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ZOOM … ID da reunião: …… Senha: ……
START!
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António: Stor, escreveu-nos no email que hoje vamos acabar este assunto,
o que é um crescimento exponencial; temos
estado cheios de trabalhos passados pelos outros stores; desta vez só queremos ouvir
…
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Professor: Mas podem interromper sempre
que acharem valer a pena – tal como combinámos na primeira aula.
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Cátia: Já sabe que eu, se tiver alguma
coisa a perguntar, pergunto …!
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Professor: Sim, já sei! [depois de olhar
para o que está a digitar, aparece uma imagem no ecrã]
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Professor: Então vamos lá! Antes de
ontem fui àquele sítio que já usamos, o Worldometers, e tirei de lá estes dados
sobre a evolução do número de infectados por este Coronavírus, em todo o mundo,
desde o primeiro dia de que há registo. No Dia Zero já havia 580 infectados
(estão a ver, à direita, em baixo); quer isso dizer que o problema tinha começado
algum tempo antes. Só registei a evolução de 3 em 3 dias; antes de ontem foi o
81º dia de crescimento desta pandemia, quase três meses. O modo como o Excel
regista os grandes números não é muito favorável, pois não separa os algarismos
em grupos de três. Para perceberem o que está escrito, digam-me quantos infectados
havia no último dia desta lista …
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Várias vozes, sobressaindo no fim a da
Cátia: Com sete algarismos já é milhão. É o mesmo no eixo vertical, lá em
cima. Aí são 2 milhões. Os infectados são 1 milhão mais oitocentos e tal mil,
quase 2 milhões …
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Professor: Sim, é isso mesmo. Na última
semana a que correspondem estes números estivemos acima de um milhão de
infectados; hoje já devemos estar na casa dos 2 milhões. Olhando para esta
curva, este crescimento parece ter acelerado muito nas últimas semanas, por
causa do empinar da curva, mas isso é enganador. Este é um crescimento próximo
do exponencial: comparem-no com estes quatro crescimentos rigorosamente exponenciais,
com valores certinhos [voltando a olhar para o que está a digitar, surge nova
imagem]:
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Madalena: Mas isto não são bem
curvas …
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Professor: Não, não são, trata-se de
uma representação simplificada de uma curva. Em cada caso foram só marcados 6
pontos, depois unidos por um segmento de recta. No gráfico anterior também
estava assim, só que como nele estão marcados muitos pontos nós não percebemos
que a curva, afinal, é feita por segmentos de recta.
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Professor [depois de uma breve pausa]:
Observem agora: um crescimento exponencial como o dos grãos de trigo no
tabuleiro de Xadrez (é a curva verde, que cresce sempre a multiplicar por 2) é mais
rápido do que um crescimento do tipo juro de 14 % ao ano (curva roxa, sempre a
multiplicar por 1,14), mas é muito mais lento do que os crescimentos sempre a
multiplicar por 2,4 ou por 3. E, reparem, todos começam aparentemente devagar …
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Nuno: E a curva do Worldometers, é
mais parecida com qual destas curvas?
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Professor: Temos de fazer as contas. E partir do princípio de
querermos uma curva exponencial, isto é, à medida que o tempo passa o crescimento
resulta de multiplicarmos sempre pelo
mesmo número. Então: se no Dia Zero havia 580 infectados, no Dia Três havia
580 vezes esse número; ainda o desconheço, pelo que o vou designar por R (nos
quatro gráficos anteriores chamei-lhe Razão);
será um número mais próximo do 1,4 ou do 3?!
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Professor (depois de ouvir respostas
para todos os gostos): Já vamos ver … Temos então no Dia Três 580 R. No Dia Seis voltando a multiplicar
por R, teremos …
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Joana: 580 R vezes R dá … 580 R2.
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Professor: Certo. Se continuarmos a
fazer isto, de 3 em 3 dias, quantas vezes o teremos de fazer? E que resultado
final obteremos?
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Professor (resumindo um minuto de
respostas, argumentos, correcções e, por fim, de quase total consenso): Temos
de fazer isto 27 vezes, pelo que o resultado final é 580 R27. Belo expoente … Então, 580 R27 deve ser igual a 1 852 365! É uma equação, mas
não é do 2º grau … Podem simplificá-la?
Ë
Cátia (antecipando-se aos que
dividiram 1 852 365 por 580): Dá R27 = 3 194, por defeito. E agora?
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Professor: Agora, com uma calculadora
científica capaz de determinar o valor de raízes com índices tão grandes como
27, chega-se lá! A alternativa, usar os logaritmos,
vocês só a vão aprender no Secundário. Alguém tem à mão uma calculadora que
faça esta continha?
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Orlando (depois de uns segundos sem
se ouvir nada): Dá … dá 1,348 … nunca mais acaba de algarismos … isto não deve
ser um número racional … e é um número mais baixo do que o 1,4 das quatro curvas
exponenciais na imagem que o Stor projectou atrás …
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Professor: Certíssimo! Vamos então verificar,
fazendo o cálculo inverso: usem R = 1,3483 e calculem 580 x 1,348327.
Ë
Vários (um tanto caoticamente): Dá 1
852 099 … É um pouco menor do que os 1 852 365 … Incrível!
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Professor: Portanto, se o
crescimento desta curva fosse constante, e exponencial, ao fim de cada 3 dias o
número de infectados aumentaria de 34,8 % - quase 35 %. Essa curva está a
seguir a azul, comparada com a curva com os dados do Worldometers:
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Professor: Todas as irregularidades
da curva a vermelho levam-nos a pensar nas diferenças que existem entre o mundo
real e os modelos que usamos para o percebermos. Neste caso, a realidade parece
estar a dar-nos um pequeno sinal de que as coisas se vão tornar menos graves …
não me apetece chamar exponencial a
esta curva … Bom, estamos em cima da hora. Na próxima aula vamos retomar o programa.
A não ser que vocês tenham mais questões que me voltem a desviar dele …
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Vários: Não é impossível, Stor …
Tchau Prof!
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Fonte: sítio
do Worldometers
