[0131] Um jogo que se pode jogar com o que encontramos na praia

Para jogar ao Nim basta apanhar umas duas dúzias de conchinhas, ou de pedrinhas, ou de pauzinhos esquecidos pela última maré cheia.

Fazem-se 4 ou 5 buracos na areia e distribuem-se por eles os objectos apanhados, não sendo obrigatório colocar o mesmo número de objectos em todos esses buracos.

Defrontam-se dois jogadores.

O primeiro a jogar retira um ou mais objectos de um dos buracos, podendo até tirar todos os que lá se encontram, colocando esses objectos fora do jogo.

O segundo jogador faz o mesmo.

E o jogo continua, com os dois jogadores alternando-se a jogar.

Perde o jogador que retirar o último objecto.

De notar bem: cada jogada diz respeito a apenas um dos buracos na areia, podendo dele ser retirados entre «um» e «todos» os objectos que lá se encontram.

Existe uma estratégia ganhante para um dos jogadores, mas não é fácil de encontrar …

Há muitas variantes para este jogo: numa delas, ganha quem retirar o último objecto.

[0130] A magia baseada na curva de Jordan vai ser apresentada publicamente!

Esta magia, inspirada numa sugestão de Martin Gardner, começou a ser abordada neste blogue em Janeiro de 2017 (ver mensagem «0019»), tendo a possibilidade de ser apresentada publicamente sido aqui anunciada em Abril de 2018 (mensagem «0118»).

A apresentação pública vai mesmo acontecer, e ocorrerá no próximo dia 30 de Junho (um Sábado), a partir das 10h00, no Parque da Paz (em Almada). Para quem quiser participar nela, há informações úteis (quem organiza; qual o local; o convívio no fim) no blogue «Pontes na Nossa Banda» (mensagem «0144»).

Trata-se de uma magia que tem vantagem em ser apresentada em grandes espaços, daí a ideia de a sujeitar a este teste.

A curva de Jordan é uma curva plana, fechada (acaba onde começa) e simples (não tem sobreposições). Todos os exemplos desta curva são topologicamente equivalentes, as propriedades de qualquer uma são as mesmas propriedades de qualquer outra:

Uma das propriedades das curvas de Jordan é a de elas dividirem o plano em duas partes, uma que lhe é interior e a outra que lhe é exterior. Trata-se de algo evidente para o senso comum, embora a sua demonstração matemática não seja fácil …

A magia que se baseia nesta curva explora a complexidade dos exemplos que podem ser traçados e utiliza algumas propriedades que se podem deduzir facilmente da sua propriedade central. A observar no dia 30 …

[0129] Porque são os programas escolares tão assépticos?

Fotografias: Pedro Esteves

[0128] A eloquência dos modelos: a Vida da Terra reduzida a Um Dia

Apesar de já ter acontecido há muito tempo, lembro-me bem da estimulante actividade mental desencadeada pela leitura, algures, de uma comparação proporcional entre os momentos em que ocorreram alguns dos acontecimentos marcantes da Vida da Terra e os momentos de Um Dia.

Não era mais do que um modelo. A Matemática necessária para a sua construção era apenas uma ferramenta auxiliar. O essencial era o modo como se chamava a atenção para a lentidão dos processos geológicos e biológicos e, sobretudo, para a recentíssima (e portanto frágil) incorporação da humanidade nesse processo.

Como construir um modelo destes?

Em primeiro lugar, precisamos de conhecer qual a duração da Vida da Terra: 4 600 Ma (milhões de anos).

E precisamos de a reduzir a 24 horas, ou seja, a 24 x 60 x 60 segundos = 86 400 segundos.

Se os 4 600 Ma estão a ser comprimidos em 86 400 segundos, cada milhão de anos comprimido equivalerá, aproximadamente, a 18,78 segundos.

Este é o factor de conversão. Que, aplicado à conversão inversa, também nos diz que cada segundo de Um Dia equivalerá a um pouco mais de … 53 mil anos da Vida da Terra!

Em segundo lugar, precisamos de escolher alguns acontecimentos que sejam chave, pois adivinhamos que o leitor gosta de sentir que estão a falar daquilo que ele conhece e que lhe é caro. Uma hipótese é a seguinte:

·      Surgimento das primeiras células (ainda simples, comparadas com as de hoje): terá ocorrido há mais de 3 800 Ma – esta datação, tal como algumas das que se seguem, está sujeita a revisões resultantes de novas descobertas e dos respectivos debates;

·      Início da maior explosão e diversificação da vida (de acordo com o registo fóssil): ocorreu no início do Câmbrico, primeiro período da era Paleozoica, há 542 Ma;

·      Surgimento das árvores modernas (com um caule organizado em anéis concêntricos, cada qual correspondendo a um ano): a Archaeopteris é considerada a pioneira, surgida em meados da era Paleozóica, há 370 Ma; precedeu o Ginkgo e as Coníferas e deu origem a todas as árvores actuais (com excepção das Palmeiras e dos Fetos, que ainda trabalham como outrora);

·      Surgimento das plantas com flor (a evolução anterior trouxera as sementes): as primeiras flores seriam parecidas com as das actuais Magnólias e terão surgido na segunda metade da era Mesozoica, há uns 160 Ma; vieram estabelecer fortes relações de simbiose com os insectos e com as aves;

·      Choque do meteorito que quase extinguiu a vida na Terra (os dinossáurios deixaram de ser o grupo dominante, apenas deixando como vestígio um seu ramo especial, que evoluiu para as aves que hoje conhecemos): ocorreu há 65,5 Ma, correspondendo à transição da era Mesozoica para a Cenozoica;

·      Surgimento dos primatas superiores: a partir de primatas mais pequenos, evoluíram na floresta tropical africana, desde há uns 35 Ma, estando na origem do homem e dos primatas superiores mais recentes;

·      Surgimento do Homo sapiens: há cerca de 150 mil anos, talvez um pouco mais.

Por fim, precisamos de transformar os milhões de anos da Vida da Terra no seu equivalente em Um Dia e de apresentar convincentemente o resultado.

Uma primeira divisão, desenhada aproximadamente, em Pré-câmbrico e Fanerozoico (incluindo este o Paleozoico, o Mesozoico e o Cenozoico):

E uma segunda divisão, mais conhecida (pela abundância de fósseis), a do Fanerozoico, em eras:

Fontes bibliográficas: Atkins (2007; pp. 43 e 59); Carvalho (2007; p. 23); Coppens, entrevistado por Simonnet (2006; p. 101); Hublin & Seytre (2009; p. 17, cladograma da evolução do Homem); Pelt, entrevistado por Girardon (2000; pp. 40, 54 e 60-61)

Fontes na internet: sítio da International Stratigraphic Chart (consultado em 2007); Museu Nacional de História Natural (imagem da Terra em fusão); Wikipédia (imagem das trilobites)

Fonte jornalística: Serafim (2017; imagem da primeira flor, de Hervé Sauquet & Jürg Schönenberger)

[0127] Não: não proponho uma visão conservadora da História, só mais bom senso …

Há dias alguém me descreveu um projecto de comparação entre o que os nossos livros de história e os livros de história de outros países de língua portuguesa contam sobre os tempos em que os respectivos povos se encontraram e sobre o desencontro em que esse encontro se transformou nos séculos seguintes.

Um projecto bem interessante.

Que seria interessante generalizar a tantos outros encontros e desencontros que ocorreram por esse mundo fora: que disseram, que escreveram, que pensaram as diferentes partes que neles estiveram envolvidas?

E que ainda seria interessante generalizar ao que, no mesmo país, dizem as diferentes fontes sobre o que aí ocorreu.

John dos Passos (1896 – 1970) escreveu um livro (publicado em 1969) que foi grandemente baseado nas crónicas dos que viveram as histórias dos séculos XV a XVII português, ou que foram encarregues de as contar pouco tempo depois de ela acontecer:

O autor, jornalista e escritor, americano de antepassados madeirenses, estava consciente da insuficiência de uma tal forma de contar a História, mas também estava consciente da força que a palavra próxima dos acontecimentos tem para nos colocar questões que a História formalizada ilude e torna pesada - sobretudo para quem a aprende nas nossas escolas.

Fonte bibliográfica: Passos (2017)

[0126] «Os Jogos e os Homens», de Roger Caillois

Foi em 1958 que Roger Caillois (1913 - 1978), sociólogo, publicou esta sua reflexão, hoje clássica, sobre os «jogos».

Para ele, o jogo é “uma actividade:

1.       – livre: uma vez que, se o jogador fosse a ela obrigado, o jogo perderia de imediato a sua natureza de diversão atraente e alegre;

2.      – delimitada: circunscrita a limites de espaço e de tempo, rigorosa e previamente estabelecidos;

3.      – incerta: já que o seu desenrolar não pode ser determinado nem o resultado obtido previamente, e já que é obrigatoriamente deixado à iniciativa do jogador uma certa liberdade na necessidade de inventar;

4.      – improdutiva: porque não gera nem bens, nem riqueza nem elementos novos de espécie alguma; e, salvo alteração de propriedade no interior do círculo dos jogadores, conduz a uma situação idêntica à do início da partida;

5.      – regulamentada: sujeita a convenções que suspendem as leis normais e que instauram momentaneamente uma legislação nova, a única que conta;

6.      – fictícia: acompanhada de uma consciência específica de uma realidade outra, ou de franca irrealidade em relação à vida normal.”

Para tentar captar a diversidade das atitudes subjacentes ao jogar, Caillois propôs quatro categorias principais, “conforme predomine, nos jogos considerados, o papel da competição, da sorte, do simulacro ou da vertigem.”

Exemplos: a competição predomina no jogo da bola, do berlinde, das damas; a sorte predomina na roleta e na lotaria; o simulacro nos jogos em que se «faz de»; e a vertigem em jogos como o baloiço e o carrossel.

E, em jeito de advertência final, comenta assim a relação que se estabelece com o jogo e as disciplinas que o estudam:

“O jogo é um fenómeno total. Diz respeito ao conjunto das actividades e dos anseios humanos. Poucas são as disciplinas – da pedagogia às matemáticas, passando pela história e pela sociologia – que o podem estudar proveitosamente sem um desvio qualquer. Todavia, seja qual for o alcance teórico ou prático dos resultados obtidos em cada uma das perspectivas particularizadas, tais resultados permanecerão destituídos do seu significado e da sua verdadeira aplicação, se não forem encarados por referência ao principal problema que é colocado pelo universo indivisível dos jogos, donde, aliás, retiram o interesse que podem suscitar.”

Fonte: Caillois (1990; pp. 29-39, 32 e 202)

[0125] A emancipação na «Pedagogia do Oprimido»

Paulo Freire (1921 - 1997) terminou a sua obra fundadora, Pedagogia do Oprimido, em 1968, quando se encontrava refugiado no Chile:

A propósito de algumas situações em que as ideias de emancipação e de educação emancipatória foram usadas de um modo que me levantou dúvidas, aqui escrevo alguns excertos desta obra para me ajudarem a pensar:

“A nossa preocupação, neste trabalho, é apenas apresentar alguns aspectos do que nos parece constituir o que vimos chamando de Pedagogia do Oprimido: aquela que tem de ser forjada com ele e não para ele, enquanto homens ou povos, na sua luta incessante de recuperação de sua humanidade.”

“Os oprimidos, que introjectam a «sombra» dos opressores e seguem as suas pautas, temem a liberdade, na medida em que esta, implicando a expulsão desta sombra, exigiria deles que «preenchessem» o «vazio» deixado pela expulsão, com outro «conteúdo» - o de sua autonomia. O de sua responsabilidade, sem o que não seriam livres. A liberdade, que é uma conquista, e não uma doação, exige uma permanente busca.”

“Nenhuma pedagogia realmente libertadora pode ficar distante dos oprimidos, quer dizer, pode fazer deles seres desditados, objectos de um «tratamento» humanitarista, para tentar, através de exemplos retirados de entre os opressores, modelos para a sua «promoção». Os oprimidos hão-de ser o exemplo para si mesmos, na luta por sua redenção.”

“[Na educação escolar,] A narração, de que o educador é o sujeito, conduz os educandos à memorização mecânica do conteúdo narrado. Mais ainda, a narração os transforma em «vasilhas», em recipientes a serem «enchidos» pelo educador. Quanto mais vá «enchendo» os recipientes com seus «depósitos», tanto melhor educador será. Quanto mais se deixem dòcilmente «encher», tanto melhores educandos serão.

Desta maneira, a educação se torna um acto de depositar, em que os educandos são os depositários e o educador o depositante.”

“Eis aí a concepção «bancária» da educação, em que a única margem de acção que se oferece aos educandos é a de receberem os depósitos, guardá-los e arquivá-los. Margem para serem coleccionadores ou fichadores das coisas que arquivam. No fundo, porém, os grandes arquivados são os homens, nesta (na melhor das hipóteses) equivocada concepção «bancária» da educação. Arquivados, porque, fora da busca, fora da praxis, os homens não podem ser. Educador e educando se arquivam na medida em que, nesta distorcida visão da educação, não há criatividade, não há transformação, não há saber. Só existe saber na invenção, na reinvenção, na busca inquieta, impaciente, permanente, que os homens fazem no mundo, com o mundo e com os outros. Busca esperançosa também.”

“[…] ninguém educa ninguém, como também ninguém se educa a si mesmo: os homens se educam em comunhão, mediatizados pelo mundo.”

“[Os “educandos” do “educador problematizador”,] em lugar de serem recipientes dóceis de depósitos, são agora investigadores críticos, em diálogo com o educador, investigador crítico, também.”

Fonte: Freire (1975; pp. 43, 46, 56, 82, 82-83, 97 e 99)

[0124] «Memória, Cultura e Devir»: questões acerca da memória

Resumo da argumentação que levou as Ciências Sociais a organizar esta Conferência Internacional:

“Esta conferência pretende interrogar a hipertrofia dos estudos sobre a memória, que corresponde a um estado do saber e das sociedades, sobretudo desde os anos de 1980, quando o optimismo se diluiu e o futuro pareceu tornar-se passado. Essa viragem, coetânea de mudanças ao nível das sociedades, requer uma reflexão em torno dos usos do passado, como artefacto do presente (Lowenthal, 1985), sujeitos às relações de forças dentro das sociedades. A actual obsessão do passado é uma resposta substitutiva às urgências do presente ou, mesmo, uma recusa do futuro (Rousso, 1994: 280). Pretende interrogar-se a relação com as fontes que falam, que questione a teoria e os métodos, entre a memória e a história oral, numa abordagem em que os saberes de fronteira de várias disciplinas têm de ser convocados. Terreno não pacificado, a memória continua a ser um interessante problema para as ciências sociais. Intensificou-se como objeto de estudo, materializado em formatos de património, no decurso dos anos 1980. Conquanto memórias traumáticas com as dos fascismos e do nazismo pudessem ter sido alvo de um trabalho anterior dos investigadores, e que a memória tenha hoje o estatuto de religião civil do mundo ocidental, o processo de passagem de memória fraca a memória forte não foi imediato (Traverso, 2005:54-59). Quando a topolatria se tornou central, por que razões se ergueram lugares de memória, ao mesmo tempo que desapareciam os meios de memória? Que dificuldades surgem na criação de lugares de memória de situações conflituais? Como se recorda o trauma e o acontecimento? Quando adquiriu a memória tal centralidade nas Ciências Sociais? Estudamos cada vez mais a memória porque as sociedades se ressentem de uma ausência de esperança? Que relação estabelece o presentismo, como denegação do devir, com os usos da memória? Qual a conexão entre a experiência e a expectativa, e quanto (e qual...) passado se resgata para o futuro? Num tempo em que se tornou ecuménico o património, que relação estabelece a memória com ele, entre a beleza do morto e novos caminhos? Qual o papel da cultura na construção de uma força material das ideias? Em processos de exibição e musealização do passado, como lidamos com a memória das ditaduras e os processos de transição para as democracias? Que espaço se consagra ao devir na pesquisa em ciências sociais?”

Fonte: sítio do Instituto de História Contemporânea

[0123] Uma nova proposta de fluxograma para classificar os «papéis de parede»

O fluxograma que apresentei na mensagem «0119», que visa classificar os «papeis de parede», tem algumas dificuldades de leitura, pelo que procedo a seguir a uma sua adaptação:

Em 1891 o cristalógrafo russo Fedorov descreveu os 17 casos possíveis de grupos cristalográficos bidimensionais. Os matemáticos só tomaram conhecimento desse trabalho na década de 1920, tendo adoptado as designações dos grupos («p1», «pg», «pm», etc.) usadas na cristalografia e só criando outras classificações e designações posteriormente.

Fontes: Coxford Jr., Burks, Giamati & Jonik (1993; p. 42); Veloso (1998; pp. 192-202)

[0122] O Jogo do Avô Aferidor

O Aferidor tem por papel aferir a correcção dos mais diversos instrumentos de medida.

Até ao início deste século existia em Portugal um Aferidor Municipal, entretanto substituído por uma grande diversidade de instituições espalhadas por todo o país, sob a supervisão do Instituto Português da Qualidade.

Assim, os antigos Aferidores Municipais, hoje reformados e com netos, terão tempo pensar em problemas interessantes da sua profissão que antes não tiveram disponibilidade para formular e para resolver …

Este é o pano de fundo, com um toque ficcional, para o seguinte problema que eu, nem antigo Aferidor nem com netos, mas reformado, coloquei: dispondo de uma balança de braços iguais e de um exemplar de cada uma das unidades de massa na base três (1 + 3 + 9 + 27 + 81 + … + 3^N), poderemos aferir qualquer massa inteira (1; 2; 3; 4; 5; …; N) que for colocada num dos pratos?

A resposta é: podemos; e, para cada N, de um único modo, embora em boa parte dos casos tenhamos de usar os dois pratos da balança (somando de um lado, subtraindo do outro).

As seguintes tabelas permitem ao Avô Aferidor resolver este problema, até N = 121; ou, em alternativa, permitem colocar aos seus netos algumas oportunidades para exercitarem o cálculo mental (experimentei-o na 5ª feira passada com os alunos de uma turma do 9º ano e eles saíram-se muito bem):

Com fundo amarelo estão as unidades de massa; com fundo branco os casos aditivos; e com fundo negro, os casos subtrativos.

Por exemplo, com que unidades se equilibra a massa «100»?

Ela figura nas tabelas do 1, do 27 e do 81 com fundo branco, na do 9 com fundo negro e não figura na do 27: então,

100 = 1 + 27 + 81 – 9.

[0121] Um azulejo sevilhano em Coimbra

O seguinte painel de azulejos pode ser apreciado no Museu Nacional de Machado de Castro (Coimbra):

Ele terá sido produzido entre 1500 – 1525, em Sevilha, e esteve colocado na Sé de Coimbra.

Explica o Museu: “No reinado de D. Manuel I surgem [em Portugal] os primeiros revestimentos azulejares. São importados de Sevilha […]. Apresentam magnífico colorido e motivos ao gosto islâmico, gótico e renascentista. Nos inícios do séc. XVI, D. Jorge de Almeida, bispo de Coimbra, forra integralmente a sua catedral e a igreja de Santa Maria, em Abrantes, com azulejos sevilhanos.”

Olhando este azulejo com a ferramenta matemática apresentada na mensagem «0119», à primeira questão que lhe é colocada (qual é a rotação de menor amplitude?) responderemos com «90º». E à segunda questão (existe uma simetria axial?) responderemos com «não».

Duas famílias de centros de rotação de um quarto de volta

Classificando então este painel como um «papel de parede», ele é do tipo p4.

Fotografia: Eva Maria Blum

[0120] Mais um exemplo de padrão geométrico plano

Um determinado restaurante especializado em peixe tem as suas paredes revestidas deste modo:

Trata-se de mais um padrão plano, classificável matematicamente como papel de parede, sendo, decorativamente, também um papel de parede.

Este caso de «papel de parede» não possui nem rotações (cada uma delas exige um centro em torno do qual todo o plano rode e repita a imagem inicial) nem simetrias axiais (cada uma delas exige um eixo que repita uma imagem, como num espelho, do outro lado), mas que tem duas direcções de translação (está assinalado um dos possíveis motivos que tanto se repete verticalmente como horizontalmente):

Tal como num dos exemplos da mensagem anterior, este é um papel de parede do tipo p1.

O fluxograma para identificação e classificação de padrões geométricos planos apresentado na mensagem «0072» fica, agora, actualizado assim:

Fotografia: Eva Maria Blum

[0119] Uma classificação dos «papéis de parede» aplicada aos «azulejos de padrão»

Através do seguinte fluxograma é possível classificar como «papel de parede» os quatro casos de azulejo de padrão referidos em mensagens anteriores:

Na mensagem «0016» foi apresentado o caso de um painel de azulejos que possui uma única propriedade geométrica, duas translações:

Portanto, as três perguntas a que o diagrama classificativo dos papéis de parede sujeita este painel de azulejos têm resposta negativa: ele é de tipo p1.

As duas translações são comuns a todos os papéis de parede; o que os distingue são as outras propriedades. Num dos casos apresentados na mensagem «0011» existe pelo menos uma simetria em relação a um eixo (concretamente, duas famílias de eixos de simetria axial, ambos verticais):

As perguntas a que este painel de azulejos é sujeito têm então como resposta: um «não» (não há qualquer rotação); um «sim» (há uma simetria axial); e um «não» (não há simetrias deslizantes). Ele é do tipo pm.

No outro caso apresentado na mensagem «0011» existe pelo menos um centro de rotação (concretamente, quatro famílias de centros de rotação, todos de 180º):

As perguntas a que é submetido respondem-se através de um «180º» (a sua menor amplitude da rotação), de um «não» (não há simetria axial) e de outro «não» (não há simetria deslizante). Ele é do tipo p2.

Finalmente, no caso apresentado na mensagem «0035» existe uma combinação de rotações (quatro famílias de centros para dar meias voltas) e de simetrias axiais (duas famílias verticais e outras duas horizontais):

As perguntas a que é submetido respondem-se através de um «180º» (a sua menor amplitude da rotação) e de três «sins» (há simetria axial; essas simetrias são em duas direcções; e os centros de rotação encontram-se sobre esses eixos de simetria). Este painel de azulejos é do tipo pmm.

Para exemplificar os 17 casos de papel de parede através de painéis de azulejos, falta mostrar … mais 13 exemplos!

Fonte (para o organigrama classificativo): Coxford Jr., Burks, Giamati & Jonik (1993; p. 42)

A primeira e a última imagens foram trabalhadas sobre fotografias de Eva Maria Blum; e a segunda e a terceira imagens de um painel de azulejos foram trabalhadas sobre imagens de um «pdf» da autoria de Ana Almeida (pp. 3 e 27)

[0118] Para breve a apresentação pública da magia baseada na curva de Jordan?

Em Janeiro de 2017 foi aqui referida uma «magia» baseada na Curva de Jordan (mensagem «0019»). Alguns meses depois, no dia 27 de Maio, essa «magia» foi experimentada no Parque da Paz (Cova da Piedade) por um grupo de 7 professores, a maioria de Matemática. E funcionou!

Uma das soluções experimentadas para a «curva» foi parecida com um caracol:

E a outra foi esta, com 5 dos professores em acção (isto é, na «curva», sem saberem se estariam «dentro» ou «fora» dela):

Consta que em breve se fará uma apresentação pública desta experimentação e pesquisa, no mesmo local …

Entretanto, para divertir os curiosos, aqui vai o acesso a um vídeo artístico de Tom Colbie, no qual há sempre algumas placas que se mexem e que exigem que se pergunte permanentemente: «dentro ou fora?»

http://www.facebook.com/tom.colbieart/videos/1716432338448527/.

Fotografias (parcialmente cortadas): Teresa Nascimento

Fonte do vídeo: página de Tom Colbie no Facebook

[0117] Como construir uma figura «tetraédrica» a partir de um rectângulo?

Surgiram dúvidas acerca desta construção, esboçada com ligeireza na mensagem «0115».

Aqui vai uma correcção:

Agora os pontos médios dos dois lados da esquerda (ainda separados) são unidos por traços aos extremos do lado da direita:

Depois estes quatro traços (que irão ser arestas da figura «tetraédrica») servem para dobrar «para dentro» as suas abas:

Finalmente, vislumbram-se à esquerda os dois «acentos circunflexos»: os seus quatro extremos são unidos num só ponto, que será o ponto médio da «aresta vertical» da figura «tetraédrica» (fusão dos dois «acentos circunflexos»):

[0116] Primeiro esboço de síntese sobre o que são os Currículos Abertos

Os currículos abertos apoiam-se nos contributos de todos

As perguntas de cada um são o seu primeiro contributo para a aprendizagem:

Queixou-se Karl Popper (filósofo da ciência; 1902-1994): “(…) a nossa pedagogia consiste em sobrecarregar as crianças com respostas, sem que elas tenham colocado questões, e às perguntas que fazem não se presta atenção”. “Esta é a pedagogia habitual: respostas sem perguntas e perguntas sem respostas.” [mensagem «0077»]

Os saberes dos colectivos são as principais reservas para a aprendizagem:

Afirmou Jerome Bruner (psicólogo educacional e pedagogo; 1915-2016): “Há coisas que cada indivíduo sabe (mais do que ele próprio julga); mais ainda conhece o grupo ou é passível de ser descoberto por meio da discussão em grupo; e muito mais ainda se encontra armazenado algures – na «cultura», isto é, nas cabeças das pessoas mais sabedoras, nos directórios, nos livros, nos mapas, e por aí adiante.” [mensagem «0006»]

E dois fundadores da Etnomatemática, Ubiratan d`Ambrósio (1932) e Paulus Gerdes (1952-2014), mostraram como a ela é uma das vias para revelar saberes culturais.

O primeiro evidenciou os conflitos existentes entre as aprendizagens realizadas fora e dentro da escola: a “aptidão numérica «erudita» elimina a assim chamada aptidão numérica «espontânea». (...). Há uma crescente perda de utilidade para o modo tradicional de fazer aritmética (...). Uma vez indo à escola, a tendência é perder essas habilidades, e não ser capaz de substituí-las pela forma «erudita».” [mensagem «0101»]

E o segundo definiu assim a Etnomatemática: “é o campo que estuda ideias matemáticas nos seus contextos histórico-culturais”; “Cada povo – cada cultura e sub cultura – desenvolve a sua própria matemática, de certa maneira específica.” [mensagem «0010»]

Os currículos abertos acompanham a vida de cada um

A aprendizagem começa antes de se entrar na escola:

Disse João dos Santos (psicólogo educacional; 1913-1987): “o drama é que não há continuidade entre o que se aprende livremente antes de se entrar para a escola e aquilo que se aprende na escola”; antes de se entrar para a escola “aprende-se a viver e a conviver e num plano de relação verbal”, enquanto “o que se ensina na escola, é apenas a linguagem escrita, só tem que ver com a linguagem escrita, que é vista pela escola como se tudo o resto não tivesse importância nenhuma, como se o falar, o dialogar, o brincar não tivesse importância nenhuma”.

“É que o importante na escola, para começar, é que o adulto se aperceba de que a criança já sabe imensas coisas. E a maior parte das vezes a escola e os professores ignoram que a criança já tem um saber, e que é um saber extraordinariamente importante, e partem do princípio de que o que elas sabem não tem nenhum valor, o que é perfeitamente errado e prejudicial.” No fim de contas, a escola pretende que “o que não é mensurável, quer dizer, o que vai até ao infinito, ao céu e às estrelas”, seja reduzido “a uma escala do mensurável”, pelo que “a criança que ainda está numa fase de instabilidade, que anda a percorrer o seu universo e a alargá-lo para o compreender”, vê-se reduzida “às dimensões de uma mesa, de um papel”. É por isso que “todas as dificuldades escolares têm que ver com um estado de tristeza da criança.” [mensagem «0112»]

Os currículos abertos apoiam-se na diversidade dos saberes

Os «saberes» são muito mais do que «conhecimentos»:

Boaventura de Sousa Santos (sociólogo) lembrou que a riqueza e a complexidade do paradigma da modernidade tem-se mostrado “tão susceptível de variações profundas como de desenvolvimentos contraditórios”; e que ela assenta em dois pilares, o da “regulação” (princípios do Estado, do mercado e da comunidade) e o da “emancipação” (racionalidades “estético-expressiva das artes e da literatura”, “cognitivo-instrumental da ciência e da técnica” e “moral-prática da ética e do direito”). “Desde o início que se previra a possibilidade de virem a surgir excessos e défices, mas tanto uns como outros foram concebidos de forma reconstrutiva (...). Essa gestão reconstrutiva dos excessos e dos défices foi progressivamente confiada à ciência e, de forma subordinada, embora também determinante, ao direito. Promovida pela rápida conversão da ciência em força produtiva, os critérios científicos de eficiência e eficácia logo se tornaram hegemónicos, ao ponto de colonizarem gradualmente os critérios racionais das outras lógicas emancipatórias.” [mensagem «0057»]

O mundo que nos rodeia proporciona pontos de partida e de chegada para as aprendizagens:

Exemplos de temas já abordados neste blogue:

Azulejos de padrão (ou não) (Arte; História; Matemática; Técnica): [mensagens «0011», «0024», «0029», «0031», «0035», «0053» e «0108»]; sobre o Azulejo de Padrão escreveu Eduardo Néry: “No azulejo, o conceito de padrão encontra-se intimamente ligado ao da repetição de um motivo gráfico ou pictórico, organizado segundo eixos de simetria ou de outros esquemas estruturantes, quase sempre de raiz geométrica, mesmo quando os motivos ornamentais se inspiram na natureza.”

[mensagem «0011»]

Cinema (Filosofia; História; Matemática): [mensagens «0027», «0040» e «0058»]; …

Desporto (Corpo; Matemática): [mensagens «0068» e «0102»]; …

Jogo de Reflexão (História; Matemática): [mensagens «0004», «0021», «0037», «0055», «0067», «0079» e «0081»]; …

Livro (Ciência; Corpo; Filosofia; História): [mensagens «0017», «0036», «0076» e «0083»]; …

Magias com Matemática (Culturas; Matemática): [mensagens «0005», «0008», «0018», «0019», «0026», «0033», «0039», «0043», «0047», «0051», «0062», «0064», «0086», «0099» e «0103»]; …

Museu (Cultura; História; Matemática): [mensagens «0016», «0038», «0046» e «0052»]; …

Natureza (Ciências da Natureza; História; Filosofia): [mensagens «0025», «0028», «0041», «0069», «0088», «0089», «0106» e «0110»]; …

Padrões geométricos (Arte; Culturas; História; Matemática): [mensagens «0061», «0070», «0072», «0073», «0075» e «0096»]; …

Quebra-cabeças (Culturas; Matemática): [mensagens «0013, «0014», «0022», «0044», «0050», «0067» e «0082»]; …

Quando se estabelecem pontes entre os «conhecimentos» geram-se «saberes»:

Exemplo: o Earth Science Curriculum Project, cujas primeiras ideias foram testadas ao longo de dois anos lectivos (1964-66) por um vasto grupo de professores norte-americanos nas suas escolas. Este projecto pretendia que as aprendizagens no Ensino Básico se baseassem na história integrada do planeta Terra, em vez de serem precocemente sujeitas às habituais subdivisões em Astronomia, Biologia, Ecologia, Física, Geografia, Geologia, Meteorologia, Paleontologia, Química – e em Matemática [mensagem «0001»]

Outros exemplos: [mensagem «0092»]

[0115] Sobre o «pacote», não sobre o «açúcar»

Se dobrarmos um rectângulo de papel de modo que dois lados opostos se sobreponham, e imaginarmos que os seus bordos se unem, obtemos um pacote:

Já que podemos imaginar que os seus lados se unem, antes de unir os dois lados da esquerda dobramos cada um deles a meio, como se fossem dois acentos circunflexos virados um para o outro:

<  >.

Esticamo-los de modo a tocarem-se e então, mentalmente, unimo-los. O pacote, em vez de «plano», passa a ser uma figura «tetraédrica»:

Há pacotes de açúcar com esta forma, talvez por razões de marketing (chamam mais a nossa atenção).

Se os lados do rectângulo inicial medirem «a» e «b», qual é a área total deste «tetraedro»?

E o seu volume?

[0114] Interpelações da arte: «No Place Like Home»?

Em casa sentimo-nos seguros, cada coisa parece ter o significado que sempre pensámos que teria. Precisamos desta segurança, e, mais ou menos, vamo-la tendo.

E no entanto …

… Marcel Duchamp apercebeu-se, em 1927, quando vivia no «11 rue Larrey Paris», que a «Porta» que se fechava para as escadas quando queria entrar na cozinha e que se fechava para a cozinha quando queria subir as escadas não era uma porta normal: estava aberta e fechada simultaneamente.

E há muitas outras coisas assim. Porque a realidade é mais complexa do que pensámos. Porque outros lhe atribuem significados diferentes dos nossos. Ou simplesmente porque é agradável descobrir a diversidade naquilo que nos rodeia.

No fundo, o mundo como a nossa casa. E a exposição «No Place Like Home», exibida algures em Lisboa, ajuda-nos a perceber isso.