domingo, 24 de março de 2019

[0168] O tabuleiro e as peças de Xadrez de Josef Hartwig


O movimento que ficou conhecido por Bauhaus desenvolveu-se primeiro em Weimar, entre 1919 e 1925, depois em Dessau, entre 1925 e 1932, na Alemanha. Comemora em 2019, portanto, os 100 anos da sua fundação.
Surgido quando se começava a tornar claro que o futuro próximo pertenceria à indústria, pretendia-se, na Bauhaus, estabelecer uma ligação entre as artes e a tecnologia.

Josef Hartwig (1880 – 1955), um dos mestres artesãos envolvido neste movimento, produziu, em 1923-2 4, um tabuleiro de Xadrez cujas peças representam o espírito da Bauhaus, esteticamente belas, tecnologicamente fáceis de reproduzir:

Exemplar do «Xadrez de Hartwig» existente no «The Museum of Modern Art» (Nova Iorque)

À simplicidade geométrica com que desenhou cada uma das peças, Hartwig juntou uma sugestão sobre a sua funcionalidade (nos diagramas seguintes estão indicadas as casas para onde cada peça se pode deslocar, a partir daquela onde se encontra):


Nota: os movimentos do Rei e, sobretudo, o dos Peões, são mais complexos do que os ilustrados acima

Fontes: sítio do The Museum of Modern Art; Föhl & outros (1999)


quarta-feira, 20 de março de 2019

[0167] O Jogo de Marienbad, uma variante do Jogo do Nim


No Verão passado sugeri que quem gostasse de jogar experimentasse na praia o Jogo do Nim (mensagem «0131»). E há dias referi uma sua variante, o Jogo de Marienbad (mensagem «0164»), muito conhecida por aparecer recorrentemente num dos filmes de Alain Resnais.

Tal como o Nim, trata-se de um jogo em que um dos jogadores possui uma estratégia ganhante, pelo que o seu interesse não reside tanto em jogá-lo, mas em compreendê-lo.
À partida existem 16 peças (pedrinhas, fósforos, moedas, …) dispostas sobre uma mesa, tal como se mostra a seguir (quatro filas com, respectivamente, 1, 3, 5 e 7 peças):




Alternadamente, os dois jogadores retiram uma ou mais peças de uma das filas, à sua escolha, desde uma a todas as peças dessa fila. Perde o jogador que retirar a última peça.

Este jogo também se pode jogar sobre uma folha de papel, onde são traçados riscos equivalentes às peças, que cada jogador, quando joga, vai cortando, em vez de tirar.

Para chegar empiricamente a uma estratégia ganhante pode-se começar por jogar diversas vezes (o que até se pode fazer contra si próprio) e anotar as posições sobre as quais se tem a certeza que conduzem a um desfecho certo.
Por exemplo, nas seguintes posições (as filas são sempre horizontais) o jogador a quem cabe jogar não conseguirá evitar a derrota, se o seu adversário souber jogar:




Um bom exercício: demonstrar esta afirmação por exaustão (isto é, analisando todos os casos).

Que outras posições deste género podem ocorrer numa partida do Marienbad?

E como transformar o conhecimento dessas posições numa estratégia ganhante?

A regra quem tira a última peça perde pode ser alterada para quem quem tira a última peça ganha: que consequências tem isso na estratégia ganhante?

sábado, 9 de março de 2019

[0166] Professor, quer saber como eu pensei?

Um livro que tem uma visão nada dogmática sobre a Matemática e que, aqui e acolá, mostra como entre as nossas capacidades há intuições brilhantes à espera de professores que as não baralhem:



Nele, o autor (nascido em 1979) conta-nos a seguinte história, acontecida quando explicava Matemática a um miúdo de oito anos:

“Certa vez, durante uma lição sobre a adição, o miudito teve uma intuição, pequena mas brilhante. Estava a copiar os trabalhos de casa para os vermos juntos. A soma era 12 + 9, mas ele escreveu 19 + 2. A resposta, reparou ele, era a mesma. Tanto doze mais nove como dezanove mais dois, dava vinte e um. Achou engraçado o seu erro involuntário; fez uma pausa para pensar. Eu fiquei à espera, sem querer falar com medo de lhe baralhar os pensamentos. Mais tarde pedi-lhe para fazer uma soma muito maior, qualquer coisa como 83 + 8. Ele fechou os olhos e disse: «Oitenta e nove, noventa, noventa e um». Percebi então que ele tinha compreendido.”

Fonte: Tammet (2016; pp. 53-54)

quarta-feira, 6 de março de 2019

[0165] Um Sistema de Unidades de Peso do início do século XVI (com muita experiência matemática)

Em finais do século XV diversos monarcas europeus iniciaram esforços que visavam introduzir alguma uniformização na grande diversidade de sistemas de pesos e medidas usados nos seus reinos.
Em Portugal, foi D. João II (1481 a 1495) quem lançou os primeiros passos dessas reformas, tendo-os D. Manuel I (1495 a 1521) prosseguido, tendo obtido especial sucesso no respeitante ao sistema de pesos. As regras deste sistema foram incluídas no Regimento dos Ofiçiais das Çidades, Villas e Lugares destes Regnos, a primeira lei (tanto quanto se sabe) impressa em Portugal, o qual foi enviado para muitos dos concelhos do país em 1504, acompanhado pelos novos padrões de pesos.

O essencial do «Regimento dos Ofiçiais das Çidades, Villas e Lugares destes Regnos» foi mais tarde incluído nas chamadas Ordenações Manuelinas, a compilação de leis que D. Manuel I mandou publicar em 1512-13 e que posteriormente teve duas outras versões.
Segundo a última versão, a de 1521, cada concelho deveria possuir uma cópia do padrão de pesos em função do seu número de «vizinhos»: o padrão maior, adequado para mais de 400 vizinhos, era de um Quintal, sendo composto por dezasseis peças, sendo a maior peça a própria caixa onde as outras peças eram incluídas, que pesava meio Quintal:


Padrão manuelino composto por dezasseis peças

A leitura dos «Ordenações Manuelinas» permite-nos entender a hierarquia dos pesos envolvidos nestes padrões, e que certamente reflectia as unidades de peso que tinham até então tinham estado em vigor:



Sob o ponto de vista actual, este sistema de unidades de peso estava estruturado segundo as potências de base 2. E quanto àquilo a que hoje chamaríamos design, as diferentes unidades foram concebidas de modo a poderem encaixar-se umas nas outras, como «bonecas russas»:


Padrão de duas arrobas
(caixa aberta contendo treze pesos,
faltando o mais pequeno)


Certamente devido à experiência que os matemáticos da época tinham, sabia-se que a soma das sucessivas potências com base 2 era igual à potência seguinte menos uma unidade, o que, usando a simbologia actual, se escreve assim:

20 + 21 + 22 + 23 + … + 2n + 1 = 2n+1

Foi por esta razão que nas «Ordenações Manuelinas» se escreveu que a caixa pesava um Quintal e que isso equivalia à adição sucessiva de meio Quintal, com uma Arroba, etc., etc., com uma Oitava e, por fim, com «duas peças de meia oitava cada hũa»: estas duas peças correspondem ao 20 e ao 1 na expressão que figura acima!

Se pegarmos numa calculadora vulgar podemos verificar este conhecimento experimental dos matemáticas da época:

1 + 2 +
(o ecrã mostra 3, inferior em uma unidade a 4)
4 +
(ecrã: 7)
8 +
(ecrã: 15)
16 +
(ecrã: 31)
32 +
etc.

As peças descritas acima podem ser observadas no Museu de Metrologia, que faz parte do Instituto Português da Qualidade.

Fonte: Neves, concepção e coordenação (2018)

Imagens dos padrões: sítio do Museu de Metrologia

sábado, 23 de fevereiro de 2019

[0164] O jogo como alegoria da vida


Os jogos são usados para interpretar situações, não poucas vezes extremas, das nossas vidas.

Atente-se no poeta árabe Ibn al-Labba (século XII), que, por altura da primeira conquista de Xelb (actual Silves) pelos cristãos, em 1189, escreveu:

Somos peças de xadrez nas mãos da fortuna
E o rei poderá cair às mãos de um humilde peão.
Não te preocupes com este mundo
Nem com as pessoas que nele vivem
Pois agora este mundo está perdido,
Desprovido de homens dignos desse nome.

Ou atente-se na força com que o realizador sueco Ingmar Bergman (1918 – 2007) colocou uma partida de Xadrez, disputada pela morte, no centro da sua obra-prima:

O sétimo selo (1957)

E atente-se, ainda, no modo como as peripécias entre os protagonistas de um dos filmes do realizador francês Alain Resnais (1922 – 2014) nele surgem transfiguradas numa obsessiva disputa de uma variante do jogo conhecido por Nim:

O último ano em Marienbad (1961)

Este será, aliás, um dos treze jogos que será possível experimentar na próxima 4ª feira, dia 27 de Fevereiro, na Associação Almada Mundo (na Cova da Piedade), a partir das 15h00.

As suas regras, bem como as de outros dos jogos a experimentar (e, se possível, dos respectivos tabuleiros) encontram-se a partir de hoje na pasta da Dropbox que está acessível a partir da página «Outros Documentos» deste blogue.

Fontes: Page (2008; p. 77); Wikipédia, versão portuguesa (acerca de Silves e de Ibn al-Labba)

domingo, 17 de fevereiro de 2019

[0163] A fisga e o caderno dos deveres


Datado de 1996, o CD Rio Grande inclui dez composições com música de João Gil e letra de João Monge:


Estas dez composições ficcionam a história de vida de um alentejano que emigrou para a Margem Sul do Tejo, onde se tornou operário da Lisnave, e que muitos anos depois regressou, cansado, para a beira do seu Guadiana.

A primeira composição descreve-o na escola:

A FISGA

Trago a fisga no bolso de trás
E na pasta o caderno dos deveres
Mestre-escola, eu sei lá se sou capaz
De escolher o melhor dos dois saberes

O meu pai diz que o Sol é que nos faz
Minha mãe manda-me ler a lição
Mestre-escola, eu sei lá se sou capaz
Faz-me falta ouvir outra opinião

Eu até nem sequer sou mau rapaz
Com maneiras até sou bem mandado
Mestre-escola, diga lá se sou capaz
Pra que lado é que me viro. Pra que lado?

Trago a fisga no bolso de trás
E na pasta o cadernos dos deveres
Mestre-escola, eu sei lá se sou capaz
De escolher o melhor dos dois saberes

Instrumentalmente e vocalmente intervieram nesta composição: João Gil (guitarra acústica); Rui Veloso (guitarra acústica e requinta); Tim (baixo e voz); Jorge Palma (piano FP8); e Rui Veloso, Jorge Palma, Vitorino e João Gil (coros).

Fonte: CD «Rio Grande» (1996)



domingo, 10 de fevereiro de 2019

[0162] A discreta vida das plantas durante o Inverno


Ao longo do Inverno as plantas não interrompem o seu ciclo de vida anual, embora muitas o prossigam muito lentamente …

Talvez seja entre as herbáceas que encontramos plantas com maior capacidade para se manifestar visivelmente no Inverno.
Já referi o Sininho-da-neve e o género Crocus, que podem florir em ambientes nevados (mensagem «0110»). E acrescento agora, para climas menos extremos, diversas outras ervas que dão flor em pleno Inverno: nos relvados próximos das nossas casas, as Margaridas-comuns, cujas pequenas flores brancas (por vezes rosa) formam grupos aqui e acolá e que assim se vão manter durante meses, desde que a relva não seja cortada …; e nos espaços mais selvagens, a Serralha, a Erva-dos-moinhos, o Dente-de-Leão e o Trevo-azedo, que nos mostram as suas flores amarelas bem antes da Primavera chegar.
Esta última, por ser oriunda da África do Sul, é considerada espécie exótica em Portugal. Mas também é a dá mais cor aos campos ao longo dos quais caminhamos nesta altura do ano:

Trevo-azedo (Oxalis pes-caprae)

Os arbustos não são tão bons a florir durante o Inverno. Mas ao longo de algumas estradas já podemos ver que o Piorno-branco e a generalidade das Acácias deram flor. Este último grupo, cujas fores são amarelas, é oriundo da Austrália, pelo que foi considerado invasor em Portugal. A maioria das suas espécies reúne as flores em pequenas esferas, contrariamente à Acácia-das-espigas, que as reúne em espigas:


Acácia-das-espigas (Acacia longifolia)

As árvores parecem ser as mais reservadas. Uma ou outra aproveita o Inverno para fazer crescer os seus frutos, como é o caso das Nespereiras (mensagem «0095»); bastantes mais tratam de os amadurecer e/ou de os dispersar, como o fazem a Mélia (mensagem «0095»), a Magnólia (mensagem «0143») e o Jacarandá (mensagem «0158»).

As árvores de folha caduca fazem crescer pequenos botões, dos quais sairão em breve as folhas e as flores, como se pode observar no Carvalho-alvarinho:

Carvalho-alvarinho ou Carvalho-roble (Quercus robur)

Algumas árvores já mostram pequenas folhas e amentilhos, como são os casos da Amoreira-branca e da Amoreira-negra. E em breve as Ameixoeiras-de-jardim abrirão as suas folhas avermelhadas (mensagem «0025»), seguindo-se todas as outras árvores, arbustos e herbáceas, como as Olaias, as Glicínias e as Estevas (Mensagem «0028») …

Estas manifestações de vida são visíveis em todo o lado, também perto de qualquer escola, por vezes dentro delas. Quando nos livraremos da rigidez dos exames e dos rankings para as poderemos admirar e observar?

Fontes bibliográficas: Bingre (2007; pp. 181 e 242); Lima (2017; p. 127)

Fotografias: Eva Maria Blum (primeira fotografia) e Pedro Esteves (segunda e terceira fotografias)


domingo, 3 de fevereiro de 2019

[0161] Uma pitada de Matemática para entender os Megamilionários



O historiador Rui Tavares colocou com frontalidade, num dos seus artigos políticos de opinião, a seguinte pergunta: Precisamos de megamilionários?
Para tentar descreve o que é um megamilionário Rui Tavares começou por referir Calouste Gulbenkian, considerado, em meados do século passado, o homem mais rico do mundo, com uma fortuna que seria hoje equivalente a quase seis mil milhões de €uros.
O primeiro contributo que a Matemática pode prestar a esta descrição é escrever este número com todos os algarismos que lhe são devidos:

6 000 000 000 de €uros

Depois Rui Tavares refere o caso de Jeff Bezos, o actual sucessor de Gulbenkian como homem mais rico do mundo. Aos 55 anos ele já tem uma fortuna avaliada em cento e cinquenta mil milhões de €uros, ou seja:

150 000 000 000 de €uros

Fazendo as contas, Bezos é actualmente 25 vezes mais rico do que Gulbenkian era 70 anos atrás.
Mas estes dois casos apenas dão uma ideia relativa da riqueza de dois homens muitíssimo ricos. Por isso Rui Tavares procurou dar uma ideia de quanto serão mil milhões de €uros por comparação com o que apenas 5 % dos portugueses mais ricos auferem anualmente: 50 mil €uros. Se nada deste montante fosse gasto (no dia-a-dia, ou com os impostos) nem aumentado (com investimentos, ou com juros), seriam necessários:

20 anos para juntar 1 milhão de €uros,
200 anos para juntar 10 milhões de €uros,
2 000 anos para juntar 100 milhões de €uros e
20 000 anos para juntar os tais 1 000 milhões de €uros.

“Jeff Bezos tem 150 desses”, concluiu Rui Tavares.

A pergunta mais difícil de responder com o apoio da Matemática é sobre o modo como se obtém tanto dinheiro. Poderá haver génio da parte de quem o consegue, mas também há “exploração do trabalho de muita gente” e um extenso aproveitamento dos “bens públicos”, esclareceu Rui Tavares.

É mais fácil responder ao que significa gastar individualmente estas quantidades enormes de dinheiro. Supondo que o megamilionário gasta 1 €uro por segundo (propôs Rui Tavares), ele gastaria (calculo eu):

1 €uro por segundo x 60 x 60 x 24 = 86 400 de €uros por dia e
86 400 €uros por dia x 365,25 = 31 557 600 de €uros por ano,

isto é, quase 32 milhões de €uros por ano, pelo que necessitaria de aproximadamente 31 anos para gastar mil milhões e mais de 4 500 anos (mais ou menos a idade das pirâmides do Egipto) para gastar os 150 mil milhões …

Resta pensar no significado de uma tal fortuna sob o ponto de vista colectivo.
Para lhe responder, lembrou Rui Tavares, pode ter-se em conta que a quantia de 150 mil milhões de €uros é maior do que o Produto Interno Bruto de 125 países, “mais de metade das nações do mundo.” E (dado que os montantes destas fortunas têm estado a crescer) em breve ultrapassará o Produto Interno Bruto português, que anda pelos 200 mil milhões de €uros.
E um tal poder económico tem impacto no poder político (e até militar), e aí a Matemática deixa de dar qualquer ajuda: ninguém deve “deter sozinho tal poder”, escreveu Rui Tavares. Com ele dominar-se-ia a política e os media de regiões inteiras do mundo e … até se poderia dispor de um arsenal nuclear privado …

Fonte jornalística: Tavares (2019)

quarta-feira, 30 de janeiro de 2019

[0160] Maria João Pires: outro olhar sobre a educação


Excertos da entrevista que Maria João Pires (pianista, pedagoga, cidadã) concedeu a Diana Ferreira:

Sobre tocar piano

“O piano nunca foi o centro da minha vida, nem em criança. Foi-o para o exterior, na medida em que sempre me viram como pianista, mas para mim e para as pessoas mais próximas nunca o foi. Um satélite muito importante, sim, que tomou um grande espaço, demasiado grande a partir de certa altura. Comecei a ensinar numa idade em que não se deve fazê-lo – tinha 12 anos.”


Sobre a condição de artista

“Pelo facto de serem conhecidas [como artistas], as pessoas têm muita tendência para se sentir superiores. À partida, essa separação já é negativa; se estamos separados, não pertencemos ao grupo ... dos humanos. Já somos só «eu» e «eles», «eu» e «o público».”

“Não me identifico com a escola de música, com os ciclos de concertos, com a forma como as editoras promovem ou não os jovens, como escolhem os talentos ... Os critérios são de tal maneira antimusicais que deixaram de ser critérios. Não me identifico com as estratégias dos adultos em relação aos mais jovens.”

Considero os «concursos» “a morte da arte e da música, de tudo. Sejam bons ou maus, honestos ou desonestos: o concurso é inimigo de qualquer criatividade, de qualquer artista. E são o grande inimigo da possibilidade de as novas gerações terem ainda a oportunidade de transmitir aquilo que é essencial na música.”

“A sociedade está construída de maneira a ninguém ter trabalho se não tiver prémios. Só temos duas opções: ou somos escravos dessa sociedade e aceitamos as regras desse jogo (e é nos 99 % que são eliminados que estão os verdadeiros artistas, que poderiam vir a transmitir a arte através das gerações) ou resistimos ... Nós podemos ter vários trabalhos. Eu fui estudante durante muitos anos, na Alemanha, e não houve nenhum ano em que não estivesse a trabalhar numa casa, a lavar pratos, a lavar o chão, a cozinhar ... Há muita gente que dá aulas, que faz outras coisas ... Podemos fazer muita coisa, não precisamos de ser pianistas a tempo inteiro. Hoje, os músicos são criados para serem mimados, para serem os futuros grandes músicos que vão ganhar fortunas. Vão ter muito cuidado com as mãos, vão pôr-se numa posição em que estão fora do resto do grupo, em que são as estrelas. E isso não é ser músico!”

Sobre os coros infantis

“O meu objectivo com os coros, que integram crianças a partir dos cinco, seis anos, é encontrar o método certo para fazer com que a música influencie o seu crescimento e a forma como encaram a vida. É um trabalho sobre a resiliência da criança para, através da qualidade na forma de cantar e de ouvir, desenvolver a cooperação com os outros. Trata-se de crianças praticamente sem experiências musicais. Actualmente, temos sobretudo crianças de países africanos e, em grande maioria, muçulmanos, com um passado complicado, de guerra ou de outro tipo de abusos, algumas órfãs, ou que foram retiradas aos pais ... ”

Sobre o apoio aos jovens músicos

“O critério é procurar artistas que estejam verdadeiramente motivados para colaborar na sociedade sem pensarem única e exclusivamente na sua carreira. Digo sempre que não tem mal pensar em ter trabalho e em ganhar a vida – é aliás muito saudável –, simplesmente que isso não seja primordial, porque o artista também tem uma missão que é importante ele saber separar da ambição material. É importante que desenvolva a sua arte num campo livre, em que se possa realmente estudar, pesquisar. Hoje, no mundo inteiro, as escolas têm o grande problema da competição, de tal modo que os programas têm de ser «cada vez mais»: mais repertório, mais performance, mais capacidades, mais ... [técnica.]” “Que deixa de ser técnica, porque para um pianista, hoje, toda a habilidade manual é uma péssima técnica ... O piano passa por uma consciência e por um trabalho muito grande sobre o corpo. E um trabalho de mãos super desenvolvido vai estragar o trabalho corporal, resultando num pianista sem boa técnica. Há uma série de componentes na música que exigem consciência corporal. Costumo dizer aos meus alunos: «O vosso professor não sou eu, é o vosso corpo e a capacidade que vocês têm de o desenvolver e de o melhorar.».”

A sua selecção é feita “Muito mais pela motivação do que pela qualidade da gravação que nos mandam.” Eles “Têm de escrever uma carta bastante completa.” “A gente sente o que está por detrás das palavras usadas, vê-se se é só uma coisa superficial ... Dantes dava muito mais importância à gravação. Com a idade e com o tempo, descobri que me enganava, porque há pessoas que não tocam nada bem mas têm uma verdadeira motivação e uma verdadeira capacidade de chegar lá. Mais do que muitos que tocam tudo e muito bem, mas não passam dali, porque não estão verdadeiramente motivados para essa pesquisa de que estamos a falar.”

“No Verão passado fiz um curso e encontrei uma menina absolutamente fora deste mundo, com uma capacidade impressionante de falar através da música, de dialogar e de aprender. Essas descobertas acontecem. É óbvio que vou convidá-la, dar-lhe aulas... Não considero que os artistas se possam dar aulas uns aos outros – é mais uma transmissão. Eu sei e tu não sabes – isso não existe em arte. É um erro pensar-se dessa forma.” “O que posso dizer é que tive muitos mais anos de experiência. Tenho 74 anos. Fiz muitas experiências que posso transmitir a uma pessoa de 20; experiências que não podem ser transmitidas de uma forma técnica, ou através de um livro que eu escreva sobre técnica de piano, ou sobre como tocar com mãos pequenas, como ler uma sonata de Beethoven, como frasear, quais as diferenças entre uns compositores e outros. Mesmo que escreva muito bem, nunca funciona como ao vivo. A transmissão ao vivo da arte é essencial. E isso não significa que eu esteja a ensinar, ou que saiba mais do que eles, porque eles podem ser artistas extraordinários – mais do que eu –, só que eu tenho uma experiência a transmitir e eles transmitem-me capacidade de aprender como devo transmitir.”

“Eu e as pessoas que estão a trabalhar comigo somos capazes de dar um bom conselho [aos jovens músicos], no sentido em que recuamos ao primeiro momento em que [lhe] surgiu o desejo de fazer música, perguntamos de onde e como veio. Muitas vezes vamos chegar à conclusão de que aquela pessoa não está tão interessada assim em música. Outras vezes descobrimos que tinha uma aptidão natural, desde criança, e um desejo profundo; aí podemos ajudá-la a seguir esse desejo, em vez do caminho comercial para que foi guiada e treinada, tanto mental, como espiritual e fisicamente. Pode-se voltar atrás, a esse impulso, esse primeiro desejo, essa primeira iluminação. Podemos fazer essa introspecção.”

Sobre as instituições de ensino

Se ensinasse numa instituição, “Teria de ensinar numa escola que não tivesse um programa feito, que estivesse à procura de soluções. Aí eu poderia ser útil. Mas nenhuma escola tem essa aptidão para fazer descobertas. A descoberta pedagógica é muito complicada, porque estamos sempre em atraso, vamos sempre buscar o que funcionou bem há 30 ou 50 anos; mas as pessoas eram diferentes, não ouviam da mesma maneira, não tinham a mesma relação com o som, com o ruído, com a percepção do exterior, com o ar, com a respiração, com nada ... Se tudo mudou, como é que se pode ensinar da mesma maneira? O processo pedagógico «normal» é usar o bom que houve para não enfrentar o futuro.”

Fonte: Pires, entrevistada por Ferreira (2019)
Fotografia (inserida na entrevista e aqui truncada): Nelson Garrido


sábado, 19 de janeiro de 2019

[0159] O Jogo do Alquerque



O quatro tabuleiros desenhados abaixo foram substituídos em 20 de Abril de 2019, por nele figurarem linhas não existentes nos tabuleiros originais (duas imagens iniciais)


O mais antigo testemunho referente a este jogo está associado no Antigo Egipto, por ter sido encontrado o desenho de um seu tabuleiro numa das pedras do templo de Kuma, na margem ocidental do Nilo.

É possível que o nome Alquerque derive de al-Quirkat, sendo Quirkat um antigo jogo árabe mencionado no «Kitab al-Aghani» (ou Livro das Canções), escrito por Abu al-Faraj Ali al-Isfahani por volta de 960 d. C..

A partir do século VIII os muçulmanos introduziram este jogo na Península Ibérica. E o rei Afonso X, no século XIII, incluiu-o nos seus «Libros de Ajedrez, Dados y Tablas» (ver mensagem «0037»), onde o designa por Alquerque de 12:

Imagem de: http://games.rengeekcentral.com/

A popularidade alcançada por este jogo em diversas partes da Europa durante a Idade Média explica que tenham sido encontrados diversos tabuleiros seus gravados em locais associados a essa época, como o seguinte, no Castelo de Vila Viçosa:

Imagem de: «Pedras que Jogam»

Não há certezas acerca da evolução que as regras deste jogo tiveram. Mas é hoje quase consensual jogá-lo com as seguintes:

Cada jogador recebe 12 peças e coloca-as no tabuleiro de jogo, quadrado, deixando apenas a casa central livre:


Os caminhos desenhados entre as 25 casas do tabuleiro (verticais, horizontais e diagonais) servem para deslocar as peças.

Jogando alternadamente, os jogadores deslocam uma das suas peças para uma casa vizinha que não esteja ocupada.

O objectivo de cada jogador é a «captura» de todas as peças do seu adversário.
Para «capturar» uma peça é preciso saltar sobre ela, como se faz no jogo das Damas.
Num só lance é possível «capturar» mais do que uma das peças adversárias, desde que a colocação destas o permita.
Se, ao jogar, um jogador puder «capturar» uma ou mais das peças do adversário, é obrigado a capturar pelo menos a primeira. E se tiver diversas alternativas de «captura», pode escolher a que quiser.
A(s) peça(s) capturada(s) é(são) retirada(s) do tabuleiro.

Tanto a deslocação como a captura podem ser feitas em qualquer direcção.

É possível registar um jogo de Alquerque criando um sistema de coordenadas (por exemplo como o do Xadrez), e algumas regras para a anotação dos lances:


Para a deslocação de uma peça indica-se a casa de partida e a de chegada (por exemplo, as «azuis» jogam B2 – C3):


A «captura» é registada do mesmo modo, intercalando um sinal de divisão entre a casa de partida e a de chegada: segundo as regras, as «verdes» são obrigadas a «capturar» a peça «azul» acabada de jogar, portanto jogam D4 : B2


As peças para este jogo são fáceis de inventar; e o tabuleiro é fácil de construir (desenha-se sobre papel, ou no computador, imprimindo-se depois; coloca-se dentro de uma mica, ou plastifica-se). Portanto, não é difícil de jogar ...

Fontes bibliográficas: Sá, Almiro, Cavaleiro, Reis, Abreu & Zenhas (2004; p. 14); Santos, Neto & Silva (2007; pp. 37-38)
Fonte num catálogo: Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa & Museu da Cidade da Câmara Municipal de Lisboa, para a citação e outras informações (2004; p. 2 e, para a imagem, p. 86) – há uma versão digital deste documento acessível através da página «Outros Documentos» deste blogue

quarta-feira, 16 de janeiro de 2019

[0158] É altura de observar os frutos dos Jacarandás


O Jacarandá é uma árvore com origem na região do «El Chaco», que abrange o Sul da Bolívia, o Oeste do Paraguai, o Norte da Argentina e o Oeste do Brasil, sendo hoje muito cultivado em áreas urbanas pela beleza das suas flores, particularmente vistosas em Portugal entre Maio e Junho:

Fotografia de Eva Maria Blum

Classificado cientificamente como Jacaranda mimosifolia, pertence à família Bignoniaceae. Os seus frutos têm, durante alguns meses, uma cor verde:

Fotografia de Pedro Esteves

Só ao longo do Inverno assumem uma cor acastanhada, mantendo-se nas árvores até ao Inverno seguinte, pelo que é possível observar simultaneamente os frutos de duas épocas:

Fotografia de Pedro Esteves

Quando os frutos caem vêm abertos, parecendo castanholas, tendo no interior as sementes:

Fotografia de Eva Maria Blum

Fonte: Bingre & outros, coord. cient. (2007; p. 346); Travassos, coord. edit. (2009; pp. 72 e 102)

sábado, 5 de janeiro de 2019

[0157] Sobre o segundo Objectivo do Desenvolvimento Sustentável: erradicar a fome


Na mensagem «0080» foram genericamente apresentados os dezassete Objectivos de Desenvolvimento Sustentável que as Nações Unidas propuseram aos governos e aos cidadãos do mundo cumprir entre 2015 e 2030. E na mensagem «0154» foi apresentado o primeiro desses objectivos, “erradicar a pobreza”.

O 2º desses objectivos é:



“Objetivo 2: Erradicar a fome


Até 2030, acabar com a fome e garantir o acesso de todas as pessoas, em particular os mais pobres e pessoas em situações vulnerável, incluindo crianças, a uma alimentação de qualidade, nutritiva e suficiente durante todo o ano.

Até 2030, acabar com todas as formas de desnutrição, incluindo atingir, até 2025, as metas acordadas internacionalmente sobre nanismo e caquexia em crianças menores de cinco anos, e atender às necessidades nutricionais dos adolescentes, mulheres grávidas e lactantes e pessoas idosas.

Até 2030, duplicar a produtividade agrícola e o rendimento dos pequenos produtores de alimentos, particularmente das mulheres, povos indígenas, agricultores de subsistência, pastores e pescadores, inclusive através de garantia de acesso igualitário à terra e a outros recursos produtivos tais como conhecimento, serviços financeiros, mercados e oportunidades de agregação de valor e de emprego não agrícola.

Até 2030, garantir sistemas sustentáveis de produção de alimentos e implementar práticas agrícolas resilientes, que aumentem a produtividade e a produção, que ajudem a manter os ecossistemas, que fortaleçam a capacidade de adaptação às alterações climáticas, às condições meteorológicas extremas, secas, inundações e outros desastres, e que melhorem progressivamente a qualidade da terra e do solo.

Até 2020, manter a diversidade genética de sementes, plantas cultivadas, animais de criação e domesticados e suas respetivas espécies selvagens, inclusive por meio de bancos de sementes e plantas que sejam diversificados e bem geridos ao nível nacional, regional e internacional, e garantir o acesso e a repartição justa e equitativa dos benefícios decorrentes da utilização dos recursos genéticos e conhecimentos tradicionais associados, tal como acordado internacionalmente.

Aumentar o investimento, inclusive através do reforço da cooperação internacional, nas infraestruturas rurais, investigação e extensão de serviços agrícolas, desenvolvimento de tecnologia, e os bancos de genes de plantas e animais, para aumentar a capacidade de produção agrícola nos países em desenvolvimento, em particular nos países menos desenvolvidos.

Corrigir e prevenir as restrições ao comércio e distorções nos mercados agrícolas mundiais, incluindo a eliminação em paralelo de todas as formas de subsídios à exportação e todas as medidas de exportação com efeito equivalente, de acordo com o mandato da Ronda de Desenvolvimento de Doha.

Adotar medidas para garantir o funcionamento adequado dos mercados de matérias-primas agrícolas e seus derivados, e facilitar o acesso oportuno à informação sobre o mercado, inclusive sobre as reservas de alimentos, a fim de ajudar a limitar a volatilidade extrema dos preços dos alimentos.”

Parece que a concretização deste objectivo está a correr mal desde que os Objectivos do Desenvolvimento Sustentável foram formulados. O título de uma notícia recente, “Pelo terceiro ano consecutivo, há mais gente com fome no mundo”, não deixa dúvidas.
Com base no relatório anual sobre a Segurança Alimentar e Nutrição das Nações Unidas, relativo a 2017, este foi o terceiro ano consecutivo em que aumentou o número de pessoas com fome no mundo, estando nessa situação, naquela altura, 821 milhões de pessoas, uma em cada nove pessoas da população mundial: 515 milhões na Ásia; 256,5 milhões em África; e 39 milhões na América Latina e Caraíbas.

Segundo um outro relatório, da FAO (organização das Nações Unidas para a Alimentação e a Agricultura), “A variabilidade do clima, que afecta os padrões da chuva e as estações, bem como extremos climáticos como secas e inundações, estão entre as principais causas do aumento da fome, além dos conflitos e abrandamentos económicos”.

Há, no entanto, outras causas para o problema da fome, que também provocam mal-nutrição, nomeadamente a obesidade. No mundo, cerca de 672 milhões de adultos são obesos (13% do total), e a eles juntam-se 38,3 milhões de crianças com menos de cinco anos. Este problema é mais sentido na América do Norte, mas também está a aumentar na África e na Ásia, porque a comida nutritiva é aí mais cara, gerando, paradoxalmente, obesos.

Já em 2015 Eric Holt-Gimenez, da Organização Não Governamental «Food First», criticou o sistema alimentar mundial por estar dominado por monopólios, como o das sementes e dos fertilizantes, fazendo com que mais de dois terços dos agricultores … passem fome!

Fonte: notícia das agências Lusa e Reuters (2018); entrevista de Holt-Gimenez por Silva (2015)