[0387] Laboratórios de Matemática (IV): os problemas sobre calendários

Coleccionar problemas sobre um tema; explorar alguns deles com os alunos; registar o essencial das descobertas feitas; voltar, com outros alunos, à exploração desses problemas; e enriquecer com novos problemas esse tema– eis um exemplo do que pode ser num Laboratório de Matemática. E, para aqueles que só pensam em trabalhar em «sala de aula», uma parte deste trabalho pode ser, independentemente, aí feito!

Um tema bastante motivante para estes problemas é o dos Calendários: todos sentimos que as nossas vidas são ritmadas pelas regras estabelecidas para os anos, os meses e as semanas; e muitos de nós já se aperceberam de situações em que esses ritmos produzem padrões inesperados. Essas situações são uma das origens destes problemas!

Um problema simples ajuda a compreender a «interacção entre o ano e o mês»:
Que condições são necessárias para que um mês tenha cinco Domingos?

Tal como nos problemas seguintes, o professor conversa inicialmente com o grupo de alunos que o vai abordar (grupo que pode ser uma turma): que dúvidas são manifestadas, que pistas são sugeridas?
É provável que a conversa se encaminhe para o número de semanas que cabe num mês (os alunos já sabem que há 4 semanas num mês, quase sempre adicionadas por um extra de um a três dias, e também sabem que na grande maioria dos casos haverá semanas cortadas, uma no início e outra no fim do mês (com 3 semanas inteiras pelo meio).
É este o momento para perguntar de quanto em quanto tempo não haverá o referido extra de dias, para além das 4 semanas (isto para lembrar os anos bissextos).
Se os alunos não tiverem já começado a colocar questões, é a partir de agora que têm de o começar a fazer. E, também, a ensaiar e provar respostas: por exemplo, que haverá sempre pelo menos 4 Domingos num mês; e que, para haver um 5º Domingo, é necessário que ele se situe num dos tais dias extras (não importa se colocados no início ou no fim do mês).
Ou seja: qualquer mês (excepto os meses de Fevereiro dos anos bissextos) tem o número de dias suficiente para possuir 5 Domingos (condição necessária); mas, para tal, ainda precisa de um Domingo bem colocado (condição suficiente).

Outro problema, agora para ajudar a compreender a «interacção entre o ano e a semana»:
Em que dia da semana calha o meu aniversário?

É quase certo que a experiência pessoal da grande maioria dos alunos já lhes tenha ensinado que festejar este ano o aniversário a uma 4ª feira implica festejá-lo para o ano numa 5ª feira. Mas recordar-se-ão todos eles da influência que o ano bissexto tem nisso? E quanto à subtileza de essa influência se manifestar de forma diferente conforme o aniversário ocorrer antes ou depois do dia 28 de Fevereiro do ano bissexto?
Sobretudo, quantos terão compreendido a razão pela qual se este ano é à 4ª, então para o ano é à 5ª? Ao compreendê-lo, compreenderão também porquê um ano tem 52 semanas … (mais um dia, se não for bissexto).

Um problema que mistura a «estrutura dos meses» com a «interacção entre o ano e a semana»:
Quando teremos um «fim-de-semana alargado» com 4 dias?

Em Portugal, o dia 10 de Junho é feriado nacional; e, para os lisboetas, o dia 13 de Junho é feriado municipal, por se tratar do Dia de Santo António, o primeiro dia dos Santos Populares. Quando é que o dia 10 de Junho calha a uma 6ª feira, de modo que os lisboetas possam ter um fim-de-semana de 4 dias?
Para nos situarmos, convém também perguntar se ocorrerá uma situação destas em todos os concelhos do país, ou, pelo menos, perguntar aos alunos da escola em que esta questão seja levantada o que se passa no seu concelho!
Vejamos então o caso de Lisboa (caso haja motivação dos alunos para o saber). Começando em 2022 (o último ano que foi solução deste problema), os alunos podem construir um tabela que lhes permite marcar, ano a ano, os dias da semana em que o 10 de Junho calha (o que se clarificou no problema anterior ajuda a perceber como isso se faz):

Trata-se de um método experimental, mas isso não deve ser uma preocupação num Laboratório de Matemática, pois todos os matemáticos fazem experiências quando ainda não sabem resolver um problema!
Observando a tabela, os alunos poderão notar que há um padrão que dura 28 anos! E alguns talvez concluam que a média com que este feriado calha à 6ª feira é, em cada período de 28 anos (e portanto para qualquer número inteiro destes períodos), exactamente igual a 1/7 do total de anos passados!
Será finalmente interessante perceber que os 28 anos anos que dura este período resulta do produto de 4 (os anos que separam dois anos bissextos) por 7 (os dias da semana)!

Agora um problema sobre a «interacção entre dia da semana e uma sucessão indefinida de anos»:
Quando é que o meu aniversário calha no mesmo dia da semana em que nasci?

A origem deste problema está num amigo meu, o Jorge Conceição, que num dos seus aniversários se apercebeu de que podia haver um padrão na resposta (e ele encontrou-o).

Há quatro situações mais frequentes, conforme haja um 29 de Fevereiro no mesmo ano em que alguém comemorou o seu 1º aniversário, ou antes dele, ou entre o 1º e o 2º aniversário, ou entre o 2º e o 3º, ou entre o 3º e o 4º.
Supondo que o nascimento ocorreu no dia da semana «1» (o qual pode corresponder a qualquer dia real, desde 2ª feira a Domingo), os sucessivos dias de aniversário, para estes quatro casos, são:

A cada um dos quatro casos corresponde um ciclo (a ler, em cada coluna, como anos acumulados entre duas casas amarelas consecutivas, incluindo a casa amarela de chegada):
* 1º ciclo: 5 + 6 + 11 + 6 = 28;
* 2º ciclo: 11 + 6 + 5 + 6 = 28;
* 3º ciclo: 6 + 5 + 6 = + 11 = ) 28;
* 4º ciclo: 6 + 11 + 6  + 5 = 28.

Todos estes ciclos acabam por pertencer, em momentos diferentes, ao um mesmo ciclo:

É possível que um aluno ou uma aluna mais arguto perceba que, perto da transição entre séculos, conforme se verá no próximo problema, surjam casos em que é necessário esperar mais anos pelo próximo 29 de Fevereiro.
Também é diferente o caso em que alguém nasce num dia 29 de Fevereiro, mas esse é um caso que se pode resolver precisamente através do problema que se segue ...

Decidi chamar a este «O Problema de Bill Ramsey»:
Quando é que um acontecimento que se repete todas as semanas, sempre no mesmo dia da semana, e que, tendo ocorrido num determinado ano a 29 de Fevereiro, volta a ocorrer noutro 29 de Fevereiro?

Bill Ramsey, um músico de jazz, foi um dos americanos que foi fazer serviço militar na Alemanha após o final da IIª Guerra Mundial. Acabou por ficar na Alemanha, onde a dada altura animou na rádio um programa de jazz, transmitido aos fins de tarde das sextas-feiras na HR3 de Frankfurt am Main. No dia 29 de Fevereiro de 2008, a abrir ou a fechar o programa, ele comentou que poucas vezes teria a oportunidade de o seu programa se realizar no último dia de Fevereiro de um ano bissexto ... E assim, para mim, nasceu este problema!

Tal como o anterior, este não é um problema para ser resolvido na « sala de aula». E também não o será qualquer aluno que, interessando-se por ele, o consiga resolver. Talvez alguns dos alunos do Ensino Secundário decidam enfrentá-lo; e certamente um professor os deve apoiar – pode durar as horas vagas de alguns uns dias, ou até de alguns meses, mas, no fim, a resolução até poderá dar origem a uma pequena «memória», assinada por quem a conseguiu, a divulgar, por exemplo, num jornal de escola ou, porque não, numa revista de alunos de várias escolas, sobre «o que se faz nas suas escolas».

Comparado com o problema anterior, surge aqui um padrão muito mais largo, dado haver fins de século em que, sendo esse ano múltiplo de quatro, não é considerado ano bissexto. Esses fins de século ocorrem de 4 em 4 séculos, tendo o último sido em 1700. Então o último período de quatro séculos em que é possível estudar este fenómeno é 1600-2000.
Dado 1 de Janeiro de 1600 ter sido um Sábado e este ano ter sido bissexto, a repetição da ocorrência do 1 de Janeiro a um Sábado segue o 1º ciclo do problema anterior, + 5 + 6 + 11 + 6, de 1600 até 1627:
* Os anos 1600, 1605, 1611 e 1622 foram iniciados ao Sábado;
* Houve um ano bissexto iniciado em cada um dos dias da semana: 1600 ao Sábado, 1604 à 5ª feira, 1608 à 3ª feira, 1612 ao Domingo, 1616 à 6ª feira, 1620 à 4ª feira e 1624 à 2ª feira;
* E houve 3 anos não bissextos iniciados em cada um dos dias da semana: de 1601 a 1603, 2ª, 3ª e 4ª feiras; 1605 a 1607, Sábado, Domingo e 2ª feira; 1609 a 1611, 5ª e 6ª feiras e Sábado; 1613 a 1615, 3ª, 4ª e 5ª feiras; 1617 a 1619, Domingo e 2ª e 3ª feiras; 1621 a 1623, 6ª feira, Sábado e Domingo; 1625 a 1627, 4ª, 5ª e 6ª feiras.

Ao ciclo correspondente a 1600-1627 seguem-se dois ciclos iguais, 1628-1655 e 1656-1683, não lhe podendo suceder-lhes outro ciclo igual devido à quebra de ano bissexto introduzida em 1700.
Prosseguindo est e levantamento, em parte histórico e em parte matemático, conclui-se haver diversos ciclos médios dentro do grande ciclo de 400 anos, o que obriga a resposta «absoluta» para o Problema de Bill Ramsey a ser «probabilística».

Mas sabendo-se que o problema foi formulado no dia 29 de Fevereiro de 2008, uma 6ª feira, poderíamos ter-nos contentado com informar o Bill Ramsey sobre quando o seu programa voltaria a ocorrer de acordo com aquelas duas condições.
O raciocínio pode ser este (escolhendo o tempo verbal de 2026):
* O tempo que medeia entre dois dias 29 de Fevereiro consecutivos é de 1461 dias (3 x 365 + 366);
* Dividindo 1461 por 7, o resto é 5, ou seja, se o 29 de Fevereiro de 2008 ocorreu a uma 6ª feira, o de 2012 ocorreu numa 4ª feira;
* Assim, o de 2016 ocorreu numa 2ª feira, o de 2020 num Sábado, o de 2024 numa 5ª feira e os de 2030, 2032 e 2026 ocorrerão, respectivamente, numa 3ª feira, num Domingo e … numa 6ª feira!

Temos aqui, de novo, o conhecido período de 28 anos!
Assim, este século, a estação de rádio HR3 de Frankfurt bem pode recordar o Bill Ramsey (nascido em 1931 e falecido em 2021) em 2036, 2064 e 2092!

Para os curiosos, aqui vai uma possibilidade de ouvir Bill Ramsey:

É possível que um aluno ou uma aluna mais arguto perceba que, perto da transição entre séculos, conforme se verá no próximo problema, surjam casos em que é necessário esperar mais anos pelo próximo 29 de Fevereiro.
Também é diferente o caso em que alguém nasce num dia 29 de Fevereiro, mas esse é um caso que se pode resolver precisamente através do problema que se segue ...

Decidi chamar a este «O Problema de Bill Ramsey»:
Quando é que um acontecimento que se repete todas as semanas, sempre no mesmo dia da semana, e que, tendo ocorrido num determinado ano a 29 de Fevereiro, volta a ocorrer noutro 29 de Fevereiro?

Bill Ramsey, um músico de jazz, foi um dos americanos que foi fazer serviço militar na Alemanha após o final da IIª Guera Mundial. Acabou por ficar na Alemanha, onde a dada altura animou na rádio um programa de jazz, transmitido aos fins de tarde das sextas-feiras na HR3 de Frankfurt am Main. No dia 29 de Fevereiro de 2008, a abrir ou a fechar o programa, ele comentou que poucas vezes teria a oportunidade de o seu programa se realizar no último dia de Fevereiro de um ano bissexto ... E assim, para mim, nasceu este problema!

Tal como o anterior, este não é um problema para ser resolvido na « sala de aula». E também não o será qualquer aluno que, interessando-se por ele, o consiga resolver. Talvez alguns dos alunos do Ensino Secundário decidam enfrentá-lo; e certamente um professor os deve apoiar – pode durar as horas vagas de alguns uns dias, ou até de alguns meses, mas, no fim, a resolução até poderá dar origem a uma pequena «memória», assinada por quem a conseguiu, a divulgar, por exemplo, num jornal de escola ou, porque não, numa revista de alunos de várias escolas, sobre «o que se faz nas suas escolas».

Comparado com o problema anterior, surge aqui um padrão muito mais largo, dado haver fins de século em que, sendo esse ano múltiplo de quatro, não é considerado ano bissexto. Esses fins de século ocorrem de 4 em 4 séculos, tendo o último sido em 1700. Então o último periodo de quatro séculos em que é possível estudar este fenómeno é 1600-2000.
Dado 1 de Janeiro de 1600 ter sido um Sábado e este ano ter sido bissexto, a repetição da ocorrência do 1 de Janeiro a um Sábado segue o 1º ciclo do problema anterior, + 5 + 6 + 11 + 6, de 1600 até 1627:
* Os anos 1600, 1605, 1611 e 1622 foram iniciados ao Sábado;
* Houve um ano bissexto iniciado em cada um dos dias da semana: 1600 ao Sábado, 1604 à 5ª feira, 1608 à 3ª feira, 1612 ao Domingo, 1616 à 6ª feira, 1620 à 4ª feira e 1624 à 2ª feira;
* E houve 3 anos não bissextos iniciados em cada um dos dias da semana: de 1601 a 1603, 2ª, 3ª e 4ª feiras; 1605 a 1607, Sábado, Domingo e 2ª feira; 1609 a 1611, 5ª e 6ª feiras e Sábado; 1613 a 1615, 3ª, 4ª e 5ª feiras; 1617 a 1619, Domingo e 2ª e 3ª feiras; 1621 a 1623, 6ª feira, Sábado e Domingo; 1625 a 1627, 4ª, 5ª e 6ª feiras.

Ao ciclo correspondente a 1600-1627 seguem-se dois ciclos iguais, 1628-1655 e 1656-1683, não lhe podendo suceder-lhes outro ciclo igual devido à quebra de ano bissexto introduzida em 1700.
Prosseguindo est e levantamento, em parte histórico e em parte matemático, conclui-se haver diversos ciclos médios dentro do grande ciclo de 400 anos, o que obriga a resposta «absoluta» para o Problema de Bill Ramsey a ser «probabilística».

Mas sabendo-se que o problema foi formulado no dia 29 de Fevereiro de 2008, uma 6ª feira, poderíamos ter-nos contentado com informar o Bill Ramsey sobre quando o seu programa voltaria a ocorrer de acordo com aquelas duas condições.
O raciocínio pode ser este (escolhendo o tempo verbal de 2026):
* O tempo que medeia entre dois dias 29 de Fevereiro consecutivos é de 1461 dias (3 x 365 + 366);
* Dividindo 1461 por 7, o resto é 5, ou seja, se o 29 de Fevereiro de 2008 ocorreu a uma 6ª feira, o de 2012 ocorreu numa 4ª feira;
* Assim, o de 2016 ocorreu numa 2ª feira, o de 2020 num Sábado, o de 2024 numa 5ª feira e os de 2030, 2032 e 2026 ocorrerão, respectivamente, numa 3ª feira, num Domingo e … numa 6ª feira!

Temos aqui, de novo, o conhecido período de 28 anos!
Assim, este século, a estação de rádio HR3 de Frankfurt bem pode recordar o Bill Ramsey (nascido em 1931 e falecido em 2021) em 2036, 2064 e 2092!

Para os curiosos, aqui vai uma possibilidade de ouvir Bill Ramsey:

https://www.youtube.com/watch?v=N7-PvJui03M

Tabelas e diagramas: Pedro Esteves