[0151] No Dia Internacional do Xadrez, uma pequena história sobre os tempos actuais

Para uns, o Dia Internacional do Xadrez comemora-se a 19 de Novembro, lembrando o dia em que nasceu José Raúl Capablanca (1888-1942), um dos mais extraordinários xadrezistas de sempre.

Para outros, mais institucionais, ele comemora-se a 20 de Novembro, para lembrar o dia em que a Federação Internacional de Xadrez (FIDE) foi fundada, em 1924.

Habituei-me ao primeiro destes dias, e prefiro a razão da sua escolha.

Está neste momento a decorrer, em Londres, mais uma final do Campeonato Mundial de Xadrez, individual. Defrontam-se Magnus Carlsen, norueguês, o campeão em título, e Fabiano Caruana, norte-americano, que venceu os restantes candidatos ao encontro final.

Na 6ª partida entre estes dois jogadores, que terminou empatada, tal como as anteriores (e, entretanto, também a 7ª partida), Carlsen, jogando com as peças brancas, dispunha da seguinte posição, antes do seu 67º movimento:

Para defender o seu Peão na casa f5 (ameaçado pelo Cavalo), optou por deslocar o Rei para a casa g6 (o que se regista assim: 67. Kg6), uma das hipóteses de que dispunha. Como agora o Rei branco ameaçava o Peão negro em f6, Caruana jogou: 67. …; Bg5. E Carlsen ripostou com 68. Bc4:

Durante estes lances o supercomputador Stockfish analisava as sucessivas posições e, para quem tinha acesso aos seus cálculos, anunciou que Caruana tinha um lance que lhe garantia ganhar o jogo num máximo de 30 lances: 68. ...; Bh4 (o Bispo para a casa h4). Mas Caruana jogou 68. ...; Cf3 (o Cavalo para a casa f3) …

Na conferência de imprensa que se segue ao final de cada um destes jogos os dois jogadores mostraram-se surpreendidos com a análise do Stockfish (em português: Bacalhau). E Carlsen chegou mesmo a dizer: “Eu não vou discordar dos computadores. Simplesmente não o entendo.”

Fontes: sítio da Chess.com (para a história e os diagramas); Wikipédia (para o Dia Internacional do Xadrez)

[0150] Mais três livros, sobre a Evolução, a Antropologia e a História

Recebi em Setembro, através de uma rede social, o seguinte desafio:

em cada um de sete dias seguidos divulgar a capa de um livro de cuja leitura tivesse gostado, sem qualquer outra explicação além da imagem …

Nas mensagens «0144» e «0145» dei a conhecer os quatro primeiros livros que escolhi e um pouco das razões pelas quais o fiz. Desta vez abordo os três últimos. Nenhum tem a ver com a Matemática: ser professor, e ser cidadão, exigem uma atenção muito para além da especialização; e para um professor convicto dos currículos abertos, essa exigência é ainda maior.

Stephen Jay Gould (1941-2002) descreve como os fósseis preservados desde há 530 milhões de anos nos xistos de Burguess, no Canadá, preservaram uma extraordinária variedade de seres que viviam nos mares de então, muito mais diversos do que os seres que vivem nos actuais mares.

A partir do estudo deste caso, concluiu que a contingência também tem um papel na evolução, pelo que, extrapolando para nós próprios, afirmou: “O Homo sapiens é uma entidade, não uma tendência.” “Somos fruto da história e temos de estabelecer os nossos próprios caminhos no mais diverso e interessante dos universos concebíveis – um universo que é indiferente ao nosso sofrimento, mas nos oferece a maior das liberdades para vingarmos, ou para falharmos, no percurso que escolhemos.”

Clifford Geertz (1926-2006) explica, na introdução, aquilo a que se propôs ao reunir alguns dos seus ensaios neste livro:

“Ver-nos como os outros nos vêem pode ser bastante esclarecedor. Acreditar que outros possuem a mesma natureza que possuímos é o mínimo que se espera de uma pessoa decente. A largueza de espírito, no entanto, sem a qual a objetividade é nada mais que autocongratulação, e a tolerância apenas hipocrisia, surge através de uma conquista muito mais difícil: a de ver-nos, entre outros, como apenas mais um exemplo da forma que a vida humana adotou em um determinado lugar, um caso entre casos, um mundo entre mundos. Se a antropologia interpretativa tem alguma função geral no mundo, é a de constantemente re-ensinar esta verdade fugaz.”

Marguerite Yourcenar (1903-1987) iniciou e abandonou por diversas vezes, durante décadas, o projecto de escrever sobre a vida do Imperador Adriano (76 – 138 d. C.). A explicação para as dificuldades encontradas e para a persistência com que não abandonou esse projecto está, de algum modo, resumida na seguinte anotação:

“Encontrei de novo num volume da correspondência de Flaubert, muito lido e muito sublinhado por mim pouco mais ou menos em 1927, a frase inesquecível «Não existindo já os deuses e não existindo ainda Cristo, houve, de Cícero a Marco Aurélio, um momento único em que só existiu o homem». Uma grande parte da minha vida ia passar-se a tentar definir, depois a escrever, esse homem sozinho e aliás ligado a tudo.”

Fontes: Gould (1995; pp. 331 e 334); Geertz (1998; p. 30); Yourcenar (1986; p. 249)

[0149] Três momentos interessantes na história da Magia

No livro de Luís de Matos (mensagem «0138») são contadas algumas histórias que nos permitem ter uma primeira ideia sobre a história da Magia.

O Papiro de Westcar, exposto no Museu Egípcio de Berlim, e cuja origem remonta a cerca de 1500 a. C., “contém cinco histórias que falam de milagres realizados por sacerdotes e mágicos” do Antigo Egipto.

Nele se refere “o mágico Dedi, descrito como tendo 110 anos de idade, capaz de comer 500 pães e beber 100 jarras de cerveja por dia, possuidor de mágicos poderes e capaz de fazer previsões”, figurando entre os seus feitos “a ressurreição de animais decapitados e a domesticação de leões.”

(retirado da Wikipédia e igualmente reproduzido em Matos, 2016)

Muito tempo depois, no início da nossa era, Herão de Alexandria criou, entre muitas outras máquinas que o tornaram célebre, uma a que chamou “Máquina Nº 37”.

Dispondo desta máquina, um sacerdote, ao chegar à entrada do templo onde o aguardava uma multidão de fiéis, acendia uma fogueira. Esta fazia aquecia a água que circulava através de canalizações secretas, que por sua vez accionava um mecanismo, invisível para quem assistia, que abria as enormes portas do templo e, provocando a “passagem de ar quente através de uma bateria de instrumentos de sopro”, produzia música:

(texto e imagem: Matos, 2016, p. 168)

No final século XVI começaram a ser publicados livros que mostravam como se podiam executar as magias que, até aí, eram consideradas sinais de poderes sobrenaturais.

«The Discovery of Witchcraft», de Reginald Scott, publicado em 1584, terá sido o primeiro desses livros, e pretendia, divulgando as magias, mostrar que elas não eram feitiçarias, protegendo assim aqueles que eram perseguidos por esta razão. O rei James, inglês, discordou de Scott e mandou destruir todos os exemplares deste livro.

A segunda edição de «The Discovery of Witchcraft» data de 1651 mas, entretanto, foram publicados livros semelhantes: em 1612 «The Art of Juggling»; em 1634 «Hocus Pocus Junior: The Anatomie of Legerdemain»; e muitos outros.

(imagens retiradas da Wikipédia: capa da edição de 1651; e

explicação do truque do degolamento de João Baptista aí figurada)

Fonte: Matos (2016; pp. 156, 168 e 188)

[0148] Uma classificação matemática dos «frisos»

Como classificar matematicamente os frisos das duas calçadas situadas no Rossio de Estremoz que foram referidos na mensagem «0140»?

A calçada / friso da esquerda possui um espelho longitudinal e duas famílias de espelhos verticais; e a calçada / friso da direita apenas possui duas famílias de espelhos verticais:

Para classificar estes frisos é necessário um fluxograma, estando a seguir apresentado, com adaptações, o que Arthur Coxford, Linda Burks, Claudia Giamati e Joyce Jonik propuseram:

Tendo o friso da esquerda simetrias de eixo vertical e simetria de eixo horizontal, é do tipo mm.

E o friso da direita, dispondo apenas de simetrias de eixo vertical é do tipo m1.

Fonte: Coxford, Burks, Giamati e Jonik (1993; p. 45)

[0147] A Galeria da Biodiversidade, no Porto

A Galeria da Biodiversidade e o Jardim Botânico que a rodeia fazem parte do Museu de História Natural e da Ciência da Universidade do Porto.

Há, na Galeria, quatro painéis que mostram aos visitantes folhas colhidas no Jardim, com a sua cor já desvanecida, naturalmente, cada qual colocada sobre um quadrado que lembra como ela era colorida ao ser apanhada. Eis um fragmento de um desses painéis:

A questão central que a Galeria coloca é: PORQUÊ PRESERVAR A DIVERSIDADE?

E as suas respostas, explícitas, recorrem à Estética, à Ética, à Economia e à Ciência.

Especialmente interessantes, sob os pontos de vista da Matemática, da Física e da Biologia, são os expositores que procuram explicar porque há certas formas geométricas que são frequentes na natureza (e, nela inspiradas, nas nossas culturas), como acontece com a Esfera, o Hexágono, a Catenária, a Espiral, a Hélice, o Fractal, a Onda e a Ponta.

Recorrendo àquilo de que me lembro, e completando-o com o que conheço, eis alguns exemplos que ilustram a existência destas formas geométricas no(s) mundo(s) natural (e cultural):

Fonte: painéis patentes ao público na Galeria da Biodiversidade

Fotografia: Eva Maria Blum

[0146] Em torno da Casa da Música

A Casa da Música, inaugurada em 2005 na Praça de Mouzinho de Albuquerque, no Porto, é um edifício bastante invulgar, da autoria do arquitecto holandês Rem Koolhaas:

Segundo Murielle Hladik, é possível que o desenho da Casa da Música tenha sido inspirado num dos sólidos (um romboedro truncado) que Albrecht Dürer (1471-1528) incluiu na sua célebre Melencolia I (uma gravura em cobre de 1514):

Tenha ou não tido essa inspiração, os óbvios fundamentos geométricos da Casa da Música levaram a que, para efeitos comemorativos, fosse desenhada uma sua planificação …

… e foi com base nela que o professor José Santos dos Santos, por sua vez, propôs (no nº 95 da revista Educação e Matemática) um conjunto de actividades destinadas a serem usadas em sala de aula.

Fontes: artigos de Hladik (2006) e Santos (2007), em revistas; e sítios da Wikipédia, da Technische Universität Bergakademie Freiberg (para gravura de Dürer) e da Arcspace (para a planificação)

Fotografia: Pedro Esteves

[0145] Três livros que me abriram perspectivas sobre a docência

Por que razão terei escolhido os outros seis livros, dos sete que referi na mensagem anterior?

Os primeiros três têm claramente a ver com a profissão de professor. Referi-me já a dois deles, nas mensagens «0001» e «0101». O Investigando a Terra chamou-me a atenção para a possibilidade de os currículos não se basearem em disciplinas separadas, mas em temas integradores:

E o Da Realidade à Ação mostrou-me como qualquer disciplina se baseia em muito mais do que no mundo dos especialistas que a codificam:

O quarto livro, Pontes para o Infinito, faz parte de um largo conjunto de livros que têm sido publicados com a intenção de nos mostrar que a Matemática pode modelar muitas facetas da realidade e, portanto, ajudar-nos a compreendê-las. Eles tanto nos proporcionam instrumentos para que os nossos alunos explorem as questões colocadas pela sua curiosidade, como por vezes nos induzem, um tanto tecnocraticamente, a encarar a Matemática como a chave do Universo:

Escreveu o autor deste livro, na respectiva introdução:

“Ao contrário dos demais cientistas, que observam a natureza por intermédio de todos os cinco sentidos, os matemáticos usam quase exclusivamente o sentido da imaginação. Isto é, os matemáticos estão tão familiarizados com o sexto sentido [a imaginação] como os músicos estão com os sons, os gastrónomos com os paladares e os aromas e os fotógrafos e cineastas com a vista. […]. Através das suas singulares criações, os matemáticos dão-nos informações da realidade sem a intenção, ou a capacidade de provar que algo existe ou não.”

Fonte: Guillen (1987; p. 13)

[0144] Uma onda de leitores à volta do mundo … e «Paris é uma Festa»

Em Setembro recebi numa determinada rede social o seguinte desafio:

em cada um de sete dias seguidos divulgar a capa de um livro de cuja leitura tivesse gostado, sem qualquer outra explicação além da imagem …

E a este desafio poderia acrescentar um outro:

em cada um desses dias, ou só nalguns deles, desafiar outra pessoa a fazer o mesmo …

Rapidamente fui assaltado por esta questão:

e se durante a minha semana de publicitante de 7 livros eu decidisse mesmo desafiar outros 7 publicitantes, e todos aceitassem fazê-lo, desafiando cada um deles mais outros 7, e assim sucessivamente, nunca nenhum se escusando a fazê-lo – se não houvesse repetição de publicitantes, quando estariam todos os leitores de livros do planeta abrangidos?

Não haveria problema se houvesse livros repetidos, apenas não deveria haver leitores repetidos. Eis o raciocínio que segui:

Não sei quantos são os leitores deste mundo (precisam de já ter aprendido a ler … e de ler livros), mas certamente serão menos do que a actual população mundial, que se estima ser um pouco superior a 7 mil milhões. Ao fim de 12 semanas desta publicitação teórica de livros ainda só um pouco mais de 2 mil milhões de leitores teriam nela participado; mas ao fim de 13 semanas já mais de 16 mil milhões o teriam feito, acima do dobro da população mundial … Em um pouco menos de 3 meses todos os leitores deste nosso mundo se poderiam sentir irmanados pelas suas leituras …

Acho que 5 dos 7 livros que escolhi como leitor foram ditados pelo meu percurso como professor. As excepções foram o primeiro e o último. Devo o primeiro a Ernest Hemingway (1899 – 1961) e escolhi-o porque eu também vivi durante um ano em Paris:

Mas: não será interessante para um professor ter vivido durante algum tempo noutro país, de modo a entender os seus alunos que (cada vez em maior número) têm ligações a outras culturas?

[0143] Magnólia, pioneira das plantas com flor

A Magnólia-branca (cujo nome científico é Magnolia grandiflora) é uma árvore originária do Sudeste do continente norte-americano e foi introduzida na Europa no século XVIII, sendo muito cultivada em jardins e parques.

A família das Magnoliáceas (de que a Magnólia-branca faz parte) foi pioneira na produção de flores, possuindo as suas estruturas reprodutivas e anatómicas semelhanças com as plantas que a antecederam.

As flores da Magnólia-branca são brancas, aromáticas e de dimensão invulgar (cerca de 25 centímetros de diâmetro), surgindo no final da Primavera. Por não possuírem néctar, a polinização é geralmente feita por escaravelhos, atraídos pelo seu aroma e pela possibilidade de se alimentarem das estruturas florais:

Os frutos estão estruturados como uma pinha, que atinge a maturidade no Outono e dispersa as sementes de cor vermelha, com a ajuda de aves e de mamíferos:

A vida na Terra só começou a produzir flores há cerca de 140 milhões de anos, no início do período Cretácico. Hoje as plantas com flor conta com umas 300 mil espécies, sendo o grupo de plantas dominante.

Num estudo internacional divulgado o ano passado, onde se combinou matematicamente as informações sobre a estrutura e sobre a genética das plantas com flor, conclui-se que a aparência das flores originais (no centro da imagem seguinte) seria próxima da aparência da actual flor da Magnólia, tendo sido a partir dela que todas as outras flores evoluíram:

Fontes: indicações públicas prestadas no Jardim Botânico da Universidade de Lisboa; notícia de Serafim (2017), de onde também foi extraída a imagem com a evolução das flores

Fotografias: Eva Maria Blum

[0142] Mais um motivo azulejar do Palácio da Vila, em Sintra

O quarto de D. João I no Palácio da Vila, em Sintra (ver mensagem «0141»), não estava revestido, no início do século XV, com os azulejos que actualmente nele podemos apreciar:

Estes azulejos foram aí colocados em meados do século XVI, contribuindo para que o quarto de D. João I seja hoje chamado Sala Árabe.

A impressão de uma escada infinita que estes azulejos nos proporcionam é-nos dada não por um tipo, mas três tipos de azulejos, um quadrado (verde) e dois paralelogramos (um azul, outro branco):

É o modo como estes três tipos de azulejos sugerem sucessivos paralelepípedos em perspectiva, tal como degraus, que nos provoca a impressão de estarmos perante uma escada infinita.

A classificação do padrão formado por estes azulejos de acordo com o organigrama da mensagem «0123» conduz às seguintes respostas: não há centros de rotação; não há simetrias axiais; e não há simetrias deslizantes. O padrão correspondente é o p1.

Fonte histórica: Ferro (2015; pp. 38-39)

Fotografias: Eva Maria Blum

[0141] O motivo pé-de-galo nos azulejos

No início do século XV, D. João I passava algumas temporadas em Sintra. Os seus aposentos no Palácio da Vila (também chamado, hoje, Palácio Nacional de Sintra) situavam-se em volta de um pátio interior, quadrangular, onde se ouvia correr a água e se estava rodeado por azulejos como estes:

A pintura destes azulejos recorreu à técnica da corda-seca, de modo a evitar que as diferentes cores se misturassem. E o seu motivo é designado por pé-de-galo, embora ele não esteja representado em cada azulejo - no caso deste painel, o pé-de-galo foi formado pelo modo como os azulejos foram emparelhados horizontalmente (destaque, a vermelho, de um desses pares):

Há no entanto um segredo na construção deste pé-de-galo: se apenas tivermos cópias do azulejo da esquerda, não conseguimos rodá-las no plano de modo a obter a figura proporcionada pelo azulejo da direita; ela só poderia surgir se tivéssemos um azulejo da esquerda transparente e o virássemos do avesso (a parte de trás para a frente).

Então, para formar um painel com o motivo pé-de-galo são necessários dois tipos de azulejo, uns correspondentes ao azulejo da esquerda e outros ao azulejo da direita.

Os azulejos pé-de-galo entre os quais D. João I passeava junto aos seus aposentos no Palácio da Vila formavam então painéis que possuíam as seguintes propriedades geométricas:

• duas famílias de espelhos, uma horizontal e outra vertical (a vermelho);
• uma família de espelhos verticais, com deslizamento (a azul), pois após a reflexão é necessário proceder a uma translação;
• três famílias de centros de rotação de 180º (a rosa).

Classificando matematicamente este painel (supostamente infinito), de acordo com o organigrama da mensagem «0123», ele é do tipo cmm.

Fonte histórica: Ferro (2015; p. 17)

Fotografia: Eva Maria Blum

Desenhos: Pedro Esteves

[0140] Dois frisos sobre os quais caminhamos, em Estremoz

Estremoz é uma cidade construída com a pedra que existe debaixo dos seus pés. A Torre de Menagem, erguida na transição do século XIII para o século XV, é toda ela de Mármore:

E, hoje, caminhamos sobre calçadas que não são de Calcário, como em Lisboa, pois foram calcetadas quase exclusivamente com os desperdícios de outras utilizações mais caras do Mármore, em branco, negro e até laranja:

 

Estas duas calçadas, situadas na praça central (o Rossio) são exemplos dos frisos da Matemática. Um deles possui um espelho longitudinal e duas famílias de espelhos verticais e o outro apenas possui duas famílias de espelhos verticais:

Fotografias: Eva Maria Blum

[0139] Programas escolares assépticos: os exemplos dos cursos «profissionais» e «alternativos»

No ensino básico, os alunos que acumulam reprovações e insistem em estudar são desviados do ensino geral para outros cursos: os Cursos de Educação e Formação, os Percursos Curriculares Alternativos e, há menos tempo, também para os Cursos Vocacionais.

Num estudo divulgado recentemente, a Direcção-Geral de Estatísticas da Educação e Ciência (DGEEC) concluiu que os alunos provenientes destes cursos que se matriculam nos Cursos Profissionais do ensino secundário são também os que aí têm menos sucesso. Estes cursos duram três anos. Entre os alunos que neles se inscreveram em 2014-15, ao fim de três anos 70 % dos vindos do ensino geral tinham-nos concluído e 6 % tinham abandonado os estudos, enquanto só 35,6 % dos vindos de outros cursos o tinham concluído e 30 % tinham abandonado os estudos:

Comentando o caso dos Percursos Curriculares Alternativos, o professor Paulo Guinote (citado pela jornalista Clara Viana) desabafou: “as escolas devem ter liberdade para definir o que consideram ser as respostas mais adequadas para os seus problemas de insucesso e abandono escolar”; é “indispensável” construir “um currículo mesmo alternativo”; por vezes “é indispensável a contratação de docentes com um perfil diferente”; mas a autonomia de que as escolas dispõem “é a mesma que tem um prisioneiro na forma de organizar o mobiliário da sua cela”.

Este é um primeiro exemplo que explica porquê os programas escolares são tão assépticos (mensagem «0129»): eles, traduzindo a intenção subjacente aos cursos a que dizem respeito, não são feitos para alunos concretos.

Fontes jornalísticas: Viana (2018a; 2018b)

[0138] A perfeita introdução ao mundo da magia!

Subdividido em 5 capítulos, Magia com Cartas, Magia Improvisada, Magia Mental, Magia de Salão e Magia Clássica, cada qual ilustrado através de 10 magias, este livro desvenda muitas das bases sobre as quais são construídas as ilusões no palco:

Intervalando com a apresentação das magias, Luís de Matos conta histórias que nos dão uma primeira e vasta imagem do que tem siso a História da Magia!

Entre elas encontra-se esta acertada comparação, que nos desvenda o fundamento psicológico de qualquer magia: “O poeta e novelista nigeriano Ben Okri disse um dia que «o mágico e o político têm muito em comum: ambos precisam de afastar a atenção daquilo que realmente estão a fazer.»”

Fonte: Matos (2016; p. 24)

[0137] Exemplo do mais simples dos frisos

Um dos três secadouros de bacalhau que existiram em Alcochete (situado na margem esquerda do Tejo, um pouco para montante de Lisboa) ainda tem hoje visíveis, embora em ruínas, quer os seus edifícios, quer os extensos suportes exteriores sobre os quais o bacalhau, aberto e salgado, era exposto ao Sol, para secar:

À distância não se percebe, mas o muro que veda este secadouro apresenta, ao longo da sua parte superior, uma interessante decoração, obtida através de um molde que impediu o seu preenchimento com cimento: um desfile de bacalhaus!

Na Arte e na Matemática chama-se a este efeito um friso.

Já foram apresentados e analisados alguns frisos nas mensagens «0070» e «0073».

Sob o ponto de vista da Matemática este friso de Alcochete é o mais simples dos frisos, por apenas possuir uma propriedade geométrica (que partilha, aliás, com todos os outros frisos): não é alterado se for sujeito a uma translação horizontal definida por um «vector» como o indicado abaixo (ou ± o seu dobro, ou ± o seu triplo, …):

Fotografias: Eva Maria Blum

[0136] A Geometria que a Terra nos oferece

Esta fotografia mostra um exemplo da beleza das rotundas de Castro Verde:

Fotografia de Eva Maria Blum

No centro desta rotunda encontra-se o Monumento à Riqueza do Subsolo, da autoria de António Trindade, inaugurado em 1999, e que a Câmara Municipal, como Arte Pública, oferece à contemplação dos visitantes do concelho.

Esta escultura representa cristais de Pirite, construídos com ferro laminado, soldado, tratado e protegido por uma cobertura cromática de poliuretano com pigmentos e cargas metálicas expressivas da cor deste minério.

O Sul e o Poente do concelho é atravessado pela Faixa Piritosa Ibérica, que se estende pelo Baixo Alentejo e por Espanha, e que resultou do vulcanismo submarino do início do período Carbónico (360 a 300 milhões de anos) levando à formação de jazigos minerais como os que são explorados na mina de Neves Corvo, situada no concelho de Castro Verde e a mais importante mina em actividade em Portugal.

A Pirite é composta por Ferro e Enxofre (fórmula química: FeS₂) e cristaliza quase sempre como um Cubo, um dos cinco sólidos platónicos.

Certamente que a formulação matemática destes sólidos na Antiga Grécia terá sido estimulada pela ocorrência natural de minerais como este.

Cristal de Pirite, originário de Espanha:

Imagem da Wikipédia (em português)

Fontes: sítios da Câmara Municipal de Castro Verde e da Ciência Hoje (notícia de 7 de Julho de 2008)

[0135] Algarismos para ver, para tocar, para ouvir …

A nossa mais frequente representação dos algarismos,

0, 1, 2, 3, …, 9,

é apenas uma das possibilidades que temos para o fazer. Historicamente, eles já foram representados de muitos outros modos e, hoje, para situações relacionadas com particularidades da transmissão ou da recepção, representamo-los através de interessantes alternativas.

Alfabeto semafórico

Usado por marinheiros e escuteiros.

O transmissor usa duas bandeiras, correspondendo dez das suas posições às primeiras letras do alfabeto e aos algarismos:

Para assinalar o início e o fim da transmissão de um número usam-se duas outras posições das bandeiras:

Alfabeto Braille

Foi criado pelo francês Louis Braille (1809 – 1852).

Destina-se a ser usado pelos invisuais, baseando-se na leitura pelo tacto: cada algarismo ou letra está representado numa malha rectangular (três de altura, dois de largura), sendo identificável por um padrão próprio de pequenos círculos que se salientam da superfície a ser lida.

Para chamar a atenção que vai ser lido um número usa-se um rectângulo com a seguinte configuração táctil …

… surgindo depois o número em causa, representado pelos seguintes algarismos:

Alfabeto Morse

Foi criado pelo norte-americano Samuel Morse (1791 – 1872), no âmbito de uma invenção maior, o telégrafo com fios.

Destina-se a transmitir mensagens a longa distância, sendo cada letra e cada algarismo representado por uma sequência auditiva própria, de «pontos» (som curto) e «traços» (som prolongado).

No caso dos algarismos, a cada um correspondem sempre cinco sons:

Fonte: Wikipédia

[0134] Uma família de quebra-cabeças que se podem inventar e resolver na areia

Traçando na areia da praia diversas figuras geométricas, compostas por segmentos de recta conexos (isto é, ligados uns aos outros), podemos encarar cada uma dessas figuras como um conjunto de arestas e de vértices.

Cinco exemplos:

Três desafios, um pouco diferentes:

• percorrer todas as arestas, uma e só uma vez;
• percorrer todas as arestas, uma e só uma vez, voltando ao ponto de partida;
• passar por todos os vértices, uma e só uma vez.

Das cinco figuras traçadas, quais permitem concretizar cada um destes desafios?

E, já que o tempo sobra na praia: formar novas figuras e ver que desafios se podem concretizar nelas!

[0133] Os azulejos produzidos industrialmente na antiga Fábrica de Cerâmica de Sacavém

Quem visita o Museu da Cerâmica de Sacavém (concelho de Loures) pode observar o seguinte painel de azulejos:

Fotografia de Eva Maria Blum

Trata-se de um dos muitos padrões de azulejo produzidos industrialmente na antiga Fábrica de Loiça de Sacavém, sendo frequente encontrá-lo a revestir o exterior de prédios urbanos.

Esta fábrica esteve activa entre 1850 e 1993, no local onde agora se situa o Museu da Cerâmica de Sacavém.

Tal como em todos os azulejos de padrão, este painel é gerado a partir de uma das suas unidades fundamentais (que neste caso pode ser um azulejo singular) através de um par de sucessivas translações (abaixo, as setas vermelhas exemplificam uma família dessas translações).

A única outra propriedade geométrica deste painel são as rotações de 180º, e dos seus múltiplos (abaixo estão indicados exemplos das quatro famílias de centros para essas rotações).

De acordo com os organigramas classificativos apresentados nas mensagens «0119» e «0123», este painel é um «papel de parede» do tipo p2.

[0132] O «Meio Urso», de Bordalo II

Jardim da Fundação Gulbenkian, em Lisboa:

Half Bear, de Bordalo II, uma obra da série Big Trash Animals.

O autor, nascido em 1987, considera-se pertencente a “uma geração extremamente consumista, materialista e gananciosa”. Com esta peça, de 2018, composta por dois ursos – a mãe com materiais reutilizados e cores naturais e o filho com as cores sintéticas do plástico – Bordalo II evoca “a ideia de que a próxima geração é ou será muito mais afetada pelos nossos erros do que nós.”

Fontes: identificação local da peça pela F. Gulbenkian; sítio de Bordalo II

Fotografias: Eva Maria Blum