[0282] Uma magia para a família e os amigos, quando estiverem sentados à mesa de uma esplanada

Nesta magia podem ser usadas três moedas iguais. Mas a versão apresentada a seguir usa três grandes cartões, também iguais, cada qual com um «coelho» numa face e uma «cartola» na outra.

Depois de mostrar ambas as faces dos cartões ao público, o mágico pede a um espectador que os coloque lado a lado, colocando à vista as faces que preferir. Por exemplo, estas:

Depois de agradecer ao espectador a sua ajuda, o mágico vira-se de costas para os cartões e pede novos voluntários para virem, um de cada vez, virar a face de um dos cartões, à sua escolha, ou de «coelho» para «cartola», ou de «cartola» para «coelho».
Quando não houver mais voluntários interessados nesta colaboração, o mágico pede a um último voluntário que tape um dos cartões, à sua escolha, anunciando então que irá adivinhar se a face visível deste cartão é «coelho» ou «cartola».

Como procede o mágico?
Antes de se virar de costas para os cartões, o mágico conta quantas «coelhos» estão à vista.

Depois, conta quantas mudanças de faces foram feitas pelos voluntários.

E adiciona os dois números, verificando se a soma é «par» ou «ímpar».

Que hipóteses tem o mágico a considerar?
Só podem estar à vista as seguintes quatro combinações de cartões e qualquer delas só pode ser mudada para uma das combinações vizinhas:

Se a soma dos números calculada pelo mágico for «par», havendo um só «coelho» inicialmente, então: ou continua a haver um só «coelho», ou passou a haver três.
E se a soma for «ímpar», ou há dois «coelhos», ou não há nenhum.

Como esta conclusão parece ser «fraca», o mágico prefere enunciar uma conclusão «forte»: adivinhar a face do cartão tapado pelo último voluntário.
O raciocínio do mágico é semelhante em todos os casos. Exemplo: havia inicialmente um «coelho» e duas «cartolas»; o número calculado pelo mágico é «par»; então deverá haver ou um ou três «coelhos»; se não estiver nenhum visível, a face que foi tapada é «coelho»; se estiver um só «coelho visível», a face tapada é «cartola»; e se estiverem dois «coelhos» à vista, a face tapada também é «coelho».

Boa sorte para os candidatos a mágico!

Inspiração: livro de Gardner (1991; pp. 75-76)

[0281] Na praia ou na montanha: cinco teoremas que ajudam a resolver o Kakuro

As regras do Kakuro são muito simples (ver a mensagem «0182»). Consoante a dimensão escolhida, a sua resolução pode demorar entre alguns minutos e duas ou três dezenas de minutos.

E há sempre novos casos disponíveis, por exemplo em https://www.kakuros.com/.

As ferramentas mestras para a resolução de um Kakuro são a lógica e a combinatória. Mas elas aliam-se de diversas formas para ir resolvendo cada caso. Podemos chamar teoremas a essas alianças.

Um dos mais simples pode ser chamado teorema do cruzamento do «7 + 9» com o «8 + 9».
O cruzamento referido junta a «soma 16 com duas parcelas» (que só pode resultar de «7 + 9») e a «soma 17 com duas parcelas» (inescapavelmente resultante de «8 + 9»).
Na figura seguinte mostra-se, primeiro, um desses cruzamentos; depois a óbvia solução (o «9» é o único número comum às duas somas); e, por fim, as consequências práticas que se podem tirar deste cruzamento:

Com estas mesmas características há o teorema do cruzamento do «1 + 2» com o «1 + 3», sendo o «1» a respectiva solução.

Ligeiramente mais exigente é o teorema do número mínimo exigido e igual ao número máximo disponível.
Na figura, a «soma 3» só proporciona as parcelas «1 + 2»; ora a parcela «1» é insuficiente (pois as outras duas parcelas não podem somar «18»), pelo que é forçoso usar a parcela «2». O que, neste caso, permite deduzir vários outros números nas redondezas:

O teorema duas vezes «7 + 9» mais uma vez «8 + 9» pode passar desapercebido aos mais inexperientes.
Na figura, a «soma 26» cruza duas somas «7 + 9» e uma soma «8 + 9». Como estas três somas só podem ser constituídas pelas parcelas «7», «8» e «9», então a «soma 26» tem de as incluir, sendo a parcela «8» apenas atribuível à «soma 17». Tendo-a escrita, é possível, por dedução e experimentação, chegar a bastantes mais números situados nas proximidades:

São semelhantes a este o teorema uma vez «7 + 9» mais duas vezes «8 + 9», o teorema duas vezes «1 + 2» mais uma vez «1 + 3» e o teorema uma vez «1 + 2» mais duas vezes 1 + 3».

O teorema das N parcelas ladeadas por N + 1 parcelas é particularmente subtil.
Na figura, a «soma 17» (3 parcelas) está ladeada pela «soma 26» (4 parcelas). Então, estas sete parcelas somarão «43». Se subtrairmos a «43» as três somas verticais, «16», «3» e «17», restará «7», que só pode ser a parcela mais à direita!

A aplicação do teorema das parcelas pré-definidas está normalmente associada à mobilização de outros teoremas.
No exemplo figurado, a «soma 37» é atravessada pelas somas «24», «23», «17» e «16». Ora estas somas são exclusivamente constituídas pelas parcelas «6», «7», «8» e «9». Então estes números terão de figurar na «soma 37», garantindo-lhe uma «sub soma 30». Pelo que as somas «7», «3» e «6» terão de contribuir com a «sub soma 7». Ora cada uma destas somas resulta de uma combinação única de parcelas, respectivamente «1 + 2 + 4», «1 + 2» e «1 + 2 + 3»). Pensando um pouco, a parcela «4» só pode estar incluída na «soma 7».
Depois, na «soma 19» situada mais acima (existe outra mais abaixo), é exigido que figure a parcela «2» (de acordo o segundo teorema). A partir daqui muitos outros números nas proximidades se deduzem com facilidade:

[0280] Um projecto interturmas (ou interescolas): as viagens!!!

As viagens fazem parte da história humana.
Estudá-las e compará-las pode ser um excelente desafio para as turmas do mesmo ano de uma mesma escola, ou de diferentes escolas …
Porque foram essas viagens realizadas? Como foram elas preparadas, que terá acontecido durante a sua realização, que consequências tiveram? E como chegaram ao nosso conhecimento?

Ao longo de gerações, sucessivas vagas de Homo sapiens saíram de África, expandindo-se pela Europa e pela Ásia, e daqui para as Américas.
Alguns ramos desta expansão foram capazes de colonizar as muitas e dispersas ilhas dos diversos mares, nomeadamente, pelos polinésios, as do Oceano Pacífico.

As viagens melhor documentadas foram as que puderam ser registadas pela escrita, mesmo que tenham sido realizadas antes de esta existir. Foi o caso da Odisseia, um poema épico atribuído a Homero, resultante de uma tradição oral elaborada ao longo de séculos e fixada, provavelmente, no fim do século VIII antes de Cristo. Nele se descreve o regresso a Ítaca de um dos heróis da guerra de Tróia, Ulisses:

A Odisseia desenhada por Enric Sió
(fragmento da primeira página «Ulisses o Navegador», Publicações Dom Quixote, 1981)

Com o desenvolvimento do comércio a longa distância, surgiram viagens que cruzavam regularmente a Ásia e a África, de que a Rota da Seda é um exemplo.

As Viagens de Marco Polo (século XIII) e a Peregrinação, de Fernão Mendes Pinto (século XVI), descrevem-nos as incertezas envolvidas nos contactos com geografias e com povos desconhecidos. Contactos que, gradualmente, se estavam a transformar em registos para acção no presente e para memória futura.

Exemplos mais amadurecidos desta dupla tendência foram, já nos finais do século XVIII, a mediação do meridiano terrestre entre Dunquerque e Barcelona (mensagem «0225») e as Viagens Philosophicas realizadas ao interior do Brasil (mensagem «0242»): em ambas, os objectivos científicos e os objectivos políticos se encontraram claramente misturados.

Muito diferentes foram as viagens conhecidas por Grand Tour, iniciadas na Grã-Bretanha do século XVIII e realizadas pelos jovens adultos das famílias ricas, que, durante um ou mais anos, procuravam conhecer as origens culturais da Europa e contactar com as elites dos países situados mais ao Sul:

Aguarela de Wolfgang Goethe
(vista de S. Pedro, Roma)

Não faltam as viagens célebres realizadas ao longo da História.
Mas também não faltam as viagens tristemente conhecidas devido às perseguições e à guerra (ver mensagem «0048»), aos desastres naturais e aos desastres económicos, como aquelas que hoje podemos testemunhar nas fronteiras da Europa.
E se os nossos jovens pudessem confrontar o prazer e a dor, o deslumbramento e o receio que todas estas viagens causaram?

[0279] Uma nova lei: a da frequência de visitas numa cidade

Sendo compreensível que as pessoas que vivem mais próximas de um determinado local o visitem mais frequentemente do que as pessoas que dele vivem mais afastadas, não se sabia, até há pouco tempo, como traduzir esta diferença em termos matemáticos.

Visando obter dados empíricos que lhe permitissem superar esta lacuna, uma equipa internacional procedeu à recolha de informações sobre as deslocações das pessoas em diversas cidades do mundo. Segundo Markus Schläpfer, um dos investigadores, pretendia-se saber quantas pessoas se deslocavam a um dado local vindas de diversas distâncias (por exemplo: um, dois, dez quilómetros), e também saber quantas vezes o faziam por mês (por exemplo: uma, duas, dez vezes).

A conclusão quantitativa a que essa equipa chegou pode ser descrita assim:
(a) Se a distância a que os visitantes estiverem do local a visitar duplica, o número dos que decide fazer a visita é dividido por 4 (2 ao quadrado);
(b) E se a frequência das visitas duplica, o número dos que as realizam também é dividido por 4.
Exemplificando. Se tiverem sido contabilizados 400 visitantes, uma vez por mês, ao local considerado, todos vindos de uma distância de 10 quilómetros, então pode-se prever com segurança que:
(a) 100 pessoas que vivem a 20 quilómetros desse local o irão visitar uma vez por mês
(b) 100 outras pessoas que vivem a 10 quilómetros desse local, tal como as contabilizadas no exemplo, o irão visitar não 1 mas sim 2 vezes por mês.

Segundo os investigadores, a conclusão deste estudo tem diversas implicações práticas: no planeamento urbano, na engenharia relacionada com os transportes e … no combate à propagação de epidemias.

Como se podem escrever matematicamente estes resultados?
Retomando o exemplo dado (base: 400 visitantes vindos de uma distância de 10 quilómetros fazem a visita uma vez por mês):
(a) Nº de visitantes a 2 x distância com igual número de visitas = 400 : 2² = 100;
(b) Nº de visitantes com 2 x nº de visitas vindos de igual distância = 400 : 2² = 100.

E se forem alterados, simultaneamente, a «distância» e o número de visitas?
Exemplificando com a mesma base:
Nº de visitantes a 2 x distância e com 2 x nº de visitas = 400 : (2² x 2²) = 25.

Escrevendo esta conclusão de um modo mais abstracto:

,

sendo F (d; n) o número de visitantes que, provindos da distância d, visita n vezes o local e V o número de visitantes que, no mesmo espaço de tempo, visita uma vez o local vindo da distância que for considerada unitária (e em relação à qual se mede a distância d).

 

Fontes: artigo jornalístico de Serafim (2021); e resumo do artigo científico original (The universal visitation law of human mobility | Nature)

[0278] Jogos para os quais há material em casa (VII): o Jogo do Soldado

Este jogo era conhecido no Império Romano por Ludus Latrunculorum. Tem, entretanto, sido traduzido por Jogo do Soldado, Jogo do Mercenário e Jogo do Ladrão. As suas regras explicam, em parte, porquê …

Trata-se de um jogo de estratégia, embora nalgumas versões inclua um factor aleatório, através do uso de dados. Os achados arqueológicos sugerem que podia ser jogado em tabuleiros diferentemente quadriculados, sendo mais frequente a quadricula 8 x 8.
As seguintes peças, que se presume estarem relacionadas com este jogo, foram achadas nas ruínas arqueologicamente estudadas do Forte Romano de Housestead, na Escócia, estando datadas entre o século II e o século III d. C.:

É plausível que o essencial das suas regras fosse constituído por:

Tabuleiro quadrado, com 8 x 8 casas:

Cada jogador tem inicialmente 17 peças, sendo 16 iguais (os soldados) e 1 diferente (o «Dux», ou «comandante»).
Na primeira fase do jogo, os jogadores, jogando alternadamente, colocam os «soldados» no tabuleiro, 2 de cada vez, em casas não ocupadas, sendo o «comandante» colocado no fim (convenciona-se a seguir que umas peças são vermelhas e as outras azuis).
Durante esta fase nenhuma peça é movimentada, nem eliminada.
Na segunda fase do jogo, cada jogador, na sua vez de jogar, movimenta uma das suas peças no tabuleiro, ou na vertical, ou na horizontal (não em diagonal), procurando «capturar» uma das peças do adversário.
A captura de uma peça adversária ocorre quando ela é colocada entre duas peças próprias, ou na vertical, ou na horizontal:

A peça capturada é imediatamente retirada do tabuleiro e não voltará a ser utilizada no jogo.
Num só movimento uma peça pode «capturar» mais de uma peça adversária:

Após capturar uma ou mais peças, o jogador que procedeu à captura movimenta de novo uma das suas peças.
O «comandante» movimenta-se como os «soldados», mas pode saltar sobre uma peça adversária (sem a capturar), para uma casa vazia, com o objectivo de «capturar» outra peça:

O «comandante» pode ser capturado de modo semelhante ao de qualquer outra peça.
O jogador que capturar todas as peças do adversário ganha o jogo.
Se um dos jogadores conseguir formar uma «barreira» com as suas peças (uma fila completa de peças), o jogo termina, ganhando o jogador que possuir mais peças (caso os dois jogadores possuam o mesmo número de peças, o jogo é considerado empatado).

 

As regras deste jogo e a imagem do tabuleiro encontram-se num ficheiro acessível a partir da página Documentos deste blogue, na pasta Jogos de Reflexão.
O tabuleiro pode ser impresso a partir desse ficheiro (mas também não é difícil de desenhar).
As peças podem ser feitas a partir do material disponível em casa (por exemplo, tampas de garrafas), ou que seja viável construir a partir deles (por exemplo, embalagens de cartão) ou procurar perto de casa (por exemplo, sementes de Eucalipto).

 

Fontes: catálogo da exposição «Pedras que Jogam»
Imagem arqueológica: sítio Ancient Games

[0277] Três painéis de azulejo de Athos Bulcão

E se um painel de azulejos tiver duas autorias: o artista, que cria um pequeno conjunto de módulos, e os aplicadores, que associam livremente esses módulos na composição final?
Foi esta a escolha de Athos Bulcão (1918 – 2008), artista plástico brasileiro. A sua trajectória artística não visou o público frequentador de museus e de galerias, mas o público em geral, aquele que entra em contacto com sua obra quando se dirige para o trabalho, ou para a escola, ou que simplesmente passeia pela cidade. E a cidade que Athos Bulcão impregnou com a sua obra foi Brasília, onde muitas das paredes de cimento foram transformadas em arte.

Três exemplos:

Mercado das Flores (1983):

Salão Verde do Congresso Nacional (1971):

Torre da Televisão (1966):

Nestes três exemplos há, respectivamente, dois, quatro e dois módulos:

Em qualquer dos casos, seria possível criar um painel com um padrão geométrico. No entanto, a decisão de deixar o resultado final ao gosto dos aplicadores mostrou que estes preferiram composições que não fossem padronizadas. O que não é equivalente a uma composição aleatória, pois resulta das escolhas estéticas dos aplicadores.

A diferença entre estas três escolhas está a seguir exemplificada com o caso da Torre de Televisão de Brasília: à esquerda, a composição aleatória; no centro, a composição intencional; e à direita, uma composição de padrão.

Para a composição aleatória foi considerado haver duas posições possíveis para o rectângulo e quatro posições possíveis para o triângulo. Seleccionando os primeiros dígitos do número PI, ao 2 e 4 fez-se corresponder o rectângulo horizontal e ao 6 e 8 o rectângulo vertical; e a 1, 3, 5 e 7 fez-se corresponder as quatro posições do triângulo; o 0 e o 9 foram desprezados. Foram usados os cem primeiros dígitos úteis, distribuídos, ordenadamente, pelas filas, da superior para a inferior e da esquerda para a direita.

 

Fonte (texto e imagens sobre Athos Bulcão): sítio da Fundação Athos Bulcão … 

[0276] A partir de agora o leitor não será automaticamente avisado por email sobre a publicação das novas mensagens …

O seguinte aviso informa que vai ser desactivado, a partir de Julho, o serviço que permitia informar os interessados, por email, da publicação de uma nova mensagem»:

Em princípio, este blogue manterá a ritmo de uma publicação por semana, o que permite consultá-lo regularmente para conhecer as novidades.
No entanto, se houver leitores interessados em ser avisados da publicação de cada nova mensagem, poderão informar o bloguer dessa vontade (via pedrostev@gmail.com) e passarão a receber o aviso através de um grupo de emails (com Bc/c).
Como alternativa, poderão encontrar as mensagens que forem sendo divulgadas na página do Facebook deste bloguer.

[0275] Sobre o nono Objectivo do Desenvolvimento Sustentável: Indústria, Inovação e Infraestruturas

Na mensagem «0080» foram genericamente apresentados os dezassete Objectivos de Desenvolvimento Sustentável que as Nações Unidas propuseram aos governos e aos cidadãos do mundo cumprir entre 2015 e 2030.

O 9º desses objectivos é:

Em https://unric.org/pt/objetivos-de-desenvolvimento-sustentavel, ele é-nos apresentado assim:

Objetivo 9: Indústria, inovação e infraestruturas

Desenvolver infraestruturas de qualidade, de confiança, sustentáveis e resilientes, incluindo infraestruturas regionais e transfronteiriças, para apoiar o desenvolvimento económico e o bem-estar humano, focando-se no acesso equitativo e a preços acessíveis para todos.

Promover a industrialização inclusiva e sustentável e, até 2030, aumentar significativamente a participação da indústria no setor de emprego e no PIB, de acordo com as circunstâncias nacionais, e duplicar a sua participação nos países menos desenvolvidos.

Aumentar o acesso das pequenas indústrias e outras empresas, particularmente em países em desenvolvimento, aos serviços financeiros, incluindo crédito acessível e sua integração em cadeias de valor e mercados.

Até 2030, modernizar as infraestrutursa e reabilitar as indústrias para torná-las sustentáveis, com maior eficiência no uso de recursos e maior adoção de tecnologias e processos industriais limpos e ambientalmente corretos; com todos os países atuando de acordo com suas respectivas capacidades.

Fortalecer a investigação científica, melhorar as capacidades tecnológicas de setores industriais em todos os países, particularmente os países em desenvolvimento, inclusive, até 2030, incentivar a inovação e aumentar substancialmente o número de trabalhadores na área de investigação e desenvolvimento por milhão de pessoas e a despesa pública e privada em investigação e desenvolvimento.

Facilitar o desenvolvimento de infraestruturas sustentáveis e resilientes em países em desenvolvimento, através de maior apoio financeiro, tecnológico e técnico aos países africanos, aos países menos desenvolvidos, aos países em desenvolvimento sem litoral e aos pequenos Estados insulares em desenvolvimento.

Apoiar o desenvolvimento tecnológico, a investigação e a inovação nacionais nos países em desenvolvimento, inclusive garantindo um ambiente político propício para, entre outras coisas, a diversificação industrial e a agregação de valor às matérias-primas.

Aumentar significativamente o acesso às tecnologias de informação e comunicação e empenhar-se para oferecer acesso universal e a preços acessíveis à internet nos países menos desenvolvidos, até 2020.

Um dos aspectos questionáveis nos «objectivos do desenvolvimento sustentável» é o modo como são apresentados separadamente, como se pudessem ser assim concretizados. E este objectivo, em particular, por envolver a «indústria», a «inovação» e as «infraestruturas», é particularmente sensível a essa separação.
Outro dos aspectos questionáveis é a evocação do «desenvolvimento» sem que sejam clarificados os modelos que não devem ser seguidos, dada a experiência tida até hoje com este conceito.

Estes dois questionamentos são melhor compreendidos se encararmos os seguintes dados estatísticos, que nos dão uma imagem sobre os últimos 50 anos:

a população mundial duplicou;

a extracção de recursos naturais aumentou 3,4 vezes;

esta extracção foi responsável por metade das emissões de gases com efeito de estufa e por mais de 90 % da perda de biodiversidade e dos problemas de stress hídrico associados à acção humana.

O modelo económico subjacente a este crescimento, e que está em uso desde a revolução industrial, pode ser simplistamente resumido em «extrair, transformar, vender / comprar, usar e deitar fora».
Se este modelo aumentou o bem-estar geral, também gerou vários problemas, como a poluição de cursos de água e da atmosfera: mais de 90 % da população mundial respira ar poluído e as doenças a isso associadas matam, segundo a Organização Mundial de Saúde, 600 mil crianças por ano.

Neste blogue, os dezassete Objectivos do Desenvolvimento Sustentável foram genericamente apresentados na mensagem «0080».
Depois foi feita uma apresentação específica, com o respectivo comentário, aos seguintes: erradicar a pobreza (mensagens «0154», «0196» e «0206»), erradicar a fome («0157»), saúde de qualidade («0169»), educação de qualidade («0176»), igualdade de género («0178»), água potável e saneamento  («0239»), energias renováveis e acessíveis («0244») e trabalho digno e crescimento económico («0267»).

 

Fonte (texto e inforgrafias) sobre as questões dos recursos: artigo de Coentrão (2019) no jornal «Público»

[0274] A Matemática e as Ludotecas (II): a estratégia ganhante no Jogo do 31

Um jogo só é jogo se, ao ser iniciado, o seu desfecho for imprevisível.

Há no entanto jogos que, ao serem analisados, se revelam serem não jogos, dado um dos participantes dispor, desde a sua primeira intervenção, daquilo a que se chama uma estratégia ganhante.

Um desses casos é o Jogo do 31, um jogo para dois jogadores, cujas regras são as seguintes:
O primeiro jogador diz um número, que pode ser «1», «2» ou «3»;
O segundo jogador adiciona a esse número outro número, que também só pode ser «1», «2» ou «3»;
A alternância entre os jogadores prossegue, levando cada um a adicionar «1», «2» ou «3» à soma anterior;
O jogo termina no número «31», perdendo o jogador que o disser.

Propor um jogo destes numa Ludoteca em que há um grupo de frequentadores habituais é esgotá-lo ao fim de algum tempo: eles vão começar a perceber que existe um modo de jogar que favorece um dos jogadores.
Claro que, a haver um animador da Ludoteca, pode ser ele a lançar o desafio da identificação desse modo de jogar, ou seja, da estratégia ganhante, deixando que o grupo o resolva.
E, algum tempo depois, o animador da Ludoteca pode recomeçar este processo com outro grupo de frequentadores habituais.

Mais difícil é o animador da Ludoteca convencer um grupo de frequentadores mais entusiastas a, durante uma ou duas horas (ou em dois ou três dias), atacar o desafio referido. Nesse caso, a descoberta deixa de ser espontânea a passa a ser laboratorial.
Mais rapidamente ou mais devagar, o grupo acabará por chegar a um raciocínio parecido com o seguinte:
J A única forma de um dos jogadores (G, de «ganhante») ter a certeza de que vai ganhar é ser ele a completar a soma «30», pois, a seguir, o outro jogador (P. de «perdedor») só dispõe da soma «31» e perde;
J Para ter a certeza de que vai somar o «30», G não pode deixar que P o faça; então terá de ser P a somar o «26», pois qualquer que seja a escolha seguinte de P, este não chegará ao «30», ficando à distância suficiente para que G lá chegue;
J Continuando este raciocínio, G vai ter de dizer as somas «30», «26», «22», «18», «14», «10», «6» e «2»;
J Há um único jogador que tem a certeza de poder dizer a soma «2»: o primeiro;
J Então o «Jogo do 31» é um jogo em que o primeiro jogar joga e ganha (se conhecer qual é a «estratégia ganhante», claro).

Então, que se pode concluir sobre as seguintes variantes:
J Quem diz o «31» ganha;
J Em vez de acabar em «31» o jogo acaba noutro número (por exemplo: «25»).
J Em vez de adicionar «1», «2» ou «3», pode-se adicionar de «1» a outro número (por exemplo: «5»).


Esta série, «a Matemática e as Ludotecas», começou com a mensagem «0265», onde abordei a Lógica e a Heurística nas actividades lúdicas de carácter reflexivo.

[0273] Todos nós, na cidade

1974

O «rio», tal como o «tempo», que tanto separa como une.
A «cidade», como local de vida e de (des)entendimento.

1977

Um poeta, José Carlos Ary dos Santos.
Oito compositores, António Vitorino de Almeida, Fernando Tordo, Frederico de Brito, Joaquim Luís Gomes, José Luís Tinoco, Martinho d'Assunção, Moniz Pereira e Paulo de Carvalho.

Um fadista, Carlos do Carmo.
Dois guitarristas, António Chainho e Raul Nery.
Uma cidade, Lisboa.

A sincronia dos muitos: que vivem, amam, sonham, descobrem, trabalham, envelhecem.

1996

Um letrista, João Monge.
Um compositor, João Gil.
Cinco músicos, João Gil, Jorge Palma, Rui Veloso, Tim e Vitorino. E mais outros três, André Rocha, Carlos Guerreiro e Ricardo Dias.
Uma cidade, Almada.

A diacronia de um só (tal como quase todos): entre os saberes impostos e os descobertos, entre a liberdade e a obrigação, entre viver e trabalhar, entre quem o precede e quem lhe sucede, entre partir e regressar.

[0272] O tabuleiro de Galton

Muitos dos que já assistiram a concursos televisivos se lembrarão de ver um tabuleiro, colocado verticalmente ou com uma pequena inclinação, guarnecido na sua parte central com um conjunto de pinos dispostos triangularmente. Chegado o momento de ser usado, eram-lhe introduzidas sucessivas bolas no topo; e estas, ao caírem, desviavam-se ou para a esquerda ou para a direita ao embaterem nos pinos, até que se alojavam num dos receptáculos dispostos ao longo da base:

Um tabuleiro assim chama-se Tabuleiro de Galton.

A construção destes tabuleiros deve assegurar que as bolas têm a mesma probabilidade de se desviarem para um ou outro lado de cada pino ao embaterem nele. Sendo assim, a proporção teórica das bolas que passarão nos sucessivos níveis de pinos é a seguinte:

Por exemplo no 4ª nível, a proporção teórica, para cada 8 bolas lançadas, é de 1 bola nos dois intervalos extremos e de 3 bolas em cada um dos intervalos centrais.
Este triângulo de números, encaixado no interior do triângulo de pinos, é chamado Triângulo de Pascal. E os números de cada nível correspondem aos coeficientes do desenvolvimento do chamado Binómio de Newton, (a + b) ⁿ, correspondendo o 1º nível a n = 0, o 2º nível a n = 1, e assim sucessivamente.
Francis Galton (1822 - 1911), o inventor deste tabuleiro, juntou num só instrumento manipulável as contribuições de dois matemáticos de peso. E, através dele, exemplificou aquilo a que hoje se chama, em Estatística, uma distribuição binomial.

 

Lembrei-me deste tabuleiro quando passeava numa praia ao longo da maré baixa. A água tinha escorrido devagar, em direcção ao mar, e formara o padrão que se vê nesta fotografia:

Podemos imaginar que existem pinos dispostos triangularmente. Mas observamos que não há uma maior acumulação de «bolas» no «centro» da chegada. É que neste «tabuleiro» as «bolas» não descem a partir de um só ponto, mas de todos os pontos de um topo tão longo quanto a linha chegada. A distribuição estatística das gotas de água que deslizam para o mar é, portanto, uniforme.

 

Fonte: livro de Cundy & Rollet (1989; pp. 217-219)
Fotografia: Eva Maria Blum

[0271] Estará o progresso no Salto em Altura esgotado?

 Em 1987 comprei este interessante livro na Feira do Livro de Lisboa:

Entre os problemas aí abordados encontra-se o da localização do «ponto de fuga» (ou «limite assimptótico») de um determinado fenómeno, o que, em dado momento, foi ilustrado com o caso das melhores marcas mundiais na corrida de 1 500 metros (masculinos).
Como já aqui analisei os casos de duas outras «corridas» (os 100 metros, na mensagem «0068»; e os 10 mil metros, na mensagem «0194»), vou abordar a seguir o caso de um «salto».

A lista dos máximos mundiais, quer masculinos quer femininos, é consultável no sítio Track and Field Statistics. Os máximos oficiais do salto em Altura masculino são os seguintes (três deles estão assinalados com um asterisco, por repetirem o máximo que já estava em vigor):

Para se ter uma visão mais intuitiva da evolução deste máximo vale a pena experimentar uma outra apresentação destes dados. Por exemplo, apreciando quantas vezes o máximo foi melhorado numa década e em quantos centímetros em relação à década anterior:

Depois dos esplendorosos anos 60, 70 e 80 parece ter havido um esgotamento das melhorias no Salto em Altura. Ter-se-á verificado o mesmo noutras disciplinas do Atletismo?
A ter apenas em conta as «corridas» dos 100 e dos 10 mil metros, onde se verificaram diversas melhorias nos últimos 20 anos, não se pode afirmar que houve um esgotamento generalizado. Mas pode-se conjecturar ter havido um abrandamento generalizado.
Dar-nos-á isso alguma pista sobre o «ponto de fuga» dos nossos progressos atléticos?

Fontes: livro de Guillen (1987); sítio Track and Field Statistics

[0270] As palavras que dizemos (III): «inteligência artificial»

O problema que a expressão inteligência artificial levanta foi assim resumido pelo matemático Jorge Buescu:
“Há décadas que se ouve falar em «inteligência artificial», «cérebro electrónico» e conceitos relacionados.”
“No entanto, estes conceitos parecem bastante avessos a uma definição rigorosa. Em ciências da computação diz-se por vezes, meio jocosamente, que o conceito de inteligência é tão difícil de definir que, quando o situamos numa meta concreta e ela é atingida, verificamos que afinal o sistema que o conseguiu não é inteligente, e temos de rever a nossa definição. O exemplo clássico esteve em voga muitos anos: quando uma máquina conseguisse vencer um Grande Mestre numa partida de xadrez, mereceria ser chamada «inteligente».
Pois isso aconteceu em 1997: o Deep Blue, um computador construído para o efeito pela IBM, venceu o Grande Mestre Garry Kasparov. No entanto, ninguém pode dizer que o Deep Blue era inteligente: simplesmente analisava, por força bruta e de forma extraordinariamente rápida, o valor das jogadas, o que pelos vistos fazia melhor do que qualquer mortal. Mas era incapaz de fazer algo mais do que jogar xadrez.”
Prudentemente, Jorge Buescu decidiu deixar-nos com a dúvida sobe se, no futuro, esta recorrente limitação da «inteligência artificial» iria ou não ser superada.

Ao abordar este problema, Yuval Harari, um historiador, escolheu a hipótese mais radical:
“A noção de que os humanos terão sempre uma habilidade distintiva fora do alcance dos algoritmos não-conscientes não passa de uma ilusão”. O que a ciência actual afirma sobre a «vida» em geral, e portanto sobre aquilo a que chamamos «inteligência», “pode ser resumido em três princípios básicos:
1. Os organismos são algoritmos. Todos os animais, incluindo o Homo Sapiens, são um conjunto de algoritmos orgânicos aperfeiçoados pela seleção natural ao longo de milhões de anos de evolução.
2. Os cálculos dos algoritmos não são influenciados pelos materiais de que é feita a calculadora. Quer o ábaco seja feito de madeira, ferro ou plástico, o resultado da soma de duas contas com outras duas será sempre de quatro contas.
3. Daí que não haja qualquer razão para se pensar que os algoritmos orgânicos conseguem fazer coisas que os inorgânicos nunca conseguirão fazer. Desde que os cálculos sejam válidos, o que interessa se a base dos algoritmos é o carbono ou o silício.”

O físico Michio Kaku pendeu, mais do que Jorge Buescu, outro representante das ciências duras, para o pessimismo em relação à «inteligência artificial»:
“Em 2016, a notícia de que o programa informático AlphaGo, da Deep Mind, tinha vencido Lee Sedol, o campeão mundial do antigo jogo do Go, veio dar um novo impulso à área da inteligência artificial.”
“O AlphaGo é o programa de jogos mais avançado de sempre. No xadrez, há em média 20 a 30 jogadas que se podem fazer a qualquer momento, mas no Go existem cerca de 250 jogadas exequíveis. De facto, o número total de configurações de jogo do Go ultrapassa o número total de átomos no Universo.” No entanto, depois desta proeza, “depressa se tornou evidente que, apesar da sua sofisticação, o AlphaGo só conseguia fazer uma coisa: vencer no Go.” “Por mais poderoso que seja um hardware, não podemos ir ter com a máquina, dar-lhe uma palmada nas costas, felicitá-lo por ter vencido um humano e esperar uma resposta coerente. A máquina ignora totalmente que acaba de fazer história científica. Na verdade, a máquina nem sequer sabe que é uma máquina.”

António Damásio, um neuro-cientista, tanto criticou o modo como a «inteligência artificial» tem sido desenvolvida como lhe sugeriu outras direcções de desenvolvimento. Ao ser entrevistado por Pedro Rios afirmou:
“Grande parte da IA [Inteligência Artificial] é muito estúpida [risos]. O mais curioso na IA é que é muito limitada por aspectos cognitivos. É pensar a inteligência apenas com o aspecto mais moderno (o cognitivo) e não com os aspectos fundamentais que vêm do afecto. Ora, a inteligência dos seres vivos começou com aspectos que têm que ver com a regulação da vida. Uma vez que houve sistema nervoso, [a inteligência] passou a ser ligada pelos sentimentos e pela consciência. E só na parte final passou a ser uma inteligência dos factos, que tem que ver com olhar para o mundo e, através da visão, da audição e do tacto, descrevê-lo. Em vez de olhar para a nossa trajectória biológica, a IA foi directamente ao fim. E assim conseguiu uma coisa magnífica, que é ter uma inteligência rápida, que resolve uma quantidade de problemas, mas que, muitas vezes, os resolve de uma forma não particularmente inteligente e não condutiva ao ser humano que precisa de afecto e carinho.
O que estamos a propor é que se faça uma nova espécie de IA que tenha em conta o afecto e que vem das chamadas soft robotics (matérias que podem ser modificadas, que se podem premer ou mudar com o frio e o calor). É uma forma de dar uma resposta do tipo que nós temos quando o nosso corpo responde a boa ou má temperatura, a calorias suficientes ou insuficientes. É uma nova linha de máquinas artificiais que julgo ter imenso futuro.”
“A IA é um aspecto extremo da inteligência em que não há praticamente vulnerabilidade. E nós, seres humanos, estamos no meio: temos certas vulnerabilidades e certas capacidades. Para um robô se relacionar consigo ou comigo, é preciso que tenha qualquer coisa de um ser humano médio. Você não pode estar um dia inteiro sem beber água, vai ficar desidratado. Essas vulnerabilidades vêm do facto de que a vida não é um algoritmo fixo, mas uma constante adaptação a condições biológicas. Trazer vulnerabilidades para a robótica é uma maneira de a aproximar de nós. O problema da IA e a sua limitação é ser invulnerável.”

Sam Copeland, tal como outros analistas de Xadrez, não gosta de usar a expressão «inteligência artificial», preferindo chamar «máquinas» às suas materializações neste jogo.
Por um lado, afirmou:
“O consenso genérico parece reconhecer que os melhores humanos apenas asseguram uns tantos empates, jogando de brancas, mas em geral, perderão a grande maioria das partidas e não tem esperança de ganhar qualquer jogo.”
Mas, por outro, apresenta uma grande variedade de exemplos onde as «máquinas» mostram ser incapazes de compreender (e de actuar em) situações concretas de jogo. O diagrama seguinte é uma dessas posições:

Fontes: livros de Buescu (2014; pp. 211-212), de Harari (2018; p. 356) e de Kaku (2018; pp. 157-158); entrevista a Damásio no «jornal «Público» (2020); artigo de Copeland (2021; tradução minha)

[0269] Quebra-cabeças: o Circuito Fechado

Este quebra-cabeças é constituído por 18 peças rectangulares com dimensão 1 x 2 e por um tabuleiro quadrangular com dimensão 6 x 6.

Das 18 peças, 15 possuem um desenho especial (igual em ambas faces, por comodidade), tal como se mostra na figura.

Objectivo para quem quiser resolver este quebra-cabeças: colocar as 18 peças no tabuleiro de modo a obter uma linha fechada.
Ao ser colocada, cada peça deve cobrir exactamente dois dos quadrados do tabuleiro e não pode sobrepor-se a qualquer outra peça já nele colocada.
Há um número indeterminado de soluções.

 

Estas regras podem ser acedidas através da página «Documentos» deste blogue.

[0268] Jogos para os quais há material em casa (VI): o Hex

O tabuleiro do HEX é composto por hexágonos (origem do nome dado ao jogo), formando aquilo que se parece com um «losango». Os «lados» opostos deste «losango» têm a mesma cor, que no exemplo figurado a seguir, são o azul e o vermelho:

Os jogadores experientes escolhem tabuleiros com lados formados por onze, ou até por mais, hexágonos.
As peças de um dos jogadores têm uma das cores dos «lados» e as peças do outro têm a outra cor (basta serem de cor diferente)
Na sua vez de jogar, cada jogador coloca uma das suas peças num hexágono desocupado, com o objectivo de formar uma cadeia contínua com as suas peças ligando um dos lados do tabuleiro ao lado oposto (os lados que têm a cor das suas peças).
Cada um dos jogadores tenta não só completar a sua própria cadeia, como, naturalmente, impedir a formação da cadeia do seu adversário.

Usualmente, os hexágonos situados nos «vértices» do «losango» são considerados parte integrante dos «lados» de ambos os jogadores, mas antes de iniciarem um jogo os dois jogadores podem acordar em exclui-los.

Os principiantes podem usar tabuleiros mais pequenos. As figuras (a) e (b) ilustram os resultados de dois jogos entre principiantes:

Este jogo, inventado pelo matemático dinamarquês Piet Hein, em 1942, tem uma característica pouco frequente: não pode haver empates!
É possível demonstrar este facto recorrendo a métodos matemáticos. Mas ele também pode ser argumentado a partir do simples raciocínio lógico: alguém tenta?

Na Drop Box associada a este blogue encontra-se um ficheiro com as regras deste jogo e a imagem do tabuleiro de tamanho 12 x 12. Para jogar, basta imprimir o tabuleiro e arranjar o número de peças suficiente para nele jogar, nem que sejam «grãos» contra «feijões»!

[0267] O oitavo Objectivo do Desenvolvimento Sustentável: trabalho digno e crescimento económico

Na mensagem «0080» foram genericamente apresentados os dezassete Objectivos de Desenvolvimento Sustentável que as Nações Unidas propuseram aos governos e aos cidadãos do mundo cumprir entre 2015 e 2030.
Os primeiros sete foram referidos nas mensagens «0154», «0196» e «0206» (erradicar a pobreza), «0157» (erradicar a fome), «0169» (saúde de qualidade), «0176» (educação de qualidade), «0178» (igualdade de género), «0239» (água potável e saneamento) e «0244» (energias renováveis e acessíveis).

O 8º desses objectivos, …

… é-nos apresentado assim em https://unric.org/pt/objetivos-de-desenvolvimento-sustentavel:

Objetivo 8: Trabalho Digno e Crescimento Económico

Sustentar o crescimento económico per capita de acordo com as circunstâncias nacionais e, em particular, um crescimento anual de pelo menos 7 % do produto interno bruto [PIB] nos países menos desenvolvidos
Atingir níveis mais elevados de produtividade das economias através da diversificação, modernização tecnológica e inovação, inclusive através da focalização em setores de alto valor agregado e dos setores de mão-de-obra intensiva
Promover políticas orientadas para o desenvolvimento que apoiem as atividades produtivas, geração de emprego decente, empreendedorismo, criatividade e inovação, e incentivar a formalização e o crescimento das micro, pequenas e médias empresas, inclusive através do acesso aos serviços financeiros
Melhorar progressivamente, até 2030, a eficiência dos recursos globais no consumo e na produção, e empenhar-se em dissociar crescimento económico da degradação ambiental, de acordo com o enquadramento decenal de programas sobre produção e consumo sustentáveis, com os países desenvolvidos a assumirem a liderança
Até 2030, alcançar o emprego pleno e produtivo, e trabalho decente para todas as mulheres e homens, inclusive para os jovens e as pessoas com deficiência, e remuneração igual para trabalho de igual valor
Até 2020, reduzir substancialmente a proporção de jovens sem emprego, educação ou formação
Tomar medidas imediatas e eficazes para erradicar o trabalho forçado, acabar com a escravidão moderna e o tráfico de pessoas, e assegurar a proibição e a eliminação das piores formas de trabalho infantil, incluindo recrutamento e utilização de crianças-soldado, e até 2025 acabar com o trabalho infantil em todas as suas formas
Proteger os direitos do trabalho e promover ambientes de trabalho seguros e protegidos para todos os trabalhadores, incluindo os trabalhadores migrantes, em particular as mulheres migrantes, e pessoas em empregos precários
Até 2030, elaborar e implementar políticas para promover o turismo sustentável, que gera empregos e promove a cultura e os produtos locais
Fortalecer a capacidade das instituições financeiras nacionais para incentivar a expansão do acesso aos serviços bancários, de seguros e financeiros para todos
Aumentar o apoio à Iniciativa de Ajuda para o Comércio [Aid for Trade] para os países em desenvolvimento, particularmente os países menos desenvolvidos, inclusive através do Quadro Integrado Reforçado para a Assistência Técnica Relacionada com o Comércio para os países menos desenvolvidos
Até 2020, desenvolver e operacionalizar uma estratégia global para o emprego dos jovens e implementar o Pacto Mundial para o Emprego da Organização Internacional do Trabalho [OIT]

 

As seguintes considerações de David Attenborough (no livro referido na mensagem «0259») são úteis para analisar criticamente este objectivo:

“Há quem sonhe com um futuro em que a Humanidade se liberta globalmente do seu vício de crescimento, deixa para trás o PIB como início e fim de tudo, e se concentra numa nova medida sustentável de sucesso […]. O Índice do Planeta Feliz, criado pela New Economics Foundation em 2006, visa isso mesmo, combinando a pegada ecológica de um país com elementos de bem-estar-humano, como a esperança de vida, os níveis médios de felicidade e uma medida de igualdade. Quando classificamos os países segundo este índice, obtemos uma tabela totalmente diferente do que usando apenas o PIB. Em 2016, a Costa Rica e o México eram os primeiros, com melhores classificações em bem-estar e pegadas ecológicas muito mais pequenas do que os Estados Unidos e o Reino Unido. O Índice do Planeta Feliz não é seguramente infalível. Dado que é uma classificação combinada, é possível, como aconteceu com a Noruega, ficar numa posição elevada com uma pegada ecológica pesada se a pontuação de bem-estar for muito alta. Também é possível, como o Bangladeche, ficar numa posição elevada com um baixo bem-estar se a pegada for leve. No entanto, o Índice do Planeta Feliz e outros semelhantes estão a ser seriamente ponderados por vários países como alternativas ao PIB e a encorajar um debate mais amplo sobre o objectivo resultante de todas as atividades da Humanidade na Terra.

Em 2019, a Nova Zelândia deu o passo arrojado de abandonar formalmente o PIB como principal de sucesso económico. Não adoptou qualquer das alternativas já existentes, mas criou o seu próprio índice baseado nas preocupações nacionais mais prementes […].”

Fonte: livro de Attenborough (2020; pp. 149-150)

[0266] Irremediavelmente algemados: uma magia topológica

Além de algemadas, duas pessoas estão inseparavelmente ligadas uma à outra pelas correntes das suas algemas:

Como podem os algemados separar-se um do outro?
Não, não vale pensar que os pulsos podem deslizar por dentro das algemas, tal como o desenho parece sugerir. Também deve ser posta de parte a hipótese de as algemas, ou as correntes, serem cortadas.

Podem treinar aí em casa: duas pessoas, duas cordas com cerca de metro e meio, e as quatro extremidades das cordas formando laços que envolverão os quatro pulsos. É melhor deixar alguma folga nos laços.
Experimentem então libertar-se …

 

Solução:

Um dos algemados desloca uma parte da sua corrente até que ela esteja situada por debaixo de uma das mãos do outro algemado:

Depois dobra a corrente, para cima, fá-la passar entre a algema e a mão do outro algemado e vai-a esticando até que ela passa por cima da mão, altura em que a puxa para fora da algema:

As correntes deixaram de estar entrecruzadas:

Topologicamente, os algemados sempre estiveram «livres» um do outro (mas não livres das suas algemas)!
Experimentem aí em casa …

Inspiração: livro de Gardner (1991; pp. 100-102)
Desenhos: Pedro Esteves