[0238] As palavras que dizemos (II): «sustentabilidade»

Na mensagem «0223» lembrei como Sérgio Godinho, numa das suas mais conhecidas composições, escrita pouco depois do 25 de Abril, insistiu para que usássemos a palavra liberdade apenas se lhe associássemos acções tão imprescindíveis, então como agora, como a paz, o pão, a habitação, a saúde, a educação …

 

Por razões muito diferentes vale a pena pensar na palavra sustentabilidade, usada pela Organização das Nações Unidas (ONU) como agregadora dos dezassete Objectivos que nos desafiou a ajudar a cumprir até ao ano de 2030 (ver mensagem «0080»):

Um exemplo de que há algo pouco convincente nesta palavra foi recentemente dado pelo sociólogo António Barreto. Escreveu ele, num comentário em que criticou a política seguida em relação ao interior do país, origem para o encerramento de tantos serviços: 

“E pior do que tudo é a concepção de que as instituições têm de ser rentáveis. Uma escola? Um correio? Um centro de saúde? Um lar de idosos? Deve ser a isso que chamam «sustentabilidade».”

 

Para percebermos a origem desta palavra é preciso recuarmos quase 50 anos, até à Conferência de Estocolmo, reunida em 1972, sob a égide da ONU, com a participação dos chefes de estado de 113 países e dos representantes de mais de 400 instituições governamentais e não-governamentais. Foram aí abordados, pela primeira vez em público, os problemas ambientais. E o conceito adoptado no final dos trabalhos foi o de ecodesenvolvimento. O destaque conceptual tinha sido colocado na ecologia.

No entanto, segundo Serge Latouche, devido “à pressão do lobby industrial americano e graças à intervenção pessoal de Henry Kissinger”, este conceito foi sendo abandonado e substituído, nofim dessa década, pelo de desenvolvimento sustentável. A ecologia deixara de ser o centro conceptual; e os negócios poderiam prosseguir, desde que fossem sustentáveis. Contrariamente à ecologia, a sustentabilidade era mais facilmente interpretada à luz da livre concorrência.

 

Ha-Joon Chang, um economista sul-coreano, mostrou uma das perversidades a que o conceito de sustentabilidade facilmente conduz. Ao argumentar contra a pressão feita pelos neoliberais para que o desenvolvimento de cada país seja feito em concorrência perfeita com todos os outros (isto é, nada de apoios externos, nada de proteccionismo interno), comparou-a, ironizando, com o modo como tratava do seu próprio filho:

“Ele é sustentado por mim (…). Forneço-lhe alojamento, alimentação, educação e cuidados de saúde. Porém, milhões de crianças da sua idade já têm emprego. (…). Actualmente ele vive numa redoma económica sem noção do valor do dinheiro. Não tem a mínima noção dos esforços que a sua mãe e eu fazemos por ele, subsidiando a sua existência ociosa e afastando-o da dura realidade. Ele está superprotegido e precisa de ser exposto à concorrência, de modo a tornar-se uma pessoa mais produtiva. (…). Deveria tirá-lo da escola e arranjar-lhe emprego. (…). Já oiço o leitor a pensar que devo estar louco. Que sou míope. Cruel. Que o que tenho de fazer é proteger e criar a criança.”

Pretender que cada pessoa, cada cidade, cada escola, cada associação, cada serviço, cada região, cada país, e assim por diante, seja sustentável, é dividir o mundo em fatias de tamanhos e capacidades diversas e afirmar que cada uma delas deve sobreviver sozinha, como se não existissem interrelações entre todas essas partes, que tanto provocam desigualdades como geram solidariedades.

O jornalista Guillaume Pitron, citado por Sébastien Broca, deu outro exemplo das perversidades a que a fé simplista na sustentabilidade conduz:

“Os chineses e os ocidentais repartiram pura e simplesmente as tarefas da futura transição energética e digital: os primeiros sujarão as mãos para produzirem os componentes da green tech, enquanto que os segundos, comprando-os, poderão gabar-se de boas práticas ecológicas”.

Ou seja, nós, europeus, exultaremos com a sustentabilidade ecológica que atingimos, e culparemos os chineses por não serem capazes de fazer o mesmo …

Fontes: artigos jornalísticos de Barreto (2019) e de Broca (2020); livros de Latouche (2011; p. 23) e de Chang (2013; p. 83); e a Wikipédia, para a Conferência de Estocolmo

[0237] O Quadrante: um instrumento de medição a usar na Matemática escolar (VI)

Em 9 de Maio de 1992 os CTT emitiram, na série Instrumentos Náuticos dos Descobrimentos, o seguinte selo:

O Quadrante nele representado é um instrumento muito antigo, destinado à medição de alturas e ângulos em terra, tendo no século XIII sido descrito no Libro del Saber de Astronomia, de Afonso X, o Sábio.

É muito provável que tenha começado a ser utilizado pelos navegadores que iniciaram a exploração da navegação atlântica, na década de 30 do século XIV, sendo simplificado em função do uso que dele se pretendia no mar (daí também ser conhecido por Quadrante náutico). A sua base é um quarto de círculo, em madeira, dispondo de duas pínulas num dos lados (furadas de modo a se poder observar através delas), de um fio de prumo pendente do vértice e de uma graduação de 0 a 90º, ao longo do arco, correspondente ao quarto de circunferência deste:

Como a navegação atlântica exigia o afastamento da costa, passou a ser necessária uma forma de determinar a latitude do lugar onde a embarcação se encontrava (mais a Norte, mais a Sul), o que se fazia observando a altura de um astro (o ângulo segundo o qual ele é visto acima do horizonte; daí esta forma de localização ser chamada navegação astronómica). O ângulo de observação é igual ao ângulo que o fio de prumo faz com um dos lados do quadrante (identificados a azul na figura anterior), dada a perpendicularidade entre os seus lados. Se o astro observado era a estrela Polar, esse ângulo (com umas pequenas correções) correspondia à latitude do lugar.

Simbolicamente, a estátua do Infante D. Henrique (1394 – 1460), em Lagos (da autoria de Leopoldo de Almeida, 1960), representa-o com um Quadrante náutico numa das mãos:

No final do século XV, Cristóvão Colombo (1451 - 1506); nas suas viagens de ida e volta às Américas, também utilizou o Quadrante náutico.

 

Nas escolas onde ainda existem transferidores de meia volta feitos em madeira, é fácil adaptar um deles a Quadrante escolar (em vez das pínulas pode ser usada uma palhinha destinada a beber refrescos; e a graduação já vem com o transferidor).

 

Mas se este instrumento serve para medir alturas (angulares), como servirá como auxiliar da medida de distâncias?

 

Fontes: folheto de Xavier (sem data; pp. 3-4) e livros de Reis (1992) e Bergreen (2014; pp. 46 e 127)

Desenho: Pedro Esteves

[0236] O Báculo de Jacob: um instrumento de medição a usar na Matemática escolar (V)

O Triângulo do Lenhador (mensagem «0228»), o Gnómon (mensagens «0229» e «0231») e a Prancheta (mensagem «0232») são instrumentos auxiliares numa estratégia de medição de comprimentos baseada nas figuras semelhantes.

Um outro instrumento auxiliar na medição de comprimentos é o Báculo de Jacob. Foi usado na Idade Média em operações de topografia e agrimensura, tendo sido descrito por Levi ben Gerson (1288 - 1344) e, já no século XVI, por Oronce Fine, que nos deixou a seguinte ilustração do seu uso:

Desta vez a estratégia de medição não se baseia em figuras semelhantes, mas nas propriedades algébricas das figuras geométricas.

Esquematicamente, o Báculo de Jacob é constituído por uma régua (cujos pontos extremos são A e B, na figura seguinte) e por uma travessa, que lhe é perpendicular (pontos C e D), podendo a travessa deslizar, através de uma ranhura situada na sua zona média (E), ao longo da régua:

Para calcular a distância entre dois pontos (F e G, na próxima figura) o observador tem de efectuar duas medições (tal como se mostra, acima, na ilustração de Oronce Fine):

Primeira medição: o observador, colocado em A, aponta a régua a [FG]; deslocando a travessa ao longo de [AB], procura a posição desta de modo a sobrepor, à sua esquerda, a visão de C e F e, à sua direita, a visão de D e G;

Segunda observação: fazendo a travessa recuar, em direcção a A, de um comprimento (h) igual ao de [CD], o observador avança para uma nova posição que lhe permita sobrepor as visões de C` e F e de D` e G.

Conclusão: a distância (d) entre A e A` é igual à distância entre F e G

Demonstração (ver nova figura): pretende-se mostrar que o comprimento de [FG], ou y, é igual a d;

convenciona-se que o comprimento de [CD], igual ao de [C`D`], é igual a h e que a distância de A a [FG] é x; então, pelo teorema de Tales, o comprimento de [AE] está para h assim como x está para y; do mesmo modo, o comprimento de [A`E`] está para h assim como x-d está para y; o comprimento de [A`E`] pode ser substituído pelo comprimento de [AE] subtraído de h; então

pelo que y = d.

Generalização: admite-se que a régua está graduada em unidades iguais a h, a partir de A (ponto de observação); segue-se o procedimento técnico descrito atrás, com a única diferença de a travessa ser deslocada de uma distância qualquer (e não forçosamente igual a h), ou no sentido de A, ou no de B; então, se a travessa for deslocada de n unidades (n ▪ h) e raciocinando de modo semelhante ao anterior, conclui-se ser n ▪ y = d (com y e d em metros, por exemplo) e, portanto,

y = d / n;

 resolvendo a primeira equação em ordem a x vem x = y ▪ comprimento de [AE] / h (com x e y em metros e comprimento de [AE] e h em unidades de h, o que implica ser h igual a 1), pelo que

x = y ▪ comprimento de [AE] = (d ▪ comprimento de [AE]) / n

Em termos práticos, é preciso:

·      ler na graduação da régua as duas posições da travessa, calcular o módulo da sua diferença (igual a n) e registar o valor da posição inicial (comprimento de [AE])

·      medir a deslocação efectuada entre as duas posições de observação (d; em metros, por exemplo)

·      calcular o comprimento inacessível (y = d / n, que virá em metros se d for medido em metros)

·      calcular a distância a que a posição de observação inicial está do ponto médio do comprimento inacessível (x = y ▪ comprimento de [AE], que também virá em metros)

Fonte: livro de Reis (1996; p. 84) e folheto de Ransom

Desenho das figuras: Pedro Esteves

[0235] A Tapeçaria de Bayeux e o cometa Halley

Ao descrever o reinado dos primeiros doze césares (período da história de Roma entre meados do século I a. C e o final do século I d. C.), Suetónio (69 – cerca de 141 d. C.) refere, em pelo menos duas ocasiões, que o surgimento de uma “estrela cabeluda” nos céus foi interpretado pelos romanos como um alerta para a eminente ocorrência de importantes acontecimentos.

As estrelas cabeludas, hoje conhecidas por cometas, visitam-nos regularmente, sendo compreensível que a sua passagem aconteça na proximidade temporal de algum acontecimento mais ou menos saliente, algures, à superfície deste vasto e agitado planeta.

Entre os casos mais interessantemente documentados está o da aparição do cometa Halley em 1066 d. C.. Nos anos anteriores a Inglaterra começara a sentir o problema da sucessão dinástica, tendo o seu rei, Eduardo, sem descendentes, decidido enviar ao rei Guilherme da Normandia a indicação de que deveria ser seu sucessor (havia intrincadas relações familiares entre estas duas dinastias). No entanto Harald, um nobre inglês, opôs-se a dada altura a esta solução e quando Eduardo morreu, em Janeiro de 1066, proclamou-se rei de Inglaterra, opondo-se assim a Guilherme. Mas o aparecimento do cometa, na Primavera, foi considerado como um mau augúrio pelos seus apoiantes.

Esta história foi registada na chamada Tapeçaria de Bayeux, e termina com a invasão de Inglaterra por Guilherme e a derrota de Harald na batalha de Hastings:

Esta tapeçaria, originalmente com quase 70 metros de comprimento por meio metro de altura, pode ser olhada por nós como se se tratasse de uma banda desenhada, tendo sido realizada pouco depois dos acontecimentos que relata, talvez ao longo de dez anos, encontrando-se em Bayeux, na Normandia.

Há relatos históricos que podem estar associados a outras passagens do cometa Halley pelos nossos céus antes de 1066. Mais seguros são os registos referentes às passagens posteriores: em 1145, 1222, 1301, 1378, 1456, 1531, 1607, 1682, 1759, 1835, 1910 e 1986.

O inglês Edmundo Halley (1656 – 1742), depois de estudar os registos das passagens de 1531, 1607 e 1682, concluiu tratar-se do mesmo cometa, prevendo o ano em que voltaria a cruzar os céus da Terra.

 

Uma modelação da última passagem, em 1986, pode ser vista em:

Ver: animação do Trajecto do cometa Halley em 1986

A próxima passagem deste cometa está prevista para … 2061.

 

Fontes: livro de Suetónio (2007; pp. 332 e 417); catálogo da exposição «Die letzten Wikinger / Les derniers Vikings», do Archäologisches Museum Frankfurt (2009), em particular os artigos de Bertelsen (pp. 16-26) e de Byørn (pp. 38-47); Wikipédia (versão inglesa); Wikipédia (para o cometa e para Edmund Halley)

As três primeiras imagens são da Tapeçaria de Bayeux

[0234] Criação e recolha de «frisos de padrão» nas actividades escolares

Escolhendo como peça inicial o canto de um dos azulejos sevilhanos referido na mensagem anterior, eis um exemplo de cada um dos 7 frisos de padrão:

Estes são padrões genéricos, de que nos podem surgir outros exemplos em calçadas, em azulejos, em tapetes, em cestos, etc..

Intencionalmente, a peça escolhida como inicial não possui qualquer simetria, correspondendo à peça inicial do friso de tipo «11». A partir dela, através de isometrias, foram formados os exemplos de peças iniciais dos outros tipos de friso:

Procedendo a infinitas translações de cada uma destas peças obtém-se o respectivo friso.

Todos os tipos de frisos são invariantes se submetidos a determinadas transformações isométricas (a seguir descritas a verde):

Na escola, a criação de frisos de padrão é uma possível estratégia para estudar as transformações isométricas. Ela pode ser precedida, ou sucedida, pela recolha (fotográfica, pictográfica) e identificação de frisos de padrão patentes nas diversas facetas da cultura local.

[0233] Três frisos de azulejos de padrão, num novo museu, em Estremoz

Na mensagem «0148» foi apresentada uma adaptação de um dos fluxogramas que têm sido usados para classificar os frisos que dispõem de um padrão.

Se se tratar de frisos com duas cores (por exemplo, azul sobre fundo branco), há apenas 7 padrões matematicamente possíveis. Na nova adaptação daquele fluxograma que é apresentada a seguir, eles são identificados a partir da conjugação de perguntas (a vermelho) às quais só se pode responder com «Sim» ou «Não» (a azul), conduzindo a uma classificação através de símbolos (a verde):

Entre as peças referidas no catálogo da exposição 800 Anos de História do Azulejo, patente no Museu Berardo Estremoz (recentemente inaugurado), três delas exemplificam os casos mais frequentes destas padrões.

Friso mm

Peça proveniente de Sevilha (séculos XV-XVI):

Possui dois tipos de eixo de simetria, um vertical e outro horizontal. Tem só um eixo horizontal. Mas existem infinitos eixos verticais (considera-se que o friso se estende sem fim, tanto para a esquerda como para a direita), em posições semelhantes às exemplificadas:

Friso m1

Peça proveniente de Sevilha (século XVI):

Apenas possui um tipo de eixo de simetria, vertical, embora as suas concretizações possam ser infinitas, como no caso anterior:

Friso 11

Peça proveniente de Lisboa (século XIX-XX):

Não possui qualquer tipo de eixo de simetria, nem um centro de rotação de 180º. Apenas repete uma figura (assinalada), através de sucessivas translações horizontais (dado exemplo):

Fontes: livro de Coxford, Burks, Giamati e Jonik (1993; p. 45); catálogo (em PDF) de exposição patente no no Museu Berardo Estremoz (2020; pp. 58-59, 72-73, 124-125 e 542-543)

[0232] A Prancheta: um instrumento de medição a usar na Matemática escolar (IV)

A descrição sobre como os dois primeiros instrumentos de medição que descrevi (nas mensagens «0228» e «0229») foram e são utilizados mostra que eles efectuam uma única observação (num caso, da árvore; no outro, da sombra da Grande Pirâmide) e que precisam de duas medidas auxiliares, sendo que uma delas exige a deslocação até ao objecto observado.

Existem outros instrumentos que permitem determinar a distância a que se está de um objecto inacessível, ou a distância entre dois objectos inacessíveis, desde que sejam feitas duas observações e algumas medições apenas nas proximidades do próprio instrumento.

 

A Prancheta é um desses instrumentos.

Supondo que, numa planície, se pretende determinar a distância entre duas árvores (A e B) e que elas estão inacessíveis aos observadores (a turma e o professor), devido à presença de um pequeno rio:

Os observadores estabelecem, do seu lado do rio, duas estações de observação (E1 e E2) e medem a distância entre elas.

Depois:

·      Colocam a prancheta (um rectângulo de madeira, coberto com papel de desenho, bem fixo) sobre E1, fazendo corresponder o ponto desta estação com um ponto que a representa no papel;

·      Definem uma escala e marcam no desenho o ponto correspondente a E2, adequadamente distante, de acordo com a escala, de E1;

·      Com a prancheta bem horizontal, e ainda em E1, traçam no desenho as linhas segundo as quais observam A e B;

·      Deslocam a prancheta para E2, tendo o cuidado de fazer coincidir este ponto com o do desenho e de manter as linhas que unem as duas estações (na realidade e no desenho) sobrepostas;

·      De novo com a prancheta bem horizontal, traçam no desenho as linhas segundo as quais observam A e B.

O desenho resultante é o seguinte (cada estação está simbolizada por algo parecido com um transferidor, como se objectivo fosse a medição de ângulos; A e B ficam situados onde se cruzam as linhas segundo as quais foram observados a partir de E1 e E2):

O troço entre E1 e E2 é uma base (ver mensagem «0225»), sendo a partir do seu comprimento que se determina a distância entre A e B, pois as figuras do DESENHO e as da REALIDADE são semelhantes:

Conheci este instrumento através da descrição feita por Franklin Guerra de um problema surgido num livro antigo, significativamente intitulado «O Engenheiro Português», onde é explicado como pode ser determinada, por intermédio da «Prancheta», a distância entre dois pontos inacessíveis. É dado o exemplo da Torre de Belém e da torre Velha de Lisboa, cuja distância se pretende conhecer a partir de Almada: colocando a prancheta sucessivamente em duas estações situadas nas falésias de onde se vê Lisboa a partir de Almada, visando de cada uma delas um ponto saliente das duas torres e conhecendo a distância entre as duas estações, a construção geométrica sobre a prancheta dá em escala reduzida a distância procurada.

 

Tenho, no entanto, de fazer uma advertência sobre este tipo de «medição», destinada, sobretudo, a professores: no seu planeamento é preciso cuidar do equilíbrio entre (1) o comprimento da «base», (2) a distância estimada entre os «objectos» e (3) a distância entre a «base» e os «objectos» - é que todos estes elementos têm de caber no desenho!

 

Fonte: livro de Guerra (1995; pp. 137-138)

[0231] Comentários sobre os «instrumentos de medição para usar nas escolas» (III)

O escritor francês Jules Verne (1828 – 1905), no célebre conto A Ilha Misteriosa, publicado em 1874-75, descreveu como um grupo de náufragos, dispondo de escassos recursos, calculou aproximadamente a altura de uma falésia. O desenhador italiano Franco Caprioli (1912 - 1974) fixou assim esse episódio:

É muito plausível que este método tenha sido inspirado no modo como Tales de Mileto (626 - 545 a.C.) calculou, no tempo dos Faraós, a altura da Grande Pirâmide do Egipto (ver mensagem «0229»), embora Tales tenha utilizado a sombra de uma vara (o Gnómon) enquanto este engenheiro utilizou a vista para alinhar o topo da falésia com o topo da vara, de modo a determinar o ponto onde colocaria a estaca.

A escolha de Tales foi mais elegante. E também mais rigorosa (o engenheiro terá tido dificuldades para colocar os olhos ao nível da areia).

A simplicidade deste método tem-lhe proporcionado uma longa vida: segundo o cientista norte-americano Carl Sagan (1934 - 1996), foi com base nele que a altura das montanhas da Lua foi determinada; e, nas escolas, os professores que acreditam que ensinar e aprender não se deve limitar às salas de aula (em particular tratando-se da Matemática) recorrem a este e a outros métodos simples (ver a mensagem «0228») para o conseguir.

Os dois métodos já abordados neste blogue baseiam-se na semelhança de triângulos, tal como o engenheiro imaginado por Jules Verne nos explica acima. Mas, seja qual for o método, raramente se aplica sem revelar alguma dificuldade. E as dificuldades são um dos aspectos mais importantes a trabalhar na educação.

No caso do Triângulo do Lenhador, foi necessário acrescentar a altura do observador:

E no caso da Grande Pirâmide, foi necessário medir o comprimento da sombra até ao início da sua base, acrescentando-lhe metade do comprimento do seu lado:

Partiu-se do princípio de que, em ambos os casos, o chão sobre que se trabalha é plano.

E se não fosse?

Fontes: Wikipédia (para as datas); banda desenhada de Caprioli (1983; p. 27); livro de Sagan (1984; p. 205)

[0230] Jogos para os quais há material em casa (IV)

Este jogo foi inventado por um grupo de crianças, num clube de Matemática. Elas foram desafiadas a criar um novo jogo, baseado no Jogo do Galo. Elas assim fizeram, inspirando-se também no Jogo do Xadrez.

Trata-se de um jogo para dois jogadores, sendo apenas necessário desenhar um tabuleiro quadriculado com 5 x 5 casas.

 O primeiro jogador escolhe uma casa do tabuleiro, desenhando nela a sua marca, por exemplo um O (para poder registar o jogo ela é simbolizada na figura por O₁, ou seja, a primeira jogada, realizada por O).

De seguida o segundo jogador escolhe uma casa livre, desenhando nela a sua marca, por exemplo um X (representado, na figura, por X₂, isto é, a segunda jogada, realizada por X), situada a um salto de cavalo (tal como se faz no Xadrez) em relação à anterior.

E assim sucessivamente, até não ser possível dar um novo salto.

Na figura seguinte estão representados os 6 primeiros movimentos dos dois jogadores:

O objectivo de qualquer dos jogadores é realizar o máximo de alinhamentos com as suas marcas (ou cavalos), quer na vertical, quer na horizontal, quer na diagonal.

A pontuação atribuída baseia-se em quatro regras (os alinhamentos só são considerados se as marcas estiverem colocadas sem intervalos entre elas):

·      alinhamento de três cavalos, 1 ponto;

·      alinhamento de quatro cavalos, 2 pontos;

·      alinhamento de cinco cavalos, 3 pontos;

·      última jogada, 1 ponto.

No exemplo figurado, o jogador das marcas O já conseguiu dois alinhamentos de três cavalos (as marcas O₇, O₉ e O₁₁ não constituem um alinhamento, pois têm um intervalo entre as duas primeiras) e o das marcas X conseguiu um alinhamento de três cavalos. Mas, para que o jogo termine, ainda há muitos lances pela frente …

As regras deste jogo (e um tabuleiro para imprimir, sobre o qual se pode jogar com marcas materiais, como moedas ou peões), está acessível através da página «Documentos» deste blogue (clicar em «Jogos de Reflexão»).

Fonte: Bolt (1991; pp. 61-63)

[0229] O Gnómon: um instrumento de medição para usar nas escolas (II)

O Gnómon é um estilete (ou, matematicamente, é um segmento de recta) que é usado, desde há muito tempo, nos Relógios de Sol. Na imagem seguinte, em que se vê um complexo Relógio de Sol Equatorial, o gnómon é o fio metálico que une os polos da esfera:

Junto ao rio Meno (em Frankfurt, Alemanha)

Tales de Mileto usou um gnómon como instrumento de apoio a uma célebre medida que lhe tem sido atribuída.

Tales (626 - 545 a.C.) viveu em Mileto, uma cidade da Jónia (região debruçada sobre o Mediterrâneo, actualmente parte da Turquia), tendo visitado a Babilónia e o Egipto, os mais importantes centros intelectuais da sua época nas proximidades. A Matemática que aí se fazia estava ainda orientada para responder a questões do tipo como fazer? Considera-se que Tales terá sido o primeiro a introduzir na matemática um outro tipo de questões: porquê? Deu, deste modo, um dos contributos para que a Grécia iniciasse a ascensão a novo centro intelectual do Ocidente.

Conta-se que Tales, ao visitar o Egipto, calculou a altura da Grande Pirâmide. Para tal, terá conjugado a sombra da pirâmide e a sombra de um gnómon. Quando este extraordinário cálculo foi feito, esta pirâmide já ali estava há cerca de 2000 anos, e ainda  muito bem conservada, apresentando um revestimento em calcário branco, polido, que reflectia fortemente a luz do Sol.

Da esquerda para a direita:
a pirâmide de Miquerinos, a de Quéfren e a Grande Pirâmide, ou de Queops

A história (ou a lenda) não nos descreve os pormenores do método que Tales seguiu. Mas é admissível que o gnómon (à esquerda na figura, com cor verde) tenha sido colocado verticalmente de tal modo que a sua sombra coincidisse perfeitamente com a sombra do topo da pirâmide:

Podia-se abstrair desta situação o seguinte esquema (ou modelo), em que está indicada a altura da pirâmide (P), a altura do gnómon (g) e os catetos horizontais dos dois triângulos rectângulos (S e s):

Dado que os dois triângulos são semelhantes (os lados correspondentes são paralelos), a proporção entre eles é igual (P / S = g / s), donde se tira que:

 

P = (S g) / s

 

Fontes: Pappas (1989; p. 36); Struik (1989; p. 73); Wikipédia (sobre a Grande Pirâmide)

Notas: há grandes discrepâncias nas datas vitais que têm sido conjecturadas para Tales de Mileto (segui as sugeridas por Struik); a altura original da Grande Pirâmide andaria pelos 147 metros; hoje só tem cerca de 139 metros, devido à perda do revestimento original (sobretudo após a ocorrência de um violento terramoto e do uso das pedras caídas para a reconstrução das casas próximas)

Fotografias: Pedro Esteves (8 de Abril de 2008), para o relógio de Sol; Eduard Spelterini (21 de Novembro de 1904, tirada de um balão), para as pirâmides (mostrado acima apenas um detalhe)

Desenhos: Pedro Esteves

[0228] O Triângulo do Lenhador: um instrumento de medição para usar nas escolas (I)

Num folheto didáctico produzido há já quase trinta anos mostra-se como, usando um triângulo do lenhador, se pode determinar aproximadamente a altura de uma árvore:

Trata-se de um simples triângulo, rectângulo e isósceles, que o lenhador usa mantendo um dos catetos horizontal. Ao observar a árvore ao longo da hipotenusa, se o topo da árvore fica acima da linha de visão, o lenhador afasta-se da árvore; se fica abaixo, aproxima-se da árvore. O objectivo é conseguir observar exactamente o topo da árvore:

O lenhador mede então a distância a que os seus pés estão da base da árvore (D). E, já sabendo a que altura fica o seu ponto de observação (O), determina a altura da árvore (A):

A = D + O

 

A explicação baseia-se na semelhança de triângulos: se os catetos do Triângulo do Lenhador são iguais, então os catetos do triângulo maior também são iguais.

Fonte e imagem: folheto de Carvalho & Pinto (1991)

Desenhos: Pedro Esteves

[0227] Jogos para os quais há material em casa (III)

O ZIGUEZAGUE é disputado por dois jogadores num tabuleiro com 7 x 7 ou 9 x 9 pontos. O papel quadriculado é uma boa alternativa para o tabuleiro.

O ponto de partida é o ponto central: I.

O objectivo de cada jogador é chegar à sua casa antes do adversário (o ponto A é a casa do primeiro jogador e o ponto B a do segundo jogador).

O jogador que joga em primeiro lugar une por uma seta o ponto central a um dos pontos mais próximos dele, ou na vertical (para cima ou para baixo) ou na horizontal (para a direita ou para a esquerda), mas não na diagonal.

O segundo jogador faz o mesmo, mas partindo da extremidade da seta acabada de desenhar pelo seu adversário, como se mostra no exemplo abaixo. Não pode ser reutilizado nenhum ponto já usado.

Jogando alternadamente, os dois jogadores formam um trajecto contínuo que vai permitir a um deles chegar à sua casa antes do outro ...

As regras e os tabuleiros deste jogo já estão acessíveis através da página «Documentos» deste blogue (clicar em «Jogos de Reflexão»)

[0226] Jogos para os quais há material em casa (II)

 

 

Desenha-se numa folha de papel quadriculado um tabuleiro com 6 x 6 casas. O tabuleiro pode ser maior, se se quiser, mas terá de ser quadrado.

Trata-se de um jogo para dois jogadores. Estes alternam-se a jogar. Um coloca a marca O nas quadrículas livres e o outro coloca a marca X. Ganha o jogador que conseguir que quatro das suas marcas formem um quadrado. A figura seguinte mostra um quadrado que acaba de ser formado:

Variante: joga-se até todas as casas estarem preenchidas; o vencedor é o jogador que tiver formado o maior número de quadrados.

Outra variante: o objectivo é não formar quadrados (perde o jogador que formar um).

As regras deste jogo, bem como as da Batalha Naval (mensagem «0219»), já estão acessíveis através da página «Documentos» deste blogue (clicar em «Jogos de Reflexão»)

[0225] A histórica medição da distância entre Dunquerque e Barcelona (1792-1799)

A nova unidade de comprimento que o abade Gabriel Mouton propôs, em 1670, equivalente a um minuto de grau de um meridiano (quase dois quilómetros actuais), foi substancialmente reduzida em 1789. A comissão que a Constituinte francesa nomeou com o objectivo de concretizar a ideia de um novo sistema de unidades preferiu que a unidade de comprimento que a ia integrar tivesse uma dimensão próxima do que era manejado no quotidiano. Para tal, estabeleceu a célebre equivalência do metro ao comprimento da décima milionésima parte do quarto do meridiano terrestre.

A expedição em que foram envolvidas as equipas de Jean-Baptiste Delambre, partindo de Dunquerque, e de Pierre Méchain, partindo de Barcelona, entre 1792 a 1799 mediu o comprimento de quase 10º de um dos meridianos que passa próximo destas duas cidades (ver mensagem «0224»). Denis Guedj, em «A Meridiana», descreve de um modo pormenorizado o trabalho destas duas equipas, sem deixar de referir o contexto de uma revolução que então agitava a França e a Europa:

Depois de medirem cuidadosamente a latitude dos pontos de partida, o trabalho mais demorado das duas equipas foi o de estabelecer uma sequência de triângulos que unisse, sem interrupção, os dois extremos da fracção de meridiano a medir. Os triângulos deveriam estar unidos uns aos outros através dos vértices. E estes deveriam situar-se em pontos elevados, para que de cada um se pudesse avistar os outros vértices do triângulo (ou dos triângulos) de que fazia parte: podia estar no topo de um pico montanhoso, de um campanário, de uma torre; e, sempre que fosse necessário, para que um vértice fosse mais visível, ou mais bem definido, seria construído nele um «sinal», em madeira.

A sequência de triângulos que as duas equipas construíram foi a seguinte:

Como se vê nesta sequência de triângulos, os vértices situavam-se quer de um quer do outro lado do meridiano a medir. As únicas medidas a medir, e a registar, nesta fase, deveriam ser as dos ângulos dos triângulos e o instrumento usado para os medir era o teodolito. Este era colocado sobre um vértice e cada uma das suas lentes era apontada para os outros vértices do triângulo cujos ângulos estavam a ser medidos. Muito importante: cada ângulo seria medido várias vezes e o seu valor final corresponderia à média das medições; reduzia-se, assim, a imprecisão das medidas isoladas.

Depois de unida a sequência de triângulos vinda do Norte com a sequência vinda do Sul, apenas os ângulos destes triângulos eram conhecidos: os seus comprimentos podiam ser maiores, podiam ser menores …

Iniciou-se então o trabalho necessário para determinar a dimensão dos lados dos triângulos. Cada equipa construiu uma base, a de Delambre perto da cidade de Melun, a de Méchain perto da cidade de Perpignan (elas estão assinaladas no mapa acima). Cada uma destas bases correspondia ao lado de um dos triângulos mais pequenos da sequência, devendo o seu comprimento ser medido com o máximo rigor. Para tal, numa e noutra, foi construída uma ponte, em madeira, a uma certa altura do solo, que deveria permitir que se traçasse sobre ela um segmento de recta (foram usados miras e níveis para conseguir esta linearidade). Depois foram sucessivamente colocados sobre cada uma destas pontes réguas de platina (material pouco sensível a dilatações ou a contrações devido às alterações de temperatura), sem se tocarem (para que a colocação de uma não alterasse a posição da anterior), e contadas as réguas colocadas e somados os intervalos entre elas. Dispôs-se, assim, finalmente, do comprimento de um lado, um em Melun, outro em Perpignan.

Através do cálculo trigonométrico foram calculados os lados do primeiro triângulo a Norte e do primeiro triângulo a Sul. E à medida que os triângulos seguintes foram dispondo da medida de um lado, todos os triângulos acabaram por ter os seus três lados medidos.

Este conhecimento ainda não indicava qual a distância entre Dunquerque e Barcelona, sobre o meridiano escolhido. Ela só poderia ser determinada indirectamente, projectando uma sequência de lados de triângulos sobre esse meridiano e recorrendo, mais uma vez, ao cálculo trigonométrico.

Por fim, da posse dessa distância, e para cumprir a definição de «metro» estabelecida pela comissão, calculou-se a diferença de latitudes entre Dunquerque e Barcelona (uma simples subtracção), determinou-se a que fracção de 90º correspondia esta diferença (uma simples divisão), multiplicou-se a distância Dunquerque – Barcelona (sobre o meridiano) pelo inverso desta fracção e … dividiu-se este resultado por dez mil.

A nova unidade, o metro, expressa nas velhas unidades, equivalia a 3 pés, 11 linhas e 296 / 1000 da toesa do Perú!

Fonte: Guedj (1988; especialmente as pp. 45-46, 82.83, 224-229 e 249)

Imagens: capa do livro e Guedj; mapa encontrado via Google