[0062] Adivinhar um número usando tabelas (parte II)

A Magia (variante mais exigente da apresentada na mensagem «0033»):

O público que assiste escolhe um número natural, inferior ou igual ao mais alto número que figura num conjunto de cartões de que o mágico dispõe. Toda a gente sabe qual foi o número escolhido, excepto o mágico, que prometeu adivinhá-lo.

O mágico mostra então os seus cartões ao público, um de cada vez. E é-lhe respondido se o número escolhido «figura» ou «não figura» em cada um dos cartões e, caso figure, com que «cor».

Se o número limite for o «80», são precisos os seguintes 4 cartões (é possível descarregar uma sua versão em «word» a partir da página «Documentos» deste blogue):

Conhecendo as respostas do público, o mágico pode dizer qual foi o número escolhido …

O que o mágico faz (mentalmente):

Se o número escolhido pelo público não figurar num cartão, o mágico esquece esse cartão.

Se figura a azul, o mágico multiplica por «1» o número mais baixo desse cartão (é sempre o que figura em cima, á esquerda).

Se figura a vermelho, o mágico multiplica por «2» o número mais baixo desse cartão.

E vai soma mentalmente estes produtos.

Por exemplo, o público escolheu o «42»: ele não figura no primeiro cartão e figura a vermelho no segundo e a azul no terceiro e no quarto.

Então, mentalmente: 2 x 3 (segundo cartão) + 1 x 9 (terceiro cartão) + 1 x 27 (quarto cartão) = 42.

A explicação (matemática):

Quando escrevemos números naturais utilizamos, habitualmente, a «base 10».

Os cartões usados na mensagem «0033» utilizavam a chamada «base 2» (só podemos usar dois algarismos, o «0» e o «1»).

Desta vez os cartões utilizam a «base 3» (só podemos usar três algarismos, o «0», o «1» e o «2»); tal como nas outras bases, podemos escrever qualquer número natural nesta base. Desta vez como soma das seguintes parcelas (em que «k» é igual ou ao «0», ou ao «1», ou ao «2»):

k 3⁰ + k 3¹ + k 3² + k 3³ + k 3⁴ + k 3⁵ + …,

o que se percebe melhor assim,

1 k + 3 k + 9 k + 27 k + 81 k + 243 k + …

Como se chega ao «42» sem os cartões?

Começa-se pela maior daquelas parcelas que cabe em «42: é o «27 x 1» (k = 1).

Depois prossegue-se com a maior parcela que cabe no que sobra (42 – 27 = 15): é o «9 x 1» (k = 1).

E assim sucessivamente: 15 – 9 = 6 leva a escolher o «3 x 2» (k = 2). E como já nada resta, o processo acabou.

Então, 42 = 27 x 1 + 9 x 1 + 3 x 2.

Que fazer na escola (ou com o pessoal que estiver interessado):

Não é boa ideia entrar em processos expositivos e dedutivos (“estão a perceber onde está a Matemática, não é, então vejam como isso se aplica à magia …”).

Por um lado, experimentar a magia, e tentar melhorar todos os seus aspectos práticos.

Por outro, experimentar a compreensão da Matemática, por exemplo criando tabelas com a escrita dos números na base 3 e analisando porque é assim).

Por fim, ir estabelecendo pontes entre estes dois processos, de acordo com os conhecimentos, o estilo e o interesse de cada um …

Dois exemplos dos aspectos práticos:

Entre os ficheiros acessíveis a partir da página «Documentos» encontra-se um com cartões para a «base 3 (até 121)»; estes cartões não foram uma boa escolha, por causa do «121», fazendo com que os cartões sejam desequilibrados (nem sempre com a mesma quantidade de números); que cartões serão bons para cada base?

Um outro ficheiro acessível a partir da página «Documentos» tem cartões para a «base 4 (até 63)»; como deve o mágico usar estes cartões?

Inspiração: Atractor (2016)