[0037] O manuscrito «Libros de Ajedrez, Dados y Tablas» (século XIII)

O único original conhecido do «Libro de los juegos» (designação pela qual este manuscrito é habitualmente referido) encontra-se na Biblioteca do Mosteiro do Escorial, perto de Madrid, sendo composto por 98 páginas, encadernadas em pele de ovelha, com 42 x 30 cm, que incluem 150 ilustrações a cores.

Este manuscrito foi encomendado por Afonso X, o Sábio, rei de Castela, Leão e Galiza entre 1252 e 1284, sendo nele defendido (segundo o catálogo da exposição «Pedras que Jogam») que “Deus quis que os Homens fossem naturalmente alegres. Alegria que os levou a criar actividades e jogos para que pudessem sobreviver aos trabalhos e aborrecimentos do dia a dia.”

Um dos jogos nele referido é o Alquerque de 3, hoje conhecido por Jogo do Galo:

E um outro é o Alquerque de 9, já conhecido na Grécia Antiga, tendo plausivelmente sido através do comércio fenício que ele se difundiu pelo Mediterrâneo, de onde se espalhou por toda a Europa, tendo hoje os nomes de Mill ou Morris (no Reino Unido), Mérelles (em França), Morels (em Espanha), Mühle (na Alemanha), Molle (na Noruega) e Moinho (em Portugal):

Se o «Libro de los juegos» foi fundador da reflexão erudita sobre os jogos, é importante ter em atenção a via popular pela qual estes se difundiram e se praticaram. A exposição «Pedras que Jogam» deu-nos desta via o interessante testemunho dos tabuleiros gravados em pedra e utilizados publicamente durante centenas de anos, de que os seguintes são exemplos:

Tabuleiro no claustro da Igreja de Santa Maria da Oliveira, em Guimarães

Tabuleiro romano, encontrado nas escavações da cidade de Conímbriga

Fontes: Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa & Museu da Cidade da Câmara Municipal de Lisboa, para a citação e outras informações (2004; pp. 2 e 3) e para as imagens dos jogos em pedra (pp. 51 e 92); http://games.rengeekcentral.com/ (acedido em 10 de Abril de 2016), para as imagens do «Libro de los Juegos»

[0036] «Uma História do Mundo em 100 Objetos»

O British Museum foi desafiado pela BBC a escolher 100 objectos da sua colecção, que tivessem origem no mundo inteiro e que abrangessem a história humana, desde os seus começos, há dois milhões de anos, até ao presente. E, sobre cada um deles, realizar uma palestra radiofónica.

O que aconteceu ao longo de 2010, durante vinte semanas, correspondendo a cada uma cinco palestras.

E depois foi publicado o correspondente livro.

Nesse livro, a primeira das vinte partes foi intitulada “Fazendo de nós humanos (2 000 000 – 9 000 a.C.)” e o seu quarto objecto designado por “Renas nadadoras”:

Estas renas foram esculpidas numa presa de mamute por volta de 11 mil anos a.C., nos finais da Idade do Gelo. A peça tem cerca 20 centímetros de comprimento e foi encontrada na margem de um rio, num abrigo de rocha em Montastruc, em França. Por ser muito delicada, está guardada numa caixa de ar climatizado.

Neil MacGregor, director do British Museum, comentou assim o contexto do seu surgimento:

“Há mais ou menos cinquenta mil anos, algo notável parece ter acontecido ao cérebro humano. Pelo mundo fora, os humanos começaram a criar maravilhosos padrões decorativos, a fazer joalharia para enfeitar o corpo e a produzir representações de animais com os quais partilhavam o planeta. Faziam objetos destinados menos à mudança física do mundo do que a explorar a ordem e os padrões que nele podem ser observados. Em resumo, faziam arte.”

Fonte bibliográfica: MacGregor (2014; pp. 43-47)

Fonte da imagem: www.britishmuseum.org/explore/a_history_of_the_world/objects (em Janeiro de 2015)

[0035] Um painel de azulejos que é possível ver no Castelo de S. Jorge

Os seguintes azulejos de revestimento, executados segunda a técnica de aresta, são polícromos, têm motivos vegetalistas, geométricos, foram importados do Sul de Espanha na 1ª metade do século XVI e estão agora expostos na Exposição Permanente que está patente no Castelo de S. Jorge (Lisboa):

Fotografia: Eva Maria Blum

Eles são belos, só por si, e também são belos sob o ponto de vista da interpretação matemática que pode ser hoje usada para compreender a complexidade da sua concepção.

Qualquer azulejo de padrão (ver a definição de Eduardo Néry na mensagem «0011») pode ser interpretado como um padrão que sofre sucessivas translações (verticais e horizontais). Mas apenas num caso essa é a sua única propriedade matemática (ver um exemplo na mensagem «0016»).

Há outros casos em que o azulejo de padrão tem mais uma, e apenas mais uma outra propriedade matemática: ou só rotações, ou só simetrias axiais (ver exemplo na mensagem «0011»).

Neste painel de azulejos o padrão é constituído por um só azulejo (há exemplos em que o é por um grupo de azulejos):

Tal como em todos os outros casos de azulejo de padrão, a translação (horizontal e vertical) deste padrão gera todo o painel. Mas neste surgem, acumuladas, também as rotações (quatro famílias de centros para meias voltas: os pontos centrais dos azulejos; os pontos em que dois vértices de azulejo se tocam; e os pontos médios em que duas arestas de azulejo se tocam, ou verticalmente, ou horizontalmente) e as simetrias axiais (duas famílias verticais e outras duas horizontais):

[0034] Os desenhos na areia: cultura ou etnomatemática?

Paulus Gerdes (1952-2014), que já referi a propósito do conceito de etnomatemática (mensagem «0010»), descreveu num dos seus livros os «desenhos na areia» dos cokwe, um povo de caçadores que vive no nordeste de Angola, que também se dedica à agricultura e que é famoso pela sua arte.

Para que os jovens cokwe aprendam com a sabedoria dos mais velhos, estes traçam um sona na areia (assim são designados aqueles desenhos na língua local) e contam uma história. Uma dessas histórias (que toda a gente associará a uma outra da nossa cultura) é a seguinte:

“O galo Kanga e o raposo Mukuza pretendiam a mesma mulher. Pediram-na em casamento ao pai dela, que exigiu de ambos pagamento adiantado. Eles concordaram prontamente.

De repente, correu o boato de que a prometida havia falecido. Kanga rompeu num choro inconsolável, enquanto Mukuza apenas lamentava ter perdido o pagamento adiantado. Então o pai, que de propósito tinha espalhado o boato para ver quem merecia a sua filha, entregou-a ao galo, que revelou ter bom coração.”

Uma importante diferença entre uma «cultura» e as «etnociências» que ela pode encerrar, é que estas tendem a dividir a realidade em fatias, à semelhança do que acontece com as «ciências» na «civilização ocidental» (haverá então uma «etnociência» para cada «ciência»), enquanto que as «culturas» tendem a integrar diversos aspectos da realidade (a memória ética, os modelos interpretativos, …).

Sob um ponto de vista ocidental, este desenho tanto evoca a geometria (por exemplo, para o estudo das simetrias) como a topologia (por exemplo, para o estudo dos percursos numa cidade).

Referência bibliográfica: Gerdes (2013; p. 10)

[0033] Adivinhar um número usando tabelas

A Magia:

O público que assiste a este truque escolhe um número natural, inferior ou igual ao mais alto número que figura num conjunto de cartões de que o mágico dispõe. Toda a gente sabe qual foi o número escolhido, excepto o mágico, que o pretende adivinhar.

O mágico mostra então os seus cartões com números ao público, um de cada vez. E é-lhe respondido se o número escolhido «figura» ou «não figura» em cada um dos cartões.

Se o número limite for o «63», são precisos 6 cartões, que são os seguintes:

Conhecendo o «sim ou não» do público sobre cada cartão, o mágico pode agora dizer qual foi o número escolhido …

A explicação:

Qualquer número natural pode ser escrito como soma de uma ou mais das seguintes parcelas:

2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + …

ou

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …

Por exemplo, como escrever «37» desta forma?

Começa-se pela maior daquelas parcelas que cabe em «37»: é o «32».

Depois prossegue-se com a maior parcela que cabe no que sobra (37 – 32 = 5): é o «4».

E procede-se sempre assim até ao fim: neste caso basta adicionar a parcela «1».

Então, 37 = 32 + 4 + 1.

Há um cartão com os números que utilizam a parcela «1» (é aquele que tem o «1» em cima, à esquerda); outro para os que precisam da parcela «2» (é aquele que tem o «1» em cima, à esquerda); e assim sucessivamente.

O «37» figura então nos cartões dos números que têm em cima, à esquerda, o «1», o «4» e o «32».

O mágico apenas tem de adicionar os números que figuram em cima, à esquerda, dos cartões onde o público disser que o número escolhido figura.

Inspiração: Gardner (1991; pp. 109-110)

[0032] As ferramentas analógicas e digitais na construção do nosso conhecimento

Existe uma tendência recente para reduzir as ferramentas educativas às «digitais», confundindo-se assim a realidade com a novidade.

No Museu Botânico da Universidade de Coimbra, um museu ainda tradicional, podemos compreender porque foram as ferramentas analógicas tão poderosas durante tanto tempo:

Aveia comum (Avena sativa)

Amendoim (Arachis hipogaea)

E no Museu Monográfico de Conímbriga podemos compreender como actualmente se combina a eloquência das ferramentas analógicas com a irreverência das digitais:

Indo um pouco mais longe: será que, para além destas ferramentas, alguma vez poderemos prescindir da observação directa se quisermos compreender as coisas e as pessoas que nos rodeiam?

Fotografias: Eva Maria Blum

[0031] O papel central do Azulejador

A propósito da mensagem «0029»:

Houve uma época em que o Azulejador (ou Ladrilhador) era o principal responsável pela execução das obras de azulejo.

Segundo a investigadora Rosário Salema de Carvalho, o mais antigo regulamento conhecido desta profissão em Portugal data de 1608, tendo a sua capa o seguinte aspecto:

Regimento do Ofício de Ladrilhadores (1608)

E, acrescenta, há provas de que durante o período barroco (1675 – 1750) a cadeia operatória entre a «encomenda» e a «aplicação» do azulejo seria, frequentemente, a seguinte (a interpretação é minha):

Uma das preocupações do Azulejador, continua Rosário Salema de Carvalho, visava garantir a localização de cada azulejo no respectivo painel, para que o pintor os pintasse já nessa posição. Para tal, o Azulejador marcava no verso (ou «tardoz») dos azulejos a letra e o número correspondentes às suas posições (como num sistema de coordenadas matemáticas), acrescentando um sinal identificador do painel a que pertenciam.

Em 1985 o pintor Manuel Cargaleiro, pretendendo homenagear os Azulejadores, executou um painel de azulejos em que representou esta sua discreta mas central tarefa:

Composição de tardoz

Questões:

Haveria outras profissões que utilizavam sistemas de representação semelhantes? Desde quando o fariam?

E que inspiração mútua terá ocorrido entre esses sistemas de representação e o sistema de coordenadas matemáticas proposto por René Descartes (1596 – 1650) no seu «Discurso do Método» (1637)?

Curiosidades:

O sistema de notação algébrico usado no Xadrez baseia-se num sistema de coordenadas semelhante ao dos Azulejadores:

O mesmo acontece com o sistema usado para localizar ruas no mapa de uma cidade e com o sistema de notação usado no jogo da «Batalha Naval».

Apoio bibliográfico («pdf») para o texto e para a 1ª e a 3ª imagens: Carvalho (2015)

[0030] Denis Guedj (1940-2010)

Denis Guedj foi um dos mais conhecidos divulgadores da Matemática em França.

Em Portugal publicou «A Meridiana», onde descreve como Jean-Baptiste Delambre e Pierre Méchain mediram o comprimento do meridiano terrestre que liga Dunquerque e Barcelona para, dividindo-o por dez milhões, estabelecer o comprimento do «metro»:

Para Denis Guedj, a Matemática, mais do que ser encarada pelas suas «aplicações», deveria sê-lo pelas suas «implicações»:

Denis Guedj

[0029] Azulejos: a minúcia dos artistas que os colocam

Coimbra, Palácio dos Melos:

Parecem perfeitas e simples estas transições na escada e na curva:

No entanto, o artista que colocou estes azulejos teve de resolver problemas para que, aos nossos olhos, essas transições fossem perfeitas:

Pormenor da escada

Pormenor da curva

Fotografias: Eva Blum

[0028] Depressa: as Olaias, as Estevas e as Glicínias estão em flor!

Depois das Ameixoeiras, estão em flor, além de muitas outras e variadas plantas, as Olaias (Cercis siliquastrum), uma árvore, as Estevas (Cistus ladanifer), um arbusto, e as Glicínias (Wisteria sinensis), uma trepadeira.

   Para o deslumbramento visual, as Olaias: 19 de Março (2017)

Folhas e frutos: 13 de Junho (2013) 

  

     Para a observação minuciosa, as Estevas: 19 de Março (2017)

Folhas (muito viscosas) e flores (com e sem insectos): 19 de Março (2017)

Para prazer da vista e do olfacto, as Glicínias: 19 de Março (2017)   

Folhas e flores (19 de Março, 2017) e frutos (14 de Novembro, 2016)

As Olaias e as Glicínias fazem parte da grande família das Fabaceae, muito relevante sob os pontos de vista ecológico e económico (pelo alimento, matéria-prima e ornamento que proporciona).

As Estevas pertencem à pequena família das Cistaceae, constituída por arbustos e plantas herbáceas, muitas delas aromáticas.

Bibliografia: Bingre & outros, coordenadores (2007; pp. 52, 54, 193 e 304-305); Travassos, coordenador (2009; p. 41)

Fotografias: Parque da Paz (Cova da Piedade, concelho de Almada), por Eva Blum (Glicínias: vista panorâmica e cacho de flores) e Pedro Esteves (restantes)

[0027] O filme «Stefan Zweig – Farewell to Europe» (Stefan Zweig – Adeus, Europa)

Realizadora: Maria Schrader.

Argumentistas: Maria Schrader e Jan Schomburg.

Actores: Josef Hader (Stefan Zweig), Barbara Sukowa (Friderike Zweig, a primeira mulher), Aenne Schwarz (Charlotte Zweig, a segunda mulher)

Ano: 2016.

(um dos cartazes que publicita este filme)

Na década de 1930 a ascensão dos diversos fascismos na Europa leva muitos judeus a emigrar.

O escritor austríaco Stefan Zweig (1881 – 1942) é um deles. No entanto, às dificuldades decorrentes da condição de emigrado junta-se uma outra, a de ter assumido uma posição cívica particularmente exigente: está contra todas as guerras.

Abordou nas suas obras um grande número de personagens históricas, filosóficas e literárias, como Erasmo de Roterdão (1466-1536), Fernão de Magalhães (1480-1521), Michel de Montaigne (1533-1592), Maria Stuart (1542-1587), Giacomo Casanova (1725-1798), Maria Antonieta (1755-1793), Joseph Fouché (1759-1820), Friedrich Hölderlin (1770-1843), Heinrich von Kleist (1777-1811), Stendhal (1783-1842), Honoré de Balzac (1799-1850), Charles Dickens (1812-1870), Fiódor Dostoiévski (1821-1881), Hippolyte Taine (1828-1893), Liev Tolstói (1828-1910), Friedrich Nietzsche (1844-1900), Sigmund Freud (1856-1939), Romain Rolland (1866-1944) e Rainer Maria Rilke (1875-1926).

[0026] Retirar o colete sem retirar o casaco: de novo as magias topológicas

O mágico veste um colete e, sobre ele, um casaco, não abotoando nenhum deles.

Propõe-se então retirar o colete sem retirar o casaco …

Se o público for constituído por um grupo de jovens, como quando se apresenta este truque a uma turma, pode-se solicitar inicialmente dois voluntários, um para vestir o colete e o casaco e o outro para o ajudar a tirar o colete.

Quase inevitavelmente os voluntários falham, mas divertem os colegas com as tentativas inábeis e estimulam-nos a pensar com as tentativas argutas …

Cabe então ao mágico resolver, sem ajuda, o desafio que lançou:

Uma das mãos entra na correspondente abertura do colete:

Com a outra mão, ajuda essa abertura do colete a «engolir» o casaco:

Com a primeira mão ajuda essa abertura do colete a passar pela segunda mão e a «engolir» o resto do casaco:

Agora só falta retirar o colete através da segunda manga do casaco!

Inspiração: Gardner (1991; p. 105)

[0025] A nossa relação com as árvores: entre a estética e a curiosidade

Este ano as Ameixoeiras-de-jardim já começaram a dar flor, um pouco antes de surgirem as suas novas folhas (perdem quase todas durante o Inverno):

24 de Fevereiro (2017), Parque da Paz (Cova da Piedade / Almada), no Vale do Chegadinho

Uma das razões pelas quais estas árvores são ornamentais é o facto de as suas flores surgirem cedo, começando a afastar cedo a tristeza instalada pelo Inverno nas nossas ruas e parques:

    24 de Fevereiro (2017), Parque da Paz

Tal como muitas das plantas ornamentais que nos alegram, esta espécie veio de longe, do Cáucaso e da Pérsia:

2 de Abril (2014), Parque da Paz

Se os alunos saíssem das suas salas de aula para observar as plantas que rodeiam qualquer escola, saberiam que esta árvore pertence às Angiospérmicas, o grande grupo das plantas com flor, surgidas nos finais do Jurássico, há cerca de cento e sessenta milhões de anos, e que vieram trazer novas cores ao verde exclusivo das florestas existentes até então.

Saberiam também que esta árvore pertence a uma grande família, a das Rosaceae, onde também figuram, entre muitas outras, o Abrunheiro, a Amendoeira, a Amora (ou Silva), a Cerejeira, a Ginjeira, as Macieiras, as Pereiras, o Pilriteiro e as Roseiras:

1 de Maio (2012), Parque da Paz

Saberiam ainda que esta árvore é igualmente conhecida por Abrunheiro-de-jardim e que o seu nome científico (sempre em latim e em itálico) é Prunus cerasifera. E fariam perguntas como: de que modo nos chegaram estas árvores vindas de tão longe?

Bibliografia: Bingre & outros, coordenadores (2007; pp. 274-299); Pelt (2000; p. 54)

Fotografias: Eva Blum

[0024] A «Grande Vista de Lisboa», um painel de azulejos extraordinário

A Grande Vista de Lisboa é um painel de azulejos com 1,15 metros de altura e 22,47 metros de comprimento que pode ser observado no terceiro piso do Museu Nacional do Azulejo.

Terá sido produzido por volta de 1700, não havendo certezas sobre quem o encomendou nem sobre quem o pintou. Representa a cidade de Lisboa antes do terramoto de 1755, vista do rio (ou da sua outra margem), desde Algés, à esquerda (Poente), até Xabregas, à direita (Nascente).

Sabe-se que pertenceu ao Palácio dos Condes de Tentúgal, situado no largo de Santiago em Lisboa. Que, durante anos, guarneceu a parede maior do átrio de entrada do Museu Nacional de Arte Antiga. Que aí integrou uma exposição sobre azulejos, em 1947. E que, aquando da sua transferência para o convento da Madre de Deus, visando constituir o actual Museu Nacional do Azulejo, foram descobertas, ainda encaixotadas, as duas secções correspondentes aos extremos da «Grande Vista».

É possível identificar nele fortalezas, palácios, quintas, igrejas, conventos, mercados, fontes, moinhos de água, cruzes, … Ele também nos permite imaginar como seria o quotidiano de Lisboa no início do século XVIII, em particular junto ao rio, a partir do que as pessoas representadas fazem.

Três destas actividades seriam igualmente fortes na margem Sul do Tejo.

A construção naval (aqui na doca de Santos, cuja origens são desconhecidas e cuja desactivação ocorreu cerca de 1887):

A actividade num moinho de maré (cuja data de construção é desconhecida e que pode ter sido destruído pelo terramoto):

A pesca nos esteiros (aqui em frente ao Mosteiro de Nossa Senhora do Bom Sucesso, construído a partir de 1645 e que hoje subsiste com alterações):

Fontes para o texto:

Digital - Museu Nacional do Azulejo (sítio);

Bibliográficas - Museu Nacional do Azulejo (2007; p. 200 e 204)

Fotografias:

Eva Blum

[0023] A omnipresente e inapreensível música

Em 2008 foram encontrados na gruta de Hohle Fels, na região da Suábia (Alemanha), doze pedaços de uma flauta. Havia sido esculpida num osso de um abutre (da espécie Gyps fulvus) e, depois de reconstituída, tinha 21,8 centímetros de comprimento e 0,8 cm de diâmetro, com cinco orifícios para o posicionamento dos dedos e, numa das pontas, uma abertura em V, provavelmente para a saída do som.

Datada de cerca de 35 mil anos (o Paleolítico Superior situou-se entre os 40 mil e os 10 mil anos a.C.), passou a ser o mais antigo instrumento musical fabricado pelo homem, de que havia conhecimento, sendo os anteriores um grupo de 22 flautas datadas de 30 mil anos, descobertas na França, e uma flauta de aproximadamente 20 mil anos, descoberta na Áustria.

Fotografia de H. Jensen (Universidade de Tübingen)

Segundo um dos autores do artigo que divulgou esta descoberta (publicado na revista «Nature»), o arqueólogo Nicolas Conard, da Universidade de Tübingen (Alemanha), o que mais chamou a atenção da equipa que estudou esta flauta foi a sua semelhança com as flautas modernas.

George Steiner, professor de Literatura Comparada, observou, recentemente, que os três mitos gregos “que se debruçam sobre a origem e o impacto da música”, o mito de Orfeu e as lendas de Mársias e das Sereias, são profundamente enigmáticos. E pergunta: “O que acontece com a razão, com a nossa vontade, a nossa temperança psicológica e moral quando ouvimos música?”

E depois lembra “o profundo desconforto em relação à música na teoria política e na arte de governação do Platão da maturidade”: “A música é a força anárquica que subverte a razão humana e o domínio sobre si da psique. Por isso, ela constitui uma ameaça direta à disciplina moral e mental, indispensável à ordem privada e cívica.” Que o leva a propor (na «República» e nas «Leis») que a música se submeta aos fins políticos, tal como os modelos totalitários posteriores fizeram.

E no entanto … não se conhece uma única “comunidade humana onde não exista a música.” Ela é “perfeita”, “inútil”, “intraduzível”, misteriosa, “nem verdadeira nem falsa”. Ela cura ou inflama. “O modus operandi da experiência musical, a força vital da sua inutilidade, o domínio irrefreável que ela pode exercer sobre os nossos espíritos e corpos permanecem tão inapreensíveis quanto a própria música.”

Será que o medo de dar mais espaço à música na educação revela a tendência para o totalitarismo dos currículos e da organização escolar?

Fontes: Marcolini (2009), para a flauta; Steiner (2016; pp. 48-57), para os comentários sobre a música