[0073] Transformações geométricas para classificar os «frisos»

Recorrendo às transformações geométricas, os «frisos» correspondentes aos três exemplares de Rendas de Bilros referidos na mensagem «0070» mostram o que é comum a todos (a translação horizontal) e suas as primeiras diferenças.

Apenas conta com as translações (mas o comprimento do «vector» que define estas podem ser ± o dobro, ± o triplo, … do que está exemplificado abaixo):

Também é simétrico em relação a duas famílias de eixos verticais:

Também é simétrico em relação a um eixo horizontal e a duas famílias de eixos verticais:

[0072] Um padrão geométrico plano que só possui «rotação»

Na mensagem «0061» propus um fluxograma que permite identificar e classificar os padrões geométricos planos com que nos deparamos um pouco por todo o lado. Ele usa como critérios a existência ou não de uma translação, de uma reflexão e de uma rotação e é o seguinte, com algumas melhorias na apresentação e, no fim, com os exemplos até agora referidos neste blogue:

Além de exemplos para todos os grupos das famílias do «papel de parede» e dos «frisos» (a abordar em mensagens posteriores), falta um exemplo para o caso dos padrões «só com rotação». Aqui vai esse exemplo, uma peça da Moagem de Sampaio (concelho de Sesimbra), notando-se à direita e em baixo a sua ligação a uma correia de transmissão:

Imagem (pormenor): sítio da Câmara Municipal de Sesimbra

[0071] Nas vésperas do Dia Internacional da Música: um instrumento musical africano

O Dia Internacional da Música é celebrado em 1 de Outubro.

Ele foi proposta pelo músico Yehudi Menuhin (1916 – 1999) à International Music Council (IMC, fundada em 1949 pela UNESCO) e por esta instituída em 1975.

O seguinte Arco musical, ou Cítara de arco, foi recolhido pela missão antropológica de Moçambique entre 1936 e 1956 e está exposto em Plantas e Povos (exposição visitável no Museu Nacional de História Natural e da Ciência, em Lisboa):

Este tipo de arco distingue-se dos outros pelo facto do som ser produzido por fricção de uma vara sobre as incisões gravadas no arco de madeira.

Fontes informativas: sítio da International Music Council; exposição Plantas e Povos

Fotografia: Pedro Esteves (em 2017)

[0070] A longa diversificação dos «frisos»

Elemento decorativo

arquitectónico

da capela dedicada a S. Justo e

Pastor, dos finais do

século VII d. C. (período visigótico), provindo da Herdade de

Arranas / S. João dos Azinhais

(Torrão)

Renda de Bilros, característica das regiões litorais, e difundida intensamente em Portugal no século XVI.
As rendilheiras, mulheres dos pescadores, trabalhavam em casa

Fachada

Passeio    

Fotografias (fragmentos): Eva Maria Blum (capela e rendas, no Museu de Arqueologia e Etnologia do Distrito de Setúbal, em 2017; fachada e passeio, em Lisboa, respectivamente na Rua do Lumiar, em 2016, e na Baixa, em 2014)

[0069] O Homem e a Natureza: poderá só um deles sobreviver?

O grafitter Sérgio Odeith, partindo de uma fotografia histórica da cidade de Setúbal (uma entre todas as cidades), expressou assim a terrível tensão a que a luta pela sobrevivência pode conduzir:

Praça José Afonso (Setúbal),
fotografia de Eva Maria Blum (28 de Março de 2016)

A umas escassas duas centenas de metros de distância esta tensão está glosada deste outro modo:

Museu de Arqueologia e Etnologia do Distrito de Setúbal,

Fotografia de Eva Maria Blum (31 de Agosto de 2017)

[0068] Evolução do «record» mundial da corrida de 100 metros masculinos

Se pudéssemos colocar lado a lado as melhores corridas de 100 metros do norte-americano Donald Lippincott, do alemão-federal Armin Hary e do jamaicano Usain Bolt, os três estariam, no momento da chegada do vencedor, mais ou menos nas seguintes posições dos últimos 20 metros da pista:

Eis como estes últimos 20 metros seriam vistos no contexto de toda a corrida:

Bolt seria o primeiro a chegar, momento em que Hary estaria quase nos 96 metros e Lippincott ainda mal teria passado os 90 metros ...

Quase 10 metros de distância entre eles!

A explicação para que estas três corridas tenham sido comparadas está na seguinte tabela, onde se encontram registadas as sucessivas melhores corridas oficiais de 100 metros masculinos:

As diferentes cores de fundo nesta tabela correspondem a períodos em que duas melhores marcas consecutivas estão separadas por menos de 10 anos. Lippincott inaugurou o primeiro desses períodos; Hary foi um dos que ficou registado no segundo periodo; e Bolt foi, até hoje, o último a estar registado no terceiro período.

Quase 100 anos separam estas três corridas!

Quando Usain Bolt bateu o tempo do seu compatriota Asafa Powell, em 2008, tinha apenas 21 anos, e correu com um vento favorável de 1,7 metros por segundo (o limite admissível é de 2 m/s).

E quando, pouco mais de um ano depois, estabeleceu o actual melhor tempo de sempre, o vento era-lhe menos favorável: apenas 0,9 metros por segundo. E todos aqueles que derrotou nesta corrida não fariam pior que Armin Hary, se este também corresse, com o seu melhor tempo: Tyson Gay, norte-americano, fez 9,71 segundos; Asafa Powell fez 9,84 segundos; Daniel Bailey, de Antigua, e Richard Thompson, de Trindade e Tobago, foram quarto e quinto, ambos com 9,93 segundos; e os dois últimos cortaram a meta exactamente aos 10,00 segundos.

Na tabela, os três períodos estão separados por dois longos períodos em que não houve evolução das melhores marcas: o primeiro durou vinte anos (de 1936 a 1956) e o segundo durou quinze anos (de 1968 a 1983). O último destes períodos já leva mais de oito anos sem que um novo melhor tempo seja registado: daqui a quantos anos irá o próximo «record» mundial da corrida de 100 metros masculinos ser batido?

É absurdo não considerar a existência de um limite para a evolução das melhores marcas de qualquer prova atlética. No entanto, se observarmos o ritmo dessa evolução na corrida de 100 metros masculinos ainda não podemos sentir esse limite:

Que se terá passado com a corrida masculina dos 10 000 metros?

E com as corridas femininas dos 100 e dos 10 000 metros?

E com os saltos e os lançamentos?

E com a natação? E com …?

Que explica toda esta evolução?

Inspiração: Michael Guillen (1987).

Fontes: notícias do jornal «Público» (13 de Maio de 2006; 21 de Maio de 2006; 17 de Agosto de 2008 e artigos de Sogl (2008) e de Lopes (2009)

[0067] A exposição «Jogos matemáticos através dos tempos», no MUHNAC

Esta é uma das exposições de longa duração patente no Museu Nacional de História Natural e da Ciência, em Lisboa, que foi inaugurada em 2008 e, entretanto, parcialmente actualizada.

Mostra alguns jogos e quebra-cabeças antigos: o Stomachion (séc. III a.C.); o Pentalfa (séc. IV a.C.); o Ludus Regularis (séc. X); o Rithmomachia (séc. XI); o Ludus Astronomorum (séc. XIII); o Ludus Globi (séc. XV); o Metromachia (séc. XVI); o Ouranomachia (séc. XVI); duas versões do Icosiano (séc. XIX); e o Hex (séc. XX).

Mostra ainda vários outros jogos e quebra-cabeças para os visitantes experimentarem.

O quebra-cabeças Stomachion é devido a Arquimedes e é constituído por 14 peças planas que se pretende compor como quadrado. As duas figuras seguintes mostram uma das soluções para essa composição, mostrando a primeira como as peças podem ser desenhadas:

Um desafio interessante para alunos do ensino básico: determinar a área de cada uma das peças.

A próxima figura mostra a resposta, não o modo de lá chegar:

Fonte: sítio do Museu Nacional de História Natural e da Ciência e visita à exposição

Figuras: Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Stomachion

[0066] Alguns comentários prévios ao «Projeto de Autonomia e Flexibilidade Curricular», do Ministério da Educação

A flexibilização curricular, no contexto da autonomia das escolas, foi experimentada no Ensino Básico no início deste século, em todas as escolas portuguesas, durante quase uma década.

Depois de uma interrupção devida a uma mudança de política educativa, que introduziu as metas curriculares e muitos mais exames, ela vai agora ser retomada, alargando-se ao Ensino Secundário e assim abarcando todo o ensino obrigatório.

Quando ela começou a ser preparada, em meados da década de 1990, expressei as minhas reservas a alguns dos seus principais impulsionadores. Mas quando foi implementada fiz o possível para que tivesse sucesso. Apesar de este esforço ter sido partilhado por muitos outros professores, a primeira tentativa de flexibilização foi definhando, até ser travada e substituída pela outra política.

Em abstracto, a flexibilização curricular é interessante. No entanto as condições concretas desta nova tentativa, comparadas com as da anterior, apesar de uma ou outra melhoria, mostram sobretudo importantes motivos para preocupação:

(1) Aumentaram imenso as possibilidades de flexibilização: cada escola pode escolher partes importantes do currículo e organizar, a seu modo, o trabalho lectivo (ver, nos «Documentos», o Despacho nº 5908).

(2) As competências, que se supunha orientarem o trabalho dos professores durante a primeira tentativa de flexibilização, foram substituídas por um perfil do aluno, que se pretende seja atingido no final da escolaridade obrigatória (ver, nos «Documentos», o Despacho nº 6478).

(3) A principal origem para a perversão da primeira tentativa de flexibilização curricular, a avaliação para a classificação, continuará a marcar todo o trabalho lectivo, pois será lembrada no final de cada ano escolar e por cada exame.

(4) As experiências de aprendizagem, consideradas na primeira tentativa como indispensáveis para que as competências fossem desenvolvidas, e logo de seguida esquecidas por toda a gente, dentro e fora das escolas, desapareceram da segunda tentativa; mas elas são fundamentais, juntamente com as competências / perfil, pois fornecem aos professores das diferentes disciplinas uma linguagem comum, que lhes permite, gradualmente, entenderem-se e cooperarem.

(5) A primeira tentativa de flexibilização foi experimentada nalgumas escolas, escolhidas a dedo, e só depois, subitamente, generalizada; a generalização foi a segunda razão para a sua perversão; nesta segunda tentativa cada escola decide se entra ou não no primeiro ano (2017-18), supondo-se que só o fará se tiver equipas de professores motivadas para tal; mas nada é dito sobre o que acontecerá nos anos seguintes, isto é, sobre como enfrentar a perversão da generalização; não deverá esta ser feita apenas nos casos em que houver equipas motivadas? não deverão ser concebidas outras experiências, paralelas, que correspondam a outros interesses e necessidades de alunos e pais e a outras motivações dos professores?

(6) A autonomia das escolas era muito fraca aquando da primeira tentativa; agora não existe (dizem-no os directores das escolas); os professores foram entretanto manietados por toda a espécie de regras e burocracias, a maioria está profundamente desmotivada; portanto, metade do que está pressuposto na designação deste projecto é uma ficção.

(7) A opinião pública foi pressionada nos últimos anos no sentido de confundir a qualidade da educação com os seus resultados quantitativos mais primários (o dos exames e dos rankings das escolas e internacionais); este ambiente não irá favorecer que se trabalhe em função de os alunos atingirem o perfil que se deseja que atinjam no final da escolaridade obrigatória, mas sim que continuem a obter boas notas para acesso ao ensino superior.

(8) O próprio perfil (ver, nos «Documentos», o «Perfil dos Alunos»), tal como já aconteceu com as competências, é discutível; deverá poder mudar, em função de um debate público que não está prometido; de igual modo, não se sabe como irá ser feito o acompanhamento desta segunda tentativa de flexibilização.

Acesso aos documentos referidos: na página com este nome, clicar na pasta «Ministério da Educação»

[0065] Plantas que nos transformaram

(páginas 1 e 3)

(páginas 2 e 4)

Fonte (reprodução de folheto): Ferrão (2017)

[0064] Adivinhar um número usando tabelas (parte III)

A utilização de tabelas para adivinhar números naturais, como as referidas nas mensagens «0033» e «0062», exige que o «mágico» seja capaz de realizar mentalmente algumas operações, possivelmente rodeado por um público participante um pouco agitado.

Apenas no caso das tabelas na base 2 essas operações se restringem a adições. Nos casos das tabelas na base, na base 4, etc., também é necessário proceder a multiplicações.

Portanto, para qualquer das bases com que o mágico decida trabalhar, é prudente limitar o número de cartões a usar.

Conclui-se, empiricamente, que (as cores dos textos correspondem às dos números):

Verifica-se, também empiricamente, que o maior número natural adivinhável com N cartões é uma unidade inferior ao número mais baixo que figura no cartão N + 1 (por exemplo, na base 2, o 15 do 4º cartão é igual ao 16 do 5º cartão menos 1): cada novo cartão começa com o mais baixo número que não poderia ter sido adivinhado apenas com os cartões anteriores.

[0063] E como se garantiria que os fios-de-prumo da «Groma» estavam alinhados perpendicularmente?

O alinhamento de três fios-de-prumo da Groma (instrumento romano referido na mensagem «60») permitia que as paredes, os muros, as ruas e as estradas (e outros elementos arquitectónicos e urbanísticos) fossem traçados em linha recta.

Utilização da Groma

Mas este instrumento permitia ainda traçar perpendiculares a uma linha recta que já tivesse sido traçada, dispondo para tal de mais dois fios-de-prumo alinhados perpendicularmente aos primeiros.

A cruzeta de madeira que encimava a Groma garantia estes alinhamentos, pelo que se lhe pode colocar a questão: como seria ela fabricada para que os seus dois pedaços principais estivessem colocados perpendicularmente um ao outro?

Não sei.

Esta ignorância, parece-me, é um bom estímulo para nós próprios pensarmos num modo de resolver, hoje, este desafio (ou de o colocar aos nossos alunos …).

Depois de procurar na memória situações elementares em que agimos geometricamente, lembrei-me da seguinte: não dispomos de qualquer instrumento (régua e compasso seriam muito úteis), apenas de uma simples folha de papel; dobramo-la e vincamos a linha da dobra (obtemos assim uma recta); depois abrimos a folha e voltamos a dobrá-la, de modo a que a recta se dobre sobre si própria; e voltamos a abrir a folha (obtivemos uma recta perpendicular à primeira).

Não acredito que os romanos procedessem assim …

Fotografia: Eva Maria Blum (6 de Fevereiro de 2016, no Museu do Teatro Romano, em Lisboa)

[0062] Adivinhar um número usando tabelas (parte II)

A Magia (variante mais exigente da apresentada na mensagem «0033»):

O público que assiste escolhe um número natural, inferior ou igual ao mais alto número que figura num conjunto de cartões de que o mágico dispõe. Toda a gente sabe qual foi o número escolhido, excepto o mágico, que prometeu adivinhá-lo.

O mágico mostra então os seus cartões ao público, um de cada vez. E é-lhe respondido se o número escolhido «figura» ou «não figura» em cada um dos cartões e, caso figure, com que «cor».

Se o número limite for o «80», são precisos os seguintes 4 cartões (é possível descarregar uma sua versão em «word» a partir da página «Documentos» deste blogue):

Conhecendo as respostas do público, o mágico pode dizer qual foi o número escolhido …

O que o mágico faz (mentalmente):

Se o número escolhido pelo público não figurar num cartão, o mágico esquece esse cartão.

Se figura a azul, o mágico multiplica por «1» o número mais baixo desse cartão (é sempre o que figura em cima, á esquerda).

Se figura a vermelho, o mágico multiplica por «2» o número mais baixo desse cartão.

E vai soma mentalmente estes produtos.

Por exemplo, o público escolheu o «42»: ele não figura no primeiro cartão e figura a vermelho no segundo e a azul no terceiro e no quarto.

Então, mentalmente: 2 x 3 (segundo cartão) + 1 x 9 (terceiro cartão) + 1 x 27 (quarto cartão) = 42.

A explicação (matemática):

Quando escrevemos números naturais utilizamos, habitualmente, a «base 10».

Os cartões usados na mensagem «0033» utilizavam a chamada «base 2» (só podemos usar dois algarismos, o «0» e o «1»).

Desta vez os cartões utilizam a «base 3» (só podemos usar três algarismos, o «0», o «1» e o «2»); tal como nas outras bases, podemos escrever qualquer número natural nesta base. Desta vez como soma das seguintes parcelas (em que «k» é igual ou ao «0», ou ao «1», ou ao «2»):

k 3⁰ + k 3¹ + k 3² + k 3³ + k 3⁴ + k 3⁵ + …,

o que se percebe melhor assim,

1 k + 3 k + 9 k + 27 k + 81 k + 243 k + …

Como se chega ao «42» sem os cartões?

Começa-se pela maior daquelas parcelas que cabe em «42: é o «27 x 1» (k = 1).

Depois prossegue-se com a maior parcela que cabe no que sobra (42 – 27 = 15): é o «9 x 1» (k = 1).

E assim sucessivamente: 15 – 9 = 6 leva a escolher o «3 x 2» (k = 2). E como já nada resta, o processo acabou.

Então, 42 = 27 x 1 + 9 x 1 + 3 x 2.

Que fazer na escola (ou com o pessoal que estiver interessado):

Não é boa ideia entrar em processos expositivos e dedutivos (“estão a perceber onde está a Matemática, não é, então vejam como isso se aplica à magia …”).

Por um lado, experimentar a magia, e tentar melhorar todos os seus aspectos práticos.

Por outro, experimentar a compreensão da Matemática, por exemplo criando tabelas com a escrita dos números na base 3 e analisando porque é assim).

Por fim, ir estabelecendo pontes entre estes dois processos, de acordo com os conhecimentos, o estilo e o interesse de cada um …

Dois exemplos dos aspectos práticos:

Entre os ficheiros acessíveis a partir da página «Documentos» encontra-se um com cartões para a «base 3 (até 121)»; estes cartões não foram uma boa escolha, por causa do «121», fazendo com que os cartões sejam desequilibrados (nem sempre com a mesma quantidade de números); que cartões serão bons para cada base?

Um outro ficheiro acessível a partir da página «Documentos» tem cartões para a «base 4 (até 63)»; como deve o mágico usar estes cartões?

Inspiração: Atractor (2016)

[0061] Três famílias de padrões geométricos que encontramos nas cidades

As seguintes transformações geométricas planas conservam as formas e as dimensões das figuras às quais se aplicam, sendo por isso designadas por isometrias:

Os padrões geométricos planos com que nos deparamos nas cidades podem ser identificados e classificados usando estas três isometrias:

Exemplos de moldes de madeira usados para fazer a calçada portuguesa:

   Com rotação («rosácea») e com reflexão 

   Sem rotação, mas com reflexão

Se a aplicação destes moldes se repete, por translação, ao longo de uma rua, gera um «friso»; se se repete, por dupla translação, no plano de uma praça, gera um «papel de parede».

O mesmo se dirá de um azulejo que se repita numa só ou em duas direcções.

Fonte bibliográfica (da qual adaptei a fundamentação e, sobretudo, o fluxograma): Silva (2017)

Fotografias: Eva Maria Blum (em 23 de Julho de 2017, na exposição «Debaixo dos Nossos Pés», em Lisboa)

[0060] A «Groma», instrumento romano para traçar linhas rectas e linhas perpendiculares

Como terão começado a ser traçadas as linhas rectas e as linhas perpendiculares na construção das casas, das ruas, dos monumentos e das cidades?

Certamente terão sido inventadas várias técnicas. Os romanos usaram a Groma (palavra da qual deriva a agrimensura), um suporte vertical com cinco prumos de bronze, pendentes de um suporte em cruz, como se mostra na seguinte peça, idealizada e realizada por Marco Calado, Rui Inácio, Carlos Loureiro e Fernando Manteigas (e mostrada no Museu do Teatro Romano, em Lisboa), e de que o desenho junto sugere uma utilização:

Alinhar visualmente três fios de prumo garantia a sua linearidade: e como se garantiria que o outro alinhamento de três fios lhe era perpendicular?

Imagens: respetivamente, Pedro Esteves (23 de Julho de 2017, no Torreão Poente da Praça do Comércio) e Eva Maria Blum (6 de Fevereiro de 2016, no Museu do Teatro Romano), em Lisboa

[0059] Realidade, imagem, mistério: René Magritte

Escreveu René Magritte, pintor, belga (1898-1967):

“A minha pintura são imagens visíveis que não escondem nada; elas evocam o mistério. O mistério também não significa nada, é incognoscível.”

«La clef des champs / A Porta para a Liberdade» é uma das suas obras, datada de 1933 (e que se encontra no Museo Thyssen-Bornemisza, em Madrid):

Pretende-se sugerir a existência da liberdade para além da janela?

É ela uma ilusão fomentada pelas imagens que a representam?

Ou a uma pintura cria uma realidade com outras regras?

Fonte bibliográfica: Klingsöhr-Leroy (2005; pp. 62-65)

Fonte da imagem: www.wikiart.org/en (acedida em 22 de Maio de 2017)

[0058] «Eu Não Sou o Teu Negro»: se não conhecemos o outro, não mudamos

Quando algo está mal e precisa de ser mudado, poderá essa mudança acontecer sem que primeiro conheçamos os outros com quem vamos mudar?

Esta é uma das perguntas feitas por James Baldwin, intelectual negro americano, ao reflectir, entre 1979 e 1987, sobre as vicissitudes dos negros na sociedade norte-americana.

Cartaz do filme

I`m Not Your Negro: documentário que Raoul Peck concluiu em 2016, baseado em «Remember This House», um esboço de 30 páginas de James Baldwin

[0057] Boaventura de Sousa Santos: o desequilíbrio entre «regulação» e «emancipação

Boaventura de Sousa Santos chamou a atenção para que a complexidade do paradigma da modernidade tem sido distorcida a favor de um dos seus pilares, o da «regulação».

Na minha opinião, a educação, pressionada pela opinião social dominante, tem sido uma das formas de induzir os cidadãos mais novos nessa distorção.

Para aqueles que o quiserem possam pensar, aqui vão alguns excertos da posição deste empenhado sociólogo:

“O paradigma sócio-cultural da modernidade surgiu entre o século XVI e os finais do século XVIII, antes de o capitalismo industrial se ter tornado dominante nos actuais países centrais. A partir daí, os dois processos convergiram e entrecruzaram-se, mas, apesar disso, as condições e a dinâmica do desenvolvimento de cada um mantiveram-se separadas e relativamente autónomas.”

“O paradigma da modernidade é muito rico e complexo, tão susceptível de variações profundas como de desenvolvimentos contraditórios. Assenta em dois pilares, o da regulação e o da emancipação, cada um constituído por três princípios ou lógicas.”

Pilar da regulação:

o “princípio do Estado, formulado essencialmente por Hobbes”, “consiste na obrigação política vertical entre cidadãos e Estado”;

o “princípio do mercado, desenvolvido sobretudo por Locke e por Adam Smith”, “consiste na obrigação política horizontal individualista e antagónica entre os parceiros de mercado”;

o “princípio da comunidade, que domina toda a teoria social e política de Rousseau”, “consiste na obrigação política horizontal solidária entre membros da comunidade e entre associações”.

Pilar da emancipação, “constituído pelas três lógicas de racionalidade definidas por Weber”:

“a racionalidade estético-expressiva das artes e da literatura”;

“a racionalidade cognitivo-instrumental da ciência e da técnica”;

“a racionalidade moral-prática da ética e do direito”.

“Desde o início que se previra a possibilidade de virem a surgir excessos e défices, mas tanto uns como outros foram concebidos de forma reconstrutiva (...). Essa gestão reconstrutiva dos excessos e dos défices foi progressivamente confiada à ciência e, de forma subordinada, embora também determinante, ao direito. Promovida pela rápida conversão da ciência em força produtiva, os critérios científicos de eficiência e eficácia logo se tornaram hegemónicos, ao ponto de colonizarem gradualmente os critérios racionais das outras lógicas emancipatórias.”

Fonte bibliográfica: Santos (2002; pp. 46-48)

Fonte da imagem: blogue «Esencial o Menos» (de Juan José Guirado)

[0056] A criatividade que surge com a moleza de Verão …

Uma das memórias mais fortes que tenho dos tempos em que estive activo como professor diz respeito à disponibilidade da minha mente durante as férias de Verão: era um tempo em que não havia um dia de ontem, nem de hoje, e sobretudo amanhã não era dia. Estava com a mente completamente livre. E por isso me surgiam as mais diversas questões e hipóteses sobre o que me rodeava, que ia anotando num dos blocos de notas que sempre me acompanharam. E, mais tarde, à medida que me interessava pelo que tinha anotado, enfrentava galhardamente alguns dos desafios que me tinha colocado … e ia perdendo a memória sobre os restantes.

Agora isso não me acontece (tanto, nem especialmente no Verão), porque a minha actividade é mais homogénea ao longo de todo o ano.

Na mensagem «0046» figurava o seguinte problema, colocado no papiro de Rhind, escrito há mais de 3 500 anos: “Em sete casas há sete gatos. Cada gato apanha sete ratos. Se cada rato comer sete espigas, e se cada espiga semeada produzir sete alqueires, qual é a soma total?”

Este texto tem cinco frases, surgindo nas três interiores a palavra “cada”; admito então (não estando de modo nenhum certo disso) que na primeira frase, “Em sete casas há sete gatos”, não se quis dizer “Em cada uma de sete casas há sete gatos”.

Então, para o(s) autor(es) deste texto, cada gato seria faraó numa casa (tal como hoje):

Se cada (cada um dos 7) gato(s) apanhava 7 ratos, teríamos 7 x 7 ratos apanhados.

Se cada rato comia 7 espigas, teríamos 7 x 7 x 7 espigas comidas.

Se cada espiga produzia 7 alqueires, a produção seria de 7 x 7 x 7 x 7 alqueires.

Mas que quereria(m) o(s) autor(es) dizer com “soma total”?

Uma hipótese: ele(s) referir-se-ia(m)-se aos “alqueires”. Então a resposta seria 7 x 7 x 7 x 7 (ou 7⁴).

E outra hipótese: ele(s) quereria(m) somar todos aqueles números, para chatear todos os egípcios que tentassem resolver ao problema. Então a resposta seria:

(7) + (7 x 7) + (7 x 7 x 7) + (7 x 7 x 7 x 7)

Como ainda não havia exames obrigatórios no final de cada ciclo de escolaridade, duvido que fosse esta a solução esperada.

E se houvesse, talvez no papiro com as soluções viesse escrito:

(7 + 7³) x (1 + 7).

Imagem não identificada: estátua de gato, em bronze, do Egipto Antigo

[0055] A exposição «Pedras que Jogam»

A exposição «Pedras que Jogam», apresentada publicamente em 2004, veio lembrar-nos uma das vias populares pela qual os jogos se difundiram e praticaram.

O catálogo desta exposição, já referida na mensagem «0037», está acessível a partir da página «Outros documentos» deste blogue, onde também há acesso a outros ficheiros sobre «jogos de reflexão»:

A imagem da capa deste catálogo mostra-nos um tabuleiro do jogo Alquerque dos Doze (que será motivo de uma próxima mensagem).

Autoria do catálogo: Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa & Museu da Cidade da Câmara Municipal de Lisboa (2004)