[0191] Uma tabela usada na cozinha de um hospital nos finais do século XVII

Atribuído a Gabriel del Barco, existe no actual Museu do Hospital, nas Caldas da Rainha, um painel de azulejos que, quando foi produzido e colocado, em 1667-1668, se destinava a informar os cozinheiros do Hospital de Nossa Senhora do Pópulo da quantidade de carneiro que seria preciso cozinhar diariamente para servir os doentes internados:

Trata-se de uma tabela com 4 colunas, cada uma delas subdividida em duas. À esquerda para o número de doentes, à direita para a respectiva quantidade de carneiro.

Observa-se que o número máximo de doentes é 184 e conclui-se que a quantidade a cozinhar para cada um era de 3 / 4 de arrátel:

O arrátel, desde o tempo de D. Manuel (1469 – 1521), equivalia a 0, 459 quilogramas actuais.

Gabriel del Barco, nasceu em Espanha em 1649 e trabalhou em Portugal a partir de 1669, tendo pintado tectos e depois azulejos, sendo considerado precursor do chamado Ciclo dos Mestres (entre fins do século XVII e inícios do século XVIII).

Fontes: sítios do Museu do Hospital (Caldas da Rainha), do Grupo Azulejos de Portugal (Facebook) e da Wikipédia

Fotografias: colocadas por Carlos Oliveira Costa no grupo do Facebook «Azulejos de Portugal», tendo o respectivo texto o título TÁBUA DO ALMOXARIFE PARA A CONTA DO CARNEIRO

[0190] Um exemplo simples de aplicação da Geometria na Arqueologia

Há já muito tempo apresentei aos meus alunos a possibilidade de a geometria se poder aplicar à determinação do centro de uma peça fabricada num torno e que, durante trabalhos arqueológicos, é encontrada mais ou menos danificada.

Essa peça poderia, por exemplo, ser a seguinte:

Tal como é descrita no catálogo da exposição que a apresentou no Museu Gulbenkian, em 1987, trata-se de uma tigela do século XI, procedente das escavações feitas na Alcáçova do Castelo de Mértola, e está decorada centralmente por uma cena de caça em que um corso, ou gazela, é simultaneamente atacado por um galgo e um falcão.

Depois de recuperada, ela foi representada através de um desenho que lhe salientou os aspectos arqueologicamente relevantes. Foi este o desenho arqueológico que a representou:

Onde terá sido o centro em torno do qual a peça rodou quando estava a ser fabricada?

Ou, perguntando de outro modo: qual é o raio da circunferência que o desenhador traçou e através da qual verificou que a peça era circular?

Era aqui que avançava o contributo da geometria, protegida por alguma ingenuidade, pois eu não tinha a certeza de ser assim que os desenhadores procediam, traçando duas cordas, não paralelas, com os seus extremos apoiados no perímetro do desenho (traços vermelhos a cheio), e depois as respectivas mediatrizes (traços vermelhos a tracejado), que se interceptam no centro de circunferência:

Tive há dias a possibilidade de confirmar, aliviado, que de facto o desenho arqueológico se socorre deste procedimento. Mas, disse-me o arqueólogo que mo confirmou, o Jorge Raposo, há outros métodos para determinar o raio desta circunferência, o que é necessário tanto para o desenho como para a descrição rigorosa da peça, descrição que, mais tarde, é estudada sob o ponto de vista estatístico (de modo a comparar cada peça com muitas outras peças).

Um desses métodos é o uso de um escantilhão, onde estão desenhados arcos de circunferências com muitos raios. E um outro é desenhar uma corda e a respectica flecha, medir ambas e calcular o raio através de uma fórmula – se introduzirmos esta numa folha de Excel, nem é preciso tratar do cálculo, o raio é dado automaticamente!

Fazendo um desenho da situação genérica em que este método se aplica, chega-se à conclusão de que é simples deduzir uma fórmula que o traduza, sendo até interessante desafiar os alunos a descobri-la (ou a uma das suas variantes): se a corda tiver o comprimento c e a respectiva flecha o comprimento f, …

… existe um ponto X no prolongamento da flecha (a preto tracejado) que será centro da circunferência:

O comprimento do raio da circunferência, r, é igual a x + f.

E, como o triângulo figurado é rectângulo, pode escrever-se (c/2)² + x² = r².

Substituindo x por r – f e resolvendo a equação chega-se a:

r = (c² + 4f²) : 8f.

Ou, preferindo expressar o diâmetro da peça, a

d = (c² + 4f²) : 4f.

Fonte das duas primeiras imagens: catálogo com textos de Torres (1987; capa e objecto 79)

[0189] Lembrar, registar e sistematizar as memórias de uma comunidade: o exemplo das favelas da Grande Tijuca

A Grande Tijuca é uma das regiões administrativas do Rio de Janeiro, situando-se nela diversos bairros e várias favelas.

Visando desenvolver políticas públicas inclusivas nesta região, algumas instituições estatais e organizações civis promoveram aí projectos de intervenção social e urbana, tendo um deles despertado o interesse dos moradores para a história local. Foi neste contexto que três moradoras nas favelas, Mauriléa Januário Ribeiro, Ruth Pereira Barros e Maria Aparecida Coutinho, conceberam o projeto Condutores(as) de Memória, com o objectivo de “resgatar, registrar e sistematizar a memória das comunidades da Grande Tijuca, permitindo que moradores e moradoras dessa região conhecessem a história da ocupação e luta que garantiu o direito à moradia nessas áreas. Nesse sentido, o projeto objetivava não só a eliminação do estigma atribuído ao espaço da favela, mas também sua afirmação como parte da cidade.”

O primeiro passo foi dado na favela do Borel, através de uma “oficina de memória” intitulada Recordando a História, onde foram registados depoimentos e recuperadas fotografias e documentos na posse dos moradores mais velhos.

Seguiu-se uma segunda oficina, Buscando a História, “reunindo, dessa vez, jovens da comunidade. Para despertar-lhes o interesse pela história local, recorreram a diferentes linguagens e fontes, introduzindo-os inicialmente à história do desenvolvimento urbano da cidade como um todo, até chegarem às suas próprias comunidades. Assim, além dos depoimentos orais, também utilizaram músicas, jornais e fotografias. O resultado dessa oficina foi a elaboração conjunta de um roteiro de entrevistas que seriam realizadas por tais jovens com moradores(as) mais antigos(as), a fim de permitir uma importante troca e interação social envolvendo jovens e pessoas idosas e reforçar a sociabilidade local.”

Na terceira oficina, Vivências Passadas, “foram recuperadas, pelas lembranças dos(as) próprios(as) moradores(as), as condições socioeconômicas da época de ocupação da favela, com destaque para a questão ambiental e a produção de lixo domiciliar.”

E na quarta, Construindo a História, em que participaram jovens e “moradores(as) mais antigos(as), particularmente aqueles(as) interessados(as) em dar continuidade ao trabalho conjunto”, foram “organizados pequenos grupos de trabalho que ficaram responsáveis pelo planejamento das atividades e estratégias para a realização das próximas etapas do projeto”, assim juntando as duas pontas da mesma realidade: “os(as) moradores(as) mais antigos(as), que, com o passar do tempo e as mudanças ocorridas, sentem-se, muitas vezes, perdendo suas referências e seu espaço tanto físico como subjetivo dentro das comunidades; e os(as) jovens, que, embora não tenham acompanhado muitas das lutas que construíram suas comunidades, atuarão de forma decisiva oferecendo respostas aos desafios futuros.”

Surgiu depois a ideia de organizar um pequeno jornal, “um informativo que relatasse a experiência do projeto e os resultados das oficinas realizadas em cada comunidade, reunindo histórias, eventos e datas marcantes para a história local (…).” “Depois de finalizado, esse informativo passou a ser distribuído em todas as comunidades, transformando-se em importante instrumento de divulgação e contribuindo para dar visibilidade à iniciativa do Condutores(as) de Memória. Ao longo do desenvolvimento do projeto, foram produzidos cinco informativos (Borel, Chácara do Céu, Morro do Andaraí, Salgueiro e Formiga) e distribuídos um total de 6 mil exemplares em eventos comunitários das favelas onde foram realizadas as oficinas e em palestras dadas em escolas, ONGs e universidades.”

Outra etapa foi a realização de um vídeo com o registo da “experiência do projeto nas duas primeiras comunidades onde foi desenvolvido, Borel e Chácara do Céu. O vídeo reuniu depoimentos de moradores(as) antigos(as) dessas comunidades, que relembraram histórias relacionadas à ocupação da área, reivindicações por água e luz, além de «casos» e histórias pitorescas sobre o dia-a-dia da comunidade. Contou também com a participação dos(as) jovens moradores(as) da comunidade, que falaram sobre a experiência das oficinas de memória e expressaram suas expectativas para o futuro. Intitulado Condutores(as) de Memória, o vídeo passou a funcionar como um instrumento de dinamização das outras oficinas realizadas, servindo de ponto de partida para o trabalho de reconstrução da história de cada comunidade. Além disso, outro desdobramento das oficinas foi a participação das educadoras responsáveis pelo projeto em vários eventos comunitários, além da participação em programas de rádios comunitárias. Dessa forma, a partir das oficinas, a equipe foi desenvolvendo novas formas de interação com a comunidade, inserindo a discussão sobre a importância da memória local em outros espaços coletivos.”

“Em 2002, após consolidar o trabalho das oficinas de memória nas comunidades do Borel, da Chácara do Céu e do Morro do Andaraí, o projeto Condutores(as) de Memória partiu para a rede pública de ensino. O objetivo desse trabalho nas escolas públicas e comunitárias da região era levar a discussão sobre a memória das favelas da Grande Tijuca para o espaço de construção do saber formal, buscando estabelecer uma relação entre o trabalho realizado nas comunidades por meio das oficinas e aquele desenvolvido por professores e professoras com crianças e adolescentes no espaço escolar.”

“Os informativos elaborados pelas educadoras sobre cada comunidade já trabalhada e o vídeo realizado nas comunidades do Borel e da Chácara do Céu serviram de ponto de partida para que os(as) próprios(as) professores(as) fizessem o trabalho com os(as) alunos(as). A partir daí, a metodologia utilizada ficou a critério de cada estabelecimento de ensino. Algumas escolas organizaram debates com as responsáveis pelo projeto, outras realizaram dinâmicas com os(as) alunos(as) e outras ainda inseriram o tema da memória local no calendário escolar. Também houve aquelas que convidaram as avós dos(as) alunos(as) para uma tarde de conversas sobre as histórias da comunidade, valorizando, desse modo, a cultura local. Essa foi uma importante etapa de desenvolvimento do projeto, já que o processo de trabalho sobre o tema da memória com alunos e alunas das escolas públicas possibilitou a construção de um outro olhar sobre a história de suas comunidades de origem, para além da «história oficial» encontrada nos livros didáticos.”

“Acima de tudo, a entrada do projeto Condutores(as) de Memória nas escolas contribuiu para desfazer o preconceito e diminuir a distância existente entre «favela» e «asfalto», fornecendo aos(às) professores(as), geralmente oriundos(as) da classe média, informações que permitem compreender a realidade social dos alunos e das alunas, em sua maioria residentes em favelas e bairros populares.”

Para elaborar o conhecimento adquirido a partir das oficinas de memória e de todas as outras atividades realizadas ao longo do desenvolvimento do projecto, as equipas “participaram de uma primeira etapa de capacitação por meio do curso Memórias Urbanas, ministrado pelas antropólogas Neiva Vieira da Cunha e Anamaria Fagundes. O curso foi realizado na Escola Oga Mitá, na Tijuca, de junho a agosto de 2004. Uma segunda capacitação das educadoras do projeto foi o curso Memória, Espaço e Cultura Material, ministrado pelo professor Marcelo Abreu, também na Escola Oga Mitá, em maio de 2005. Esses dois cursos reuniram não só as educadoras do projeto, mas também outros(as) gestores(as) sociais, lideranças e outros(as) moradores(as) das comunidades da Grande Tijuca, e isso permitiu qualificar melhor o grupo para a execução de suas atividades. O objetivo dessas capacitações era fornecer elementos teórico-metodológicos, além de uma perspectiva histórica e socioantropológica, que pudessem auxiliar o trabalho de levantamento e análise de dados coletados.”

Fonte bibliográfica: Cunha, organizadora (2006; pp. 11-17, 47-48 e 53)

[0188] Soluções e problemas trazidos pelos «nós»

Na Pré-história, a fixação das diversas partes das ferramentas de trabalho (machados, arpões) já era feita mediante ouso de nós.

Naturalmente, dada a complexificação das ferramentas, o uso dos nós aumentou durante a Antiguidade Clássica. Dessa época, houve um nó que se tornou célebre, devido à história (ou à lenda) em que se viu envolvido: o nó górdio. Conta-se que Alexandre o Grande, ao passar pela Frígia (situada na Ásia Menor) em 334 a. C., ouviu falar de um nó que ninguém conseguira desatar, sendo prognosticado que quem o conseguisse fazer dominaria o mundo. O nó atava um carro de bois a uma das colunas do templo dedicado a Zeus. E Alexandre, que o quis ver, analisou-o longamente até que, desembainhando a espada, o cortou com um golpe. A expressão cortar o nó górdio evoca esta história / lenda, aludindo a uma forma de pensar fora do usual, eventualmente devido ao poder que se detém.

Os nós de marinheiro são os mais célebres nós da actualidade, sendo usados nas embarcações e em muitas outras situações não ligadas à marinharia. Quando eles são figurados, surgem com as extremidades livres, de modo a que as cordas possam ser amarradas, por exemplo, aos mastros.

O ramo matemático a que se chama Topologia desenvolveu uma Teoria dos Nós, postulando, no entanto, que as extremidades de um nó não ficariam livres, mas sim ligadas uma à outra. A grande finalidade desta teoria é, assim, distinguir os nós uns dos outros. E, para ela, um nó é uma curva fechada do espaço tri-dimensional que não se intercepta a si própria. Esta teoria distingue dois tipos de nós, de que são dados a seguir alguns exemplos:

Nós simples (constituídos por apenas uma curva fechada):

Nó trivial              Nó em trevo              Nó em oito

Nós compostos, ou nós ligados (constituídos por duas ou mais curvas fechadas):

Apesar do método de Alexandre o Grande permitir desatar qualquer nó, o método mais tradicional continua a ser muito usado. O que, como toda a gente já experienciou, nem sempre é fácil de concretizar. Por isso, depois de o pintor alemão Johann Schmidtner ter pintado um quadro em que Nossa Senhora aparece a desatar os nós humanos, passou a ser evocável o seu apoio mediante a menção a Nossa Senhora Desatadora dos Nós:

Johann Schmidtner, 1700
(óleo sobre madeira de álamo; 182 × 110 cm;
St. Peter am Perlach, em Augsburgo)

Fontes: artigos de Adams, Furstenberg, Li e Schneider (1997; p. 640), Belaga (1997; p. 42), Budworth (1997; pp. 8-9), Neuwirth (1997; p. 56); versão portuguesa da Wikipédia (para a Nossa Senhora Desatadora de Nós) e sítio (já não acessível) do The Mathematics and Knots Exhibition Group (para as imagens dos nós)

[0187] A grande separação entre plantas e animais

Nenhuma estimativa acerca da proporção entre o peso total das plantas e o peso total dos animais na Terra, actualmente, atribui menos de 80 % às plantas.

O último antepassado comum a plantas e a animais terá existido há cerca de 600 milhões de anos, numa altura em que a vida ainda só existia nas águas. Ao acontecer a separação, as plantas tenderam a fixar-se e a utilizar a energia solar, enquanto os animais se preparam para o movimento, em busca de outras energias. Isso implicou profundas diferenças nos corpos das espécies destes dois reinos da vida: segundo Stefano Mancuso, as plantas descentralizaram as suas funções por todo o corpo (a produção, a respiração, os sentidos, a reprodução, …) e os animais concentraram cada função num órgão específico.

“Qualquer que seja o problema, os animais resolvem-no deslocando-se: se falta alimento, vai-se para onde ele exista; se está demasiado calor, demasiado frio, se o clima é demasiado húmido ou demasiado seco, migra-se para onde há condições mais propícias; se os competidores aumentam de número e se se tornam cada vez mais agressivos, muda-se para novos territórios; se não se encontram parceiros para a reprodução, vai-se à procura deles. (…). Os animais, portanto, não resolvem os problema, mas evitam-nos eficientemente (…).”

As plantas, pelo contrário, não podem “fugir ao ambiente, apenas sobrevivem porque conseguem perceber sempre e com grande certeza uma multiplicidade de parâmetros químicos e físicos, tais como a luz, a gravidade, os elementos minerais à sua disposição, humidade, temperatura, estímulos mecânicos, estrutura do solo, composição dos gases da atmosfera, etc.” Até se apercebem de “sinais bióticos (ou seja, resultantes de outros seres vivos), tais como a proximidade ou distância de outras plantas, a identidade destas e a presença de predadores, simbiontes ou patogénicos (…).”

As raízes são o seu órgão mais importante. Elas exploram os solos onde se encontram, captando gradientes muito débeis de oxigénio, água, temperatura, substâncias nutrientes. Já foram contados, num único centímetro cúbico de solo florestal, mais de mil ápices radiculares; se a árvore for adulta, poderá dispor de milhares de milhões.

Fonte: livro de Mancuso (2019; pp. 101-108)

[0186] Os passos de gigante que os pés de barro dão

“Um pequeno passo para o homem, um passo de gigante para a humanidade”, afirmou Neil Armstrong (1930 – 2012), o primeiro astronauta a pisar o solo lunar, em Julho de 1969.

Agora que se completaram 50 anos sobre a primeira alunagem, e sendo conhecido o crescente envolvimento dos interesses privados na exploração espacial, importa perguntar se o «passo de gigante» que se pretendeu ter sido dado pela «humanidade» não reclamará provas de uma muito maior capacidade de tratar o planeta que habitamos, para que haja garantias de respeito por qualquer outro planeta onde pretendamos viver:

Cartoon de Cristina Sampaio

Fonte: cartoon de Sampaio (2019)

[0185] Da «Victoria amazónica» ao «Crystal Palace»

A Grande Exposição Internacional de 1851 foi realizada em Londres, tendo para tal sido construído no Hyde Park um enorme edifício, em ferro fundido e vidro, a que revista satírica Punch chamou The Crystal Palace (O Palácio de Cristal):

Com 564 metros de comprimento, 124 metros de largura e uma altura que atingia os 39 metros, disponibilizou 92 mil metros quadrados para os 14 mil expositores que vieram de todo o mundo, alguns deles para mostrar as últimas novidades da Revolução Industrial:

Algum tempo após a exposição, em 1854, este enorme edifício foi desmanchado e remontado, com ampliações, noutra zona da cidade, tendo aí permanecido, aberto a visitas, até ser destruído por um incêndio em 1936.

O que aconteceu antes do início da construção deste edifício pode ter sido, no entanto, o mais interessante.

A comissão que deveria escolher o projecto a implementar recusou os 245 que lhe foram apresentados e os quatro especialistas que a seguir foram nomeados para encontrar rapidamente uma solução não o conseguiram fazer.

Joseph Paxton (1803-1865), jardineiro em Chatsworth House, e que aí tinha experimentado o uso do vidro e do ferro na construção de grandes estufas e percebido as vantagens da sua simplicidade, força e duração, defendeu a construção por módulos (um quadrado com cerca de 7,5 metros de lado), que poderiam ser produzidos em série, e a sua ideia, transformada em projecto pelo engenheiro William Cubitt, foi aceite. Com 2 mil trabalhadores em permanência no Hyde Park, foi possível proceder à montagem do edifício original em apenas seis meses.

Paxton inspirara-se nas suas observações botânicas: para o edifício, como as plantas crescem através do acrescento de novos módulos; e, para as abóbadas, como as nervuras da Victoria amazonica se estruturam radialmente:

Fontes: livro de Mancuso (2019; pp. 135-140); sítios da Wikipédia

[0184] Frequência das letras do alfabeto: da criptografia ao Scrabble

A frequência com que as letras são usadas varia de língua para língua.

Se a compararmos para os casos de seis línguas europeias, quatro latinas e duas anglo-saxónicas, destacando em cada uma delas (com fundo amarelo) as três que surgem com maior frequência, percebe-se um pouco a sonoridade através da qual reconhecemos qual dessas línguas está a ser falada - as letras mais frequentes do Italiano são as três vogais abertas, o «a», o «e» e o «i»; para o Português e o Espanhol são o «a», o «e» e o «o»; para o Francês e o Inglês são o «a», o «e» e uma consoante; e para o Alemão são o «e» e duas consoantes:

Nota 1: nestas frequências estão incluídas variantes das letras que cada língua usa (o «à» no Francês; o «ç», o «è», o «é» e o «ê» no Francês e no Português; etc.), mas não estão incluídos os casos do «oe» do Francês (0,02 %), o «ñ» do Espanhol (0, 31 %) e o «b», actualmente escrito como duplo «s», do Alemão (0, 31 %)

Nota 2: estas frequências devem ser consideradas como apenas uma aproximação; têm sido feitos diversos estudos e os resultados divergem um tanto, dependendo do tema abordado, de quem escreve e, claro, da dimensão da amostra estudada

Estas diferentes frequências foram historicamente usadas na criptanálise (a arte de): a descrição mais antiga que se conhece do uso da frequência das letras para descodificar um texto escrito de modo codificado é de al-Kindi, um cientista do século IX, conhecido por Filósofo dos Árabes. Escreveu ele:

“Uma maneira de decifrar uma mensagem codificada, se conhecermos a língua, consiste em encontrar um texto simples diferente na mesma língua, suficientemente longo para encher aproximadamente uma folha, e em seguida contar quantas vezes aparece cada letra. Chamamos à letra que aparece com mais frequência a «primeira», à que aparece a seguir com mais frequência a «segunda», à seguinte a «terceira» e assim sucessivamente, até nos ocuparmos de todas as letras na amostra do texto simples.

Seguidamente, olhamos para o texto em cifra que queremos decifrar e também classificamos os seus símbolos. Encontramos o símbolo que aparece mais vezes e substituímo-lo pela forma da «primeira» letra do texto simples, substituímos o símbolo mais comum seguinte pela «segunda» letra, o seguinte pela «terceira» letra e assim sucessivamente, até nos termos ocupado de todos os símbolos do criptograma que queremos decifrar.”

Também nos jogos de formação de palavras, como o Scrabble (há outros), é preciso ter em conta estas frequências, adaptando a frequência das letras disponíveis àquela que cada língua utiliza. Por exemplo, as edições alemã e portuguesa do Scrabble têm a seguinte distribuição de peças (no total, respectivamente, de 102 e 120 peças):

Estarão estas frequências de peças razoavelmente próximas das frequências das letras na escrita do alemão e na escrita do português?

Fonte: Wikipédia, para a tabela com as frequências; livro de Singh (2001; pp. 29-30), para al-Kindi

[0183] «Trangrans» há muitos

O quebra-cabeças «Tangram» teve origem na China e já foi abordado na mensagem «0153».

Há quem também chame Tangram a qualquer outro quebra-cabeças constituído por diversas peças que nos permitem, sem deixar nenhuma de parte, compor figuras interessantes: ou pela beleza, ou pelo inesperado, ou pela dificuldade …

Oito desses quebra-cabeças estão figurados a seguir, com as respectivas peças apresentadas tal como é usual serem, formando um motivo geométrico simples:

Como estes quebra-cabeças não são facilmente acessíveis através dos circuitos comerciais, e estando tantos de nós em férias, um bom primeiro desafio será … construi-los. O que não é complicado para pelo menos cinco dos anteriores quebra-cabeças, aqueles cujas peças estão arrumadas dentro de um polígono.

O Jardim Zoológico, por exemplo, exige um quadrado, recortado em cartolina ou cartão. Depois de ter sido subdividido em quatro partes iguais, tanto verticalmente como horizontalmente, com um lápis, as peças podem ser desenhadas sobre esse quadriculado, seguindo as indicações de corte dadas na figura. E por fim cortadas.

Como formar com essas 15 peças cada uma das seguintes figuras:

Percebe-se agora porque foi este quebra-cabeças assim chamado.

Com que outras figuras se pode enriquecer este Jardim Zoológico?

A partir de Setembro os professores de Matemática do Ensino Básico gostam de fazer perguntas sobre estes quebra-cabeças aos seus alunos. As mais frequentes têm a ver com as áreas e os perímetros das peças, tomando a mais pequena delas como unidade. Mas até lá estamos todos de férias.

Fonte: livro de Elffers & Schuyt (1977)

[0182] Para não esquecer tudo durante o Verão: o quebra-cabeças japonês «Kakuro»

À primeira vista as grelhas deste quebra-cabeças parecem as das palavras cruzadas. Só que, em vez de letras que formam palavras, elas são preenchidas com os dígitos de 1 a 9. Cada sequência de casas livres, horizontais ou verticais, deve ser preenchida com eles, de modo a que as suas somas sejam as que estão especificadas nas margens a cinzento. E desde que em cada sequência não seja usado mais do que uma vez cada dígito.

Cada Kakuro tem uma única solução.

O Kakuro figurado a seguir é dito 5 x 5, por ter 5 quadradinhos quer horizontalmente quer verticalmente:

Há nele um quadradinho por onde é fácil começar: aquele que tanto serve a soma 12 como a soma 6. A soma 6, com três parcelas, só pode resultar de 1 + 2 + 3, embora não saibamos qual é a sua ordem. Ora na casa referida só pode ser colocado o 3, pois se fosse colocado o 2, ou o 1, não seria possível completar a soma 12 (seriam respectivamente necessários 10 e 11).

Colocando o 3 no referido quadradinho é possível preencher mais dois quadradinhos:

Pensando agora na soma 6, vertical, onde ainda faltam colocar o 1 e o 2, conclui-se que no quadradinho que fica logo abaixo do 3 (e ao lado do 7) só é possível colocar o 2, pois se aí fosse colocado o 1 não seria possível obter a soma 18 (necessitaríamos de um 10):

Pode-se então preencher mais dois quadradinhos, terminando as sequências que dão somas 6 e 18:

Agora há duas somas que nos dão informações úteis: a soma 24, com três parcelas, só pode resultar de 9 + 8 + 7; e a soma 3, de 1 + 2. Mas não sabemos como estão ordenadas estas parcelas.

Conclui-se, no entanto, que a colocação do 1 logo abaixo do 3 não é possível, pois já existe outro 1 na sequência de que resulta a soma 11. Terá então de aí ser colocado o 2:

Agora é fácil concluir o que falta – e verificar que bate tudo certo!

Há Kakuros de vários tamanhos. Mas as sequências a preencher não podem ultrapassar os 9 quadradinhos, pois só há 9 dígitos. Quanto maior for o Kakuro, mais paciência é preciso ter, e mais informações cruzadas é necessário fazer.

Através da palavra Kakuro encontram-se vários sítios onde é possível jogar on-line. Eis um Kakuro 8 x 9, retirado de um desses sítios:

Para qualquer Kakuro é útil dispormos de uma tabela com os 34 casos em que as parcelas a usar numa sequência são únicas, e que, curiosamente, surgem sempre aos pares:

Fonte (dos Kakuros): www.kakuros,com

[0181] Mais um modelo para simular, eloquentemente, as longas durações

Na mensagem «0128», a propósito da nossa grande dificuldade para compreender o que se passou na Terra ao longo dos seus 4 600 Ma (milhões de anos) de vida, referi um modelo que concentra todo este tempo em apenas 24 horas. Nele, a vida na Terra com características mais complexas (por exemplo, os animais possuidores de um esqueleto), que só existe desde há cerca de 542 Ma, iniciou-se pouco depois das 21 horas, tendo o Homo sapiens surgido apenas nos últimos 3 segundos do dia:

Uma variante deste modelo usa, em vez da comparação com um Dia, a comparação com um Ano (neste caso, o Homo sapiens surge mais ou menos quando faltam cerca de 20 minutos para o ano terminar).

Estes dois modelos apostam na sensibilidade que desenvolvemos à duração do dia e do ano, dada a nossa repetida exposição a elas.

Um outro modelo, com a mesma preocupação de nos fazer sentir o que é a passagem dos tempos imensamente longos, escolheu uma estratégia diferente: em vez de escolher uma duração total à qual estaremos habituados, escolhe um ritmo de algo que costumamos fazer, como andar.

Se cada passada nossa no modelo equivaler à passagem de cem anos na realidade, e se andarmos ao ritmo de 32 quilómetros por dia, todos os dias,

·      ao fim de 1 passo, já não teremos internet, veremos os recifes de coral um terço mais extensos, ainda nada saberemos de bombas atómicas, nem de duas guerras mundiais, e não veremos as cidades fulgurantemente iluminadas à noite …

·      após 20 passos, poderemos encontrar-nos com Jesus …

·      à medida que dermos os passos seguintes, veremos o desaparecimento de diversas religiões, primeiro o budismo, depois o zorastrismo, o judaísmo e o hinduísmo …

·      e assim continuando, caminhando sempre ao mesmo ritmo (de cerca de um passo em pouco menos de 3 segundos), levaríamos quatro anos até observarmos o início da história da Terra, e quase mais dez anos para chegarmos ao momento do Big Bang …

Fonte (para o segundo modelo): Brannen (2019; pp. 26-27)

[0180] Tenho de visitar o Alhambra …

Os azulejos alicatados são um dos exemplos através dos quais é possível compreender o papel desempenhado pela geometria na arte islâmica. Eles são formados por pequenas peças de cerâmica vidrada, com diferentes formas e cores, agrupadas de maneira a formar uma trama geométrica virtualmente infinita.

Exemplos de azulejos alicatados observáveis no Alhambra (Granada, Andaluzia, Espanha):

Dado o método pelo qual são construídos, os azulejos alicatados não são condicionados pela trama quadriculada característica dos azulejos actualmente mais comuns, sendo-lhes por isso possível desenvolver tramas triangulares. Por esta razão, foi possível construir para o Alhambra painéis de azulejos onde estão representadas as 17 possibilidades matemáticas de preencher um plano.

O seguinte pedaço de um painel do Alhambra é, de acordo com o fluxograma da mensagem «0123», do tipo p6, um tipo que não é possível encontrar onde a ornamentação se baseia nos azulejos quadriculados:

Papel de parede do tipo «p6»:

tem pelo menos um centro de rotação;

a sua menor rotação é de 60º;

não tem simetrias axiais

Fonte (texto e imagens): artigo no sítio do Museo de la Alhambra

[0179] Uma medida para a complexidade organizacional: a necessidade de tradutores

Li há anos uma entrevista em que alguém, para exemplificar as crescentes dificuldades administrativos da União Europeia, demostrou como o lento aumento de países membros levava a um rápido aumento dos tradutores.

Não é complicado fazer as contas.

Se apenas houver uma língua, não são necessários tradutores.

Se as línguas forem duas, basta um tradutor.

Se as línguas passarem a três, são necessários mais dois tradutores, para traduzirem a nova língua em relação às duas anteriores.

Com este raciocínio para a terceira língua podemos generalizar para cada nova língua que se lhe seguir: ela exigirá tantos novos tradutores quantas as línguas que já existiam antes!

Torre de Babel (Pieter Brueghel, o Velho, 1563)

Então é possível ir calculando quantos tradutores são necessários à medida que o número de línguas for crescendo (supõe-se que basta um só tradutor para cada par de línguas; na União Europeia devem ser necessários muitos mais …):

Para N línguas, o número de tradutores será então igual a

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + (N – 2) + (N – 1),

o que é igual a

(N² – N) : 2

Este problema é equivalente a um outro, muito usado nas aulas de Matemática do 3º Ciclo, o dos apertos de mão: num determinado encontro participam N pessoas; se todas se cumprimentarem, quantos apertos de mão serão dados?

Qualquer destas versões também pode ser usada na Matemática do Secundário para ilustrar as Combinações de N elementos 2 a 2.

No caso ilustrado pela União Europeia, o crescimento do número de países (N) implica um crescimento ainda mais rápido do número de tradutores. Diz-se, na Matemática, que é um crescimento do tipo polinomial, por ser dado por uma expressão com a forma de um polinómio, (N² – N) : 2, que também se pode escrever como ½ N² - ½ N.

Trata-se de um rápido crescimento da complexidade, mas há outros que são ainda mais radicais …

[0178] Sobre o quinto Objectivo do Desenvolvimento Sustentável: igualdade de género

Na mensagem «0080» foram genericamente apresentados os dezassete Objectivos de Desenvolvimento Sustentável que as Nações Unidas propuseram aos governos e aos cidadãos do mundo cumprir entre 2015 e 2030.

Na mensagem «0154» referi o primeiro desses objectivos, erradicar a pobreza, na «0157» o segundo, erradicar a fome, na «0169» o terceiro, saúde de qualidade e na «0176» o quarto, educação de qualidade.

O 5º desses objectivos é:

Em https://unric.org/pt/objetivos-de-desenvolvimento-sustentavel ele foi-nos apresentado assim:

Objetivo 5: Igualdade de género

Acabar com todas as formas de discriminação contra todas as mulheres e meninas, em toda parte.

Eliminar todas as formas de violência contra todas as mulheres e meninas nas esferas públicas e privadas, incluindo o tráfico e exploração sexual e de outros tipos.

Eliminar todas as práticas nocivas, como os casamentos prematuros, forçados e envolvendo crianças, bem como as mutilações genitais femininas.

Reconhecer e valorizar o trabalho de assistência e doméstico não remunerado, por meio da disponibilização de serviços públicos, infraestrutura e políticas de proteção social, bem como a promoção da responsabilidade partilhada dentro do lar e da família, conforme os contextos nacionais.

Garantir a participação plena e efetiva das mulheres e a igualdade de oportunidades para a liderança em todos os níveis de tomada de decisão na vida política, económica e pública.

Assegurar o acesso universal à saúde sexual e reprodutiva e os direitos reprodutivos, em conformidade com o Programa de Ação da Conferência Internacional sobre População e Desenvolvimento e com a Plataforma de Ação de Pequim e os documentos resultantes de suas conferências de revisão.

Realizar reformas para dar às mulheres direitos iguais aos recursos económicos, bem como o acesso à propriedade e controle sobre a terra e outras formas de propriedade, serviços financeiros, herança e os recursos naturais, de acordo com as leis nacionais.

Aumentar o uso de tecnologias de base, em particular as tecnologias de informação e comunicação, para promover o empoderamento das mulheres.

Adotar e fortalecer políticas sólidas e legislação aplicável para a promoção da igualdade de género e o empoderamento de todas as mulheres e meninas em todos os níveis.

Hoje, 8 de Junho, é Dia Mundial dos Oceanos, tendo as Nações Unidas escolhido como um dos temas centrais para esta celebração O género e o oceano.

Os argumentos resumidamente apresentados para esta escolha referem que:

·      as mulheres e as crianças têm um risco 14 vezes superior de ser atingidas pelas catástrofes naturais (e as perturbações provocadas pelas mudanças climáticas atingem, em particular, as costas marítimas);

·      os conhecimentos sobre o mar e as pescas são transmitidos quer por via paterna quer por via materna;

·      metade dos trabalhadores na aquacultura são mulheres, que recebem apenas 64 % do que os homens recebem como salário, tendo ainda menor acesso aos cargos onde são tomadas as decisões;

·      só 2 % dos 1,2 milhões de marinheiros são mulheres;

·      só 24 % dos membros dos parlamentos e 38 % dos cientistas marinhos são mulheres.

São argumentos importantes.

Mas, parece-me, têm pelo menos dois pontos fracos:

·      a participação nas decisões deve ser garantida a todas as mulheres (e a todos os homens) e não defendida apenas para que umas e outros disponham de cargos representativos;

·    não se deve pressupor uma igualdade percentual de género em toda e qualquer profissão (50 % de mulheres, 50 % de homens), mas sim combater qualquer sinal de descriminação no acesso profissional (do tipo: elas querem, eles não deixam; ou vice-versa).

Fonte: sítio da Nações Unidas (para o Dia Mundial dos Oceanos)

[0177] Um diagnóstico precoce do «princípio meritocrático»

O sociólogo britânico Michael Young (1915-2002) publicou em 1958 um ensaio prospectivo a que chamou The Rise of the Meritocracy.

Escreveu-o como um livro de ficção científica, no qual um sociólogo, em 2033, analisa a estratificação social resultante de uma longa e sistemática aplicação do princípio meritocrático a toda a população, através das escolas:

Emmanuel Todd (nascido em 1951) citou desse ensaio o seguinte pedaço:

Segundo as novas regras, a divisão entre classes revelou-se mais forte do que era segundo as antigas; o estatuto das classes superiores é, doravante, mais elevado, o das inferiores, mais baixo. […] Todos os historiadores sabem que o conflito de classe era endémico na época anterior ao reinado do mérito, e poderia esperar-se, tendo em vista a sua experiência passada, que o abaixamento rápido do estatuto de uma classe social conduzisse necessariamente ao agravamento dos conflitos. Donde a questão: porque é que as alterações do século passado não conduziram a uma tal situação? Porque é que a sociedade é estável apesar do fosso que se amplia entre o seu topo e a sua base?

A razão fundamental para tal facto é que a estratificação social é agora, de acordo com a ideia de mérito, aceite a todos os níveis da sociedade. Há um século, as classes inferiores tinham a sua própria ideologia – nos seus traços essenciais, aquela que hoje em dia se tornou dominante – e podiam utilizá-la para elas próprias progredirem e para atacarem os seus dominantes. Negavam a legitimidade da posição das classes superiores. Com o novo princípio, as classes inferiores já não podem, contudo, ter uma ideologia específica oposta ao ethos social dominante, do mesmo modo como as ordens inferiores não a tinham no período áureo do feudalismo. Na medida em que, tanto na base como no topo da sociedade, se admite que o mérito deve reinar, os membros das classes inferiores podem quando muito contestar o modo como a seleção foi efetuada, mas não opor-se a uma norma a que todos aderem. Nada de chocante neste estádio. Não cumpriríamos todavia o nosso dever de sociólogos se nos esquivássemos no momento de sublinhar que a aceitação generalizada do mérito como árbitro apenas pode condenar ao desespero e à impotência todos aqueles, e são numerosos, que não têm mérito …

Fonte: Todd (2018; pp. 309-311)

Imagem: Wikipédia (em inglês)