[0052] As três histórias contadas por uma pedra

A Pedra de Roseta, o 33º objecto descrito por Neil MacGregor em «Uma História do Mundo em 100 Objetos», provém de al-Rashid, no Egipto.

Trata-se de uma pedra de granito, partida. Foi gravada em 196 a.C. com três textos: um em grego clássico (usada pelos administradores públicos), outro em demótico (usada então pelo povo) e o último em hieróglifos (usados pelos sacerdotes).

Depois da morte de Alexandre, o Grande, um dos seus generais, Ptolomeu, assenhoreou-se do poder em Alexandria (a nova capital que Alexandre fundou para o Egipto, depois de o ter conquistado na segunda metade do século IV a.C.) transformando o Egipto no primeiro império europeu em África.

A dinastia dos Ptolomeus durou até Cléopatra VII e António terem sido derrotados pelo romano Augusto (na segunda metade do século I a.C.).

Segundo MacGregor, esta pedra conta-nos três histórias: a dos Ptolomeus (que, a certa altura, para sobreviver, foram obrigados a usar outras línguas para além do grego); a da competição entre franceses e ingleses (a pedra foi encontrada pelos soldados de Napoleão quando este invadiu o Egipto com a intenção de cortar a rota inglesa para a Índia); e a da decifração dos hieróglifos (pois os três textos são traduções uns dos outros).

Fonte bibliográfica: MacGregor (2014; pp. 211-216)

Fonte da imagem: www.britishmuseum.org/explore/a_history_of_the_world/objects (em Janeiro de 2015)

[0051] Análise indutiva do truque de Kardini

Voltando ao desafio da mensagem «47» (ao qual não houve a coragem de uma simples resposta …).

Pensando indutivamente (isto é, dos exemplos para a visão geral):

(1º) os números de dois dígitos vão de 10 a 99 (percebe-se que Kardini se refere apenas aos números naturais);

(2º) se escolhermos vários destes números e procedermos às respectivas subtracções de «dígitos», chega-se sempre um dos seguintes números: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 e 81;

(3º) observando qualquer das tabelas apresentadas por Kardini (a seguir figura a segunda) estes números estão sempre associados ao mesmo sinal (neste caso o f); procedendo assim … o mágico acerta sempre!

Podíamos ficar, espantados, por aqui.

Interessante (pelo menos para alguns) é perceber porquê as subtrações de Kardini chegam sempre a um daqueles números e que números são esses.

Quem tentar compreendê-lo está a entrar na … Matemática!

Aqui vai:

(1º) um número de dois dígitos pode ser escrito assim: ab (sendo a maior que 0);

(2º) como nós sabemos (todos escrevemos números destes há muitos anos), escrever ab é o mesmo que escrever 10 vezes o dígito a mais o dígito b (exemplo: 74 = 70 x 7 + 4);

(3º) subtrair a 10 a + b os próprios dígitos é igual a 10 a + b – a – b;

(4º) simplificando (o b corta com o – b), resulta 10 a – a = 9 a, o que nos diz que esta subtração é sempre um múltiplo natural de 9 (ou seja, um dos números que Kardini associou ao seu sinal mágico: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 e 81).

Já agora, dois pormenores psicológicos (muito importantes em qualquer magia): em cada tabela, que sinais associou Kardini aos outros números? e que modificou ele de tabela para tabela?

E também um pormenor matemático: em ambas as tabelas da mensagem «47» Kardini associou o seu sinal mágico ao 0, mas não ao 90; terá procedido bem?

[0050] Voltando às Torres de Hanói: uma estratégia e uma fórmula

Recordando o quebra-cabeças Torres de Hanói (mensagem nº 44):

·      O seu objectivo é: estando N discos encaixados numa das três colunas (a figura seguinte exemplifica-o para N = 3 discos) pretende-se encaixá-los noutra coluna, com o apoio da terceira;

·      E a única regra para deslocar os discos de uma coluna para outra coluna é: um disco não pode ser colocado sobre outro disco com diâmetro inferior.

Uma estratégia para resolver este quebra-cabeças (admitindo que o número de discos é tão grande quanto se quiser):

E assim sucessivamente …

Quantos movimentos são necessários para executar esta estratégia?

Sem o demonstrar, apenas para verificar (até N = 6):

Nº de discos (N):	1	2	3	4	5	6
Nº de movimentos (MN = 2N – 1):	1	3	7	15	31	63

[0049] A música e a harmonia social, segundo Confúcio

Neil MacGregor, director do Museu Britânico, destacou assim, em «Uma História do Mundo em 100 Objetos», a grande tendência que se verificou entre 500 e 300 a.C.:

“em todo o mundo, diferentes civilizações desenvolviam modelos de governo da sociedade que iam influenciar os milhares de anos seguintes. Enquanto Sócrates ensinava o povo de Atenas a discordar, na China, Confúcio propunha a sua filosofia política da harmonia, e os persas descobriam um modo de coexistência de vários povos no seu vasto império. Na América Central, os olmecas criaram sofisticados calendários, religião e artes que iriam marcar mais de um milénio a civilização centro-americana. No Norte da Europa não havia vilas ou cidades, Estados ou impérios, nem escrita ou moeda, mas os seus objetos mostram que, apesar de tudo, essas civilizações tinham uma visão sofisticada delas próprias e do seu lugar no mundo global.”

O 30º objecto que MacGregor descreveu, um sino chinês de bronze do século V a. C., provém dessa época. A China vivia uma grande instabilidade social, como consequência da luta entre os feudos que procuravam obter uma posição de supremacia. E para fazer face a essa instabilidade, debatia-se vivamente como a sociedade ideal deveria ser, e Confúcio destacava-se entre os que participavam desse debate. “Diz-se – escreve MacGregor – que um dos seus mais célebres pensamentos era: «A música produz uma espécie de prazer sem o qual a natureza humana não pode passar.»” A música era, pois, para Confúcio, uma metáfora de uma sociedade harmoniosa.

Este sino tem o tamanho de uma barrica de cerveja e não é circular, é elíptico. Possuir um sino com esta dimensão e decorações era um sinal de poder, mas também poderia revelar o que o seu proprietário pensava da sociedade e do cosmos.

Os mais antigos sinos chineses têm 5 mil anos. Inicialmente possuíam um badalo, mais tarde abandonado a favor do batimento com um martelo. Este sino deve ter pertencido a conjunto de nove ou de catorze sinos, cada um de seu tamanho e produzindo dois tons diferentes, de acordo com o local onde era batido.

Na Europa, só foi possível fundir um sino com estas dimensões no final da Idade Média, um milénio e meio depois da fundição deste sino chinês.

Fontes bibliográficas: MacGregor (2014; pp. 169 e 193-197)

Fonte da imagem: www.britishmuseum.org/explore/a_history_of_the_world/objects (em Janeiro de 2015)

[0048] A terrível verdade da guerra

Os relevos de Lachish são o 21º objecto descrito em «Uma História do Mundo em 100 Objetos» por Neil MacGregor, director do Museu Britânico. Foram encontrados no palácio do rei Senaqueribe, em Nínive (perto da actual Mossul), tendo sido esculpidos entre 700 e 692 a. C.. Por essa altura o império assírio estendia-se desde o Irão ao Egipto, cobrindo quase todo o território a que hoje se chama Médio Oriente.

Lachish (actualmente Tell ed-Duweir) era então a segunda cidade do reino da Judeia, a seguir a Jerusalém, situada no ponto crucial onde o Mediterrâneo e o Egipto se ligavam à Mesopotâmia. Nos finais do século VIII a. C., Ezequias, o seu rei, rebelou-se contra os assírios. E Senaqueribe invadiu-lhe o reino, conquistando a cidade de Lachish.

Este painel, em baixo-relevo, tem cerca de 2,5 metros de altura e estaria situado a toda a volta de uma sala do palácio de Senaqueribe, em Nínive, provavelmente pintado a cores. Nele se conta, como num filme épico, a marcha do exército assírio, as lutas resultantes do cerco de Lachish, a sangrenta conquista da cidade, a fuga dos sobreviventes, a cidade em chamas, o desfile dos prisioneiros, Senaqueribe triunfante …

Consciente do persistente paralelismo histórico deste episódio, MacGregor pediu um testemunho a Lorde Ashdown, longamente experiente no custo humano da guerra, especialmente pelo seu trabalho nos Balcãs:

“Vi campos de refugiados por todos os Balcãs e, francamente, nunca consegui evitar que as lágrimas me viessem aos olhos, porque o que via era a minha irmã, a minha mãe, a minha mulher e os meus filhos. Vi sérvios expulsos por bósnios, e bósnios expulsos por croatas, croatas expulsos por sérvios e por aí adiante. Vi ainda o mais infame de tudo, os refugiados ciganos, um grande campo de refugiados, talvez 40 a 50 mil, a cargo do meu exército, a NATO. E ficámos a olhar enquanto as suas casas eram queimadas e eles eram expulsos dos seus lares. E isso fez-me sentir não só desesperadamente triste, mas também envergonhado. O que é verdade, e o relevo [de Lachish] mostra, é, em certo sentido, o carácter imutável e inalterável da guerra. Há sempre guerras, há sempre mortes, há sempre refugiados. Os refugiados são uma espécie de destroços e carga deitada ao mar. São abandonados quando a guerra termina.”

Fonte bibliográfica: MacGregor (2014; pp. 143-146)

Fonte da imagem: www.britishmuseum.org/explore/a_history_of_the_world/objects (em Janeiro de 2015)

[0047] Um dos fundamentos das magias: «com a verdade me enganas»

Voltando ao caso da magia apresentada por David Copperfield na mensagem «0043». Ao tentar compreender os seus fundamentos (houve quem acertasse), podemos formular as seguintes regras:

O que o mágico nos diz é verdade

Neste caso o mágico disse-nos: pensem numa destas 6 cartas …

… e eu fá-la-ei desaparecer

Mas a magia também utiliza verdades que não nos são ditas

Neste caso o mágico: faz desaparecer as 6 cartas mostradas inicialmente e mostra-nos 5 cartas não mostradas antes

O espectador tende a confundir a verdade ouvida com toda a verdade

Neste caso o espectador: procura a sua carta, mas não repara que nenhuma das cartas originais desapareceu e foram substituídas por novas cartas

Por isso a magia procura apagar a distância entre a verdade dita e toda a verdade

Neste caso o mágico: escolhe o tipo de cartas mais difíceis de memorizar, as «figuras»; como elas são 12, mostra-nos primeiro 6 delas; procura que nos concentremos na «nossa carta»; depois mostra-nos 5 da outra metade (parece que tirou uma, «a nossa»)

Também no caso do truque do Dominó (mensagem «0039») o mágico só nos diz uma parte da verdade: mostra-nos 27 peças; não nos diz que retirou uma …

Um caso um pouco mais complexo: um truque de Kardini!

Pense num NÚMERO de DOIS DÍGITOS

(exemplo: 74)

SUBTRAIA desse número os seus dois dígitos

(exemplo: 74 - 7 - 4 = 63)

Procure na tabela abaixo o SÍMBOLO correspondente a este número, à sua DIREITA

(neste exemplo: 63)

Verifique se o seu SÍMBOLO é o que se encontra no centro do meu quadro mágico vermelho ...

Recomecemos:

Pense num NÚMERO de DOIS DÍGITOS

SUBTRAIA desse número os seus dois dígitos

Procure na tabela abaixo o SÍMBOLO correspondente a este número, à sua DIREITA

Verifique se o seu SÍMBOLO é o que se encontra no centro do meu quadro mágico vermelho ...

Voltarei a este truque dentro de duas ou três semanas …

[0046] O mais antigo texto matemático conhecido: o Papiro de Rhind

O Papiro de Rhind é o 17º objecto descrito por Neil MacGregor, director do Museu Britânico, em «Uma História do Mundo em 100 Objetos». Ele foi encontrado em Tebas (perto de Luxor), e foi comprado na década de 1850 por Alexander Rhind, advogado em Aberdeen (Escócia).

O papiro original (escrito aproximadamente em 1550 a.C.) deveria ter cerca de 5 metros de comprimento e 30 centímetros de largura, mas está hoje dividido em três pedaços, dois propriedade do Museu Britânico e o terceiro do Museu de Brooklyn: é “o maior e mais antigo texto matemático que conhecemos, não só no Egito como do resto do mundo”, escreveu MacGregor.

Pormenor:

Totalidade do fragmento:

Ele “contém oitenta e quatro problemas diferentes, cálculos que podem ser usados em diversas ocasiões para resolver as dificuldades práticas da vida administrativa, por exemplo, como calcular o declive de uma pirâmide, ou a quantidade de comida necessária para as diversas espécies de aves domésticas. Está na sua maior parte escrito a negro, mas o vermelho é usado para o título da pergunta e para a solução e não está escrito em hieróglifos, mas numa espécie de cursivo administrativo, muito mais fácil e rápido de escrever.”

Um dos problemas que nele figura é o seguinte: “Em sete casas há sete gatos. Cada gato apanha sete ratos. Se cada rato comer sete espigas, e se cada espiga semeada produzir sete alqueires, qual é a soma total?”

Quem o resolve ...?

No início do papiro, o título, a vermelho, sugere haver uma exagerada convicção no poder da Matemática: “O método correto de cálculo para compreender o sentido das coisas e saber tudo – as obscuridades e os seus segredos.”

Fonte bibliográfica: MacGregor (2014; pp. 119-123)

Fontes das imagens: www.britishmuseum.org/explore/a_history_of_the_world/objects (em Janeiro de 2015), para o fragmento; Google, para o pormenor

[0045] O foco mesopotâmico da agricultura, as tabuinhas de argila e as primeiras cidades

A Mesopotâmia, situada em torno do rio Tigre e do rio Eufrates (e correspondendo, aproximadamente, ao actual Iraque), terá sido o mais importante dos focos da agricultura. O trigo já se encontrava aí completamente domesticado há 9,5 mil anos, sendo possível que a cevada tenha sido domesticada antes, por se poder semear em várias estações do ano e se adaptar a uma maior variedade de terrenos.

A alimentação foi aí enriquecida com os açúcares proporcionados por estes dois cereais e ainda pelas proteínas das lentilhas e das ervilhas, duas leguminosas. E o vestuário recebeu os contributos do linho para a tecelagem.

Por volta de 3 000 a. C. os excedentes da agricultura na Mesopotâmia permitiram que aí surgissem as primeiras cidades, com 30 a 40 mil pessoas. É dessa época o 15º objecto descrito em «Uma História do Mundo em 100 Objetos» por Neil MacGregor, director do Museu Britânico

Trata-se de uma tabuinha de argila com 9 por 7 centímetros, originária do Sul do Iraque. Está dividida em três filas, cada uma com quatro divisões. Em cada uma destas divisões, os sinais devem ser lidos de cima para baixo e da direita para a esquerda, antes de prosseguir para a divisão seguinte. Nesta tabuinha, o assunto era a cerveja, a principal bebida na Mesopotâmia, onde a sua distribuição aos trabalhadores era racionada.

Explica MacGregor: a literatura antiga era “oral, apreendida de cor e depois recitada ou cantada. As pessoas escreviam o que não sabiam de cor, o que não conseguiam verter em verso.” “Dinheiro, leis, comércio, emprego: estes são os tópicos da primeira escrita, e foi a escrita que mudou, em última análise, a natureza do domínio e do poder estatal. Só mais tarde a escrita se mudou das rações [de cerveja] para as emoções; os contabilistas chegaram a ela primeiro que os poetas.”

No Norte da Mesopotâmia, durante o terceiro milénio antes de Cristo, Mari é a grande cidade. Segundo o arqueólogo Jean-Claude Margeron, Mari funciona em rede com outras cidades, ligadas por canais e por rotas. Ela “controla a rota do cobre e de outros metais que vem da Anatólia e se dirige para a Babilónia”, situada no Sul da Mesopotâmia, onde se situam as cidades de Uruk e de Ur. “Ela assegura, para seu benefício, o transporte e até a transformação e venda destes materiais. Nela a metalurgia do cobre e do bronze é decisiva.”

Reconstituição de Mari, nas margens do Eufrates,

em que é visível o canal que atravessaria a cidade

Fontes bibliográficas: Mazoyer, entrevistado (2000; pp. 93-94); MacGregor (2014; pp. 56, 87 e 105-110); Margeron, entrevistado (2015)

Fontes das imagens: www.britishmuseum.org/explore/a_history_of_the_world/objects (em Janeiro de 2015); Público, 3 de Maio de 2017

[0044] As Torres de Hanói: uma oportunidade para raciocinar por recorrência

O Quebra-cabeças designado por Torres de Hanói (ou Torres de Brama) é constituído por três colunas (dispostas em linha ou como vértices de um triângulo) e por um número variável de discos (cujos diâmetros são sucessivamente maiores) que podem ser encaixados nas colunas.

As Torres de Hanói que se encontram na exposição Matemática Viva, situada no Pavilhão do Conhecimento (Lisboa), têm o seguinte aspecto (dispõem de apenas 4 discos):

(fotografia minha)

Há uma única regra para a colocação dos discos nas colunas: quando se encaixa um disco, ele não pode ser colocado sobre outro disco com diâmetro inferior.

E o objectivo do Quebra-cabeças é: estando N discos encaixados numa das colunas (a figura seguinte exemplifica-o para N = 3 discos) …

… pretende-se encaixá-los numa segunda coluna, com o apoio da terceira.

Para N = 1 basta um único movimento.

Para N = 2 são necessários … 3 movimentos.

Para N = 3, a dificuldade aumenta um pouco …

Para N = 4 já é necessária alguma organização …

Número de discos (N):	1	2	3	4	5	6
Nº mínimo de movimentos (MN):	1	3

Depois de algumas experiências percebemos que o raciocínio mais simples é: se sabemos resolver para N discos, então sabemos resolvê-lo para N + 1 discos. Chama-se a isto, raciocínio por recorrência.

De que forma expressar matematicamente o número mínimo de movimentos (M_N) em função do número de discos (N)?

[0043] Um truque de David Copperfield (para pensar nos fundamentos das magias)

Foi-me observado, a propósito das mensagens que já publiquei sobre «magias», que é preciso incentivar quem lê a pensar no que lê (e assim se tornar capaz de pensar para além do que leu).

Um dos aspectos sobre que é preciso pensar é o dos fundamentos dos truques mágicos, convindo não começar por casos muito complicados. Um bom exemplo é o seguinte truque do David Copperfield, apresentado através de um Power Point (que me chegou, em tempos, anexado a um email) e de que agora reproduzo todos os textos e as imagens essenciais:

Dentro de um momento entrarás num

mundo mágico …

… e nele testemunharás algo muito especial.

Farás parte de uma ilusão …

Através deste simples programa verás que …

… eu posso ler os teus pensamentos,

através do teu computador.

Olha bem os meus olhos e pensa na tua carta.

Eu não te conheço e não te posso ver.

Mas sou capaz de mostrar a tua carta.

Até à próxima!

Voltarei a este caso daqui a duas ou três semanas. E nessa altura apresentarei outro caso, um tanto mais difícil.

Entretanto, espero comentários e … até a próxima!

[0042] O foco meso-americano da agricultura e a estatueta maia do deus do Milho

A agricultura surgiu, mais ou menos independentemente, um pouco por todo o mundo. Um dos seus focos situou-se na América Central, onde primeiro surgiu o pimento e o abacate; depois, há 7 mil anos, o milho, o colondro, a abóbora e o tabaco, há 5 mil anos o feijão e há 3,5 mil anos o algodão de montanha, o Hirsutum de fibras robustas.

Cristóvão Colombo trouxe grãos de milho logo no regresso da primeira viagem, tendo o seu plantio sido fácil nas zonas meridionais da Península Ibérica (havia muita água, como no Novo Mundo). Os árabes levaram grãos para o Egipto em meados do século XVI, de onde o cultivo se estendeu para África, para a Índia e para a China, subindo mais lentamente para Norte, pelas dificuldades de adaptação ao frio, sendo hoje uma planta universal.

A Estatueta maia do deus do Milho, o 9º objecto que Neil MacGregor, do Museu Britânico, descreveu em «Uma História do Mundo em 100 Objetos», foi esculpida em calcário, por um cinzel de pedra e um martelo de basalto, e encontrada em Cópan, “uma importante cidade e centro religioso maia”.

Apesar de ter sido esculpida o mais tardar em 750 d.C., ela fazia parte de um culto com milhares de anos na América Central, com raízes na civilização olmeca. “Representa tanto o ciclo anual da sementeira, colheita e nova plantação como a fé num ciclo humano paralelo, de nascimento, morte e renascimento.” “Mas ainda mais, era matéria da qual os povos da América Central eram feitos. O deus hebreu fez Adão do pó, os deuses maias usaram o milho para fazer os seus humanos. A história mítica é contada na mais famosa epopeia de todo o continente americano, o Popol Vuh. Durante gerações, foi transmitida por tradição oral até ter sido fixada por escrito no século XVII.”

Há cerca de nove mil anos havia poucas fontes de alimento na América Central, nem havia animais domesticados e as plantas cultivadas, a abóbora, o feijão e o milho, eram-no a custo. O milho provém do teossinto, que “estava muito bem adaptado às condições locais”, tanto podendo crescer “em terrenos húmidos como na secura das montanhas, o que significava que podia ser cultivado em qualquer estação.” É também rico em hidratos de carbono (fornecendo rapidamente energia), mas indigesto, pelo que era acompanhado pelo chili. “Por volta do ano 1000, o milho tinha-se difundido tanto para norte como para sul, a todo o comprimento das Américas”, mas era “intragável”, sendo necessário cozinhá-lo numa mistura de água e lima, sem o que os aminoácidos e a vitamina B não se libertavam, sendo ainda preciso amassá-lo e transformá-lo numa massa por levedar; hoje, após uma longa selecção das sementes, é possível comê-lo sem esta preparação.

Fontes bibliográficas: Mazoyer, entrevistado (2000; pp. 91 e 126); MacGregor (2014; pp. 71-75)

Fonte da imagem: www.britishmuseum.org/explore/a_history_of_the_world/objects (em Janeiro de 2015)

[0041] S`tor, hoje de manhã vi ao pé de minha casa um pássaro que parecia um índio …

O mundo está sempre a entrar na escola, desta e de muitas outras maneiras …

A ave que deu origem a esta mensagem não foi a que se vê abaixo, não foi avistada no local onde esta o foi e nem sequer foi fotografada: apareceu de repente à minha frente, noutro relvado, perto de minha casa, em meados deste mês de Maio:

Parque da Paz (Cova da Piedade),

Agosto de 2015

Esta ave pertence à espécie conhecida como Poupa (classificação em latim: Upupa epops). Tem cerca de 25 a 29 cm (incluindo o longo bico). “Passa a maior parte do tempo no solo, alimentando-se (sobretudo de minhocas e insectos) em áreas de erva rasteira ou sem qualquer vegetação.” E “Nidifica em buracos de árvores, muros de pedra, caixas-ninhos ou nos alicerces de edifícios.”

Fotografia: Eva Maria Blum

Fonte (do texto): Svensson (2012; pp. 9 e 238)

[0040] Um documentário e uma exposição sobre Paula Rego: as suas «Histórias & Segredos»

O documentário, realizado por Nick Willing (2017), é apoiado pela exposição que está patente na Casa das Histórias / Paula Rego, em Cascais, de 7 de Abril a 17 de Setembro de 2017.

Catarina Alfaro, coordenadora da programação e conservação da Casa das Histórias, apresenta assim a exposição:

Fonte: www.casadashistoriaspaularego.com

[0039] Um dominó como qualquer outro … nas mãos de um mágico

O mágico espalha as pedras de um dominó sobre uma mesa, com os números virados para cima, e pede que duas pessoas da assistência o venham ajudar.

A tarefa que o mágico lhes solicita é simples: dispor todas as pedras formando a cadeia habitual: um «1» encostado a outro «1», um «2» a outro «2», e assim sucessivamente.

Aquilo que o mágico depois anuncia à assistência já não parece ser fácil: antes de os seus ajudantes iniciarem o trabalho, ele, mágico, vai adivinhar os números que se situarão nos extremos da cadeia quando esta acabar de ser formada - apesar da total liberdade com que os seus ajudantes a formarão.

E, para que possa ser confirmada a sua adivinha, o mágico escreve discretamente os números que acabou de adivinhar num cartãozinho e deixo-o, virado para baixo, num lugar visível mas inacessível a qualquer dos presentes.

E o trabalho dos ajudantes começa.

A cadeia de pedras que resultou foi, por exemplo, a seguinte:

Os ajudantes anunciam que os extremos da cadeia são o «5» e o «3».

Então o mágico pede a uma criança da assistência que venha pegar no cartãozinho e leia os números que lá estão escritos: e são o «5» e o «3»!

Fundamentação:

Cada número aparece oito vezes no dominó. Por exemplo, o «5» aparece em:

«0 + 5», «1 + 5», «2 + 5», «3 + 5», «4 + 5», «5 + 5» e «6 + 5».

Na cadeia construída, cada junção de peças utiliza duas vezes o mesmo número. Então, quando todas as peças estiverem colocadas, o número de vezes que cada número surgiu nas junções tem de ser par (oito vezes para seis dos números e seis vezes para o outro número, precisamente o que deve figurar em ambos os extremos.

Porquê nesta cadeia os dois números não são iguais?

O dominó tem 28 peças e nesta cadeia só estão … 27 peças: o mágico retirou prévia e secretamente uma das peças (que não seja doble), que foi, neste caso, a peça «3 + 5»!

Inspiração: Gardner (1991; p. 62)

[0038] «O Retrato na Arte Portuguesa»

Quase vinte anos após a edição original, em 2010, esta obra de José-Augusto França foi aumentada e reeditada. Nela, o autor traça o percurso estético e social da retratista em Portugal, comentando-a, em larga síntese, assim: “em Nuno Gonçalves e Columbano, se criou, originalmente e de maneira admirável para a história da arte portuguesa com capacidade internacional, a realidade da nação, nos seus dois pólos significativos – alfa e omega de uma imagística que, com a excepção do Sequeira de 1820, entretanto geralmente se subordinou a situações e gostos, quando não a pincéis ou cinzéis estrangeiros.”

Eis os “dois pólos” destacados por José-Augusto França:

Atribuído a Nuno Gonçalves, os painéis de São Vicente de Fora (3º quartel do século XV) que, depois das “personagens régias que até então tinham preenchido a necessidade imagética da sociedade medieval pela função simbólica que lhes competia”, surgem agora “60 personagens à procura de autor e à espera de entrar em cena”:

Da esquerda para a direita: painéis ditos dos Frades, dos Pescadores, do Infante, do Arcebispo, dos Cavaleiros e da Relíquia (óleo e têmpera sobre madeira, actualmente parte da colecção do Museu Nacional de Arte Antiga)

De Columbano Bordalo Pinheiro, O Grupo do Leão (1885): “o grande retrato colectivo da pintura nacional. Em volta de uma mesa, entre garrafas, canecas, copos e guardanapos amachucados que ninguém parece ter usado, catorze figuras de amigos e colegas, entre as quais o próprio criado de mesa, o Manuel, e o gerente, supõe-se.”

Da esquerda para a direita: Henrique Pinto, sentado; Ribeiro Cristino; José Malhoa; João Vaz; Alberto de Oliveira; Silva Porto; António Ramalho; Manuel Fidalgo, o empregado de mesa; Moura Girão; Rafael Bordalo Pinheiro, logo abaixo do irmão; Columbano, de cartola; António Monteiro, o proprietário da cervejaria; Cipriano Martins e, sentado de mão apoiada na cintura, Rodrigues Vieira (pintura com 376 x 201 cm, actualmente parte da colecção do Museu Nacional de Arte Contemporânea)

Fontes (texto e imagens):

França (2010; pp. 19-23, 84-85 e 110); www.museudearteantiga.pt, https://pt.wikipedia.org e www.museuartecontemporanea.pt (consultas em 26 de Março de 2017)