[0167] O Jogo de Marienbad, uma variante do Jogo do Nim

No Verão passado sugeri que quem gostasse de jogar experimentasse na praia o Jogo do Nim (mensagem «0131»). E há dias referi uma sua variante, o Jogo de Marienbad (mensagem «0164»), muito conhecida por aparecer recorrentemente num dos filmes de Alain Resnais.

Tal como o Nim, trata-se de um jogo em que um dos jogadores possui uma estratégia ganhante, pelo que o seu interesse não reside tanto em jogá-lo, mas em compreendê-lo.

À partida existem 16 peças (pedrinhas, fósforos, moedas, …) dispostas sobre uma mesa, tal como se mostra a seguir (quatro filas com, respectivamente, 1, 3, 5 e 7 peças):

Alternadamente, os dois jogadores retiram uma ou mais peças de uma das filas, à sua escolha, desde uma a todas as peças dessa fila. Perde o jogador que retirar a última peça.

Este jogo também se pode jogar sobre uma folha de papel, onde são traçados riscos equivalentes às peças, que cada jogador, quando joga, vai cortando, em vez de tirar.

Para chegar empiricamente a uma estratégia ganhante pode-se começar por jogar diversas vezes (o que até se pode fazer contra si próprio) e anotar as posições sobre as quais se tem a certeza que conduzem a um desfecho certo.

Por exemplo, nas seguintes posições (as filas são sempre horizontais) o jogador a quem cabe jogar não conseguirá evitar a derrota, se o seu adversário souber jogar:

Um bom exercício: demonstrar esta afirmação por exaustão (isto é, analisando todos os casos).

Que outras posições deste género podem ocorrer numa partida do Marienbad?

E como transformar o conhecimento dessas posições numa estratégia ganhante?

A regra quem tira a última peça perde pode ser alterada para quem quem tira a última peça ganha: que consequências tem isso na estratégia ganhante?