito!

Um tema bastante motivante para estes problemas é o dos Calendários: todos sentimos que as nossas vidas são ritmadas pelas regras estabelecidas para os anos, os meses e as semanas; e muitos de nós já se aperceberam de situações em que esses ritmos produzem padrões inesperados. Essas situações são uma das origens destes problemas!

Um problema simples ajuda a compreender a «interacção entre o ano e o mês»:
Que condições são necessárias para que um mês tenha cinco Domingos?

Tal como nos problemas seguintes, o professor conversa inicialmente com o grupo de alunos que o vai abordar (grupo que pode ser uma turma): que dúvidas são manifestadas, que pistas são sugeridas?
É provável que a conversa se encaminhe para o número de semanas que cabe num mês (os alunos já sabem que há 4 semanas num mês, quase sempre adicionadas por um extra de um a três dias, e também sabem que na grande maioria dos casos haverá semanas cortadas, uma no início e outra no fim do mês (com 3 semanas inteiras pelo meio).
É este o momento para perguntar de quanto em quanto tempo não haverá o referido extra de dias, para além das 4 semanas (isto para lembrar os anos bissextos).
Se os alunos não tiverem já começado a colocar questões, é a partir de agora que têm de o começar a fazer. E, também, a ensaiar e provar respostas: por exemplo, que haverá sempre pelo menos 4 Domingos num mês; e que, para haver um 5º Domingo, é necessário que ele se situe num dos tais dias extras (não importa se colocados no início ou no fim do mês).
Ou seja: qualquer mês (excepto os meses de Fevereiro dos anos bissextos) tem o número de dias suficiente para possuir 5 Domingos (condição necessária); mas, para tal, ainda precisa de um Domingo bem colocado (condição suficiente).

Outro problema, agora para ajudar a compreender a «interacção entre o ano e a semana»:
Em que dia da semana calha o meu aniversário?

É quase certo que a experiência pessoal da grande maioria dos alunos já lhes tenha ensinado que festejar este ano o aniversário a uma 4ª feira implica festejá-lo para o ano numa 5ª feira. Mas recordar-se-ão todos eles da influência que o ano bissexto tem nisso? E quanto à subtileza de essa influência se manifestar de forma diferente conforme o aniversário ocorrer antes ou depois do dia 28 de Fevereiro do ano bissexto?
Sobretudo, quantos terão compreendido a razão pela qual se este ano é à 4ª, então para o ano é à 5ª? Ao compreendê-lo, compreenderão também porquê um ano tem 52 semanas … (mais um dia, se não for bissexto).

Um problema que mistura a «estrutura dos meses» com a «interacção entre o ano e a semana»:
Quando teremos um «fim-de-semana alargado» com 4 dias?

Em Portugal, o dia 10 de Junho é feriado nacional; e, para os lisboetas, o dia 13 de Junho é feriado municipal, por se tratar do Dia de Santo António, o primeiro dia dos Santos Populares. Quando é que o dia 10 de Junho calha a uma 6ª feira, de modo que os lisboetas possam ter um fim-de-semana de 4 dias?
Para nos situarmos, convém também perguntar se ocorrerá uma situação destas em todos os concelhos do país, ou, pelo menos, perguntar aos alunos da escola em que esta questão seja levantada o que se passa no seu concelho!
Vejamos então o caso de Lisboa (caso haja motivação dos alunos para o saber). Começando em 2022 (o último ano que foi solução deste problema), os alunos podem construir um tabela que lhes permite marcar, ano a ano, os dias da semana em que o 10 de Junho calha (o que se clarificou no problema anterior ajuda a perceber como isso se faz):

Trata-se de um método experimental, mas isso não deve ser uma preocupação num Laboratório de Matemática, pois todos os matemáticos fazem experiências quando ainda não sabem resolver um problema!
Observando a tabela, os alunos poderão notar que há um padrão que dura 28 anos! E alguns talvez concluam que a média com que este feriado calha à 6ª feira é, em cada período de 28 anos (e portanto para qualquer número inteiro destes períodos), exactamente igual a 1/7 do total de anos passados!
Será finalmente interessante perceber que os 28 anos anos que dura este período resulta do produto de 4 (os anos que separam dois anos bissextos) por 7 (os dias da semana)!

Agora um problema sobre a «interacção entre dia da semana e uma sucessão indefinida de anos»:
Quando é que o meu aniversário calha no mesmo dia da semana em que nasci?

A origem deste problema está num amigo meu, o Jorge Conceição, que num dos seus aniversários se apercebeu de que podia haver um padrão na resposta (e ele encontrou-o).

Há quatro situações mais frequentes, conforme haja um 29 de Fevereiro no mesmo ano em que alguém comemorou o seu 1º aniversário, ou antes dele, ou entre o 1º e o 2º aniversário, ou entre o 2º e o 3º, ou entre o 3º e o 4º.
Supondo que o nascimento ocorreu no dia da semana «1» (o qual pode corresponder a qualquer dia real, desde 2ª feira a Domingo), os sucessivos dias de aniversário, para estes quatro casos, são:

A cada um dos quatro casos corresponde um ciclo (a ler, em cada coluna, como anos acumulados entre duas casas amarelas consecutivas, incluindo a casa amarela de chegada):
* 1º ciclo: 5 + 6 + 11 + 6 = 28;
* 2º ciclo: 11 + 6 + 5 + 6 = 28;
* 3º ciclo: 6 + 5 + 6 = + 11 = ) 28;
* 4º ciclo: 6 + 11 + 6  + 5 = 28.

Todos estes ciclos acabam por pertencer, em momentos diferentes, ao um mesmo ciclo:

É possível que um aluno ou uma aluna mais arguto perceba que, perto da transição entre séculos, conforme se verá no próximo problema, surjam casos em que é necessário esperar mais anos pelo próximo 29 de Fevereiro.
Também é diferente o caso em que alguém nasce num dia 29 de Fevereiro, mas esse é um caso que se pode resolver precisamente através do problema que se segue ...

Decidi chamar a este «O Problema de Bill Ramsey»:
Quando é que um acontecimento que se repete todas as semanas, sempre no mesmo dia da semana, e que, tendo ocorrido num determinado ano a 29 de Fevereiro, volta a ocorrer noutro 29 de Fevereiro?

Bill Ramsey, um músico de jazz, foi um dos americanos que foi fazer serviço militar na Alemanha após o final da IIª Guerra Mundial. Acabou por ficar na Alemanha, onde a dada altura animou na rádio um programa de jazz, transmitido aos fins de tarde das sextas-feiras na HR3 de Frankfurt am Main. No dia 29 de Fevereiro de 2008, a abrir ou a fechar o programa, ele comentou que poucas vezes teria a oportunidade de o seu programa se realizar no último dia de Fevereiro de um ano bissexto ... E assim, para mim, nasceu este problema!

Tal como o anterior, este não é um problema para ser resolvido na « sala de aula». E também não o será qualquer aluno que, interessando-se por ele, o consiga resolver. Talvez alguns dos alunos do Ensino Secundário decidam enfrentá-lo; e certamente um professor os deve apoiar – pode durar as horas vagas de alguns uns dias, ou até de alguns meses, mas, no fim, a resolução até poderá dar origem a uma pequena «memória», assinada por quem a conseguiu, a divulgar, por exemplo, num jornal de escola ou, porque não, numa revista de alunos de várias escolas, sobre «o que se faz nas suas escolas».

Comparado com o problema anterior, surge aqui um padrão muito mais largo, dado haver fins de século em que, sendo esse ano múltiplo de quatro, não é considerado ano bissexto. Esses fins de século ocorrem de 4 em 4 séculos, tendo o último sido em 1700. Então o último período de quatro séculos em que é possível estudar este fenómeno é 1600-2000.
Dado 1 de Janeiro de 1600 ter sido um Sábado e este ano ter sido bissexto, a repetição da ocorrência do 1 de Janeiro a um Sábado segue o 1º ciclo do problema anterior, + 5 + 6 + 11 + 6, de 1600 até 1627:
* Os anos 1600, 1605, 1611 e 1622 foram iniciados ao Sábado;
* Houve um ano bissexto iniciado em cada um dos dias da semana: 1600 ao Sábado, 1604 à 5ª feira, 1608 à 3ª feira, 1612 ao Domingo, 1616 à 6ª feira, 1620 à 4ª feira e 1624 à 2ª feira;
* E houve 3 anos não bissextos iniciados em cada um dos dias da semana: de 1601 a 1603, 2ª, 3ª e 4ª feiras; 1605 a 1607, Sábado, Domingo e 2ª feira; 1609 a 1611, 5ª e 6ª feiras e Sábado; 1613 a 1615, 3ª, 4ª e 5ª feiras; 1617 a 1619, Domingo e 2ª e 3ª feiras; 1621 a 1623, 6ª feira, Sábado e Domingo; 1625 a 1627, 4ª, 5ª e 6ª feiras.

Ao ciclo correspondente a 1600-1627 seguem-se dois ciclos iguais, 1628-1655 e 1656-1683, não lhe podendo suceder-lhes outro ciclo igual devido à quebra de ano bissexto introduzida em 1700.
Prosseguindo est e levantamento, em parte histórico e em parte matemático, conclui-se haver diversos ciclos médios dentro do grande ciclo de 400 anos, o que obriga a resposta «absoluta» para o Problema de Bill Ramsey a ser «probabilística».

Mas sabendo-se que o problema foi formulado no dia 29 de Fevereiro de 2008, uma 6ª feira, poderíamos ter-nos contentado com informar o Bill Ramsey sobre quando o seu programa voltaria a ocorrer de acordo com aquelas duas condições.
O raciocínio pode ser este (escolhendo o tempo verbal de 2026):
* O tempo que medeia entre dois dias 29 de Fevereiro consecutivos é de 1461 dias (3 x 365 + 366);
* Dividindo 1461 por 7, o resto é 5, ou seja, se o 29 de Fevereiro de 2008 ocorreu a uma 6ª feira, o de 2012 ocorreu numa 4ª feira;
* Assim, o de 2016 ocorreu numa 2ª feira, o de 2020 num Sábado, o de 2024 numa 5ª feira e os de 2030, 2032 e 2026 ocorrerão, respectivamente, numa 3ª feira, num Domingo e … numa 6ª feira!

Temos aqui, de novo, o conhecido período de 28 anos!
Assim, este século, a estação de rádio HR3 de Frankfurt bem pode recordar o Bill Ramsey (nascido em 1931 e falecido em 2021) em 2036, 2064 e 2092!

Para os curiosos, aqui vai uma possibilidade de ouvir Bill Ramsey:

É possível que um aluno ou uma aluna mais arguto perceba que, perto da transição entre séculos, conforme se verá no próximo problema, surjam casos em que é necessário esperar mais anos pelo próximo 29 de Fevereiro.
Também é diferente o caso em que alguém nasce num dia 29 de Fevereiro, mas esse é um caso que se pode resolver precisamente através do problema que se segue ...

Decidi chamar a este «O Problema de Bill Ramsey»:
Quando é que um acontecimento que se repete todas as semanas, sempre no mesmo dia da semana, e que, tendo ocorrido num determinado ano a 29 de Fevereiro, volta a ocorrer noutro 29 de Fevereiro?

Bill Ramsey, um músico de jazz, foi um dos americanos que foi fazer serviço militar na Alemanha após o final da IIª Guera Mundial. Acabou por ficar na Alemanha, onde a dada altura animou na rádio um programa de jazz, transmitido aos fins de tarde das sextas-feiras na HR3 de Frankfurt am Main. No dia 29 de Fevereiro de 2008, a abrir ou a fechar o programa, ele comentou que poucas vezes teria a oportunidade de o seu programa se realizar no último dia de Fevereiro de um ano bissexto ... E assim, para mim, nasceu este problema!

Tal como o anterior, este não é um problema para ser resolvido na « sala de aula». E também não o será qualquer aluno que, interessando-se por ele, o consiga resolver. Talvez alguns dos alunos do Ensino Secundário decidam enfrentá-lo; e certamente um professor os deve apoiar – pode durar as horas vagas de alguns uns dias, ou até de alguns meses, mas, no fim, a resolução até poderá dar origem a uma pequena «memória», assinada por quem a conseguiu, a divulgar, por exemplo, num jornal de escola ou, porque não, numa revista de alunos de várias escolas, sobre «o que se faz nas suas escolas».

Comparado com o problema anterior, surge aqui um padrão muito mais largo, dado haver fins de século em que, sendo esse ano múltiplo de quatro, não é considerado ano bissexto. Esses fins de século ocorrem de 4 em 4 séculos, tendo o último sido em 1700. Então o último periodo de quatro séculos em que é possível estudar este fenómeno é 1600-2000.
Dado 1 de Janeiro de 1600 ter sido um Sábado e este ano ter sido bissexto, a repetição da ocorrência do 1 de Janeiro a um Sábado segue o 1º ciclo do problema anterior, + 5 + 6 + 11 + 6, de 1600 até 1627:
* Os anos 1600, 1605, 1611 e 1622 foram iniciados ao Sábado;
* Houve um ano bissexto iniciado em cada um dos dias da semana: 1600 ao Sábado, 1604 à 5ª feira, 1608 à 3ª feira, 1612 ao Domingo, 1616 à 6ª feira, 1620 à 4ª feira e 1624 à 2ª feira;
* E houve 3 anos não bissextos iniciados em cada um dos dias da semana: de 1601 a 1603, 2ª, 3ª e 4ª feiras; 1605 a 1607, Sábado, Domingo e 2ª feira; 1609 a 1611, 5ª e 6ª feiras e Sábado; 1613 a 1615, 3ª, 4ª e 5ª feiras; 1617 a 1619, Domingo e 2ª e 3ª feiras; 1621 a 1623, 6ª feira, Sábado e Domingo; 1625 a 1627, 4ª, 5ª e 6ª feiras.

Ao ciclo correspondente a 1600-1627 seguem-se dois ciclos iguais, 1628-1655 e 1656-1683, não lhe podendo suceder-lhes outro ciclo igual devido à quebra de ano bissexto introduzida em 1700.
Prosseguindo est e levantamento, em parte histórico e em parte matemático, conclui-se haver diversos ciclos médios dentro do grande ciclo de 400 anos, o que obriga a resposta «absoluta» para o Problema de Bill Ramsey a ser «probabilística».

Mas sabendo-se que o problema foi formulado no dia 29 de Fevereiro de 2008, uma 6ª feira, poderíamos ter-nos contentado com informar o Bill Ramsey sobre quando o seu programa voltaria a ocorrer de acordo com aquelas duas condições.
O raciocínio pode ser este (escolhendo o tempo verbal de 2026):
* O tempo que medeia entre dois dias 29 de Fevereiro consecutivos é de 1461 dias (3 x 365 + 366);
* Dividindo 1461 por 7, o resto é 5, ou seja, se o 29 de Fevereiro de 2008 ocorreu a uma 6ª feira, o de 2012 ocorreu numa 4ª feira;
* Assim, o de 2016 ocorreu numa 2ª feira, o de 2020 num Sábado, o de 2024 numa 5ª feira e os de 2030, 2032 e 2026 ocorrerão, respectivamente, numa 3ª feira, num Domingo e … numa 6ª feira!

Temos aqui, de novo, o conhecido período de 28 anos!
Assim, este século, a estação de rádio HR3 de Frankfurt bem pode recordar o Bill Ramsey (nascido em 1931 e falecido em 2021) em 2036, 2064 e 2092!

Para os curiosos, aqui vai uma possibilidade de ouvir Bill Ramsey:

https://www.youtube.com/watch?v=N7-PvJui03M

Tabelas e diagramas: Pedro Esteves

[0386] As palavras que dizemos (V): a ideologia subjacente ao «elevador social»

Para alguns comentadores das questões educativas o «elevador social» é a oportunidade de que «certos alunos» dispõem para sair das situações de «pobreza» em que nasceram: se estudarem e se através do estudo «tirarem um curso», encontrarão certamente um «bom trabalho», assim atingindo um patamar social superior.

É claro que muitos de nós querem ter, para si próprios, para os seus próximos e até para toda a gente, uma vida melhor, pelo que a ideia de «elevador social» parece trazer uma esperança à concretização dessa aspiração. Por isso, o que uns desejam para as suas vidas e o que outros lhes prometem através da educação, parece fazerem sentido juntos.

Esses comentadores, no entanto, nunca se lembram de dizer, sobre aqueles que não terão necessidade de «elevador social» (porque as suas famílias lho proporcionaram à partida), que «estudar» é importante para se manterem no patamar social em que já estão.

Será que esta metáfora se dirige apenas aos que estão no rés-do-chão do «elevador»?!

Primórdios do Elevador de Santa Justa (Lisboa)

A palavra «elevador» sugere fortemente a existência de «níveis sociais», cujos patamares se vão subindo, até, eventualmente, se chegar ao topo, onde se encontram umas tantas pessoas «exemplares» de que ouvimos de vez em quando falar. Será esse o «nível ideal», aquele que nos permite usufruir de um «vida ideal »? Ou estaremos a confundir uma imagem «quantitativa» (ir subindo) com uma imagem «qualitativa» (tipo de vida)?
Subir, patamar a patamar, conduzirá ao tipo de vida a que cada um inicialmente aspira? E, ao «ir subindo», estaremos conscientes do «tipo de vida» correspondente a cada plataforma do elevador, e ao qual teremos de nos adaptar? Estarão aqueles que «sobem» conscientes das transformações mentais e sociais a que as suas vidas serão sujeitas se não pensarem por eles próprios a «vida melhor» que desejam?
Ou seja: não será a metáfora do «elevador» uma forma de impor o tipo de sociedade que hoje existe, que tem sido incapaz de proporcionar, à partida, condições materiais de vida decentes para todos e que não tolera a diversidade de aspirações a que temos direito?

Acrescentam, ainda, aqueles que defendem o papel deste estranho elevador na educação: para subir é preciso ter «mérito».
Esta exigência do «mérito» já foi abordada na mensagem «307», onde a contrapus à necessidade de promover o bem comum». Gostaria de insistir nessa contraposição através de um exemplo, que pode ser o de um qualquer jogador de futebol, nascido pobre, que se tenha tornado uma estrela desportiva, rica e famosa.
Há nesta «ascensão», em primeiro lugar, o papel da herança genética: se ela não for favorável, ele não chegaria onde chegou desportivamente. Isso impõe uma importante restrição à metáfora do «elevador social»: ou os seus genes lhe trazem uma boa possibilidade de sucesso (no desporto ou em qualquer outra área), ou o «elevador» não o deixa entrar.
Depois, há o desafio do esforço necessário para aproveitar os genes muito favoráveis (que são raros): se o desportista se dedica a desenvolver as suas potencialidades, tem hipóteses de ser reconhecido pelos resultados que obtém, e vai subindo o elevador. Mas, que acontece tão frequentemente a estas estrelas, à medida que vão desembarcando nas sucessivamente mais altas plataformas sociais? Desmesura de dinheiro, ego desmedido, arrogância social. Isto é: através do elevador chega-se a um topo social que, quando se está nas plataformas mais baixas quase sempre se critica.

Falta-nos, portanto, o trabalho de imaginar outros ideais de vida, materialmente bons para cada um e diversificadamente solidários entre todos. Pelo que a metáfora não pode ser a do paupérrimo «elevador social», mas antes a da «emancipação social» (hoje em dia tão esquecida).
Como consequência, a educação não se pode limitar a aceitar os bons resultados obtidos por uma pequena parte do nosso ser: ela precisa de visar o desenvolvimento de um mais largo conjunto de competências, tanto emocionais como sociais.


Fontes inspiradoras: notícias dos jornais
Fotografia: Pedro Esteves (exposição «Lisboa desaparecida: patente no Palácio Pimenta

[0385] A Matemática e as Ludotecas (VI): o registo de soluções dos quebra-cabeças

A Ludoteca da Escola Secundária Nº 1 do Seixal (actualmente E. S. José Afonso) proporcionou aos alunos, durante mais de uma década, a possibilidade de se envolverem em jogos de reflexão e na resolução de quebra-cabeças.

No caso dos quebra-cabeças, para que as soluções encontradas fossem registadas, de modo a divulgá-las nos painéis de parede de que a Ludoteca dispunha, foram desenhadas folhas de registo, que depois eram fotocopiadas para que os alunos desenhassem nelas as suas descobertas (e que, por vezes, resultavam de um trabalho colectivo).

Houve cinco quebra-cabeças cujas soluções foram alvo deste tipo de «registo» e de «divulgação»: o Circuito Fechado, os Pentaminós, o Seis Cores, o Soma Cubo e o Tangram, tendo quase todos eles gerado um interessante «movimento participativo», através do qual os alunos tanto procuraram apresentar a «quantidade» das suas soluções como a «criatividade» de muitas delas.


O Tangram propunha que, com sete peças (sempre todas), fossem recontituídas as silhuetas de diversas figuras. Mas também desafiava à criação de novas figuras, se possível designando-as de um modo sugestivo.
Devemos uma destas figuras mais bonitas à criatividade do Bruno Rocha e do Marco Cristóvão, que a designaram por «Patinador».
Eis como, mais tarde, a reconstituí:

O Soma Cubo foi o quebra-cabeças cujo registo de soluções foi mais desafiante, pois se tratava de construir figuras com três dimensões, usando sete peças diferentes.
O original da folha de registo (que, tal como os outros, foi feito por mim) sugeria dois métodos para o fazer, ou por «andares» (estando cada peça identificada por um número), ou em «perspectiva», podendo, como aconteceu com a solução seguinte, tratar-se de uma mistura dos dois métodos (tal como no Tangram, além dos desafios propostos num «catálogo», os alunos podiam inventar novas figuras; e esta é uma das novas figuras):

Além da Tânia Dias, muitos outros alunos inventaram novas figuras, como foi o caso da dupla João Paulo Reis e João Pedro Alves (figuras redesenhadas por mim numa das folhas de divulgação)

O redesenho das soluções mostrava por vezes métodos alternativos de registo,
como se mostra nesta folha, e alguns dos alunos estudavam-no e procuraram imitá-los!

O Seis Cores foi o quebra-cabeças cujo registo ofereceu menos dificuldades, tendo também sido aquele a que menos alunos prestaram atenção. Tratando-se de colocar 36 quadradinhos com seis cores diferentes (cada uma delas com seis exemplares) num tabuleiro 6 x 6, eis a única folha de registo de que disponho, com três soluções do Sandro Matos e uma do Marco Cristóvão:

Para os Pentaminós o objectivo era colocar doze peças com formas diferentes, todos constituídos por 5 quadradinhos, sobre um tabuleiro constituído por 60 quadradinhos. Havia vários tipos de tabuleiro, sendo um deles o de 2 x 30 quadradinhos, talvez um dos mais difíceis, pois apenas três alunos arranjaram para ele uma solução, o Alcino Romão, o Bruno Santana e o Emanuel Martins. Eis a solução do Emanuel (para cada tabuleiro havia várias soluções), imortalizada na folha de registo que ele usou:

Para este quebra-cabeças contribuiu também o professor Vítor Solha. Além de soluções para alguns dos tabuleiros, fez esta pesquisa curiosa, que eu comentei a vermelho - apenas com uma parte das peças, ele formou a letra W em diferentes tamanhos:

Só conservei uma folha de registo do Circuito Fechado, a utilizada pelo Nuno Rocha:

Este quebra-cabeças era constituído por 18 peças constituídas por dois quadrados em que estavam desenhados curvas, pretendendo-se colocar todas as peças num tabuleiro 6 x 6 de modo a que as curvas formassem um circuito fechado.
Além da que figura acima, foram entregues muitas outras soluções, em pedacinhos de papel, tendo várias delas partes em comum, o que permitiu criar algumas «famílias» de soluções e desafiar os alunos a «esgotar» as soluções dessas famílias. Outro dos desafios foi o de encontrar soluções que fossem «simétricas».
Uma das tentativas mais sistemáticas para responder a estes desafios foi a do Rui «Master» Pinela (que chamou «Esquilo» a uma das suas soluções):

Que têm estes registos a ver com a Educação e, em particular, com a Matemática?
Eles são, antes do mais, sistemas descritivos, todos baseados no desenho.
Depois, eles solicitam a atenção para a transferência da solução que está sobre a mesa (a três dimensões, caso do Soma Cubo, para o papel; se nesta transferência os casos a duas dimensões (como o Tangram) não é demasiado complexo, os a três dimensões (Soma-cubo) solicitam uma capacidade que é poucas vezes trabalhada nas escolas (e muitos alunos tiveram a oportunidade de desenvolver essa capacidade na Ludoteca).
Por fim, é possível encarar as diversas soluções sob os pontos de vista da «classificação» (em famílias) e dos «padrões» (nomeadamente simetrias), pesquisando-as de forma tendencialmente sistemática.


Fonte: pasta com soluções dos quebra-cabeças resolvidos na Escola Secundária do Seixal (José Afonso), descrita nas «fontes do blogue «Aprendizagens»

Nota: neste blogue, quatro destes cinco quebra-cabeças foram já referidos nas mensagens «22» (Soma Cubo). «153» (Tangram). «251» (Pentaminós) e «269» (Circuito Fechado)

[0384] Matemática Cultural (IV): a geometria dos jardins

Não é a Natureza que está organizada «matematicamente: é a Humanidade que se inspira nos «padrões» físicos e biológicos da Natureza para desenvolver novas ideias sobre a Matemática; e, depois, lapida a Natureza com uma parte dessas ideias, ou porque a sua simplicidade estética agrada, ou porque dá jeito a forma como as coisas ficam (parcialmente) organizadas.

O arquitecto paisagista Sidónio Pardal parece também o ver desse modo (citando Giulio Carlo Argan):
“Com as ideias do Iluminismo, a natureza deixou de ser entendida como uma pré-ordenação exemplar e imutável do mundo. A paisagem na melhor tradição do Barroco assume-se como simples suporte da vida individual e social. O território e a consciência que se tem do mesmo passa a ser uma realidade adaptável e coube à escola paisagista inglesa (landscape gardening) assumir a prática de uma arquitectura das transformações a empreender no território à escala da paisagem, assumindo-se como «uma arte que não imita nem representa mas que modifica a natureza, adaptando-se aos sentimentos humanos e às oportunidades da vida social, ou seja, apresentando-se como domínio da vida».”

Alguns exemplos desta projecção do «humano» no «natural»:

Dois jardineiros aperfeiçoam a forma de uma trepadeira que cresce apoiada num suporte semi-cilíndrico (Jardim da Casa de Mateus, Vila Real):

O Buxo, deixado crescer de modo a formar um labirinto, e, no seu interior, o Teixo, recortado com o objectivo de se assemelhar a sólidos de revolução (jardim do Palácio do Marquês de Fronteira, Lisboa):

Planta de um dos mais conhecidos jardins do mundo (Palácio de Versalhes, França):

A Humanidade, ao conceptualizar a Natureza, não pode restringir-se à ideia de que ela existe em «três dimensões»: tal como escreveu Francisco Caldeira Cabral, se “o jardim é um espaço a três dimensões”, o modo como o arquitecto paisagista precisa de o conceber “é sempre a quatro dimensões”, pois o tempo vai-o modificando.

A construção de um jardim pode recorrer a ferramentas matemáticas, desenvolvidas por quem neles trabalha (como no caso da chamada Elipse do Jardineiro»):

Para ver uma versão dinâmica desta construção, clicar em: https://www.atractor.pt/geral/temp/ConstrucoesConicas.html

No jardim do Campo Grande, em Lisboa, já referido na mensagem «296», a Matemática é «ilustrada» através de algumas das suas construções, como a das sete Pontes de Königsberg, que cruzam um dos seus lagos; noutros pontos, é «acrescentada» como informação (a métrica de um dos passeios laterais; a referência ao teorema de Pascal) ou como diversão (os jogos reflexivos disponibilizados):

Fontes: livro de Pardal (1997; pp. 1-2); livro de Cabral (2003; pp. 57 e 132)
Fotografias: de Nicolas Sapieha (no jardim da Casa de Mateus); de Eva Maria Blum (no jardim do Palácio Fronteira); em https://deathwing-army.blogspot.com/2021/04/plan-jardin-chateau-de-versailles.html (sobre o jardim do Palácio de Versalhes); de Pedro Esteves (no jardim do Campo Grande)

Imagem animada: de Atractor (https://www.atractor.pt/geral/temp/ConstrucoesConicas.html, para a construção da elipse)

[0383] Um problema de Matemática de Malba Tahan (III): entra Diofanto em cena

 

UM PROBLEMA DE MATEMÁTICA DE MALBA TAHAN

2ª parte

 

Narrador matemático (de novo confiante):
Olhando para a história dos três marinheiros, que representará a expressão (8 x – 65) : 81?

 

Público:
Bom, o x inicial era o número de moedas doado pelo proprietário. E as sucessivas expressões eram o que resultava das intervenções dos três marinheiros e, no fim, do tesoureiro …
Então (8 x – 65) : 81 é o que cada um dos marinheiros do tesoureiro!

Narrador matemático:
Certíssimo. Portanto, terá de ser um número inteiro, pois houve moedas desaparecidas mas não houve moedas cortadas ao meio …
Agora temos de considerar o seguinte nessa expressão: multiplicar x por 8 dará um número inteiro; retirar-lhe 65 também (embora possa ser negativo). Mas dividir (8 x – 65) por 81 só por sorte dará um número inteiro!
Ou seja, não é a partir de qualquer x que os três marinheiros e, no fim, o tesoureiro fariam as quatro subtrações de 1 moeda seguidas das divisões por 3 obtendo sempre números inteiros!
Temos de chamar o Diofanto!

 

Público:
«Dio» quê?

 

Narrador matemático (orgulhoso):
DIOFANTO. Um matemático grego, que trabalhou em Alexandria por volta do século III d. C. e que é considerado o «pai da Álgebra».
É melhor ouvi-lo em pessoa, mas, por favor, não lhe façam perguntas. Compreendem, não é …?

 

Diofanto (surgindo sob uma luz que se acende lentamente num dos cantos; e depois falando muito pausadamente):
Olá!
É verdade, eu apercebi-me de situações matemáticas que para vocês, hoje, são frequentes: são aquelas em que temos de estudar um polinómio à medida que a sua variável assume diferentes valores (estou a usar as vossas palavras, pois as do meu tempo eram diferentes).
O vosso caso é desse tipo: (8 x – 65) : 81 é um polinómio, podemos dar a x infinitos valores e de cada vez o resultado desta expressão é diferente. Interessei-me por isto pensando só nos valores inteiros do resultado, pelo que decidi fazer assim: (8 x – 65) : 81 = y, devendo portanto o y ser inteiro.
Isto é uma «equação», e vocês chamaram a este tipo «equação diofantina linear», tendo o «linear» a ver com o facto de nenhuma das «variáveis» (o x e o y) surgir aqui com um expoente superior a «1» (portanto, nem ao quadrado, nem ao cubo, etc.). E o «diofantina» tem a ver com o meu nome, claro.
Sim, antecipando-me à vossa dúvida: há outras «equações diofantinas» que não são lineares, pelo que são de tratamento muito mais difícil.
O vosso Narrador matemático poderá ajudar-vos a resolver esta equação. Tenham um bom resto de dia …

 

Público (levanta-se e aplaude Diofanto, enquanto a luz que o iluminava se vai desvanecendo)

 

Narrador matemático (aclarando a voz):
Há um pormenor da história que ainda não vos contei …

Narrador da história (reaparecendo subitamente):
Não tínhamos combinado quem falaria nisso, mas penso que faz parte da história que me incumbe a mim contar. O Malba Tahan acrescentou uma informação importante sobre o número inicial de moedas: elas seriam entre 200 e 300!

 

Narrador matemático (pacientemente):
Sim, era esse o pormenor …
Peço-vos então o seguinte: transformem (8 x – 65) : 81 = y numa equação com coeficiente inteiros.

Público:
O que é isso?

 

Narrador matemático:
Ah! Sim! Vou explicar-vos: é uma equação do tipo a x + by = c, em que o «a», o «b» e o «c» são inteiros.

 

Público (depois de uma curta demora):
Fica 8 x = 81 y + 65.

 

Narrador matemático:
Deixem-me agora ser eu a dar o próximo passo, pois é um bocado manhoso.
Se em vez de escrevermos 8 x = 81 y + 65 escrevermos 8 x = 80 y + (y + 65) e depois escrevermos x = 10 y + (y + 65) : 8, e sabendo que o x é um número inteiro, então para que 10 y + (y + 65) : 8 também seja inteiro o (y + 65) terá de ser divisível por 8.
São capazes de me dar um exemplo de y inteiro que faça com que (y + 65) seja divisível por 8?

 

Público (respondendo não muito depois da pergunta do Narrador):
Se o (y + 65) for igual a 72 é divisível por 8. Para isso o y tem de ser igul a 7.

 

Narrador matemático:
Certo.
Então se y for igual a 7, qual o valor de x?

 

Público:
Dá x = 79!

 

Narrador matemático:
Certo.
Mas nós queremos que x esteja entre 200 e 300 …!

 

Público:
Ah! Pois, pode haver outras soluções para y!

Público (ao fim de algum tempo de silêncio):
O y também pode ser igual a 15, a 23, a 31, … é de 8 em 8.

 

Narrador matemático:
E quais os correspondentes valores de x?!

Público:
O x será para esses casos igual a 160, a 241 e a 322.
Ah! Então o x terá de ser o 241, pois está entre 200 e 300!!!
Incialmente, havia na caixa 241 moedas de ouro! Este problema do Malba Tahan está resolvido!!!

 

FIM

Comentários entre alguns grupos, à saída da peça:

Então o 1º Marinheiro ficou inicialmente com 80 moedas e no fim com mais 23, ou seja, com 103 moedas no total. O 2º Marinheiro ficou com 53 mais 23, portanto com 76 moedas. E o 3º Marinheiro com 35 mais 23, no total com 58 moedas.

Grande diferença!
E se somássemos para ver se bate certo?
103 + 76 + 58 dá 237: não dá!
Espera, faltam as 4 moedas, as que sairam uma a uma: com elas dá as 241. Bate mesmo certo!

Acham que os Marinheiros acabaram por emendar equitativamente o erro que cometeram?
Não sabemos, mas seria giro se o tivessem feito!
E com o total de 237 moedas que tinham dariam 79 a cada um, sem precisarem de voltar a deitar fora uma delas!

Fontes: vídeo do Ledo Vaccaro (conclusão do problema); Wikipédia (sobre Diofanto e as equações diofantinas); imagem das máscaras de teatro, Co Pilot do meu computador (recorrendo a ferramentas de IA)

[0382] Um problema de Matemática de Malba Tahan (II): por que não o teatralizar?

Regressando ao problema da mensagem anterior e ao vídeo que mostra a sua resolução.

O Ledo Vaccaro, herói do vídeo, preparou um modo muito sintético de registo da história, usando linguagem matemática. Mas, apesar do cuidado com que cada um dos passos foi explicado, e da elegância do registo, o método que ele usou fez com que, na minha opinião, a intuição dos espectadores se fosse tornando inútil.
E se esta apresentação tivesse dado mais importância ao «método teatral» (que por vezes nela aflorou)?

Uma hipótese, muito esquematizada, para que fique apenas a ideia, seria assim:

A peça vai começar!

TRUZ
TRUZ
TRUZ!

TRUZ, TRUZ
TRUZ, TRUZ, TRUZ!

Narrador da história (sempre solene):
Um barco estava à beira de se afundar.
Os seus três marinheiros conseguiram salvá-lo.
O proprietário do barco, feliz com o acontecido, ofereceu aos três marinheiros uma caixa com moedas de ouro.
O seu tesoureiro dividi-las-ia igualmente por eles!

 

Narrador matemático (que se dirige sempre ao público):
Como representariam vocês, matematicamente, o número de moedas de ouro?

 

Público:
Através de um x!

 

Narrador da história:
Durante a noite, o 1º marinheiro acordou.
Dividiu as moedas em 3 partes, após deitar 1 ao mar, e guardou a sua parte.
E foi de novo dormir!

 

Narrador matemático:
Como representariam vocês estes passos?

 

Público:
É simples: as moedas passaram a x – 1; e dividi-las por três dará (x – 1) : 3!

 

Narrador da história:
Pouco depois o 2º marinheiro acordou.
Dividiu as moedas que ainda estavam na caixa em 3 partes, após deitar 1 ao mar, e guardou a sua parte.
E foi de novo dormir!

 

Narrador matemático:
Podem voltar a representar matematicamente estes passos?

 

Público:
As moedas deixadas pelo primeiro marinheiro eram o dobro das que guardou, portanto 2 (x - 1) : 3!
Retirar-lhes 1 moeda dará 2 (x - 1) : 3 – 1.
E se dividirmos estas moedas por 3 dará [2 (x - 1) : 3 – 1] : 3!

Narrador matemático:
Esta expressão parece-me complicada! Podem simplificá-la?

 

Público (após algum burburinho e passado algum tempo)!
Sim: dá (2 x – 5) : 9!

 

Narrador da história:
O 3º marinheiro acordou.
Dividiu as moedas que ainda estavam na caixa em 3 partes, após deitar 1 ao mar, e guardou a sua parte.
E também ele voltou a adormecer!

 

Narrador matemático:
Podem voltar a proceder com este marinheiro do mesmo modo que procederam com o anterior?

Público (desta vez mais agitado e demorado)!
O que estava na caixa: 2 (2 x – 5) : 9!
Retirando-lhe 1 moeda: 2 (2 x – 5) : 9 - 1!
Dividindo por 3: {[2 (2 x – 5) : 9] – 1} : 3!
Simplificando a expressão: (4 x – 19) : 27!

 

Narrador da história:
Ao chegar o dia, o tesoureiro dividiu as moedas em 3 partes, após guardar 1 para si, como recompensa do seu trabalho.
E entregou as moedas divididas aos marinheiros!

 

Público (já mais organizado e, dirigindo-se ao narrador matemático, e assim mostrando ser capaz de tomar a iniciativa):
Não pergunte, nós fazemos!
O que estava na caixa: 2 (4 x – 19) : 27.
Retirando-lhe 1 moeda: [2 (4 x – 19) : 27] – 1.
Dividindo por 3: {[2 (4 x – 19) : 27] – 1} : 3.
Simplificando a expressão: (8 x – 65) : 81!

Narrador matemático (limpando o suor):
OK, OK …
Podemos fazer agora um pequeno intervalo?

 

INTERVALO

 

 

Ficaram assim concluídas as primeiras partes da peça e da resolução do seu problema.
Mas …
… que significa a expressão (8 x – 65) : 81?
… e por que razão ainda vai aparecer um y nesta história?
… afinal, quantas moedas havia incialmente na caixa?
… irá Malba Tahan explicar-nos qual a reacção dos três marinheiros ao saberem que a precipitação de cada um deles implicou receberem quantidades diferentes de moedas de ouro?

É aguardar … pela próxima mensagem!


Fontes: vídeo do Ledo Vaccaro (confirmação do resultado); Co Pilot do meu computador, que recorreu a ferramentas de IA (imagem do bilhete para a peça de teatro)

[0381] Um problema de Matemática de Malba Tahan (I): mas quem é Malba Tahan?!

Enviaram-me há dias um vídeo onde é abordado um dos problemas de Matemática que Malba Tahan divulgou no seu célebre livro O Homem Que Calculava:

Capa da 1ª edição (1938)

O que Malba Tahan nos contou nessa sua obra resume-se em poucas palavras:

 

O narrador da história, Hank Tade-Maiá, ao viajar de Samarra para Bagdade, conheceu Beremiz Samir, um matemático extraordinário, nascido e crescido na Pérsia. E decidiram prosseguir juntos a viagem.
Em Bagdade os dons de Beremiz tornaram-se rapidamente famosos, sendo solicitado por pessoas comuns e por nobres, embora tanto lhes despertasse simpatias como invejas.
Sabendo de tal fama, o Grão-vizir Ibrahim Maluf convidou Beremiz para seu secretário e Tade-Maiá para seu escriba, tendo ambos aquiescido. Coube ainda a Beremiz ensinar Matemática à filha do poeta Iezid, através de quem ele conheceu Telassim.
O califa de Bagdade, ao ouvir falar das proezas de Beremiz, concede-lhe uma audiência, e ficou encantado com a sua argúcia. Para testar definitivamente a sua capacidade, preparou uma segunda audiência durante a qual Beremiz seria interrogado por sete sábios.
Beremiz respondeu brilhantemente às provas a que o submeteram e, como recompensa, pediu em casamento a mão de Telassim, por quem havia se apaixonado.
Belemiz casou-se com Telassim, com quem teve três filhos, convertendo-se mais tarde ao cristianismo e mudando-se, com o seu amigo Tade-Maiá, para Constantinopla, então capital do Império Bizantino.

 

Eis uma história bem ao estilo daquelas que, no Ocidente, se julga serem as histórias que acontecem entre o Próximo e o Médio Oriente: encantadoramente extraordinárias. Tal como as que lemos nas «Mil e Uma Noites».

Foi certamente essa a ideia de Júlio César de Mello e Souza, nascido no Rio de Janeiro, em 6 de Maio de 1895, e falecido no Recife, em 18 de Junho de 1974:

Ele foi professor, pedagogo, conferencista, matemático e escritor, tendo participado na movimento do modernismo brasileiro. E, através dos seus romances destinados ao público mais jovem, foi um dos maiores divulgadores da Matemática no Brasil.
Com alguns dos seus colegas do Colégio Pedro II, como Cecil Thiré, Euclides Roxo e Irene Albuquerque, escreveu livros de Matemática e participou no movimento de modernização do ensino da matemática no Brasil, tendo entre as suas finalidades associar a Matemática à diversão, ao lazer, ao prazer, à criatividade e à alegria. Durante muitos anos, Júlio César foi ainda responsável pela «Revista Al-Karism», destinada a divulgar a Matemática Recreativa.

Sim, já perceberam, Júlio César de Mello e Souza é Malba Tahan, nome pelo qual é, aliás, mais conhecido no Brasil: foi portanto ele que escreveu «O Homem Que Calculava».
Numa entrevista que concedeu a Silveira Peixoto e a Monteiro Lobato, narrou assim o nascimento desta sua segunda identidade:

 

“O caminho, então, seria tratar de escrever com um pseudônimo estrangeiro. Pensei mais sobre o caso. Qual o pseudônimo a adotar?
Deveria ser um que tivesse todo cunho de realidade. Americano? Mas não. Queria um pseudônimo que se conformasse bem com o caráter dos trabalhos que pretendia escrever ... Seria um árabe. - Por quê? - O árabe é homem que faz poesia a propósito de tudo. Suas atitudes sempre são romanescas. Não compreende a vida sem a poesia. Mas o pseudônimo não deveria ser nem masculino e nem feminino. Teria de ser sonoro. Teria de dar a necessária impressão de perfeita autenticidade. Na Escola Normal, havia uma aluna com um sobrenome interessante: «Maria Tahan». Simpatizei-me com esse «Tahan». Perguntei-lhe que queria dizer. «Moleiro» - respondeu-me ela. Fui, dias depois, descobrir num mapa da Arábia, o nome de uma cidade - Malba, aldeia perdida na Arábia Pétrea ... - E nasceu Malba Tahan ... - Que, como vê, pode ser traduzido por «moleiro de Malba». Comecei, então, a estudar a civilização árabe. Li Gustave Le Bon, comprei o Alcorão, numa edição comentada, percorri as obras de Almaçudi. Tomei um professor de árabe: o dr. Jean Achar. Tempos depois, quando já havia me enfronhado nas coisas do Oriente, procurei Irineu Marinho, a esse tempo um dos diretores de A Noite. Apresentei-lhe uns trabalhos de Malba Tahan. Disse-lhe que se tratava de um escritor árabe; acentuei que eu apenas havia traduzido alguns de seus trabalhos.”

 

O problema que consta no vídeo que me enviaram é o seguinte (descrito com sumárias palavras minhas):

 

Um barco que estava em risco de naufrágio foi salvo pelos seus três marinheiros.
O proprietário decidiu recompensá-los oferecendo-lhes uma caixa com moedas de ouro, que o seu tesoureiro dividiria, por igual, entre eles.
Todos foram dormir.
A meio da noite um dos marinheiros acordou, levantou-se, dirigiu-se à caixa e dividiu as moedas em três partes. Como sobrava uma, deitou-a ao mar. Guardou para si um terço das moedas restantes, deixou os dois terços para os outros dois marinheiros e foi-se deitar.
Mais tarde um segundo marinheiro acordou, levantou-se e dirigiu-se à caixa. Dividiu as moedas em três partes e, como sobrava uma, deitou-a ao mar. Guardou para si um terço das moedas restantes, deixou os dois terços para os outros dois marinheiros e foi-se deitar.
Já perto da manhã o terceiro marinheiro também acordou. Levantou-se, dirigiu-se à caixa e dividiu as moedas em três partes. E como sobrava uma, deitou-a ao mar. Guardou para si um terço das moedas restantes, deixou os dois terços para os outros dois marinheiros e foi-se deitar.
Já de manhã, o tesoureiro dirigiu-se à caixa para cumprir as instruções do proprietário: dividiu as moedas em três partes, mas sobrava uma, pelo que decidiu ficar com ela como pagamento pelo seu trabalho. E, por fim, entregou as moedas que sobraram aos três marinheiros.
Quantas moedas estavam na caixa, sabendo (disse-nos Malba Tahan) que seriam entre as 200 e as 300?

 

Vou regressar a este problema nas duas próximas mensagens. Tanto pela Matemática como pela forma como a divulgamos (ou, talvez, pelas preocupações com a Educação que, penso, deve estar subjacente a qualquer acto de divulgação).


Fontes: Wikipédia (texto sobre Júlio Souza / Malba Tahan, mais as imagens associadas); vídeo sobre uma aula de Ledo Vaccaro (acessível em: https://youtu.be/GVKGgnise-g?is=1UC2lKGqxsuw8206)