[0229] O Gnómon: um instrumento de medição para usar nas escolas (II)

O Gnómon é um estilete (ou, matematicamente, é um segmento de recta) que é usado, desde há muito tempo, nos Relógios de Sol. Na imagem seguinte, em que se vê um complexo Relógio de Sol Equatorial, o gnómon é o fio metálico que une os polos da esfera:

Junto ao rio Meno (em Frankfurt, Alemanha)

Tales de Mileto usou um gnómon como instrumento de apoio a uma célebre medida que lhe tem sido atribuída.

Tales (626 - 545 a.C.) viveu em Mileto, uma cidade da Jónia (região debruçada sobre o Mediterrâneo, actualmente parte da Turquia), tendo visitado a Babilónia e o Egipto, os mais importantes centros intelectuais da sua época nas proximidades. A Matemática que aí se fazia estava ainda orientada para responder a questões do tipo como fazer? Considera-se que Tales terá sido o primeiro a introduzir na matemática um outro tipo de questões: porquê? Deu, deste modo, um dos contributos para que a Grécia iniciasse a ascensão a novo centro intelectual do Ocidente.

Conta-se que Tales, ao visitar o Egipto, calculou a altura da Grande Pirâmide. Para tal, terá conjugado a sombra da pirâmide e a sombra de um gnómon. Quando este extraordinário cálculo foi feito, esta pirâmide já ali estava há cerca de 2000 anos, e ainda  muito bem conservada, apresentando um revestimento em calcário branco, polido, que reflectia fortemente a luz do Sol.

Da esquerda para a direita:
a pirâmide de Miquerinos, a de Quéfren e a Grande Pirâmide, ou de Queops

A história (ou a lenda) não nos descreve os pormenores do método que Tales seguiu. Mas é admissível que o gnómon (à esquerda na figura, com cor verde) tenha sido colocado verticalmente de tal modo que a sua sombra coincidisse perfeitamente com a sombra do topo da pirâmide:

Podia-se abstrair desta situação o seguinte esquema (ou modelo), em que está indicada a altura da pirâmide (P), a altura do gnómon (g) e os catetos horizontais dos dois triângulos rectângulos (S e s):

Dado que os dois triângulos são semelhantes (os lados correspondentes são paralelos), a proporção entre eles é igual (P / S = g / s), donde se tira que:

 

P = (S g) / s

 

Fontes: Pappas (1989; p. 36); Struik (1989; p. 73); Wikipédia (sobre a Grande Pirâmide)

Notas: há grandes discrepâncias nas datas vitais que têm sido conjecturadas para Tales de Mileto (segui as sugeridas por Struik); a altura original da Grande Pirâmide andaria pelos 147 metros; hoje só tem cerca de 139 metros, devido à perda do revestimento original (sobretudo após a ocorrência de um violento terramoto e do uso das pedras caídas para a reconstrução das casas próximas)

Fotografias: Pedro Esteves (8 de Abril de 2008), para o relógio de Sol; Eduard Spelterini (21 de Novembro de 1904, tirada de um balão), para as pirâmides (mostrado acima apenas um detalhe)

Desenhos: Pedro Esteves