[0141] O motivo pé-de-galo nos azulejos

No início do século XV, D. João I passava algumas temporadas em Sintra. Os seus aposentos no Palácio da Vila (também chamado, hoje, Palácio Nacional de Sintra) situavam-se em volta de um pátio interior, quadrangular, onde se ouvia correr a água e se estava rodeado por azulejos como estes:

A pintura destes azulejos recorreu à técnica da corda-seca, de modo a evitar que as diferentes cores se misturassem. E o seu motivo é designado por pé-de-galo, embora ele não esteja representado em cada azulejo - no caso deste painel, o pé-de-galo foi formado pelo modo como os azulejos foram emparelhados horizontalmente (destaque, a vermelho, de um desses pares):

Há no entanto um segredo na construção deste pé-de-galo: se apenas tivermos cópias do azulejo da esquerda, não conseguimos rodá-las no plano de modo a obter a figura proporcionada pelo azulejo da direita; ela só poderia surgir se tivéssemos um azulejo da esquerda transparente e o virássemos do avesso (a parte de trás para a frente).

Então, para formar um painel com o motivo pé-de-galo são necessários dois tipos de azulejo, uns correspondentes ao azulejo da esquerda e outros ao azulejo da direita.

Os azulejos pé-de-galo entre os quais D. João I passeava junto aos seus aposentos no Palácio da Vila formavam então painéis que possuíam as seguintes propriedades geométricas:

• duas famílias de espelhos, uma horizontal e outra vertical (a vermelho);
• uma família de espelhos verticais, com deslizamento (a azul), pois após a reflexão é necessário proceder a uma translação;
• três famílias de centros de rotação de 180º (a rosa).

Classificando matematicamente este painel (supostamente infinito), de acordo com o organigrama da mensagem «0123», ele é do tipo cmm.

Fonte histórica: Ferro (2015; p. 17)

Fotografia: Eva Maria Blum

Desenhos: Pedro Esteves

[0140] Dois frisos sobre os quais caminhamos, em Estremoz

Estremoz é uma cidade construída com a pedra que existe debaixo dos seus pés. A Torre de Menagem, erguida na transição do século XIII para o século XV, é toda ela de Mármore:

E, hoje, caminhamos sobre calçadas que não são de Calcário, como em Lisboa, pois foram calcetadas quase exclusivamente com os desperdícios de outras utilizações mais caras do Mármore, em branco, negro e até laranja:

 

Estas duas calçadas, situadas na praça central (o Rossio) são exemplos dos frisos da Matemática. Um deles possui um espelho longitudinal e duas famílias de espelhos verticais e o outro apenas possui duas famílias de espelhos verticais:

Fotografias: Eva Maria Blum

[0139] Programas escolares assépticos: os exemplos dos cursos «profissionais» e «alternativos»

No ensino básico, os alunos que acumulam reprovações e insistem em estudar são desviados do ensino geral para outros cursos: os Cursos de Educação e Formação, os Percursos Curriculares Alternativos e, há menos tempo, também para os Cursos Vocacionais.

Num estudo divulgado recentemente, a Direcção-Geral de Estatísticas da Educação e Ciência (DGEEC) concluiu que os alunos provenientes destes cursos que se matriculam nos Cursos Profissionais do ensino secundário são também os que aí têm menos sucesso. Estes cursos duram três anos. Entre os alunos que neles se inscreveram em 2014-15, ao fim de três anos 70 % dos vindos do ensino geral tinham-nos concluído e 6 % tinham abandonado os estudos, enquanto só 35,6 % dos vindos de outros cursos o tinham concluído e 30 % tinham abandonado os estudos:

Comentando o caso dos Percursos Curriculares Alternativos, o professor Paulo Guinote (citado pela jornalista Clara Viana) desabafou: “as escolas devem ter liberdade para definir o que consideram ser as respostas mais adequadas para os seus problemas de insucesso e abandono escolar”; é “indispensável” construir “um currículo mesmo alternativo”; por vezes “é indispensável a contratação de docentes com um perfil diferente”; mas a autonomia de que as escolas dispõem “é a mesma que tem um prisioneiro na forma de organizar o mobiliário da sua cela”.

Este é um primeiro exemplo que explica porquê os programas escolares são tão assépticos (mensagem «0129»): eles, traduzindo a intenção subjacente aos cursos a que dizem respeito, não são feitos para alunos concretos.

Fontes jornalísticas: Viana (2018a; 2018b)

[0138] A perfeita introdução ao mundo da magia!

Subdividido em 5 capítulos, Magia com Cartas, Magia Improvisada, Magia Mental, Magia de Salão e Magia Clássica, cada qual ilustrado através de 10 magias, este livro desvenda muitas das bases sobre as quais são construídas as ilusões no palco:

Intervalando com a apresentação das magias, Luís de Matos conta histórias que nos dão uma primeira e vasta imagem do que tem siso a História da Magia!

Entre elas encontra-se esta acertada comparação, que nos desvenda o fundamento psicológico de qualquer magia: “O poeta e novelista nigeriano Ben Okri disse um dia que «o mágico e o político têm muito em comum: ambos precisam de afastar a atenção daquilo que realmente estão a fazer.»”

Fonte: Matos (2016; p. 24)

[0137] Exemplo do mais simples dos frisos

Um dos três secadouros de bacalhau que existiram em Alcochete (situado na margem esquerda do Tejo, um pouco para montante de Lisboa) ainda tem hoje visíveis, embora em ruínas, quer os seus edifícios, quer os extensos suportes exteriores sobre os quais o bacalhau, aberto e salgado, era exposto ao Sol, para secar:

À distância não se percebe, mas o muro que veda este secadouro apresenta, ao longo da sua parte superior, uma interessante decoração, obtida através de um molde que impediu o seu preenchimento com cimento: um desfile de bacalhaus!

Na Arte e na Matemática chama-se a este efeito um friso.

Já foram apresentados e analisados alguns frisos nas mensagens «0070» e «0073».

Sob o ponto de vista da Matemática este friso de Alcochete é o mais simples dos frisos, por apenas possuir uma propriedade geométrica (que partilha, aliás, com todos os outros frisos): não é alterado se for sujeito a uma translação horizontal definida por um «vector» como o indicado abaixo (ou ± o seu dobro, ou ± o seu triplo, …):

Fotografias: Eva Maria Blum

[0136] A Geometria que a Terra nos oferece

Esta fotografia mostra um exemplo da beleza das rotundas de Castro Verde:

Fotografia de Eva Maria Blum

No centro desta rotunda encontra-se o Monumento à Riqueza do Subsolo, da autoria de António Trindade, inaugurado em 1999, e que a Câmara Municipal, como Arte Pública, oferece à contemplação dos visitantes do concelho.

Esta escultura representa cristais de Pirite, construídos com ferro laminado, soldado, tratado e protegido por uma cobertura cromática de poliuretano com pigmentos e cargas metálicas expressivas da cor deste minério.

O Sul e o Poente do concelho é atravessado pela Faixa Piritosa Ibérica, que se estende pelo Baixo Alentejo e por Espanha, e que resultou do vulcanismo submarino do início do período Carbónico (360 a 300 milhões de anos) levando à formação de jazigos minerais como os que são explorados na mina de Neves Corvo, situada no concelho de Castro Verde e a mais importante mina em actividade em Portugal.

A Pirite é composta por Ferro e Enxofre (fórmula química: FeS₂) e cristaliza quase sempre como um Cubo, um dos cinco sólidos platónicos.

Certamente que a formulação matemática destes sólidos na Antiga Grécia terá sido estimulada pela ocorrência natural de minerais como este.

Cristal de Pirite, originário de Espanha:

Imagem da Wikipédia (em português)

Fontes: sítios da Câmara Municipal de Castro Verde e da Ciência Hoje (notícia de 7 de Julho de 2008)

[0135] Algarismos para ver, para tocar, para ouvir …

A nossa mais frequente representação dos algarismos,

0, 1, 2, 3, …, 9,

é apenas uma das possibilidades que temos para o fazer. Historicamente, eles já foram representados de muitos outros modos e, hoje, para situações relacionadas com particularidades da transmissão ou da recepção, representamo-los através de interessantes alternativas.

Alfabeto semafórico

Usado por marinheiros e escuteiros.

O transmissor usa duas bandeiras, correspondendo dez das suas posições às primeiras letras do alfabeto e aos algarismos:

Para assinalar o início e o fim da transmissão de um número usam-se duas outras posições das bandeiras:

Alfabeto Braille

Foi criado pelo francês Louis Braille (1809 – 1852).

Destina-se a ser usado pelos invisuais, baseando-se na leitura pelo tacto: cada algarismo ou letra está representado numa malha rectangular (três de altura, dois de largura), sendo identificável por um padrão próprio de pequenos círculos que se salientam da superfície a ser lida.

Para chamar a atenção que vai ser lido um número usa-se um rectângulo com a seguinte configuração táctil …

… surgindo depois o número em causa, representado pelos seguintes algarismos:

Alfabeto Morse

Foi criado pelo norte-americano Samuel Morse (1791 – 1872), no âmbito de uma invenção maior, o telégrafo com fios.

Destina-se a transmitir mensagens a longa distância, sendo cada letra e cada algarismo representado por uma sequência auditiva própria, de «pontos» (som curto) e «traços» (som prolongado).

No caso dos algarismos, a cada um correspondem sempre cinco sons:

Fonte: Wikipédia

[0134] Uma família de quebra-cabeças que se podem inventar e resolver na areia

Traçando na areia da praia diversas figuras geométricas, compostas por segmentos de recta conexos (isto é, ligados uns aos outros), podemos encarar cada uma dessas figuras como um conjunto de arestas e de vértices.

Cinco exemplos:

Três desafios, um pouco diferentes:

• percorrer todas as arestas, uma e só uma vez;
• percorrer todas as arestas, uma e só uma vez, voltando ao ponto de partida;
• passar por todos os vértices, uma e só uma vez.

Das cinco figuras traçadas, quais permitem concretizar cada um destes desafios?

E, já que o tempo sobra na praia: formar novas figuras e ver que desafios se podem concretizar nelas!

[0133] Os azulejos produzidos industrialmente na antiga Fábrica de Cerâmica de Sacavém

Quem visita o Museu da Cerâmica de Sacavém (concelho de Loures) pode observar o seguinte painel de azulejos:

Fotografia de Eva Maria Blum

Trata-se de um dos muitos padrões de azulejo produzidos industrialmente na antiga Fábrica de Loiça de Sacavém, sendo frequente encontrá-lo a revestir o exterior de prédios urbanos.

Esta fábrica esteve activa entre 1850 e 1993, no local onde agora se situa o Museu da Cerâmica de Sacavém.

Tal como em todos os azulejos de padrão, este painel é gerado a partir de uma das suas unidades fundamentais (que neste caso pode ser um azulejo singular) através de um par de sucessivas translações (abaixo, as setas vermelhas exemplificam uma família dessas translações).

A única outra propriedade geométrica deste painel são as rotações de 180º, e dos seus múltiplos (abaixo estão indicados exemplos das quatro famílias de centros para essas rotações).

De acordo com os organigramas classificativos apresentados nas mensagens «0119» e «0123», este painel é um «papel de parede» do tipo p2.

[0132] O «Meio Urso», de Bordalo II

Jardim da Fundação Gulbenkian, em Lisboa:

Half Bear, de Bordalo II, uma obra da série Big Trash Animals.

O autor, nascido em 1987, considera-se pertencente a “uma geração extremamente consumista, materialista e gananciosa”. Com esta peça, de 2018, composta por dois ursos – a mãe com materiais reutilizados e cores naturais e o filho com as cores sintéticas do plástico – Bordalo II evoca “a ideia de que a próxima geração é ou será muito mais afetada pelos nossos erros do que nós.”

Fontes: identificação local da peça pela F. Gulbenkian; sítio de Bordalo II

Fotografias: Eva Maria Blum

[0131] Um jogo que se pode jogar com o que encontramos na praia

Para jogar ao Nim basta apanhar umas duas dúzias de conchinhas, ou de pedrinhas, ou de pauzinhos esquecidos pela última maré cheia.

Fazem-se 4 ou 5 buracos na areia e distribuem-se por eles os objectos apanhados, não sendo obrigatório colocar o mesmo número de objectos em todos esses buracos.

Defrontam-se dois jogadores.

O primeiro a jogar retira um ou mais objectos de um dos buracos, podendo até tirar todos os que lá se encontram, colocando esses objectos fora do jogo.

O segundo jogador faz o mesmo.

E o jogo continua, com os dois jogadores alternando-se a jogar.

Perde o jogador que retirar o último objecto.

De notar bem: cada jogada diz respeito a apenas um dos buracos na areia, podendo dele ser retirados entre «um» e «todos» os objectos que lá se encontram.

Existe uma estratégia ganhante para um dos jogadores, mas não é fácil de encontrar …

Há muitas variantes para este jogo: numa delas, ganha quem retirar o último objecto.

[0130] A magia baseada na curva de Jordan vai ser apresentada publicamente!

Esta magia, inspirada numa sugestão de Martin Gardner, começou a ser abordada neste blogue em Janeiro de 2017 (ver mensagem «0019»), tendo a possibilidade de ser apresentada publicamente sido aqui anunciada em Abril de 2018 (mensagem «0118»).

A apresentação pública vai mesmo acontecer, e ocorrerá no próximo dia 30 de Junho (um Sábado), a partir das 10h00, no Parque da Paz (em Almada). Para quem quiser participar nela, há informações úteis (quem organiza; qual o local; o convívio no fim) no blogue «Pontes na Nossa Banda» (mensagem «0144»).

Trata-se de uma magia que tem vantagem em ser apresentada em grandes espaços, daí a ideia de a sujeitar a este teste.

A curva de Jordan é uma curva plana, fechada (acaba onde começa) e simples (não tem sobreposições). Todos os exemplos desta curva são topologicamente equivalentes, as propriedades de qualquer uma são as mesmas propriedades de qualquer outra:

Uma das propriedades das curvas de Jordan é a de elas dividirem o plano em duas partes, uma que lhe é interior e a outra que lhe é exterior. Trata-se de algo evidente para o senso comum, embora a sua demonstração matemática não seja fácil …

A magia que se baseia nesta curva explora a complexidade dos exemplos que podem ser traçados e utiliza algumas propriedades que se podem deduzir facilmente da sua propriedade central. A observar no dia 30 …

[0129] Porque são os programas escolares tão assépticos?

Fotografias: Pedro Esteves

[0128] A eloquência dos modelos: a Vida da Terra reduzida a Um Dia

Apesar de já ter acontecido há muito tempo, lembro-me bem da estimulante actividade mental desencadeada pela leitura, algures, de uma comparação proporcional entre os momentos em que ocorreram alguns dos acontecimentos marcantes da Vida da Terra e os momentos de Um Dia.

Não era mais do que um modelo. A Matemática necessária para a sua construção era apenas uma ferramenta auxiliar. O essencial era o modo como se chamava a atenção para a lentidão dos processos geológicos e biológicos e, sobretudo, para a recentíssima (e portanto frágil) incorporação da humanidade nesse processo.

Como construir um modelo destes?

Em primeiro lugar, precisamos de conhecer qual a duração da Vida da Terra: 4 600 Ma (milhões de anos).

E precisamos de a reduzir a 24 horas, ou seja, a 24 x 60 x 60 segundos = 86 400 segundos.

Se os 4 600 Ma estão a ser comprimidos em 86 400 segundos, cada milhão de anos comprimido equivalerá, aproximadamente, a 18,78 segundos.

Este é o factor de conversão. Que, aplicado à conversão inversa, também nos diz que cada segundo de Um Dia equivalerá a um pouco mais de … 53 mil anos da Vida da Terra!

Em segundo lugar, precisamos de escolher alguns acontecimentos que sejam chave, pois adivinhamos que o leitor gosta de sentir que estão a falar daquilo que ele conhece e que lhe é caro. Uma hipótese é a seguinte:

·      Surgimento das primeiras células (ainda simples, comparadas com as de hoje): terá ocorrido há mais de 3 800 Ma – esta datação, tal como algumas das que se seguem, está sujeita a revisões resultantes de novas descobertas e dos respectivos debates;

·      Início da maior explosão e diversificação da vida (de acordo com o registo fóssil): ocorreu no início do Câmbrico, primeiro período da era Paleozoica, há 542 Ma;

·      Surgimento das árvores modernas (com um caule organizado em anéis concêntricos, cada qual correspondendo a um ano): a Archaeopteris é considerada a pioneira, surgida em meados da era Paleozóica, há 370 Ma; precedeu o Ginkgo e as Coníferas e deu origem a todas as árvores actuais (com excepção das Palmeiras e dos Fetos, que ainda trabalham como outrora);

·      Surgimento das plantas com flor (a evolução anterior trouxera as sementes): as primeiras flores seriam parecidas com as das actuais Magnólias e terão surgido na segunda metade da era Mesozoica, há uns 160 Ma; vieram estabelecer fortes relações de simbiose com os insectos e com as aves;

·      Choque do meteorito que quase extinguiu a vida na Terra (os dinossáurios deixaram de ser o grupo dominante, apenas deixando como vestígio um seu ramo especial, que evoluiu para as aves que hoje conhecemos): ocorreu há 65,5 Ma, correspondendo à transição da era Mesozoica para a Cenozoica;

·      Surgimento dos primatas superiores: a partir de primatas mais pequenos, evoluíram na floresta tropical africana, desde há uns 35 Ma, estando na origem do homem e dos primatas superiores mais recentes;

·      Surgimento do Homo sapiens: há cerca de 150 mil anos, talvez um pouco mais.

Por fim, precisamos de transformar os milhões de anos da Vida da Terra no seu equivalente em Um Dia e de apresentar convincentemente o resultado.

Uma primeira divisão, desenhada aproximadamente, em Pré-câmbrico e Fanerozoico (incluindo este o Paleozoico, o Mesozoico e o Cenozoico):

E uma segunda divisão, mais conhecida (pela abundância de fósseis), a do Fanerozoico, em eras:

Fontes bibliográficas: Atkins (2007; pp. 43 e 59); Carvalho (2007; p. 23); Coppens, entrevistado por Simonnet (2006; p. 101); Hublin & Seytre (2009; p. 17, cladograma da evolução do Homem); Pelt, entrevistado por Girardon (2000; pp. 40, 54 e 60-61)

Fontes na internet: sítio da International Stratigraphic Chart (consultado em 2007); Museu Nacional de História Natural (imagem da Terra em fusão); Wikipédia (imagem das trilobites)

Fonte jornalística: Serafim (2017; imagem da primeira flor, de Hervé Sauquet & Jürg Schönenberger)

[0127] Não: não proponho uma visão conservadora da História, só mais bom senso …

Há dias alguém me descreveu um projecto de comparação entre o que os nossos livros de história e os livros de história de outros países de língua portuguesa contam sobre os tempos em que os respectivos povos se encontraram e sobre o desencontro em que esse encontro se transformou nos séculos seguintes.

Um projecto bem interessante.

Que seria interessante generalizar a tantos outros encontros e desencontros que ocorreram por esse mundo fora: que disseram, que escreveram, que pensaram as diferentes partes que neles estiveram envolvidas?

E que ainda seria interessante generalizar ao que, no mesmo país, dizem as diferentes fontes sobre o que aí ocorreu.

John dos Passos (1896 – 1970) escreveu um livro (publicado em 1969) que foi grandemente baseado nas crónicas dos que viveram as histórias dos séculos XV a XVII português, ou que foram encarregues de as contar pouco tempo depois de ela acontecer:

O autor, jornalista e escritor, americano de antepassados madeirenses, estava consciente da insuficiência de uma tal forma de contar a História, mas também estava consciente da força que a palavra próxima dos acontecimentos tem para nos colocar questões que a História formalizada ilude e torna pesada - sobretudo para quem a aprende nas nossas escolas.

Fonte bibliográfica: Passos (2017)

[0126] «Os Jogos e os Homens», de Roger Caillois

Foi em 1958 que Roger Caillois (1913 - 1978), sociólogo, publicou esta sua reflexão, hoje clássica, sobre os «jogos».

Para ele, o jogo é “uma actividade:

1.       – livre: uma vez que, se o jogador fosse a ela obrigado, o jogo perderia de imediato a sua natureza de diversão atraente e alegre;

2.      – delimitada: circunscrita a limites de espaço e de tempo, rigorosa e previamente estabelecidos;

3.      – incerta: já que o seu desenrolar não pode ser determinado nem o resultado obtido previamente, e já que é obrigatoriamente deixado à iniciativa do jogador uma certa liberdade na necessidade de inventar;

4.      – improdutiva: porque não gera nem bens, nem riqueza nem elementos novos de espécie alguma; e, salvo alteração de propriedade no interior do círculo dos jogadores, conduz a uma situação idêntica à do início da partida;

5.      – regulamentada: sujeita a convenções que suspendem as leis normais e que instauram momentaneamente uma legislação nova, a única que conta;

6.      – fictícia: acompanhada de uma consciência específica de uma realidade outra, ou de franca irrealidade em relação à vida normal.”

Para tentar captar a diversidade das atitudes subjacentes ao jogar, Caillois propôs quatro categorias principais, “conforme predomine, nos jogos considerados, o papel da competição, da sorte, do simulacro ou da vertigem.”

Exemplos: a competição predomina no jogo da bola, do berlinde, das damas; a sorte predomina na roleta e na lotaria; o simulacro nos jogos em que se «faz de»; e a vertigem em jogos como o baloiço e o carrossel.

E, em jeito de advertência final, comenta assim a relação que se estabelece com o jogo e as disciplinas que o estudam:

“O jogo é um fenómeno total. Diz respeito ao conjunto das actividades e dos anseios humanos. Poucas são as disciplinas – da pedagogia às matemáticas, passando pela história e pela sociologia – que o podem estudar proveitosamente sem um desvio qualquer. Todavia, seja qual for o alcance teórico ou prático dos resultados obtidos em cada uma das perspectivas particularizadas, tais resultados permanecerão destituídos do seu significado e da sua verdadeira aplicação, se não forem encarados por referência ao principal problema que é colocado pelo universo indivisível dos jogos, donde, aliás, retiram o interesse que podem suscitar.”

Fonte: Caillois (1990; pp. 29-39, 32 e 202)

[0125] A emancipação na «Pedagogia do Oprimido»

Paulo Freire (1921 - 1997) terminou a sua obra fundadora, Pedagogia do Oprimido, em 1968, quando se encontrava refugiado no Chile:

A propósito de algumas situações em que as ideias de emancipação e de educação emancipatória foram usadas de um modo que me levantou dúvidas, aqui escrevo alguns excertos desta obra para me ajudarem a pensar:

“A nossa preocupação, neste trabalho, é apenas apresentar alguns aspectos do que nos parece constituir o que vimos chamando de Pedagogia do Oprimido: aquela que tem de ser forjada com ele e não para ele, enquanto homens ou povos, na sua luta incessante de recuperação de sua humanidade.”

“Os oprimidos, que introjectam a «sombra» dos opressores e seguem as suas pautas, temem a liberdade, na medida em que esta, implicando a expulsão desta sombra, exigiria deles que «preenchessem» o «vazio» deixado pela expulsão, com outro «conteúdo» - o de sua autonomia. O de sua responsabilidade, sem o que não seriam livres. A liberdade, que é uma conquista, e não uma doação, exige uma permanente busca.”

“Nenhuma pedagogia realmente libertadora pode ficar distante dos oprimidos, quer dizer, pode fazer deles seres desditados, objectos de um «tratamento» humanitarista, para tentar, através de exemplos retirados de entre os opressores, modelos para a sua «promoção». Os oprimidos hão-de ser o exemplo para si mesmos, na luta por sua redenção.”

“[Na educação escolar,] A narração, de que o educador é o sujeito, conduz os educandos à memorização mecânica do conteúdo narrado. Mais ainda, a narração os transforma em «vasilhas», em recipientes a serem «enchidos» pelo educador. Quanto mais vá «enchendo» os recipientes com seus «depósitos», tanto melhor educador será. Quanto mais se deixem dòcilmente «encher», tanto melhores educandos serão.

Desta maneira, a educação se torna um acto de depositar, em que os educandos são os depositários e o educador o depositante.”

“Eis aí a concepção «bancária» da educação, em que a única margem de acção que se oferece aos educandos é a de receberem os depósitos, guardá-los e arquivá-los. Margem para serem coleccionadores ou fichadores das coisas que arquivam. No fundo, porém, os grandes arquivados são os homens, nesta (na melhor das hipóteses) equivocada concepção «bancária» da educação. Arquivados, porque, fora da busca, fora da praxis, os homens não podem ser. Educador e educando se arquivam na medida em que, nesta distorcida visão da educação, não há criatividade, não há transformação, não há saber. Só existe saber na invenção, na reinvenção, na busca inquieta, impaciente, permanente, que os homens fazem no mundo, com o mundo e com os outros. Busca esperançosa também.”

“[…] ninguém educa ninguém, como também ninguém se educa a si mesmo: os homens se educam em comunhão, mediatizados pelo mundo.”

“[Os “educandos” do “educador problematizador”,] em lugar de serem recipientes dóceis de depósitos, são agora investigadores críticos, em diálogo com o educador, investigador crítico, também.”

Fonte: Freire (1975; pp. 43, 46, 56, 82, 82-83, 97 e 99)

[0124] «Memória, Cultura e Devir»: questões acerca da memória

Resumo da argumentação que levou as Ciências Sociais a organizar esta Conferência Internacional:

“Esta conferência pretende interrogar a hipertrofia dos estudos sobre a memória, que corresponde a um estado do saber e das sociedades, sobretudo desde os anos de 1980, quando o optimismo se diluiu e o futuro pareceu tornar-se passado. Essa viragem, coetânea de mudanças ao nível das sociedades, requer uma reflexão em torno dos usos do passado, como artefacto do presente (Lowenthal, 1985), sujeitos às relações de forças dentro das sociedades. A actual obsessão do passado é uma resposta substitutiva às urgências do presente ou, mesmo, uma recusa do futuro (Rousso, 1994: 280). Pretende interrogar-se a relação com as fontes que falam, que questione a teoria e os métodos, entre a memória e a história oral, numa abordagem em que os saberes de fronteira de várias disciplinas têm de ser convocados. Terreno não pacificado, a memória continua a ser um interessante problema para as ciências sociais. Intensificou-se como objeto de estudo, materializado em formatos de património, no decurso dos anos 1980. Conquanto memórias traumáticas com as dos fascismos e do nazismo pudessem ter sido alvo de um trabalho anterior dos investigadores, e que a memória tenha hoje o estatuto de religião civil do mundo ocidental, o processo de passagem de memória fraca a memória forte não foi imediato (Traverso, 2005:54-59). Quando a topolatria se tornou central, por que razões se ergueram lugares de memória, ao mesmo tempo que desapareciam os meios de memória? Que dificuldades surgem na criação de lugares de memória de situações conflituais? Como se recorda o trauma e o acontecimento? Quando adquiriu a memória tal centralidade nas Ciências Sociais? Estudamos cada vez mais a memória porque as sociedades se ressentem de uma ausência de esperança? Que relação estabelece o presentismo, como denegação do devir, com os usos da memória? Qual a conexão entre a experiência e a expectativa, e quanto (e qual...) passado se resgata para o futuro? Num tempo em que se tornou ecuménico o património, que relação estabelece a memória com ele, entre a beleza do morto e novos caminhos? Qual o papel da cultura na construção de uma força material das ideias? Em processos de exibição e musealização do passado, como lidamos com a memória das ditaduras e os processos de transição para as democracias? Que espaço se consagra ao devir na pesquisa em ciências sociais?”

Fonte: sítio do Instituto de História Contemporânea

[0123] Uma nova proposta de fluxograma para classificar os «papéis de parede»

O fluxograma que apresentei na mensagem «0119», que visa classificar os «papeis de parede», tem algumas dificuldades de leitura, pelo que procedo a seguir a uma sua adaptação:

Em 1891 o cristalógrafo russo Fedorov descreveu os 17 casos possíveis de grupos cristalográficos bidimensionais. Os matemáticos só tomaram conhecimento desse trabalho na década de 1920, tendo adoptado as designações dos grupos («p1», «pg», «pm», etc.) usadas na cristalografia e só criando outras classificações e designações posteriormente.

Fontes: Coxford Jr., Burks, Giamati & Jonik (1993; p. 42); Veloso (1998; pp. 192-202)

[0122] O Jogo do Avô Aferidor

O Aferidor tem por papel aferir a correcção dos mais diversos instrumentos de medida.

Até ao início deste século existia em Portugal um Aferidor Municipal, entretanto substituído por uma grande diversidade de instituições espalhadas por todo o país, sob a supervisão do Instituto Português da Qualidade.

Assim, os antigos Aferidores Municipais, hoje reformados e com netos, terão tempo pensar em problemas interessantes da sua profissão que antes não tiveram disponibilidade para formular e para resolver …

Este é o pano de fundo, com um toque ficcional, para o seguinte problema que eu, nem antigo Aferidor nem com netos, mas reformado, coloquei: dispondo de uma balança de braços iguais e de um exemplar de cada uma das unidades de massa na base três (1 + 3 + 9 + 27 + 81 + … + 3^N), poderemos aferir qualquer massa inteira (1; 2; 3; 4; 5; …; N) que for colocada num dos pratos?

A resposta é: podemos; e, para cada N, de um único modo, embora em boa parte dos casos tenhamos de usar os dois pratos da balança (somando de um lado, subtraindo do outro).

As seguintes tabelas permitem ao Avô Aferidor resolver este problema, até N = 121; ou, em alternativa, permitem colocar aos seus netos algumas oportunidades para exercitarem o cálculo mental (experimentei-o na 5ª feira passada com os alunos de uma turma do 9º ano e eles saíram-se muito bem):

Com fundo amarelo estão as unidades de massa; com fundo branco os casos aditivos; e com fundo negro, os casos subtrativos.

Por exemplo, com que unidades se equilibra a massa «100»?

Ela figura nas tabelas do 1, do 27 e do 81 com fundo branco, na do 9 com fundo negro e não figura na do 27: então,

100 = 1 + 27 + 81 – 9.

[0121] Um azulejo sevilhano em Coimbra

O seguinte painel de azulejos pode ser apreciado no Museu Nacional de Machado de Castro (Coimbra):

Ele terá sido produzido entre 1500 – 1525, em Sevilha, e esteve colocado na Sé de Coimbra.

Explica o Museu: “No reinado de D. Manuel I surgem [em Portugal] os primeiros revestimentos azulejares. São importados de Sevilha […]. Apresentam magnífico colorido e motivos ao gosto islâmico, gótico e renascentista. Nos inícios do séc. XVI, D. Jorge de Almeida, bispo de Coimbra, forra integralmente a sua catedral e a igreja de Santa Maria, em Abrantes, com azulejos sevilhanos.”

Olhando este azulejo com a ferramenta matemática apresentada na mensagem «0119», à primeira questão que lhe é colocada (qual é a rotação de menor amplitude?) responderemos com «90º». E à segunda questão (existe uma simetria axial?) responderemos com «não».

Duas famílias de centros de rotação de um quarto de volta

Classificando então este painel como um «papel de parede», ele é do tipo p4.

Fotografia: Eva Maria Blum