[0082] Um desafio à nossa paciência: o quebra-cabeças «Prisioneiro»

Há uma larga família de quebra-cabeças caracterizada por um tabuleiro onde se movem peças rectangulares, ora horizontalmente, ora verticalmente, com o objectivo de, partindo de uma dada posição atingir uma outra, também dada.

Neste membro dessa família, o Prisioneiro, o tabuleiro tem 4 x 5 casas e a ele estão associadas 10 peças.

A seguir estão propostos dois desafios, cada qual com a posição inicial e a posição final das peças:

Em «Outros Documentos» (onde já se pode aceder aos primeiros ficheiros com quebra-cabeças) estão disponíveis mais desafios do «Prisioneiro».

[0081] Num Jogo de Reflexão: compete-se ou coopera-se?

A convicção de que o jogo pressupõe a competição está muito difundida, podendo ter origem no facto de os momentos mais visíveis de muitos jogos ocorrerem quando eles servem para encontrar um vencedor.

Tratando-se de jogos de reflexão, como encarar esta convicção?

Primeiro argumento: o potencial de qualquer jogo de reflexão coloca perguntas fundamentais e, de cada vez que ele é jogado, o que fica são os contributos para responder a essas perguntas.

Uma dessas perguntas é: um dos jogadores tem uma estratégia vencedora?

No caso do Jogo do Galo a resposta é: nenhum dos dois jogadores tem uma estratégia vencedora; jogando bem, este jogo termina com um empate.

Nem todo a gente o sabe, por isso este jogo continua a ser jogado (embora, pouco a pouco, comece a ser substituído por outros de que não se conhece a resposta àquela pergunta).

No caso do Xadrez não é conhecida uma estratégia vencedora, pelo que se colocam outras perguntas, havendo respostas definitivas, ou apenas razoáveis, para várias delas.

Uma das respostas definitivas diz respeito a posições de jogo típicas, acerca das quais se pode enunciar, como no diagrama seguinte: as brancas jogam e dão mate em 3 lances.

Estes problemas são semelhantes aos que originam muitos dos teoremas enunciados na Matemática, como, por exemplo: o produto de um número par por um número ímpar é um número par.

Segundo argumento: é frequente aqueles que se envolvem em jogos de reflexão trocarem opiniões sobre eles e chegarem a conclusões partilhadas.

Assim acontece com os jogadores de Xadrez quando acabam uma partida.

E também acontece para além das partidas concretas que são jogadas. Lembro-me de dois alunos meus que se defrontavam frequentemente no Abalone. Este joga-se num tabuleiro hexagonal, onde 14 bolas negras e 14 bolas brancas são empurradas até que um dos jogadores perde 6 das suas bolas. Apesar de se defrontarem constantemente, eles foram apurando uma técnica defensiva que servia para qualquer deles. Segundo pensavam, ela permitia às bolas que a usassem resistir contra os empurrões das outras, e era constituída por uma disposição das bolas a que chamaram «rosa»:

Com esta disposição, as bolas negras defendem-se em quase todas as direcções com o alinhamento de, pelo menos, 3 bolas (só podem ser empurradas 2 bolas ou 1 bola).

Terceiro argumento: também há jogos de reflexão cujas regras visam a cooperação, não a competição.

Pois: há dois meses ofereceram-me um jogo de reflexão com estas características, o Ilha Proibida: é destinada a 2, 3 ou 4 jogadores, que cooperam para salvar o património arqueológico de uma ilha ameaçada pela subida do nível do mar …

Fonte (para a «rosa»): Esteves (1998; VI.I.1)

Ah! A solução do problema de Xadrez:

[0080] Os Objectivos de Desenvolvimento Sustentável das Nações Unidas

Em 2000 as Nações Unidas aprovaram oito Objetivos de Desenvolvimento do Milénio, que pretendiam ver cumpridos até 2015. Ao terminar este prazo, produziram um relatório onde reconheceram terem sido realizados progressos na concretização desses objectivos, mas também ter havido diversos fracassos.

A reflexão então feita transformou-os em dezassete Objectivos de Desenvolvimento Sustentável, uma “nova agenda de ação”, para mais quinze anos, até 2030. Segundo a declaração que a acompanhou, ela resultou do “trabalho conjunto de governos e cidadãos de todo o mundo para criar um novo modelo global para acabar com a pobreza, promover a prosperidade e o bem-estar de todos, proteger o ambiente e combater as alterações climáticas.”

Este é um esforço a que todos somos chamados, para que assim possamos fazer um mundo melhor. E esse esforço tem de começar em qualquer família, em qualquer escola.

Se a preocupação ética é indiscutível, o caminho que ela trilha pode e deve ser analisado criticamente.

E não me parece que o conceito de «sustentabilidade» que, desde 2015, procura dar coerência global a estes dezassete objectivos tenha sido uma boa escolha.

Um argumento usado pelo economista Ha-Joon Chang ilustra o essencial da crítica a que deve ser submetido o uso impensado e indiscriminado da palavra «sustentabilidade». Imaginando o dia em que repara que o seu filho não se sustenta a si próprio, escreve: “Ele é sustentado por mim, mas é bem capaz de ganhar a vida. Forneço-lhe alojamento, alimentação, educação e cuidados de saúde. Porém, milhões de crianças da sua idade já têm emprego. (…). Actualmente ele vive numa redoma económica sem noção do valor do dinheiro. Não tem a mínima noção dos esforços que a sua mãe e eu fazemos por ele, subsidiando a sua existência ociosa e afastando-o da dura realidade. Ele está superprotegido e precisa de ser exposto à concorrência, de modo a tornar-se uma pessoa mais produtiva. (…). Deveria tirá-lo da escola e arranjar-lhe emprego. (…). Já oiço o leitor a pensar que devo estar louco. Que sou míope. Cruel. Que o que tenho de fazer é proteger e criar a criança.”

O nosso planeta deve ser sustentável; e haverá outras unidades que também o deverão ser. Mas não é possível aplicar este conceito à maioria das unidades que nos passam pela cabeça: a solidariedade (entre os que têm e podem mais e os que têm e podem menos) é talvez o conceito que melhor descreve aquilo em que todos nós gostaríamos de nos envolver.

O relatório de 2015 pode ser descarregado (em inglês e em francês) da página «Documentos».

Fonte: https://unric.org/pt/objetivos-de-desenvolvimento-sustentavel; Chang (2013; p. 83)

[0079] Argumentos sobre a ligação entre os Jogos de Reflexão e a Matemática

Argumento de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716):

“Não há homens mais inteligentes do que aqueles que são capazes de inventar jogos. É aí que o seu espírito se manifesta mais livremente. Seria desejável que existisse um curso de jogos tratados matematicamente.”

Argumento de Godfrey Harold Hardy (1877-1947), já referido na mensagem «0002»:

Segundo J. P. Neto e J. N. Silva: “Hardy, um dos maiores matemáticos do século passado, dizia que a diferença entre um teorema matemático e um problema de xadrez reside somente na relevância de cada um. Nada os distingue, a não ser a importância das respectivas aplicações. Os jogos abstractos e a matemática pura são idênticos …”

Mas o «jogo» não pressupõe forçosamente a «competição».

E a «competição» pode ser encarada como uma associada menor da «cooperação».

Sobre isso argumentarei eu em breve.

Fontes: Leibniz (citado pela editora Gradiva, na contracapa da sua colecção «Prazer da Matemática»; Neto & Silva (2004; p. 21)

[0078] Com um modelo e algumas medidas: a descoberta através da dedução (parte I)

Uma parte do nosso conhecimento é construída por dedução, a partir do que já se conhece e dos modelos usados nesse conhecimento.

Um exemplo: se a Terra tem um movimento de translação em torno do Sol, a que velocidade se desloca?

O modelo (simplificado): o movimento de translação da Terra é circular.

As medidas (aproximadas): a distância média da Terra ao Sol (equivalente ao raio da translação) é de 149 x 10⁶ km; a translação dura 365,25 dias (um ano).

Então:

(1) o caminho percorrido pela Terra durante um ano é igual a

2 x pi x raio = 6,28 x 149 x 10⁶ km = aprox. 93 572 x 10⁴ km;

(2) o tempo que a Terra leva a percorrer esse caminho é igual a

365,25 x 24 x 60 x 60 segundos = 315 576 x 10² segundos;

(3) a velocidade média da translação é igual à distância a dividir pelo tempo, isto é

93 572 x 10⁴ km : 315 576 x 10² segundos = aprox. 30 km por segundo!

Fonte das medidas: Bakouline, Kononovitch & Moroz (1975; anexos)

[0077] Um comentário do filósofo Karl Popper sobre a educação

Há quase trinta anos o filósofo Karl Popper, num debate com o etólogo Konrad Lorenz, afirmou que “a nossa pedagogia consiste em sobrecarregar as crianças com respostas, sem que elas tenham colocado questões, e às perguntas que fazem não se presta atenção”.

E depois, resumindo-o:

“Esta é a pedagogia habitual: respostas sem perguntas e perguntas sem respostas.”

Karl Popper

Fonte: Popper (1990; p. 49)

[0076] A função social da literatura, segundo Vargas Llosa

Afirmou este escritor peruano à jornalista Natália Faria, quando esta o entrevistou, em 2014:

“A literatura não é apenas uma fonte maravilhosa de prazer. Cumpre, além disso, uma função social e histórica de primeira ordem que é a de desenvolver nos leitores um espírito crítico. Depois de termos lido uma grande obra literária, um grande romance, um grande poema, um ensaio, regressamos ao mundo real convencidos de que a realidade está mal feita, que está muito aquém daquela ficção que somos capazes de inventar através da fantasia e da palavra. Isso faz-nos olhar para a nossa envolvência social, cultural e política com olhos muito críticos. E creio que essa é a razão pela qual a literatura, ao longo de toda a História, foi sempre vista com muita desconfiança e com muito temor pelos governos autoritários, pelas ditaduras, por todos os regimes que, no fundo, tratam de controlar a vida e querem demonstrar aos cidadãos que o mundo está bem feito. É essa a razão da censura. E efectivamente a literatura é um perigo para esse tipo de regimes porque tem sempre uma atitude muito crítica face ao mundo tal como ele é.”

“O problema é que a literatura hoje em dia vive uma crise muito profunda, converteu-se sobretudo em entretenimento, perdeu a sua pugnacidade, a sua beligerância crítica, e busca sobretudo entreter. E o entretimento também é uma espécie de adormecimento, uma maneira de desmobilizar criticamente os cidadãos. Creio que essa crise da cultura, que é muito profunda na minha opinião, pode ter um efeito gravíssimo na vigência da democracia e da liberdade. Pela primeira vez na história, o pesadelo de [George] Orwell, de uma ditadura tecnológica, com um absoluto controlo sobre a vida das pessoas, um mundo de cidadãos convertidos em autómatos, já é possível. Isso acontece por causa da degradação da cultura no nosso tempo.”

Fonte: Llosa (2014)

[0075] Um padrão geométrico tridimensional

Este vaso meleiro foi fabricado entre os séculos IV e II antes de Cristo e encontrado em Arrifes do Poço, podendo ser agora apreciado pelos visitantes do Museu Municipal de Aljezur:

A intenção de lhe dar uma forma regular já está nele bem concretizada (as rodas de oleiro eram usadas neste extremo da Europa há umas centenas de anos) mas a perfeição da decoração ainda está longe do que se faz actualmente.

Apesar das imperfeições decorativas deste vaso, é clara a intenção de a padronizar. E esses padrões podem ser descritos por duas transformações geométricas:

Rotação (de 90º, e dos seus múltiplos, em torno de um eixo vertical):

Reflexão (em relação a dois pares de espelhos verticais, sendo os de cada par perpendiculares entre si):

Fotografias: Pedro Esteves (no Museu Municipal de Aljezur, em Outubro de 2017)

[0074] As viagens e a admiração

Para quem sempre viveu na costa Oeste da Península Ibérica, ou da Escandinávia, o Sol nasce em terra e põe-se no mar:

Mas se um dia viajar para a costa Leste das ilhas britânicas, ou da Grécia, verifica que, aí, o Sol nasce no mar e se põe em terra. Por um momento, sentirá que algo de estranho está a acontecer.

O mesmo acontecerá a quem viajar pela primeira vez entre, por exemplo, as costas longitudinalmente opostas de África, ou das Américas …

Cada viagem é uma descoberta sobre as mudanças de contexto: elas tanto são deslumbrantes como irrelevantes.

[0073] Transformações geométricas para classificar os «frisos»

Recorrendo às transformações geométricas, os «frisos» correspondentes aos três exemplares de Rendas de Bilros referidos na mensagem «0070» mostram o que é comum a todos (a translação horizontal) e suas as primeiras diferenças.

Apenas conta com as translações (mas o comprimento do «vector» que define estas podem ser ± o dobro, ± o triplo, … do que está exemplificado abaixo):

Também é simétrico em relação a duas famílias de eixos verticais:

Também é simétrico em relação a um eixo horizontal e a duas famílias de eixos verticais:

[0072] Um padrão geométrico plano que só possui «rotação»

Na mensagem «0061» propus um fluxograma que permite identificar e classificar os padrões geométricos planos com que nos deparamos um pouco por todo o lado. Ele usa como critérios a existência ou não de uma translação, de uma reflexão e de uma rotação e é o seguinte, com algumas melhorias na apresentação e, no fim, com os exemplos até agora referidos neste blogue:

Além de exemplos para todos os grupos das famílias do «papel de parede» e dos «frisos» (a abordar em mensagens posteriores), falta um exemplo para o caso dos padrões «só com rotação». Aqui vai esse exemplo, uma peça da Moagem de Sampaio (concelho de Sesimbra), notando-se à direita e em baixo a sua ligação a uma correia de transmissão:

Imagem (pormenor): sítio da Câmara Municipal de Sesimbra

[0071] Nas vésperas do Dia Internacional da Música: um instrumento musical africano

O Dia Internacional da Música é celebrado em 1 de Outubro.

Ele foi proposta pelo músico Yehudi Menuhin (1916 – 1999) à International Music Council (IMC, fundada em 1949 pela UNESCO) e por esta instituída em 1975.

O seguinte Arco musical, ou Cítara de arco, foi recolhido pela missão antropológica de Moçambique entre 1936 e 1956 e está exposto em Plantas e Povos (exposição visitável no Museu Nacional de História Natural e da Ciência, em Lisboa):

Este tipo de arco distingue-se dos outros pelo facto do som ser produzido por fricção de uma vara sobre as incisões gravadas no arco de madeira.

Fontes informativas: sítio da International Music Council; exposição Plantas e Povos

Fotografia: Pedro Esteves (em 2017)

[0070] A longa diversificação dos «frisos»

Elemento decorativo

arquitectónico

da capela dedicada a S. Justo e

Pastor, dos finais do

século VII d. C. (período visigótico), provindo da Herdade de

Arranas / S. João dos Azinhais

(Torrão)

Renda de Bilros, característica das regiões litorais, e difundida intensamente em Portugal no século XVI.
As rendilheiras, mulheres dos pescadores, trabalhavam em casa

Fachada

Passeio    

Fotografias (fragmentos): Eva Maria Blum (capela e rendas, no Museu de Arqueologia e Etnologia do Distrito de Setúbal, em 2017; fachada e passeio, em Lisboa, respectivamente na Rua do Lumiar, em 2016, e na Baixa, em 2014)

[0069] O Homem e a Natureza: poderá só um deles sobreviver?

O grafitter Sérgio Odeith, partindo de uma fotografia histórica da cidade de Setúbal (uma entre todas as cidades), expressou assim a terrível tensão a que a luta pela sobrevivência pode conduzir:

Praça José Afonso (Setúbal),
fotografia de Eva Maria Blum (28 de Março de 2016)

A umas escassas duas centenas de metros de distância esta tensão está glosada deste outro modo:

Museu de Arqueologia e Etnologia do Distrito de Setúbal,

Fotografia de Eva Maria Blum (31 de Agosto de 2017)

[0068] Evolução do «record» mundial da corrida de 100 metros masculinos

Se pudéssemos colocar lado a lado as melhores corridas de 100 metros do norte-americano Donald Lippincott, do alemão-federal Armin Hary e do jamaicano Usain Bolt, os três estariam, no momento da chegada do vencedor, mais ou menos nas seguintes posições dos últimos 20 metros da pista:

Eis como estes últimos 20 metros seriam vistos no contexto de toda a corrida:

Bolt seria o primeiro a chegar, momento em que Hary estaria quase nos 96 metros e Lippincott ainda mal teria passado os 90 metros ...

Quase 10 metros de distância entre eles!

A explicação para que estas três corridas tenham sido comparadas está na seguinte tabela, onde se encontram registadas as sucessivas melhores corridas oficiais de 100 metros masculinos:

As diferentes cores de fundo nesta tabela correspondem a períodos em que duas melhores marcas consecutivas estão separadas por menos de 10 anos. Lippincott inaugurou o primeiro desses períodos; Hary foi um dos que ficou registado no segundo periodo; e Bolt foi, até hoje, o último a estar registado no terceiro período.

Quase 100 anos separam estas três corridas!

Quando Usain Bolt bateu o tempo do seu compatriota Asafa Powell, em 2008, tinha apenas 21 anos, e correu com um vento favorável de 1,7 metros por segundo (o limite admissível é de 2 m/s).

E quando, pouco mais de um ano depois, estabeleceu o actual melhor tempo de sempre, o vento era-lhe menos favorável: apenas 0,9 metros por segundo. E todos aqueles que derrotou nesta corrida não fariam pior que Armin Hary, se este também corresse, com o seu melhor tempo: Tyson Gay, norte-americano, fez 9,71 segundos; Asafa Powell fez 9,84 segundos; Daniel Bailey, de Antigua, e Richard Thompson, de Trindade e Tobago, foram quarto e quinto, ambos com 9,93 segundos; e os dois últimos cortaram a meta exactamente aos 10,00 segundos.

Na tabela, os três períodos estão separados por dois longos períodos em que não houve evolução das melhores marcas: o primeiro durou vinte anos (de 1936 a 1956) e o segundo durou quinze anos (de 1968 a 1983). O último destes períodos já leva mais de oito anos sem que um novo melhor tempo seja registado: daqui a quantos anos irá o próximo «record» mundial da corrida de 100 metros masculinos ser batido?

É absurdo não considerar a existência de um limite para a evolução das melhores marcas de qualquer prova atlética. No entanto, se observarmos o ritmo dessa evolução na corrida de 100 metros masculinos ainda não podemos sentir esse limite:

Que se terá passado com a corrida masculina dos 10 000 metros?

E com as corridas femininas dos 100 e dos 10 000 metros?

E com os saltos e os lançamentos?

E com a natação? E com …?

Que explica toda esta evolução?

Inspiração: Michael Guillen (1987).

Fontes: notícias do jornal «Público» (13 de Maio de 2006; 21 de Maio de 2006; 17 de Agosto de 2008 e artigos de Sogl (2008) e de Lopes (2009)

[0067] A exposição «Jogos matemáticos através dos tempos», no MUHNAC

Esta é uma das exposições de longa duração patente no Museu Nacional de História Natural e da Ciência, em Lisboa, que foi inaugurada em 2008 e, entretanto, parcialmente actualizada.

Mostra alguns jogos e quebra-cabeças antigos: o Stomachion (séc. III a.C.); o Pentalfa (séc. IV a.C.); o Ludus Regularis (séc. X); o Rithmomachia (séc. XI); o Ludus Astronomorum (séc. XIII); o Ludus Globi (séc. XV); o Metromachia (séc. XVI); o Ouranomachia (séc. XVI); duas versões do Icosiano (séc. XIX); e o Hex (séc. XX).

Mostra ainda vários outros jogos e quebra-cabeças para os visitantes experimentarem.

O quebra-cabeças Stomachion é devido a Arquimedes e é constituído por 14 peças planas que se pretende compor como quadrado. As duas figuras seguintes mostram uma das soluções para essa composição, mostrando a primeira como as peças podem ser desenhadas:

Um desafio interessante para alunos do ensino básico: determinar a área de cada uma das peças.

A próxima figura mostra a resposta, não o modo de lá chegar:

Fonte: sítio do Museu Nacional de História Natural e da Ciência e visita à exposição

Figuras: Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Stomachion

[0066] Alguns comentários prévios ao «Projeto de Autonomia e Flexibilidade Curricular», do Ministério da Educação

A flexibilização curricular, no contexto da autonomia das escolas, foi experimentada no Ensino Básico no início deste século, em todas as escolas portuguesas, durante quase uma década.

Depois de uma interrupção devida a uma mudança de política educativa, que introduziu as metas curriculares e muitos mais exames, ela vai agora ser retomada, alargando-se ao Ensino Secundário e assim abarcando todo o ensino obrigatório.

Quando ela começou a ser preparada, em meados da década de 1990, expressei as minhas reservas a alguns dos seus principais impulsionadores. Mas quando foi implementada fiz o possível para que tivesse sucesso. Apesar de este esforço ter sido partilhado por muitos outros professores, a primeira tentativa de flexibilização foi definhando, até ser travada e substituída pela outra política.

Em abstracto, a flexibilização curricular é interessante. No entanto as condições concretas desta nova tentativa, comparadas com as da anterior, apesar de uma ou outra melhoria, mostram sobretudo importantes motivos para preocupação:

(1) Aumentaram imenso as possibilidades de flexibilização: cada escola pode escolher partes importantes do currículo e organizar, a seu modo, o trabalho lectivo (ver, nos «Documentos», o Despacho nº 5908).

(2) As competências, que se supunha orientarem o trabalho dos professores durante a primeira tentativa de flexibilização, foram substituídas por um perfil do aluno, que se pretende seja atingido no final da escolaridade obrigatória (ver, nos «Documentos», o Despacho nº 6478).

(3) A principal origem para a perversão da primeira tentativa de flexibilização curricular, a avaliação para a classificação, continuará a marcar todo o trabalho lectivo, pois será lembrada no final de cada ano escolar e por cada exame.

(4) As experiências de aprendizagem, consideradas na primeira tentativa como indispensáveis para que as competências fossem desenvolvidas, e logo de seguida esquecidas por toda a gente, dentro e fora das escolas, desapareceram da segunda tentativa; mas elas são fundamentais, juntamente com as competências / perfil, pois fornecem aos professores das diferentes disciplinas uma linguagem comum, que lhes permite, gradualmente, entenderem-se e cooperarem.

(5) A primeira tentativa de flexibilização foi experimentada nalgumas escolas, escolhidas a dedo, e só depois, subitamente, generalizada; a generalização foi a segunda razão para a sua perversão; nesta segunda tentativa cada escola decide se entra ou não no primeiro ano (2017-18), supondo-se que só o fará se tiver equipas de professores motivadas para tal; mas nada é dito sobre o que acontecerá nos anos seguintes, isto é, sobre como enfrentar a perversão da generalização; não deverá esta ser feita apenas nos casos em que houver equipas motivadas? não deverão ser concebidas outras experiências, paralelas, que correspondam a outros interesses e necessidades de alunos e pais e a outras motivações dos professores?

(6) A autonomia das escolas era muito fraca aquando da primeira tentativa; agora não existe (dizem-no os directores das escolas); os professores foram entretanto manietados por toda a espécie de regras e burocracias, a maioria está profundamente desmotivada; portanto, metade do que está pressuposto na designação deste projecto é uma ficção.

(7) A opinião pública foi pressionada nos últimos anos no sentido de confundir a qualidade da educação com os seus resultados quantitativos mais primários (o dos exames e dos rankings das escolas e internacionais); este ambiente não irá favorecer que se trabalhe em função de os alunos atingirem o perfil que se deseja que atinjam no final da escolaridade obrigatória, mas sim que continuem a obter boas notas para acesso ao ensino superior.

(8) O próprio perfil (ver, nos «Documentos», o «Perfil dos Alunos»), tal como já aconteceu com as competências, é discutível; deverá poder mudar, em função de um debate público que não está prometido; de igual modo, não se sabe como irá ser feito o acompanhamento desta segunda tentativa de flexibilização.

Acesso aos documentos referidos: na página com este nome, clicar na pasta «Ministério da Educação»

[0065] Plantas que nos transformaram

(páginas 1 e 3)

(páginas 2 e 4)

Fonte (reprodução de folheto): Ferrão (2017)

[0064] Adivinhar um número usando tabelas (parte III)

A utilização de tabelas para adivinhar números naturais, como as referidas nas mensagens «0033» e «0062», exige que o «mágico» seja capaz de realizar mentalmente algumas operações, possivelmente rodeado por um público participante um pouco agitado.

Apenas no caso das tabelas na base 2 essas operações se restringem a adições. Nos casos das tabelas na base, na base 4, etc., também é necessário proceder a multiplicações.

Portanto, para qualquer das bases com que o mágico decida trabalhar, é prudente limitar o número de cartões a usar.

Conclui-se, empiricamente, que (as cores dos textos correspondem às dos números):

Verifica-se, também empiricamente, que o maior número natural adivinhável com N cartões é uma unidade inferior ao número mais baixo que figura no cartão N + 1 (por exemplo, na base 2, o 15 do 4º cartão é igual ao 16 do 5º cartão menos 1): cada novo cartão começa com o mais baixo número que não poderia ter sido adivinhado apenas com os cartões anteriores.

[0063] E como se garantiria que os fios-de-prumo da «Groma» estavam alinhados perpendicularmente?

O alinhamento de três fios-de-prumo da Groma (instrumento romano referido na mensagem «60») permitia que as paredes, os muros, as ruas e as estradas (e outros elementos arquitectónicos e urbanísticos) fossem traçados em linha recta.

Utilização da Groma

Mas este instrumento permitia ainda traçar perpendiculares a uma linha recta que já tivesse sido traçada, dispondo para tal de mais dois fios-de-prumo alinhados perpendicularmente aos primeiros.

A cruzeta de madeira que encimava a Groma garantia estes alinhamentos, pelo que se lhe pode colocar a questão: como seria ela fabricada para que os seus dois pedaços principais estivessem colocados perpendicularmente um ao outro?

Não sei.

Esta ignorância, parece-me, é um bom estímulo para nós próprios pensarmos num modo de resolver, hoje, este desafio (ou de o colocar aos nossos alunos …).

Depois de procurar na memória situações elementares em que agimos geometricamente, lembrei-me da seguinte: não dispomos de qualquer instrumento (régua e compasso seriam muito úteis), apenas de uma simples folha de papel; dobramo-la e vincamos a linha da dobra (obtemos assim uma recta); depois abrimos a folha e voltamos a dobrá-la, de modo a que a recta se dobre sobre si própria; e voltamos a abrir a folha (obtivemos uma recta perpendicular à primeira).

Não acredito que os romanos procedessem assim …

Fotografia: Eva Maria Blum (6 de Fevereiro de 2016, no Museu do Teatro Romano, em Lisboa)

[0062] Adivinhar um número usando tabelas (parte II)

A Magia (variante mais exigente da apresentada na mensagem «0033»):

O público que assiste escolhe um número natural, inferior ou igual ao mais alto número que figura num conjunto de cartões de que o mágico dispõe. Toda a gente sabe qual foi o número escolhido, excepto o mágico, que prometeu adivinhá-lo.

O mágico mostra então os seus cartões ao público, um de cada vez. E é-lhe respondido se o número escolhido «figura» ou «não figura» em cada um dos cartões e, caso figure, com que «cor».

Se o número limite for o «80», são precisos os seguintes 4 cartões (é possível descarregar uma sua versão em «word» a partir da página «Documentos» deste blogue):

Conhecendo as respostas do público, o mágico pode dizer qual foi o número escolhido …

O que o mágico faz (mentalmente):

Se o número escolhido pelo público não figurar num cartão, o mágico esquece esse cartão.

Se figura a azul, o mágico multiplica por «1» o número mais baixo desse cartão (é sempre o que figura em cima, á esquerda).

Se figura a vermelho, o mágico multiplica por «2» o número mais baixo desse cartão.

E vai soma mentalmente estes produtos.

Por exemplo, o público escolheu o «42»: ele não figura no primeiro cartão e figura a vermelho no segundo e a azul no terceiro e no quarto.

Então, mentalmente: 2 x 3 (segundo cartão) + 1 x 9 (terceiro cartão) + 1 x 27 (quarto cartão) = 42.

A explicação (matemática):

Quando escrevemos números naturais utilizamos, habitualmente, a «base 10».

Os cartões usados na mensagem «0033» utilizavam a chamada «base 2» (só podemos usar dois algarismos, o «0» e o «1»).

Desta vez os cartões utilizam a «base 3» (só podemos usar três algarismos, o «0», o «1» e o «2»); tal como nas outras bases, podemos escrever qualquer número natural nesta base. Desta vez como soma das seguintes parcelas (em que «k» é igual ou ao «0», ou ao «1», ou ao «2»):

k 3⁰ + k 3¹ + k 3² + k 3³ + k 3⁴ + k 3⁵ + …,

o que se percebe melhor assim,

1 k + 3 k + 9 k + 27 k + 81 k + 243 k + …

Como se chega ao «42» sem os cartões?

Começa-se pela maior daquelas parcelas que cabe em «42: é o «27 x 1» (k = 1).

Depois prossegue-se com a maior parcela que cabe no que sobra (42 – 27 = 15): é o «9 x 1» (k = 1).

E assim sucessivamente: 15 – 9 = 6 leva a escolher o «3 x 2» (k = 2). E como já nada resta, o processo acabou.

Então, 42 = 27 x 1 + 9 x 1 + 3 x 2.

Que fazer na escola (ou com o pessoal que estiver interessado):

Não é boa ideia entrar em processos expositivos e dedutivos (“estão a perceber onde está a Matemática, não é, então vejam como isso se aplica à magia …”).

Por um lado, experimentar a magia, e tentar melhorar todos os seus aspectos práticos.

Por outro, experimentar a compreensão da Matemática, por exemplo criando tabelas com a escrita dos números na base 3 e analisando porque é assim).

Por fim, ir estabelecendo pontes entre estes dois processos, de acordo com os conhecimentos, o estilo e o interesse de cada um …

Dois exemplos dos aspectos práticos:

Entre os ficheiros acessíveis a partir da página «Documentos» encontra-se um com cartões para a «base 3 (até 121)»; estes cartões não foram uma boa escolha, por causa do «121», fazendo com que os cartões sejam desequilibrados (nem sempre com a mesma quantidade de números); que cartões serão bons para cada base?

Um outro ficheiro acessível a partir da página «Documentos» tem cartões para a «base 4 (até 63)»; como deve o mágico usar estes cartões?

Inspiração: Atractor (2016)