[0228] O Triângulo do Lenhador: um instrumento de medição para usar nas escolas (I)

Num folheto didáctico produzido há já quase trinta anos mostra-se como, usando um triângulo do lenhador, se pode determinar aproximadamente a altura de uma árvore:

Trata-se de um simples triângulo, rectângulo e isósceles, que o lenhador usa mantendo um dos catetos horizontal. Ao observar a árvore ao longo da hipotenusa, se o topo da árvore fica acima da linha de visão, o lenhador afasta-se da árvore; se fica abaixo, aproxima-se da árvore. O objectivo é conseguir observar exactamente o topo da árvore:

O lenhador mede então a distância a que os seus pés estão da base da árvore (D). E, já sabendo a que altura fica o seu ponto de observação (O), determina a altura da árvore (A):

A = D + O

 

A explicação baseia-se na semelhança de triângulos: se os catetos do Triângulo do Lenhador são iguais, então os catetos do triângulo maior também são iguais.

Fonte e imagem: folheto de Carvalho & Pinto (1991)

Desenhos: Pedro Esteves

[0227] Jogos para os quais há material em casa (III)

O ZIGUEZAGUE é disputado por dois jogadores num tabuleiro com 7 x 7 ou 9 x 9 pontos. O papel quadriculado é uma boa alternativa para o tabuleiro.

O ponto de partida é o ponto central: I.

O objectivo de cada jogador é chegar à sua casa antes do adversário (o ponto A é a casa do primeiro jogador e o ponto B a do segundo jogador).

O jogador que joga em primeiro lugar une por uma seta o ponto central a um dos pontos mais próximos dele, ou na vertical (para cima ou para baixo) ou na horizontal (para a direita ou para a esquerda), mas não na diagonal.

O segundo jogador faz o mesmo, mas partindo da extremidade da seta acabada de desenhar pelo seu adversário, como se mostra no exemplo abaixo. Não pode ser reutilizado nenhum ponto já usado.

Jogando alternadamente, os dois jogadores formam um trajecto contínuo que vai permitir a um deles chegar à sua casa antes do outro ...

As regras e os tabuleiros deste jogo já estão acessíveis através da página «Documentos» deste blogue (clicar em «Jogos de Reflexão»)

[0226] Jogos para os quais há material em casa (II)

 

 

Desenha-se numa folha de papel quadriculado um tabuleiro com 6 x 6 casas. O tabuleiro pode ser maior, se se quiser, mas terá de ser quadrado.

Trata-se de um jogo para dois jogadores. Estes alternam-se a jogar. Um coloca a marca O nas quadrículas livres e o outro coloca a marca X. Ganha o jogador que conseguir que quatro das suas marcas formem um quadrado. A figura seguinte mostra um quadrado que acaba de ser formado:

Variante: joga-se até todas as casas estarem preenchidas; o vencedor é o jogador que tiver formado o maior número de quadrados.

Outra variante: o objectivo é não formar quadrados (perde o jogador que formar um).

As regras deste jogo, bem como as da Batalha Naval (mensagem «0219»), já estão acessíveis através da página «Documentos» deste blogue (clicar em «Jogos de Reflexão»)

[0225] A histórica medição da distância entre Dunquerque e Barcelona (1792-1799)

A nova unidade de comprimento que o abade Gabriel Mouton propôs, em 1670, equivalente a um minuto de grau de um meridiano (quase dois quilómetros actuais), foi substancialmente reduzida em 1789. A comissão que a Constituinte francesa nomeou com o objectivo de concretizar a ideia de um novo sistema de unidades preferiu que a unidade de comprimento que a ia integrar tivesse uma dimensão próxima do que era manejado no quotidiano. Para tal, estabeleceu a célebre equivalência do metro ao comprimento da décima milionésima parte do quarto do meridiano terrestre.

A expedição em que foram envolvidas as equipas de Jean-Baptiste Delambre, partindo de Dunquerque, e de Pierre Méchain, partindo de Barcelona, entre 1792 a 1799 mediu o comprimento de quase 10º de um dos meridianos que passa próximo destas duas cidades (ver mensagem «0224»). Denis Guedj, em «A Meridiana», descreve de um modo pormenorizado o trabalho destas duas equipas, sem deixar de referir o contexto de uma revolução que então agitava a França e a Europa:

Depois de medirem cuidadosamente a latitude dos pontos de partida, o trabalho mais demorado das duas equipas foi o de estabelecer uma sequência de triângulos que unisse, sem interrupção, os dois extremos da fracção de meridiano a medir. Os triângulos deveriam estar unidos uns aos outros através dos vértices. E estes deveriam situar-se em pontos elevados, para que de cada um se pudesse avistar os outros vértices do triângulo (ou dos triângulos) de que fazia parte: podia estar no topo de um pico montanhoso, de um campanário, de uma torre; e, sempre que fosse necessário, para que um vértice fosse mais visível, ou mais bem definido, seria construído nele um «sinal», em madeira.

A sequência de triângulos que as duas equipas construíram foi a seguinte:

Como se vê nesta sequência de triângulos, os vértices situavam-se quer de um quer do outro lado do meridiano a medir. As únicas medidas a medir, e a registar, nesta fase, deveriam ser as dos ângulos dos triângulos e o instrumento usado para os medir era o teodolito. Este era colocado sobre um vértice e cada uma das suas lentes era apontada para os outros vértices do triângulo cujos ângulos estavam a ser medidos. Muito importante: cada ângulo seria medido várias vezes e o seu valor final corresponderia à média das medições; reduzia-se, assim, a imprecisão das medidas isoladas.

Depois de unida a sequência de triângulos vinda do Norte com a sequência vinda do Sul, apenas os ângulos destes triângulos eram conhecidos: os seus comprimentos podiam ser maiores, podiam ser menores …

Iniciou-se então o trabalho necessário para determinar a dimensão dos lados dos triângulos. Cada equipa construiu uma base, a de Delambre perto da cidade de Melun, a de Méchain perto da cidade de Perpignan (elas estão assinaladas no mapa acima). Cada uma destas bases correspondia ao lado de um dos triângulos mais pequenos da sequência, devendo o seu comprimento ser medido com o máximo rigor. Para tal, numa e noutra, foi construída uma ponte, em madeira, a uma certa altura do solo, que deveria permitir que se traçasse sobre ela um segmento de recta (foram usados miras e níveis para conseguir esta linearidade). Depois foram sucessivamente colocados sobre cada uma destas pontes réguas de platina (material pouco sensível a dilatações ou a contrações devido às alterações de temperatura), sem se tocarem (para que a colocação de uma não alterasse a posição da anterior), e contadas as réguas colocadas e somados os intervalos entre elas. Dispôs-se, assim, finalmente, do comprimento de um lado, um em Melun, outro em Perpignan.

Através do cálculo trigonométrico foram calculados os lados do primeiro triângulo a Norte e do primeiro triângulo a Sul. E à medida que os triângulos seguintes foram dispondo da medida de um lado, todos os triângulos acabaram por ter os seus três lados medidos.

Este conhecimento ainda não indicava qual a distância entre Dunquerque e Barcelona, sobre o meridiano escolhido. Ela só poderia ser determinada indirectamente, projectando uma sequência de lados de triângulos sobre esse meridiano e recorrendo, mais uma vez, ao cálculo trigonométrico.

Por fim, da posse dessa distância, e para cumprir a definição de «metro» estabelecida pela comissão, calculou-se a diferença de latitudes entre Dunquerque e Barcelona (uma simples subtracção), determinou-se a que fracção de 90º correspondia esta diferença (uma simples divisão), multiplicou-se a distância Dunquerque – Barcelona (sobre o meridiano) pelo inverso desta fracção e … dividiu-se este resultado por dez mil.

A nova unidade, o metro, expressa nas velhas unidades, equivalia a 3 pés, 11 linhas e 296 / 1000 da toesa do Perú!

Fonte: Guedj (1988; especialmente as pp. 45-46, 82.83, 224-229 e 249)

Imagens: capa do livro e Guedj; mapa encontrado via Google

[0224] A medida do perímetro da Terra: três métodos históricos

Aristóteles, no século IV a. C., baseando-se em Eudoxo, referiu-se a uma estimativa das dimensões da Terra, sem esclarecer quem a fez, nem como, nem quando.

A primeira estimativa do perímetro da Terra de que se conhece o autor, o método e a época foi feita no século III a. C., sendo atribuída a Eratóstenes (cerca de 276 – 194 a. C.). Eratóstenes foi conservador da famosa biblioteca de Alexandria, situada no delta do Nilo e capital da dinastia ptolomaica. Devido a esta função, é possível que tenha acedido a uma lista que Alexandre o Grande, o fundador da cidade, havia mandado elaborar, por razões militares, com as distâncias a que as principais localidades ficavam de Alexandria.

Eratóstenes ensinando em Alexandria” (Bernardo Strozzi, 1635)

Para a estimativa do perímetro da Terra, Eratóstenes dispunha à partida de duas informações:

·      a cidade de Syene (actual Assuão) estava situada a Sul de Alexandria, quase exactamente à mesma longitude, tendo a particularidade de, ao meio-dia do solstício de Verão, as varas colocadas verticalmente no solo (chamadas gnómon) não produzirem sombra (Assuão fica quase sobre o trópico de Câncer);

·      a distância entre Alexandria e Siena era de aproximadamente 5 000 estádios (quase 800 quilómetros, segundo o actual sistema de medidas).

Eratóstenes, que também era matemático, só precisou de mais uma medida: o ângulo feito pela sombra de um gnómon colocado em Alexandria ao meio-dia do solstício de Verão. Mediu-o e obteve um ângulo aproximadamente igual a 1/50 de uma volta completa.

Conforme se vê na figura seguinte, este ângulo é igual ao ângulo feito pelos raios da Terra que terminam em Alexandria e em Syene (os seus lados são paralelos). Então os 5 mil estádios que separam estas duas cidades são apenas 1/50 do perímetro da Terra, pelo que este mede 250 mil estádios (ou, em medidas actuais, 40 mil quilómetros).

Havia alguns pontos fracos nesta estimativa: ainda não existiam instrumentos suficientemente rigorosos para a medição de ângulos; Syene (Assuão) não se situa exactamente sobre o mesmo meridiano de Alexandria; o valor da distância entre as duas cidades deveria ser bastante grosseiro (por exemplo, baseado nos dias de marcha das caravanas).

E para nós, que procuramos compreender o resultado a que Eratóstenes chegou, existe ainda uma outra dificuldade, a interpretação das antigas unidades de medida: no mundo grego, as distâncias grandes eram expressas em estádios, equivalendo este comprimento a 600 pés; mas o comprimento de um pé não estava normalizado, variando consideravelmente. Se atendermos a esta variação, o perímetro da Terra estimado por Eratóstenes estará contido num intervalo que vai dos 39 mil aos 46 mil quilómetros, inclinando-se muitos especialistas para que esteja mais próximo do limite superior.

No século IX d. C., em Samarcanda, o perímetro da Terra foi calculado por um outro método.

Samarcanda fica situada no Sul do actual Usbequistão, e no período que se seguiu ao declínio da civilização grega era o centro de uma região, então conhecida por Kwarismi, que deu voz a numerosos talentos. Um deles, foi simplesmente conhecido por Al-Kwarismi (cerca de 780 – cerca de 850 d. C.).

Selo comemorativo (1983, URSS)

Aproximadamente 1200º aniversário do nascimento de Al-Kwarismi

Al-Kwarismi trabalhou na Casa da Sabedoria, fundada pelo califa Almamune, que reinou de 813 a 833, tendo sido incumbido de fazer uma nova estimativa do perímetro da Terra. Desta vez o método baseou-se na medição de uma distância, orientada do Sul para o Norte, de tal modo que a altura (angular) do Sol ao meio-dia no ponto de chegada fosse um grau inferior à que era no ponto de partida:

A medição foi feita por diversos agrimensores, numa extensa planície situada 320 quilómetros a Norte de Bagdad, tendo a maioria das distâncias medidas sido de 56 e 2/3 de milhas árabes. Correspondendo esta distância sobre a superfície da Terra a 1º, então o perímetro da Terra seria 360 vezes maior: 20 400 milhas árabes, ou, por conversão às actuais medidas, um pouco mais de 40 mil quilómetros.

O princípio da triangulação já era conhecido na antiguidade: partindo das medidas de uma base e de dois ângulos, é possível calcular as medidas que faltam do triângulo que a base, cujos extremos são A e B, forma com um terceiro ponto, C:

Desde o século XVI que este princípio foi utilizado para desenvolver os métodos utilizados nos actuais levantamentos topográficos, sendo aplicados num grande número de expedições com interesses políticos. No entanto, algumas dessas expedições tiveram como interesse central o velho objectivo da medida do perímetro da Terra, todas elas usando a triangulação trigonométrica para medir um grau de meridiano:

·      no início do século XVII, pelo inglês Richard Nordwood;

·      na segunda metade do século XVII, pelo francês Jean Picard;

·      no início do século XVIII, por Giovanni e Jacques Cassini, pai e filho, que concluíram, contrariamente às predições de Newton, que o perímetro da Terra que passava pelos pólos era maior do que o do equador;

·      na primeira metade do século XVIII, duas equipas francesas, uma no Perú, outra no Norte da Escandinávia, visando esclarecer a polémica entre os resultados dos Cassini e as predições de Newton, tendo concluído que Newton tinha razão.

[Parágrafo com correcções (fundo azul) introduzidas no dia 6 de Junho de 2020]

A expedição que ficou mais conhecida foi, no entanto, a de Jean-Baptiste Delambre e Pierre Méchain. De 1792 a 1799 eles efectuaram, por triangulação, a medição da distância entre Dunquerque e Barcelona, partindo o primeiro de Dunquerque e o segundo de Barcelona, medindo assim uma fracção do respectivo meridiano terrestre (esta façanha foi descrita por Denis Guedj, em «A Meridiana», conforme referido na mensagem «0030»).

Selo comemorativo (Liechtenstein)

Entre Delambre e Méchaim figura a sua triangulação

[Parágrafo com correções (fundo azul) introduzidas no dia 7 de Junho de 2020] O objectivo era, de facto, outro: em 1670, o abade Mouton propusera como padrão da medida de comprimento o minuto de grau de um meridiano; em 1789, a Constituinte francesa, inspirada nesta ideia de associar uma nova unidade de comprimento a uma medida fixa da Terra, nomeou uma comissão de que propôs a adotação do metro, definido como a “décima milionésima parte do quarto do meridiano terrestre”. [Acrescentado a este parágrafo em 6 de Junho de 2020:] Ao medirem esta fracção do meridiano de Dunquerque e Barcelona, Delambre e Méchain deram o passo decisivo para que esta nova unidade, o actual «metro», fosse definida!

Perímetro da Terra, medido no equador, com base nas medições modernas:

aproximadamente 40 074 quilómetros.

Fonte: livros de Bryson (2004; pp. 62-64), de Osserman (1996; pp. 21, 23-24 e 26-27) e de Brotton (2019; pp. 41, 53, 59 e 88) e, numa revista, artigo de Arlot (2005; p. 97)

Imagens (representando Eratóstenes, Al-Kwarismi, Delambre e Méchain): Wikipédia ou outros sítios acedidos via Google

Desenhos: Pedro Esteves

[0223] A palavra «liberdade»

A propósito do uso das palavras:

Como se relacionam as «palavras» com a «realidade» que se propõem representar?

As «palavras» clarificam ou obscurecem a «relação» entre as pessoas?

E a propósito do uso da palavra liberdade:

Ela tem sido tomada por muitos como bandeira do presente, ou do futuro.

Também é usada por todos como condição indispensável para a sua vida.

Mas, atentem no modo como ela é associada a outras «palavras», a outras «noções» constituídas por palavras, precisamente num momento histórico (1974) em que a «liberdade» de um «povo» havia sido reconquistada:

A letra de «Liberdade»:

Viemos com o peso do passado e da semente

Esperar tantos anos torna tudo mais urgente

e a sede de uma espera só se estanca na torrente

e a sede de uma espera só se estanca na torrente

Vivemos tantos anos a falar pela calada

Só se pode querer tudo quando não se teve nada

Só quer a vida cheia quem teve a vida parada

Só quer a vida cheia quem teve a vida parada

Só há liberdade a sério quando houver

A paz, o pão

Habitação

saúde, educação

Só há liberdade a sério quando houver

Liberdade de mudar e decidir

quando pertencer ao povo o que o povo produzir

quando pertencer ao povo o que o povo produzir

Fonte: CD (Godinho, 2004)

[0222] O Homem de Vitrúvio e a intuição de «distância de protecção»

Por volta de 1490 Leonardo da Vinci (1452-1519) desenhou num dos seus famosos cadernos (este está guardado na Gallerie dell`Accademia de Veneza) uma figura que veio a ser conhecida por Homem de Vitrúvio:

Desenho com 34 x 24 centímetros

Vitrúvio (nascido por volta de 80 a. C.), o mais famoso dos arquitectos romanos, tinha postulado, no terceiro dos seus dez livros intitulados De Architectura, diversas proporções para o corpo humano. Por exemplo, segundo ele, o comprimento dos braços abertos de um homem seria igual à sua altura; o comprimento da mão, igual a um décimo da altura; e o comprimento do pé, igual a um sexto da altura.

Leonardo, baseado nesta convicção de que existiriam proporções fixas entre as partes do corpo humano, fez as suas próprias medições e, com base nessas medições, decidiu alterar mais de metade das proporções de Vitrúvio, como aconteceu em relação ao pé: passou a ser um sétimo da altura de um homem.

O Homem de Vitrúvio resultou da concretização destas proporções num desenho. Nele estão duas figuras masculinas, ambas com os pés inscritos num círculo: os braços de um estão inscritos nesse círculo; e os do outro inscritos num quadrado.

A ideia de Leonardo era mais ambiciosa do que a simples fixação das proporções humanas. Nas notas que redigiu a propósito deste desenho, Leonardo também se referiu a proporções entre o humano e o cósmico e a proporções entre figuras geométricas (o círculo e o quadrado desenhados têm a mesma área).

Neste tempo que corre, em que a protecção contra a pandemia do Covid-19 ensaia prudentemente a transição entre o confinamento e o desconfinamento, a noção das distâncias a que estamos uns dos outros tornou-se uma ferramenta a usar sem que precisemos de pensar sempre nela. De acordo com uma das regras de protecção mais consensuais, deveremos evitar aproximarmo-nos a menos de 2 metros. Imaginemos pois que o Homem de Vitrúvio, com os seus braços abertos, como árbitro de futebol prevenindo conflitos, nos indica a distância mínima que devemos acautelar:

Fonte: livro de Isaacson (2019; pp. 175-186)

Imagem do «Homem de Vitrúvio»: Wikipédia

[0221] Descrever as distâncias sociais em termos de áreas e de densidades populacionais

Foi há quase dois meses que muitos dos que vieram a público explicar o que é uma pandemia, e o modo como nos poderíamos opor à sua marcha, precisaram de ir procurar ao seus sótãos a Matemática que lá tinham esquecida. O exemplo mais engraçado da atrapalhação que daí resultou foi assim cartoonizado por Luís Afonso:

Não parece que o barman e o cliente obedeçam, nesta tira, à disposição da Portaria, mas isso é pouco relevante face ao objectivo sério do cartoonista: mostrar-nos ser necessário descrever uma densidade populacional de um modo compreensível e simples de aplicar no dia-a-dia – neste caso, a densidade deveria ser igual ou inferior a 1 pessoa por 25 metros quadrados.

Uns dias depois deste cartoon, o mesmo jornal que o publicou usou a seguinte fotografia para exemplificar uma das técnicas como, na China, se estava a procurar contrariar a propagação da pandemia:

Utilizando como referência o quadriculado do pavimento, foi possível manter os operários, durante o almoço, a uma distância mútua de, pelo menos, 1,5 metros. Aqui, a densidade populacional será de 1 pessoa por cada quadrado de 1,5 metros de lado. E como a área deste quadrado é de 1,5 x 1,5 = 2,25 metros quadrados, então a densidade de operários na fotografia é de 1 pessoa por 2,25 metros quadrados.

Repare-se que esta densidade é muito maior que a da Portaria que Luís Afonso parodiou (para o mesmo número de pessoas, a redução da área implica o aumento da densidade). Dado que esta se referia a superfícies comerciais, onde há muita gente em movimento, é possível que nela se tenha querido exercer uma maior pressão para o afastamento entre as pessoas.

Portanto, tratando-se de pessoas paradas, poderá ser suficiente recomendar 1,5 metros como distância mínima de protecção. Mas, tratando-se de pessoas em movimento, a recomendação deve apontar distâncias de protecção maiores.

Em qualquer dos casos, não parece boa ideia usar áreas como referência (e muito menos «densidades populacionais», como eu fiz …), mas sim «distâncias», se possível semelhantes às medidas do corpo humano: a maioria das pessoas tem uma noção mínima das medidas que tem.

Para exercitar: na seguinte fotografia, em que Orson Welles interpreta a personagem que inspira o título do filme «Citizen Kane»,

·      Qual será, aproximadamente, a largura do quadrado desenhado a vermelho?

·      E qual a área desse quadrado?

Estimando as respostas a estas questões, estimaremos também a densidade populacional que a presença do cidadão Kane impõe na fotografia …

Imagens: respectivamente, cartoon de Luís Afonso (2020), fotografia usada pelo jornal «Público» no dia 25 de Março de 2020 e fotografia acessível através do Google e aqui transformada

[0220] A cada libertação as suas questões

O desejo de libertação que se começou a expressar com o 25 de Abril de 1974 nasceu muito antes de esse dia acontecer. Depois, levou anos a afirmar-se, a confrontar-se, a resignar-se.

Hoje cresce um outro desejo de libertação, de que não sabemos o dia em que o poderemos começar a expressar, e muito menos sabemos o que se lhe seguirá. Todos queremos libertar-nos das várias prisões em que um simples vírus nos encerrou, umas que nos protegem, outras que expõem os que se encontram ao serviço dos que se protegem.

Respondendo ao desejo de muitos que pretendem libertar-se destas prisões o mais cedo possível, escreveu o filósofo Bruno Latour:

“Isso é que não! Porque a última coisa a fazer é repetir o que fizemos antes.”

“Pode haver algo de impróprio em olhar assim para a era pós-crise, quando os profissionais de saúde estão «na linha de frente», quando milhões de pessoas perdem os seus empregos e muitas famílias enlutadas não podem sequer enterrar os seus mortos. E, no entanto, é importante que agora tenhamos de lutar para que a recuperação económica, logo que a crise passe, não repita o mesmo antigo regime capitalista anticlimático contra o qual tentámos até agora, em vão, lutar. Se tudo parou, tudo pode ser posto em causa.”

E como forma de imaginar libertações que respondam a todos e a cada um, colocou-nos uma série de questões:

·      Das actividades actualmente suspensas, quais são aquelas que gostaria que não fossem retomadas?

·      Porque considera estas actividades: prejudiciais / desnecessárias / perigosas / incoerentes?

·      De que modo o seu desaparecimento /suspensão / substituição facilitaria / tornaria mais coerentes outras actividades que considera mais importantes?

·      Que medidas preconiza para que os trabalhadores / funcionários / assalariados / empresários que não poderão continuar a trabalhar nas actividades (que preconiza serem suprimidas) sejam adoptadas para facilitar a transição para outras actividades?

·      Das actividades agora interrompidas, quais são aquelas que gostaria de, no futuro, desenvolver / retomar, ou quais seriam aquelas que deveriam ser inventadas em substituição das primeiras?

Fonte: António Pinto Ribeiro, no jornal «Público» de 22 de Abril (p. 31), onde cita Latour e resume as suas questões

[0219] Jogos para os quais há material em casa (I)

Toda a gente sabe jogar à Batalha Naval, ou, se o não sabe, rapidamente encontra quem lho explique. A seguir são sugeridas algumas ideias para quem quiser inventar e / ou experimentar variantes deste jogo.

Na Batalha Naval é costume usar-se o sistema dos 3 tiros: quando um jogador joga, anuncia 3 casas do seu adversário sobre as quais disparou. Mas existem duas regras diferentes sobre o modo de o adversário reagir: ou indica o que aconteceu em cada casa, ou indica globalmente o que aconteceu (por exemplo, 2 tiros na água e 1 tiro num barco de dois canos); esta opção torna mais difícil adivinhar onde estão situados os barcos. Escolher uma ou outra destas variantes leva a um tipo de batalha razoavelmente diferente.

Outra variante na forma de disparar é a seguinte: cada jogador anuncia um só tiro de cada vez, recebendo logo a informação sobre o seu resultado; se o tiro falhou, passa ao seu adversário a vez de jogar, mas se o tiro tiver acertado num barco, continua a jogar, sem interrupção, até falhar.

A forma tradicional do tabuleiro corresponde a um quadriculado de 10x10 casas. Esta condição pode ser alterada para dimensões superiores (por exemplo, um quadriculado de 15x15 casas), se se quiser incluir mais barcos, ou barcos dispostos em diagonal, ou ilhas dispondo de canhões, ou uma frota de aviões - ou se se quiser movimentar os barcos e os aviões!

Um exemplo de alteração do tabuleiro a que podemos chamar Batalha Naval e Terrestre: o tabuleiro é de 12x12 casas e a frota é a habitual, podendo cada jogador colocar alguns ou todos os seus barcos de 2, 3 e 4 canos em diagonal; além disso, cada jogador possui 1 ou 2 ilhas, com a(s) forma(s) que quiser, desde que a sua área total seja de 25 casas, colocando nela(s) 5 canhões, cada um correspondendo a 1 casa; os barcos, as ilhas e os canhões não se podem tocar, nem pelos lados, nem pelos vértices; o objectivo é atingir barcos e canhões; quando um tiro falha, o adversário deve indicar se foi água ou terra.

Um exemplo de colocação dos barcos, das ilhas e dos canhões:

[0218] (III) O crescimento aproximadamente exponencial de uma epidemia

:

ZOOM … ID da reunião: …… Senha: ……

START!

: António: Stor, escreveu-nos no email que hoje vamos acabar este assunto, o que é um crescimento exponencial; temos estado cheios de trabalhos passados pelos outros stores; desta vez só queremos ouvir …

: Professor: Mas podem interromper sempre que acharem valer a pena – tal como combinámos na primeira aula.

: Cátia: Já sabe que eu, se tiver alguma coisa a perguntar, pergunto …!

: Professor: Sim, já sei! [depois de olhar para o que está a digitar, aparece uma imagem no ecrã]

: Professor: Então vamos lá! Antes de ontem fui àquele sítio que já usamos, o Worldometers, e tirei de lá estes dados sobre a evolução do número de infectados por este Coronavírus, em todo o mundo, desde o primeiro dia de que há registo. No Dia Zero já havia 580 infectados (estão a ver, à direita, em baixo); quer isso dizer que o problema tinha começado algum tempo antes. Só registei a evolução de 3 em 3 dias; antes de ontem foi o 81º dia de crescimento desta pandemia, quase três meses. O modo como o Excel regista os grandes números não é muito favorável, pois não separa os algarismos em grupos de três. Para perceberem o que está escrito, digam-me quantos infectados havia no último dia desta lista …

: Várias vozes, sobressaindo no fim a da Cátia: Com sete algarismos já é milhão. É o mesmo no eixo vertical, lá em cima. Aí são 2 milhões. Os infectados são 1 milhão mais oitocentos e tal mil, quase 2 milhões …

: Professor: Sim, é isso mesmo. Na última semana a que correspondem estes números estivemos acima de um milhão de infectados; hoje já devemos estar na casa dos 2 milhões. Olhando para esta curva, este crescimento parece ter acelerado muito nas últimas semanas, por causa do empinar da curva, mas isso é enganador. Este é um crescimento próximo do exponencial: comparem-no com estes quatro crescimentos rigorosamente exponenciais, com valores certinhos [voltando a olhar para o que está a digitar, surge nova imagem]:

: Madalena: Mas isto não são bem curvas …

: Professor: Não, não são, trata-se de uma representação simplificada de uma curva. Em cada caso foram só marcados 6 pontos, depois unidos por um segmento de recta. No gráfico anterior também estava assim, só que como nele estão marcados muitos pontos nós não percebemos que a curva, afinal, é feita por segmentos de recta.

: Professor [depois de uma breve pausa]: Observem agora: um crescimento exponencial como o dos grãos de trigo no tabuleiro de Xadrez (é a curva verde, que cresce sempre a multiplicar por 2) é mais rápido do que um crescimento do tipo juro de 14 % ao ano (curva roxa, sempre a multiplicar por 1,14), mas é muito mais lento do que os crescimentos sempre a multiplicar por 2,4 ou por 3. E, reparem, todos começam aparentemente devagar …

: Nuno: E a curva do Worldometers, é mais parecida com qual destas curvas?

: Professor: Temos de fazer as contas. E partir do princípio de querermos uma curva exponencial, isto é, à medida que o tempo passa o crescimento resulta de multiplicarmos sempre pelo mesmo número. Então: se no Dia Zero havia 580 infectados, no Dia Três havia 580 vezes esse número; ainda o desconheço, pelo que o vou designar por R (nos quatro gráficos anteriores chamei-lhe Razão); será um número mais próximo do 1,4 ou do 3?!

: Professor (depois de ouvir respostas para todos os gostos): Já vamos ver … Temos então no Dia Três 580 R. No Dia Seis voltando a multiplicar por R, teremos …

: Joana: 580 R vezes R dá … 580 R².

: Professor: Certo. Se continuarmos a fazer isto, de 3 em 3 dias, quantas vezes o teremos de fazer? E que resultado final obteremos?

: Professor (resumindo um minuto de respostas, argumentos, correcções e, por fim, de quase total consenso): Temos de fazer isto 27 vezes, pelo que o resultado final é 580 R²⁷. Belo expoente … Então, 580 R²⁷ deve ser igual a 1 852 365! É uma equação, mas não é do 2º grau … Podem simplificá-la?

Ë Cátia (antecipando-se aos que dividiram 1 852 365 por 580): Dá R²⁷ = 3 194, por defeito. E agora?

: Professor: Agora, com uma calculadora científica capaz de determinar o valor de raízes com índices tão grandes como 27, chega-se lá! A alternativa, usar os logaritmos, vocês só a vão aprender no Secundário. Alguém tem à mão uma calculadora que faça esta continha?

: Orlando (depois de uns segundos sem se ouvir nada): Dá … dá 1,348 … nunca mais acaba de algarismos … isto não deve ser um número racional … e é um número mais baixo do que o 1,4 das quatro curvas exponenciais na imagem que o Stor projectou atrás …

: Professor: Certíssimo! Vamos então verificar, fazendo o cálculo inverso: usem R = 1,3483 e calculem 580 x 1,3483²⁷.

Ë Vários (um tanto caoticamente): Dá 1 852 099 … É um pouco menor do que os 1 852 365 … Incrível!

: Professor: Portanto, se o crescimento desta curva fosse constante, e exponencial, ao fim de cada 3 dias o número de infectados aumentaria de 34,8 % - quase 35 %. Essa curva está a seguir a azul, comparada com a curva com os dados do Worldometers:

: Professor: Todas as irregularidades da curva a vermelho levam-nos a pensar nas diferenças que existem entre o mundo real e os modelos que usamos para o percebermos. Neste caso, a realidade parece estar a dar-nos um pequeno sinal de que as coisas se vão tornar menos graves … não me apetece chamar exponencial a esta curva … Bom, estamos em cima da hora. Na próxima aula vamos retomar o programa. A não ser que vocês tenham mais questões que me voltem a desviar dele …

: Vários: Não é impossível, Stor … Tchau Prof!

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Fonte: sítio do Worldometers

[0217] (II) Há diversos crescimentos exponenciais

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ZOOM … ID da reunião: …… Senha: ……

START!

: António: Olá Stor! Estamos todos, excepto a Beatriz. Ela ainda vai precisar de algum tempo até poder aparecer aqui. Mas eu e a Hirondina temos falado com ela e achamos que ela está bem disposta (tem a família toda a apoiá-la). Só mais uma coisa: temos algum trabalho de casa preparado, já discutimos um bocado entre nós, juntámos tudo em três grupos, agora queríamos ouvir o que o Stor diz … surprise, não é?!

: Professor: Se é assim, vou ouvir …

: Gustavo: O primeiro grupo é a da soma dos grãos de trigo em todos os quadrados. Achamos que não vai começar a pôr menções de «observador» neste e naquele, pois fomos vários a andar à volta disto e todos contribuíram - esqueça lá desta vez esses sinaizinhos na avaliação. Fizemos uma tabela, uma coluna com os grãos em cada quadrado, outra com a soma de grãos até aí, e a nossa conclusão foi que dá sempre o número de grãos do quadrado seguinte, menos um – será possível?

: Professor: Mostra lá a tabela.

: Gustavo: É esta, só fomos até ao quadrado número 15, mas bate sempre certo:

: Folha no ecrã (não está bem fixa, mas percebe-se):

: Gustavo: Está a ver, o «16 383», penúltimo número na coluna da direita, é igual ao «16 384», último número na coluna do centro, menos «1» …

: Professor (levantando o polegar direito): É isso mesmo! O que vocês fizeram foi uma demonstração experimental de que isso funciona entre o «quadrado 1» e o «quadrado 14». Mas é possível demonstrar que é sempre assim – vamos ver isso no Secundário. Parabéns, ó «observadores» …

: Cátia: Agora eu. Tenho uma pergunta. O Professor falou nisto como crescimento exponencial. Mas eu vi na internet outros exemplos que não são a multiplicar por dois …

: Professor: Tomaste nota de algum desses exemplos?

: Cátia: Sim, mas não percebi, pois era sobre juros, e também era comparado com o que se está a passar com esta epidemia …

: Professor: O exemplo dos juros é bom. No caso dos grãos de trigo o crescimento do número de grãos é ritmado pelos quadrados: 1, 2, 3 quadrados, etc.. No caso dos juros, o ritmo depende do prazo que é dado. Por exemplo: devo 1 000 € ao banco e o banco diz-me que terei de pagar 14 % todos os anos. Eu decidi não pagar tão cedo, pelo que vou ter esta dívida durante vários anos. O ritmo é marcado pela sequência dos anos: 1, 2, 3 anos, etc.. Agora, o que é que acontece à dívida. Durante o «ano 1» ela é igual a 1 000 €. No primeiro dia do «ano 2» ela sobe 14 % em relação aos 1 000 €. Quanto é este aumento?

ËNem todos: 1 000  x  14  %  … dá 140!

: Professor: É isso mesmo. Então passo a dever …

: Vários: 1 000 mais 140 …. 1 140.

: Professor: Certo. No início do «ano 3» o aumento já não vai ser esse, pois passará a ser 14 % de 1 140 €. Que dá …?

ËVários: 1 140  x  14  %  … 159,6.

: Igor: Devemos … 1 299,6 €, Stor. Está a ficar pior. E acho que vai ser sempre pior … Primeiro 140, depois 159 e tal …

: Professor: Os juros são assim. E a epidemia também é assim, até um certo ponto (na próxima aula lá iremos). Há pelo menos duas conclusões acerca da pergunta da Cátia: a primeira é que o ritmo do crescimento exponencial pode ser marcado por coisas diferentes (um intervalo de tempo; a passagem de um quadrado para o seguinte; etc.); a segunda é que este crescimento pode ser mais ou menos rápido, sempre «x 0,14» no caso daqueles juros, sempre «x 2» no caso dos grãos de trigo, ou sempre «3», ou sempre «x 1,7», etc.. O que caracteriza este crescimento é ser sempre «vezes o mesmo número».

: António: Já não temos muito tempo e ainda falta o grupo que estudou a distribuição de todos os grãos de trigo sobre a superfície da Terra. Tivemos uma dúvida: era para espalhar só sobre os continentes e ilhas ou sobre toda superfície do planeta, seja ela sólida ou líquida?

: Professor: Podia ser de qualquer das formas, desde que fique explícito o que se fez.

: Joana: Então o que conseguimos juntar foi isto (não tente descobrir no que vou dizer nada para as menções, pode ser?). Num metro cúbico cabem aproximadamente 15 milhões de grãos de trigo, pelo que seriam necessários 1 200 quilómetros cúbicos para guardar todos estes grãos de trigo (não nos enganarmos nestas contas deu algum trabalho, Stor …). Depois, a superfície do planeta é de aproximadamente 510 100 000 quilómetros quadrados (não precisámos de perguntar à Stora de Geografia, andámos a bisbilhotar mais uma vez na internet). Mas só cerca de 29 % é terra firme, quase 150 000 000 quilómetros quadrados. Tivemos então que dividir os mil e duzentos por este número, o que deu 0,000 008; achámos que este número era em quilómetros (ao fazermos as contas ao contrário dava tudo certo). Então a altura dos grãos de trigo seria de 8 milímetros por toda a terra sólida. Bom, Stor, não é uma altura que impressione muito …

: Professor: De facto … Tinha ficado com a ideia de que os grãos ficavam com maior altura … Mas já li isso há muito tempo …

: Luís: Mas temos outra surpresa! Percebemos que a sua ideia era impressionar-nos para que percebêssemos que aquele número é muito, muito grande. E descobrimos outro modo de o mostrar (foi na internet, claro, mas confirmámos todas as continhas). Se o filósofo quisesse contar os grãos (não os recebeu, já sabemos, e ainda bem) e contasse um grão por segundo, sem parar (nem comia, nem dormia - nada), contava apenas 86 400 grãos por dia; para contar um milhão precisava de dez dias (já morto de fome e de sono); para contar os quinze milhões que cabem num metro cúbico precisava de quase meio ano; ora ele tinha de contar mil e duzentos quilómetros cúbicos, coisa para … mais de 30 000 000 000 anos!

: Professor: Vocês hoje convenceram-me!

: Todos: Tchau Stor, porte-se bem!

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