[0236] O Báculo de Jacob: um instrumento de medição a usar na Matemática escolar (V)

O Triângulo do Lenhador (mensagem «0228»), o Gnómon (mensagens «0229» e «0231») e a Prancheta (mensagem «0232») são instrumentos auxiliares numa estratégia de medição de comprimentos baseada nas figuras semelhantes.

Um outro instrumento auxiliar na medição de comprimentos é o Báculo de Jacob. Foi usado na Idade Média em operações de topografia e agrimensura, tendo sido descrito por Levi ben Gerson (1288 - 1344) e, já no século XVI, por Oronce Fine, que nos deixou a seguinte ilustração do seu uso:

Desta vez a estratégia de medição não se baseia em figuras semelhantes, mas nas propriedades algébricas das figuras geométricas.

Esquematicamente, o Báculo de Jacob é constituído por uma régua (cujos pontos extremos são A e B, na figura seguinte) e por uma travessa, que lhe é perpendicular (pontos C e D), podendo a travessa deslizar, através de uma ranhura situada na sua zona média (E), ao longo da régua:

Para calcular a distância entre dois pontos (F e G, na próxima figura) o observador tem de efectuar duas medições (tal como se mostra, acima, na ilustração de Oronce Fine):

Primeira medição: o observador, colocado em A, aponta a régua a [FG]; deslocando a travessa ao longo de [AB], procura a posição desta de modo a sobrepor, à sua esquerda, a visão de C e F e, à sua direita, a visão de D e G;

Segunda observação: fazendo a travessa recuar, em direcção a A, de um comprimento (h) igual ao de [CD], o observador avança para uma nova posição que lhe permita sobrepor as visões de C` e F e de D` e G.

Conclusão: a distância (d) entre A e A` é igual à distância entre F e G

Demonstração (ver nova figura): pretende-se mostrar que o comprimento de [FG], ou y, é igual a d;

convenciona-se que o comprimento de [CD], igual ao de [C`D`], é igual a h e que a distância de A a [FG] é x; então, pelo teorema de Tales, o comprimento de [AE] está para h assim como x está para y; do mesmo modo, o comprimento de [A`E`] está para h assim como x-d está para y; o comprimento de [A`E`] pode ser substituído pelo comprimento de [AE] subtraído de h; então

pelo que y = d.

Generalização: admite-se que a régua está graduada em unidades iguais a h, a partir de A (ponto de observação); segue-se o procedimento técnico descrito atrás, com a única diferença de a travessa ser deslocada de uma distância qualquer (e não forçosamente igual a h), ou no sentido de A, ou no de B; então, se a travessa for deslocada de n unidades (n ▪ h) e raciocinando de modo semelhante ao anterior, conclui-se ser n ▪ y = d (com y e d em metros, por exemplo) e, portanto,

y = d / n;

 resolvendo a primeira equação em ordem a x vem x = y ▪ comprimento de [AE] / h (com x e y em metros e comprimento de [AE] e h em unidades de h, o que implica ser h igual a 1), pelo que

x = y ▪ comprimento de [AE] = (d ▪ comprimento de [AE]) / n

Em termos práticos, é preciso:

·      ler na graduação da régua as duas posições da travessa, calcular o módulo da sua diferença (igual a n) e registar o valor da posição inicial (comprimento de [AE])

·      medir a deslocação efectuada entre as duas posições de observação (d; em metros, por exemplo)

·      calcular o comprimento inacessível (y = d / n, que virá em metros se d for medido em metros)

·      calcular a distância a que a posição de observação inicial está do ponto médio do comprimento inacessível (x = y ▪ comprimento de [AE], que também virá em metros)

Fonte: livro de Reis (1996; p. 84) e folheto de Ransom

Desenho das figuras: Pedro Esteves