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ZOOM … ID da reunião: …… Senha: ……
START!
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António: Olá Stor! Estamos todos,
excepto a Beatriz. Ela ainda vai precisar de algum tempo até poder aparecer aqui.
Mas eu e a Hirondina temos falado com ela e achamos que ela está bem disposta
(tem a família toda a apoiá-la). Só mais uma coisa: temos algum trabalho de
casa preparado, já discutimos um bocado entre nós, juntámos tudo em três grupos,
agora queríamos ouvir o que o Stor diz … surprise,
não é?!
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Professor: Se é assim, vou ouvir …
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Gustavo: O primeiro grupo é a da
soma dos grãos de trigo em todos os quadrados. Achamos que não vai começar a
pôr menções de «observador» neste e naquele, pois fomos vários a andar à volta
disto e todos contribuíram - esqueça lá desta vez esses sinaizinhos na
avaliação. Fizemos uma tabela, uma coluna com os grãos em cada quadrado, outra
com a soma de grãos até aí, e a nossa conclusão foi que dá sempre o número de
grãos do quadrado seguinte, menos um – será possível?
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Professor: Mostra lá a tabela.
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Gustavo: É esta, só fomos até ao
quadrado número 15, mas bate sempre certo:
: Folha no ecrã (não está bem fixa, mas
percebe-se):
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Gustavo: Está a ver, o «16 383», penúltimo
número na coluna da direita, é igual ao «16 384», último número na coluna do
centro, menos «1» …
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Professor (levantando o polegar
direito): É isso mesmo! O que vocês fizeram foi uma demonstração experimental
de que isso funciona entre o «quadrado 1» e o «quadrado 14». Mas é possível demonstrar
que é sempre assim – vamos ver isso no Secundário. Parabéns, ó «observadores» …
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Cátia: Agora eu. Tenho uma pergunta.
O Professor falou nisto como crescimento
exponencial. Mas eu vi na internet
outros exemplos que não são a multiplicar
por dois …
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Professor: Tomaste nota de algum
desses exemplos?
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Cátia: Sim, mas não percebi, pois
era sobre juros, e também era comparado com o que se está a passar com esta
epidemia …
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Professor: O exemplo dos juros é
bom. No caso dos grãos de trigo o crescimento do número de grãos é ritmado
pelos quadrados: 1, 2, 3 quadrados, etc.. No caso dos juros, o ritmo depende do
prazo que é dado. Por exemplo: devo 1 000 € ao banco e o banco diz-me que terei
de pagar 14 % todos os anos. Eu decidi não pagar tão cedo, pelo que vou ter
esta dívida durante vários anos. O ritmo é marcado pela sequência dos anos: 1,
2, 3 anos, etc.. Agora, o que é que acontece à dívida. Durante o «ano 1» ela é igual
a 1 000 €. No primeiro dia do «ano 2» ela sobe 14 % em relação aos 1 000 €.
Quanto é este aumento?
ËNem todos: 1 000 x 14 % … dá 140!
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Professor: É isso mesmo. Então passo
a dever …
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Vários: 1 000 mais 140 …. 1 140.
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Professor: Certo. No início do «ano
3» o aumento já não vai ser esse, pois passará a ser 14 % de 1 140 €. Que dá …?
ËVários: 1 140 x 14 % … 159,6.
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Igor: Devemos … 1 299,6 €, Stor.
Está a ficar pior. E acho que vai ser sempre pior … Primeiro 140, depois 159 e
tal …
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Professor: Os juros são assim. E a
epidemia também é assim, até um certo ponto (na próxima aula lá iremos). Há
pelo menos duas conclusões acerca da pergunta da Cátia: a primeira é que o
ritmo do crescimento exponencial pode
ser marcado por coisas diferentes (um intervalo de tempo; a passagem de um
quadrado para o seguinte; etc.); a segunda é que este crescimento pode ser mais
ou menos rápido, sempre «x 0,14» no caso daqueles juros, sempre «x 2» no caso
dos grãos de trigo, ou sempre «3», ou sempre «x 1,7», etc.. O que caracteriza
este crescimento é ser sempre «vezes o mesmo número».
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António: Já não temos muito tempo e
ainda falta o grupo que estudou a distribuição de todos os grãos de trigo sobre
a superfície da Terra. Tivemos uma dúvida: era para espalhar só sobre os
continentes e ilhas ou sobre toda superfície do planeta, seja ela sólida ou
líquida?
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Professor: Podia ser de qualquer das
formas, desde que fique explícito o que se fez.
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Joana: Então o que conseguimos juntar
foi isto (não tente descobrir no que vou dizer nada para as menções, pode ser?). Num metro cúbico
cabem aproximadamente 15 milhões de grãos de trigo, pelo que seriam necessários
1 200 quilómetros cúbicos para guardar todos estes grãos de trigo (não nos
enganarmos nestas contas deu algum trabalho, Stor …). Depois, a superfície do
planeta é de aproximadamente 510 100 000 quilómetros quadrados (não precisámos
de perguntar à Stora de Geografia, andámos a bisbilhotar mais uma vez na internet). Mas só cerca de 29 % é terra
firme, quase 150 000 000 quilómetros quadrados. Tivemos então que dividir os
mil e duzentos por este número, o que deu 0,000 008; achámos que este número
era em quilómetros (ao fazermos as contas ao contrário dava tudo certo). Então
a altura dos grãos de trigo seria de 8 milímetros por toda a terra sólida. Bom,
Stor, não é uma altura que impressione muito …
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Professor: De facto … Tinha ficado
com a ideia de que os grãos ficavam com maior altura … Mas já li isso há muito
tempo …
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Luís: Mas temos outra surpresa!
Percebemos que a sua ideia era impressionar-nos para que percebêssemos que
aquele número é muito, muito grande. E descobrimos outro modo de o mostrar (foi
na internet, claro, mas confirmámos
todas as continhas). Se o filósofo quisesse contar os grãos (não os recebeu, já
sabemos, e ainda bem) e contasse um grão por segundo, sem parar (nem comia, nem
dormia - nada), contava apenas 86 400 grãos por dia; para contar um milhão
precisava de dez dias (já morto de fome e de sono); para contar os quinze
milhões que cabem num metro cúbico precisava de quase meio ano; ora ele tinha
de contar mil e duzentos quilómetros cúbicos, coisa para … mais de 30 000 000 000
anos!
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Professor: Vocês hoje
convenceram-me!
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Todos: Tchau Stor, porte-se bem!
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