[0290] Jogos para os quais há material em casa (VIII): o «Isola»

No dia 23 de Abril de 1991, há um pouco mais de 30 anos, o Celestino e o Rui jogavam assim, muito concentradamente, na Ludoteca da Escola Secundária José Afonso (ESJA): 

Esta fotografia é o primeiro anúncio do blogue de memórias sobre os 25 anos em que estive ligado à ESJA. Espero iniciá-lo dentro de algumas semanas.

Mas a que estavam a jogar o Rui e o Celestino?
Ao Isola!
Este jogo foi criado por Bernd Kienitz, em 1972, e é por vezes designado por Isolation. Envolve dois jogadores, joga-se sobre um tabuleiro com 6 x 8 casas e exige dois Peões de cor diferente e quarenta e seis marcas de uma terceira cor.
No início do jogo os Peões estão colocados na posição a seguir indicada, correspondendo cada um deles a um dos jogadores:

Depois de tirarem à sorte quem fará o primeiro lance, cada jogador, na sua vez de jogar, efectua obrigatoriamente duas operações:

·      primeiro, movimenta o seu Peão para uma das casas adjacentes da que ocupa (ou na horizontal, ou na vertical, ou em diagonal);

·      segundo, elimina uma das casas livres, colocando nela uma das quarenta e seis marcas (essa casa já não poderá vir a ser ocupada por qualquer dos Peões).

 

É objectivo de cada jogador impedir o adversário de movimentar o seu Peão, cercando-o com casas eliminadas e mantendo, ao mesmo tempo, casas livres para o movimento do seu próprio Peão.

Um ficheiro com as regras e o tabuleiro deste jogo já se encontram na pasta «Jogos de Reflexão» acessível através da página «Documentos» deste blogue: guarde-o, imprima o tabuleiro (ou desenhe um semelhante), arranje dois Peões e quarenta e seis marcas e … toca a jogar!

E, não se esqueça: dentro de algumas semanas haverá mais um blogue!

 

Fotografia: Pedro Esteves

[0289] Êxodos

John Steinbeck (1902 - 1968) precisou de cerca de cem dias para escrever o livro «As Vinhas da Ira» (publicado em 1939). O contexto da história que ele conta é assim resumido numa das edições em língua portuguesa:
“Na década de 1930, as grandes planícies do Texas e de Oklahoma foram assoladas por centenas de tempestades de poeira que causaram um desastre ecológico sem precedentes, agravaram os efeitos da Grande Depressão, deixaram cerca de meio milhão de americanos sem casa e provocaram o êxodo de muitos deles para oeste, rumo à Califórnia, em busca de trabalho.”

O documentário «Vinhas da Ira – O Fantasma da América Moderna», de Priscilla Pizzato, comenta o processo de escrita deste livro e lembra-nos que o êxodo nele descrito nem foi o primeiro, nem o último. Todos sabemos os êxodos que ainda hoje estão a acontecer, um pouco por todo o mundo, expondo aqueles que procuram sobreviver a uma indiferença, e por vezes a uma cruel exploração, pelos seus semelhantes.

Ver em: https://www.rtp.pt/play/p7914/e568917/the-grapes-of-wrath-the-ghost-of-modern-america

Fontes: livro de Steinbeck (2021, contracapa); documentário de Priscilla Pizzato (data desconhecida)
Imagem: RTP Play (acerca do documentário de Pizzato)

[0288] Progresso e estagnação no Salto com Vara

O estudo matemático dos máximos mundiais em provas desportivas está relacionado com o problema da previsão do limite para que esses máximos tendem, admitindo, como pressuposto, que o corpo humano é invariante.
O Salto com Vara, talvez a prova do Atletismo mais dependente da componente técnica, é, por esta razão, particularmente interessante.
Na história desta disciplina, a Vara começou por ser de Bambu (máximos mundiais, ao ar livre, desde os 4,02 metros, em 1912, até aos 4,77 metros, em 1942), depois teve dois breves períodos em que foi de Alumínio (4,78 metros em 1957) e de Aço (4,80 metros em 1960), sendo a partir daí em Fibra de Carbono (desde os 4,83 metros, em 1961, até aos 6,15 metros, em 2021).

Na tabela seguinte figura, para cada década, o período em que se verificaram máximos mundiais (coluna A), o correspondente número de vezes em que estes foram superados (B), o melhor resultado obtido (C), o progresso verificado em relação ao período anterior (D) e o tipo de Vara utilizado (E):

O atleta que mais vezes estabeleceu um máximo mundial, ao ar livre, foi o russo Sergey Bubka. Fê-lo por 17 vezes, desde os 5,85 metros, em 1984, até aos 6,14 metros, em 1994. Portanto, antes deste atleta, em cerca de duas décadas e meia com a Fibra de Carbono, o máximo mundial do salto com Vara tinha subido 105 centímetros; e, com Bubka, ao longo de dez anos, subiu mais 29 centímetros. Assim, pode-se arriscar a hipótese de a alteração do material da Vara ter proporcionado grande parte do progresso desde 1960 e de a excepcionalidade do atleta ter proporcionado o restante, a partir de 1984.
Já agora: o máximo de Bubka foi batido vinte e seis anos depois, em 2020, pelo jovem sueco Armand Duplantis, que lhe acrescentou mais 1 centímetro: é agora de 6,15 metros.

Neste blogue já foram abordados os seguintes casos de evolução das melhores marcas mundiais: no Atletismo (100 metros, masculinos, mensagem «0068»; 10 mil metros, masculinos e femininos, mensagem «0194»; Salto em Altura, masculinos, mensagem «0271») e na Natação (100 metros, masculinos, mensagem «0102»).

 

Fonte: sítio da Track and Field Statistics

Imagem: adaptada de http://auladehistorianaweb.blogspot.com/2016/08/salto-com-vara.html

[0287] A Matemática e as Ludotecas (III): qual o valor relativo das peças de Xadrez?

Lembro-me de num dos meus primeiros livros de Xadrez ter lido uma argumentação matemática para fundamentar o valor relativo que os jogadores habitualmente atribuem às peças deste jogo.

O início dessa argumentação era o seguinte: colocadas no centro do tabuleiro, sem os entraves resultantes da presença de outras peças, cada uma delas dispõe aí do seu número máximo de movimentos possíveis, a Dama com 27, a Torre e o Bispo com 14 e o Cavalo com 8:

Mas se estas peças se aproximarem dos bordos do tabuleiro, o seu número de movimentos reduz-se, excepto no caso da Torre. O seguinte mapa mostra o número de movimentos possíveis de cada uma delas a partir das 64 casas do tabuleiro (no caso do Bispo são apenas 32 casas, pois ele só se movimenta ou em casas brancas, ou em casas pretas):

Esta quantificação justifica um dos princípios que costumam ser ensinados aos jogadores principiantes: quase sempre, as peças colocadas no centro do tabuleiro são mais valiosas.

A partir daqui já não me recordo como prosseguia a argumentação matemática que li naquele velho livro de Xadrez. Talvez fosse parecida com a que se segue.
No tabuleiro em geral, o valor de cada peça pode ser traduzido pela adição dos movimentos possíveis nas 64 casas, que é igual a 1456 no caso da Dama, a 896 no da Torre, a 280 no do Bispo e a 336 no do Cavalo.
Agora, para transformar estes valores absolutos em importância relativa, pode-se dividir todos eles, sucessivamente, pelos mesmos divisores, até que todos os dividendos sejam inferiores a 10. Por exemplo:

Esta valorização relativa das peças é próxima daquela que é tradicionalmente ensinada no caso das duas peças mais fortes, e não tão próxima no caso das duas mais fracas: a Dama valerá 9, a Torre 5 e o Bispo, tanto como o Cavalo, 3, valores que oscilarão com as particularidades estruturais de cada jogo e com o potencial das peças (e dos Peões e dos Reis) à medida que o jogo se desenrola.

O raciocínio meramente quantitativo não explica as razões pelas quais o Bispo e o Cavalo são mais valorizados pela experiência do que pela argumentação que desenvolvi acima. Talvez seja suficiente dizer que estas duas peças têm maiores oportunidades para se movimentar quando as posições de jogo são mais fechadas. E que os Bispos têm uma grande facilidade em se articular com os seus Peões.
Este é um bom exemplo para mostrar que o «conhecimento» se origina na «experiência», e não na «ciência», sendo esta apenas uma das fronteiras em que o «conhecimento» é socialmente validado.

[0286] Mudar a Escola: uma reflexão de António Nóvoa

Os regressos às aulas são os mais importantes momentos para se pensar o futuro da Educação.
Vem pois a propósito a seguinte reflexão de António Nóvoa:

E agora, Escola?

Um novo ambiente educativo
Há muito tempo que a educação escolar revela sinais de fragilidade. Por vezes, ouve-se mesmo dizer que “as escolas do século XIX não servem para educar as crianças do século XXI”. Como reinventar o modelo escolar, tal como o conhecemos nos últimos 150 anos?
Correndo o risco de uma simplificação excessiva, recordo uma série de palestras que fiz no Brasil, há cerca de dez anos, nas quais recorri às metáforas do quadro-negro e do celular[= telemóvel] para comparar dois ambientes de aprendizagem.
O quadro-negro é um objeto vazio (precisa de ser escrito), fixo (não se pode mover) e vertical (destina-se a uma comunicação unidirecional). O celular é um objeto cheio (contém as enciclopédias do mundo), móvel (desloca-se conosco) e horizontal (facilita uma comunicação multidirecional).
Quer isto dizer que o quadro-negro é inútil? Não. Nada substitui uma boa lição. Quer isto dizer que, a partir de agora, tudo será digital? Não. Nada substitui um bom professor.
Precisamos de construir ambientes educativos favoráveis a uma diversidade de situações e de dinâmicas de aprendizagem, ao estudo, à cooperação, ao conhecimento, à comunicação e à criação. Nesse sentido, a metáfora do celular é mais inspiradora do que a metáfora do quadro-negro.

Reações à pandemia
Em educação, a covid-19 não trouxe nenhum problema novo. Mas revelou as fragilidades dos sistemas de ensino e do modelo escolar. O que era assunto de debate entre especialistas passou a interessar toda a gente, sobretudo as famílias confinadas com os seus filhos que, de repente, se transformaram também em seus “alunos”.
Como têm sido as reações à pandemia?

Os governos têm sido imprudentes e até insensatos. Devemos reconhecer o esforço para manter uma certa “continuidade educativa”, com resultados aceitáveis para as classes médias, mas desfavoráveis para as classes populares. Todos referem que o recurso ao digital provoca ainda mais desigualdades, mas pouco, ou nada, tem sido feito para ultrapassar esta situação.
Muitas instituições, e também universidades, sobretudo públicas, ficaram bloqueadas numa discussão inútil sobre o uso ou desuso do digital e do “ensino remoto”. Outras, sobretudo privadas, transformaram o digital no novo Deus da educação. São dois disparates, do mesmo tamanho, ainda que de sinais contrários.
O melhor foram as reações de muitos professores que, em condições dificílimas, conseguiram inventar respostas úteis e pedagogicamente consistentes, através de dinâmicas de colaboração dentro e fora das escolas. A Unesco identificou e divulgou essas experiências, que constituem uma base importante para repensar o ensino e o trabalho docente.

E agora?
Alguns, advogam um “regresso à normalidade”, opção impossível e indesejável. Libertaram-se energias que não conseguimos colocar de novo dentro da caixa. E, de todas as formas, não seria desejável voltar a rotinas desinteressantes.
Outros, aproveitam a oportunidade para explicar que “tudo vai mudar”, rapidamente, com a desintegração das escolas e a transição para o digital. Na verdade, esta solução já era defendida, pelo menos desde a viragem do século, em discursos de “personalização” das aprendizagens, cientificamente legitimados pelas neurociências e com recurso à inteligência artificial.
Não me revejo nessas opções. Defender o imobilismo da “normalidade” é o pior serviço que podemos prestar à educação pública. Sustentar o confinamento, para sempre, da educação em espaços domésticos ou familiares seria abdicar de uma das mais importantes missões da escola: aprender a viver com os outros.
Acreditar que nada vai mudar ou que tudo vai mudar rapidamente são duas ilusões igualmente absurdas. Em educação, as mudanças são sempre longas, fruto do trabalho de várias gerações.
O recurso ao digital não é inocente, pois este “meio” influencia o acesso e a organização do conhecimento. Para além disso, o seu uso público é condicionado por ser controlado pelas grandes empresas privadas. Torna-se urgente assegurar o acesso de todos ao digital e valorizar o software livre, universal e gratuito. Mas a questão essencial nunca é sobre os instrumentos, é sempre sobre o sentido da mudança.

O sentido da mudança
Duas perguntas principais marcam o ritmo das interrogações pedagógicas do nosso tempo: como construir um ambiente educativo estimulante? Como entrelaçar o trabalho educativo dentro e fora das escolas?
À primeira pergunta responde-se com a metáfora da biblioteca. O novo ambiente escolar será parecido com uma grande biblioteca, na qual os alunos podem estudar, sozinhos ou em grupo, podem aceder e construir o conhecimento com o apoio dos seus professores, podem realizar projetos de trabalho e de pesquisa… A pandemia mostrou que não se aprende apenas através de aulas.
À segunda pergunta responde-se com a metáfora da cidade. Há 50 anos, uma geração notável de educadores construiu duas utopias: a educação faz-se em todos os tempos e em todos os espaços. A primeira, deu lugar à educação permanente, à educação ao longo da vida, que se tornou o mantra dos discursos e das políticas. A segunda, ficou largamente por cumprir, até que a pandemia mostrou que não se aprende apenas dentro das escolas. A educação faz-se em todos os espaços, na cidade.
Nas mãos de professores e alunos, com sensibilidade e tato pedagógico, o digital pode ser um instrumento importante para apoiar as mudanças necessárias na educação e no ensino.

E as universidades?
Quando era reitor da Universidade de Lisboa perguntaram-me onde estava o futuro das universidades. Respondi: na educação básica, no reforço de uma educação pública de qualidade para todos. Sem isso, dificilmente teremos boas universidades.
Mas é preciso fazer também a pergunta inversa: onde está o futuro da educação básica? A minha resposta é simples: está, em grande parte, nas universidades, porque são elas que formam os professores, porque são elas que têm a “massa crítica” necessária para reforçar a educação como bem público e bem comum.

Os problemas educativos, agora expostos com nitidez pela pandemia, não são novos. Estamos, sim, a assistir a uma aceleração da história. Os próximos tempos vão ser marcados por mudanças profundas. Hoje, mais do que nunca, precisamos de universidades com grande autonomia e liberdade, com espírito crítico, comprometidas com a inovação pedagógica e o reforço do espaço público da educação. É por aqui que passa grande parte do futuro das sociedades do século XXI.

Fonte (texto e fotografia): https://jornal.usp.br/?p=347369, no portal da Universidade de São Paulo (aí publicado em 19 de Agosto de 2020)

[0285] Um objecto que nos recorda a Rota da Seda

Neil MacGregor resume deste modo as mudanças que ocorreram no mundo entre 400 e 800 depois de Cristo:
“A Rota da Seda, da China ao Mediterrâneo, teve o seu auge entre os anos 500 a 800, o tempo da chamada Idade das Trevas na Europa Ocidental. Esta rota comercial ligava a renascida dinastia chinesa de Tang e o recém-formado califado islâmico, que irrompera na Arábia e conquistara o Médio Oriente e o Norte de África com espantosa rapidez. Não foram apenas pessoas e bens que transitaram pela Rota da Seda, mas também ideias. O budismo espalhou-se da Índia à China e mais além, ao novo reino da Coreia. Os produtos do Sul da Ásia chegaram à remota Grã-Bretanha, como se pode ver pelas gemas encontradas em Sutton Hoo. Ao mesmo tempo, mas isoladamente, floresciam os primeiros Estados na América do Sul.”
Dos cinco objectos do British Museum que seleccionou para ilustrar este período da nossa história, eu escolhi uma pintura sobre madeira que nos recorda a Rota da Seda.

Aquilo que se designa por Rota da Seda era uma rede de caminhos, com seis mil quilómetros de comprimentos, que ligava o Pacífico ao Mediterrâneo.
No século VII o reino de Khotan, situado na Ásia Central, era um ponto de reabastecimentos da Rota da Seda e, ele próprio, um grande centro do fabrico de seda.
E foi num santuário budista de Khotan que foi encontrada, no século XIX, esta pintura:

Ela foi pintada sobre uma prancha rugosa, com o tamanho de um teclado de computador, a preto e branco, com retoques a azul e vermelho, e foi feita para ajudar a contar uma história sobre a Princesa da Seda, que se encontra figurada no centro. Segundo o que essa história conta, esta princesa vivia na Reino da Seda e iria casar com o rei do Reino do Jade e, para poder levar consigo o segredo da produção da seda sem desagradar ao seu pai, escondeu sob o seu penteado os bichos-da-seda, os casulos e as sementes de amoreira.
Enfim, uma lenda que ajudou a poupar os verdadeiros autores de uma das mais importantes transferências de tecnologia da História …

As anteriores mensagens baseadas em Uma História do Mundo em 100 Objetos foram a «0036», a «0042», a «0045», a «0046», a «0048», a «0049», a «0052», a «0098» e a «0246».

 

Fonte (texto): livro de MacGregor (2014; pp. 287 e 311-315)
Imagem: https://www.bbc.co.uk/programmes/b00sl6f0

[0284] O imbróglio que actualmente une currículos e organização escolar

Nos últimos 20 anos as nossas escolas foram alvo de mudanças profundas e sistémicas.
O seguinte diagrama, mais os respectivos comentários, talvez ajudem a compreendê-las:

O nosso sistema educativo sempre foi centralizado. Mas, sobretudo nos últimos 20 anos, essa centralização foi reforçada através da hierarquização, que se estendeu desde o nível internacional, passando pelo nacional e o municipal, até ao nível de cada escola.

Qualquer das reformas educativas posteriores a 1974 foi, após a respectiva fase experimental, generalizada sem diversidade. Se actualmente se reconhece que os currículos podem ser concretizados flexivelmente, isso não é a mesma coisa que concretizados diversamente. E a organização das escolas é tão mais hierarquizada como antes do 25 de Abril.

A avaliação tem sido aplicada a tudo e a todos: primeiro foi-o aos alunos do Secundário, depois aos alunos do Básico, aos professores e às escolas. Ela pressupõe que o sucesso é cognitivo, quantitativo e ordenável. E nunca discute o modelo qualitativo em que se baseia, o do currículo oculto dos conservadores: o individualismo e a concorrência.

É neste currículo oculto que os alunos, e futuros cidadãos, vão sendo embrulhados. Ele corresponde a um modelo uniforme de sucesso, o dos alunos identificados pelo seu domínio cognitivo e pelo seu potencial para a economia vigente, a da competitividade. Como consequência, o professor não pode existir enquanto profissional: deve limitar-se a ser cumpridor e bom funcionário.

 

É esta a educação escolar que queremos?
Quais são as alternativas?
E como lá chegar?

 

Fonte: vídeo «Os últimos 40 anos na educação vistos por um professor» (Esteves, 2021)

[0283] A courela que nos cabe

Se dividirmos o espaço que é cultivado em todo o mundo pelo número de habitantes do nosso planeta, a cada pessoa corresponderão cerca de 2000 m²:

E se o meu talhão de 2000 m² estiver cultivado da mesma forma que todos os outros, ele incluirá as seguintes parcelas:
(1) Trigo, (2) Milho, (3) Arroz, (4) Outros cereais, (5) Oleaginosas, (6) Soja, (7) Algodão, (8) Nozes, (9) Fruta, (10) Feijões, (11) Fibras, (12) Legumes e (13) Batatas, cebolas, cenouras, ...

Claro que as coisas nunca são tão simples.
Entre muitos outros aspectos a considerar, podemos considerar estes:

Quase toda a gente também come carne. E para alimentar cada par de porcos é necessário reservar-lhes um espaço agrícola semelhante ao figurado acima:

E muita gente está habituada a andar de automóvel. Se quisermos produzir biocombustível, cada 2000 m² permitem-nos conduzir, num carro normal, durante 3 400 quilómetros:

Mas nem todos temos preocupações de justiça social, pelo que ignoramos o facto de a Europa, que é rica e possui terras férteis, importar cerca de um terço do produto das terras aráveis que consome:

Fonte (ideia, números e desenhos): sítio desenvolvido pelo «Botanischer Volkspark», de Berlim (https://www.2000m2.eu/), que inclui uma versão (parcial) em português; a chamada de atenção para este sítio foi-me feita por Michael Katzenbach, que também desenvolveu, com Christa, Kerstin e Michael Vonderbank, uma proposta de trabalho sob o ponto de vista da Matemática (acessível em https://www.die-mueden.de/mued-material/lager/abdm/ab-20-08.pdf)

Nota: nalguns dicionários a palavra «courela» vem definida como uma antiga medida agrícola com 100 braças de comprimento e 10 de largura

[0282] Uma magia para a família e os amigos, quando estiverem sentados à mesa de uma esplanada

Nesta magia podem ser usadas três moedas iguais. Mas a versão apresentada a seguir usa três grandes cartões, também iguais, cada qual com um «coelho» numa face e uma «cartola» na outra.

Depois de mostrar ambas as faces dos cartões ao público, o mágico pede a um espectador que os coloque lado a lado, colocando à vista as faces que preferir. Por exemplo, estas:

Depois de agradecer ao espectador a sua ajuda, o mágico vira-se de costas para os cartões e pede novos voluntários para virem, um de cada vez, virar a face de um dos cartões, à sua escolha, ou de «coelho» para «cartola», ou de «cartola» para «coelho».
Quando não houver mais voluntários interessados nesta colaboração, o mágico pede a um último voluntário que tape um dos cartões, à sua escolha, anunciando então que irá adivinhar se a face visível deste cartão é «coelho» ou «cartola».

Como procede o mágico?
Antes de se virar de costas para os cartões, o mágico conta quantas «coelhos» estão à vista.

Depois, conta quantas mudanças de faces foram feitas pelos voluntários.

E adiciona os dois números, verificando se a soma é «par» ou «ímpar».

Que hipóteses tem o mágico a considerar?
Só podem estar à vista as seguintes quatro combinações de cartões e qualquer delas só pode ser mudada para uma das combinações vizinhas:

Se a soma dos números calculada pelo mágico for «par», havendo um só «coelho» inicialmente, então: ou continua a haver um só «coelho», ou passou a haver três.
E se a soma for «ímpar», ou há dois «coelhos», ou não há nenhum.

Como esta conclusão parece ser «fraca», o mágico prefere enunciar uma conclusão «forte»: adivinhar a face do cartão tapado pelo último voluntário.
O raciocínio do mágico é semelhante em todos os casos. Exemplo: havia inicialmente um «coelho» e duas «cartolas»; o número calculado pelo mágico é «par»; então deverá haver ou um ou três «coelhos»; se não estiver nenhum visível, a face que foi tapada é «coelho»; se estiver um só «coelho visível», a face tapada é «cartola»; e se estiverem dois «coelhos» à vista, a face tapada também é «coelho».

Boa sorte para os candidatos a mágico!

Inspiração: livro de Gardner (1991; pp. 75-76)

[0281] Na praia ou na montanha: cinco teoremas que ajudam a resolver o Kakuro

As regras do Kakuro são muito simples (ver a mensagem «0182»). Consoante a dimensão escolhida, a sua resolução pode demorar entre alguns minutos e duas ou três dezenas de minutos.

E há sempre novos casos disponíveis, por exemplo em https://www.kakuros.com/.

As ferramentas mestras para a resolução de um Kakuro são a lógica e a combinatória. Mas elas aliam-se de diversas formas para ir resolvendo cada caso. Podemos chamar teoremas a essas alianças.

Um dos mais simples pode ser chamado teorema do cruzamento do «7 + 9» com o «8 + 9».
O cruzamento referido junta a «soma 16 com duas parcelas» (que só pode resultar de «7 + 9») e a «soma 17 com duas parcelas» (inescapavelmente resultante de «8 + 9»).
Na figura seguinte mostra-se, primeiro, um desses cruzamentos; depois a óbvia solução (o «9» é o único número comum às duas somas); e, por fim, as consequências práticas que se podem tirar deste cruzamento:

Com estas mesmas características há o teorema do cruzamento do «1 + 2» com o «1 + 3», sendo o «1» a respectiva solução.

Ligeiramente mais exigente é o teorema do número mínimo exigido e igual ao número máximo disponível.
Na figura, a «soma 3» só proporciona as parcelas «1 + 2»; ora a parcela «1» é insuficiente (pois as outras duas parcelas não podem somar «18»), pelo que é forçoso usar a parcela «2». O que, neste caso, permite deduzir vários outros números nas redondezas:

O teorema duas vezes «7 + 9» mais uma vez «8 + 9» pode passar desapercebido aos mais inexperientes.
Na figura, a «soma 26» cruza duas somas «7 + 9» e uma soma «8 + 9». Como estas três somas só podem ser constituídas pelas parcelas «7», «8» e «9», então a «soma 26» tem de as incluir, sendo a parcela «8» apenas atribuível à «soma 17». Tendo-a escrita, é possível, por dedução e experimentação, chegar a bastantes mais números situados nas proximidades:

São semelhantes a este o teorema uma vez «7 + 9» mais duas vezes «8 + 9», o teorema duas vezes «1 + 2» mais uma vez «1 + 3» e o teorema uma vez «1 + 2» mais duas vezes 1 + 3».

O teorema das N parcelas ladeadas por N + 1 parcelas é particularmente subtil.
Na figura, a «soma 17» (3 parcelas) está ladeada pela «soma 26» (4 parcelas). Então, estas sete parcelas somarão «43». Se subtrairmos a «43» as três somas verticais, «16», «3» e «17», restará «7», que só pode ser a parcela mais à direita!

A aplicação do teorema das parcelas pré-definidas está normalmente associada à mobilização de outros teoremas.
No exemplo figurado, a «soma 37» é atravessada pelas somas «24», «23», «17» e «16». Ora estas somas são exclusivamente constituídas pelas parcelas «6», «7», «8» e «9». Então estes números terão de figurar na «soma 37», garantindo-lhe uma «sub soma 30». Pelo que as somas «7», «3» e «6» terão de contribuir com a «sub soma 7». Ora cada uma destas somas resulta de uma combinação única de parcelas, respectivamente «1 + 2 + 4», «1 + 2» e «1 + 2 + 3»). Pensando um pouco, a parcela «4» só pode estar incluída na «soma 7».
Depois, na «soma 19» situada mais acima (existe outra mais abaixo), é exigido que figure a parcela «2» (de acordo o segundo teorema). A partir daqui muitos outros números nas proximidades se deduzem com facilidade:

[0280] Um projecto interturmas (ou interescolas): as viagens!!!

As viagens fazem parte da história humana.
Estudá-las e compará-las pode ser um excelente desafio para as turmas do mesmo ano de uma mesma escola, ou de diferentes escolas …
Porque foram essas viagens realizadas? Como foram elas preparadas, que terá acontecido durante a sua realização, que consequências tiveram? E como chegaram ao nosso conhecimento?

Ao longo de gerações, sucessivas vagas de Homo sapiens saíram de África, expandindo-se pela Europa e pela Ásia, e daqui para as Américas.
Alguns ramos desta expansão foram capazes de colonizar as muitas e dispersas ilhas dos diversos mares, nomeadamente, pelos polinésios, as do Oceano Pacífico.

As viagens melhor documentadas foram as que puderam ser registadas pela escrita, mesmo que tenham sido realizadas antes de esta existir. Foi o caso da Odisseia, um poema épico atribuído a Homero, resultante de uma tradição oral elaborada ao longo de séculos e fixada, provavelmente, no fim do século VIII antes de Cristo. Nele se descreve o regresso a Ítaca de um dos heróis da guerra de Tróia, Ulisses:

A Odisseia desenhada por Enric Sió
(fragmento da primeira página «Ulisses o Navegador», Publicações Dom Quixote, 1981)

Com o desenvolvimento do comércio a longa distância, surgiram viagens que cruzavam regularmente a Ásia e a África, de que a Rota da Seda é um exemplo.

As Viagens de Marco Polo (século XIII) e a Peregrinação, de Fernão Mendes Pinto (século XVI), descrevem-nos as incertezas envolvidas nos contactos com geografias e com povos desconhecidos. Contactos que, gradualmente, se estavam a transformar em registos para acção no presente e para memória futura.

Exemplos mais amadurecidos desta dupla tendência foram, já nos finais do século XVIII, a mediação do meridiano terrestre entre Dunquerque e Barcelona (mensagem «0225») e as Viagens Philosophicas realizadas ao interior do Brasil (mensagem «0242»): em ambas, os objectivos científicos e os objectivos políticos se encontraram claramente misturados.

Muito diferentes foram as viagens conhecidas por Grand Tour, iniciadas na Grã-Bretanha do século XVIII e realizadas pelos jovens adultos das famílias ricas, que, durante um ou mais anos, procuravam conhecer as origens culturais da Europa e contactar com as elites dos países situados mais ao Sul:

Aguarela de Wolfgang Goethe
(vista de S. Pedro, Roma)

Não faltam as viagens célebres realizadas ao longo da História.
Mas também não faltam as viagens tristemente conhecidas devido às perseguições e à guerra (ver mensagem «0048»), aos desastres naturais e aos desastres económicos, como aquelas que hoje podemos testemunhar nas fronteiras da Europa.
E se os nossos jovens pudessem confrontar o prazer e a dor, o deslumbramento e o receio que todas estas viagens causaram?

[0279] Uma nova lei: a da frequência de visitas numa cidade

Sendo compreensível que as pessoas que vivem mais próximas de um determinado local o visitem mais frequentemente do que as pessoas que dele vivem mais afastadas, não se sabia, até há pouco tempo, como traduzir esta diferença em termos matemáticos.

Visando obter dados empíricos que lhe permitissem superar esta lacuna, uma equipa internacional procedeu à recolha de informações sobre as deslocações das pessoas em diversas cidades do mundo. Segundo Markus Schläpfer, um dos investigadores, pretendia-se saber quantas pessoas se deslocavam a um dado local vindas de diversas distâncias (por exemplo: um, dois, dez quilómetros), e também saber quantas vezes o faziam por mês (por exemplo: uma, duas, dez vezes).

A conclusão quantitativa a que essa equipa chegou pode ser descrita assim:
(a) Se a distância a que os visitantes estiverem do local a visitar duplica, o número dos que decide fazer a visita é dividido por 4 (2 ao quadrado);
(b) E se a frequência das visitas duplica, o número dos que as realizam também é dividido por 4.
Exemplificando. Se tiverem sido contabilizados 400 visitantes, uma vez por mês, ao local considerado, todos vindos de uma distância de 10 quilómetros, então pode-se prever com segurança que:
(a) 100 pessoas que vivem a 20 quilómetros desse local o irão visitar uma vez por mês
(b) 100 outras pessoas que vivem a 10 quilómetros desse local, tal como as contabilizadas no exemplo, o irão visitar não 1 mas sim 2 vezes por mês.

Segundo os investigadores, a conclusão deste estudo tem diversas implicações práticas: no planeamento urbano, na engenharia relacionada com os transportes e … no combate à propagação de epidemias.

Como se podem escrever matematicamente estes resultados?
Retomando o exemplo dado (base: 400 visitantes vindos de uma distância de 10 quilómetros fazem a visita uma vez por mês):
(a) Nº de visitantes a 2 x distância com igual número de visitas = 400 : 2² = 100;
(b) Nº de visitantes com 2 x nº de visitas vindos de igual distância = 400 : 2² = 100.

E se forem alterados, simultaneamente, a «distância» e o número de visitas?
Exemplificando com a mesma base:
Nº de visitantes a 2 x distância e com 2 x nº de visitas = 400 : (2² x 2²) = 25.

Escrevendo esta conclusão de um modo mais abstracto:

,

sendo F (d; n) o número de visitantes que, provindos da distância d, visita n vezes o local e V o número de visitantes que, no mesmo espaço de tempo, visita uma vez o local vindo da distância que for considerada unitária (e em relação à qual se mede a distância d).

 

Fontes: artigo jornalístico de Serafim (2021); e resumo do artigo científico original (The universal visitation law of human mobility | Nature)

[0278] Jogos para os quais há material em casa (VII): o Jogo do Soldado

Este jogo era conhecido no Império Romano por Ludus Latrunculorum. Tem, entretanto, sido traduzido por Jogo do Soldado, Jogo do Mercenário e Jogo do Ladrão. As suas regras explicam, em parte, porquê …

Trata-se de um jogo de estratégia, embora nalgumas versões inclua um factor aleatório, através do uso de dados. Os achados arqueológicos sugerem que podia ser jogado em tabuleiros diferentemente quadriculados, sendo mais frequente a quadricula 8 x 8.
As seguintes peças, que se presume estarem relacionadas com este jogo, foram achadas nas ruínas arqueologicamente estudadas do Forte Romano de Housestead, na Escócia, estando datadas entre o século II e o século III d. C.:

É plausível que o essencial das suas regras fosse constituído por:

Tabuleiro quadrado, com 8 x 8 casas:

Cada jogador tem inicialmente 17 peças, sendo 16 iguais (os soldados) e 1 diferente (o «Dux», ou «comandante»).
Na primeira fase do jogo, os jogadores, jogando alternadamente, colocam os «soldados» no tabuleiro, 2 de cada vez, em casas não ocupadas, sendo o «comandante» colocado no fim (convenciona-se a seguir que umas peças são vermelhas e as outras azuis).
Durante esta fase nenhuma peça é movimentada, nem eliminada.
Na segunda fase do jogo, cada jogador, na sua vez de jogar, movimenta uma das suas peças no tabuleiro, ou na vertical, ou na horizontal (não em diagonal), procurando «capturar» uma das peças do adversário.
A captura de uma peça adversária ocorre quando ela é colocada entre duas peças próprias, ou na vertical, ou na horizontal:

A peça capturada é imediatamente retirada do tabuleiro e não voltará a ser utilizada no jogo.
Num só movimento uma peça pode «capturar» mais de uma peça adversária:

Após capturar uma ou mais peças, o jogador que procedeu à captura movimenta de novo uma das suas peças.
O «comandante» movimenta-se como os «soldados», mas pode saltar sobre uma peça adversária (sem a capturar), para uma casa vazia, com o objectivo de «capturar» outra peça:

O «comandante» pode ser capturado de modo semelhante ao de qualquer outra peça.
O jogador que capturar todas as peças do adversário ganha o jogo.
Se um dos jogadores conseguir formar uma «barreira» com as suas peças (uma fila completa de peças), o jogo termina, ganhando o jogador que possuir mais peças (caso os dois jogadores possuam o mesmo número de peças, o jogo é considerado empatado).

 

As regras deste jogo e a imagem do tabuleiro encontram-se num ficheiro acessível a partir da página Documentos deste blogue, na pasta Jogos de Reflexão.
O tabuleiro pode ser impresso a partir desse ficheiro (mas também não é difícil de desenhar).
As peças podem ser feitas a partir do material disponível em casa (por exemplo, tampas de garrafas), ou que seja viável construir a partir deles (por exemplo, embalagens de cartão) ou procurar perto de casa (por exemplo, sementes de Eucalipto).

 

Fontes: catálogo da exposição «Pedras que Jogam»
Imagem arqueológica: sítio Ancient Games

[0277] Três painéis de azulejo de Athos Bulcão

E se um painel de azulejos tiver duas autorias: o artista, que cria um pequeno conjunto de módulos, e os aplicadores, que associam livremente esses módulos na composição final?
Foi esta a escolha de Athos Bulcão (1918 – 2008), artista plástico brasileiro. A sua trajectória artística não visou o público frequentador de museus e de galerias, mas o público em geral, aquele que entra em contacto com sua obra quando se dirige para o trabalho, ou para a escola, ou que simplesmente passeia pela cidade. E a cidade que Athos Bulcão impregnou com a sua obra foi Brasília, onde muitas das paredes de cimento foram transformadas em arte.

Três exemplos:

Mercado das Flores (1983):

Salão Verde do Congresso Nacional (1971):

Torre da Televisão (1966):

Nestes três exemplos há, respectivamente, dois, quatro e dois módulos:

Em qualquer dos casos, seria possível criar um painel com um padrão geométrico. No entanto, a decisão de deixar o resultado final ao gosto dos aplicadores mostrou que estes preferiram composições que não fossem padronizadas. O que não é equivalente a uma composição aleatória, pois resulta das escolhas estéticas dos aplicadores.

A diferença entre estas três escolhas está a seguir exemplificada com o caso da Torre de Televisão de Brasília: à esquerda, a composição aleatória; no centro, a composição intencional; e à direita, uma composição de padrão.

Para a composição aleatória foi considerado haver duas posições possíveis para o rectângulo e quatro posições possíveis para o triângulo. Seleccionando os primeiros dígitos do número PI, ao 2 e 4 fez-se corresponder o rectângulo horizontal e ao 6 e 8 o rectângulo vertical; e a 1, 3, 5 e 7 fez-se corresponder as quatro posições do triângulo; o 0 e o 9 foram desprezados. Foram usados os cem primeiros dígitos úteis, distribuídos, ordenadamente, pelas filas, da superior para a inferior e da esquerda para a direita.

 

Fonte (texto e imagens sobre Athos Bulcão): sítio da Fundação Athos Bulcão … 

[0276] A partir de agora o leitor não será automaticamente avisado por email sobre a publicação das novas mensagens …

O seguinte aviso informa que vai ser desactivado, a partir de Julho, o serviço que permitia informar os interessados, por email, da publicação de uma nova mensagem»:

Em princípio, este blogue manterá a ritmo de uma publicação por semana, o que permite consultá-lo regularmente para conhecer as novidades.
No entanto, se houver leitores interessados em ser avisados da publicação de cada nova mensagem, poderão informar o bloguer dessa vontade (via pedrostev@gmail.com) e passarão a receber o aviso através de um grupo de emails (com Bc/c).
Como alternativa, poderão encontrar as mensagens que forem sendo divulgadas na página do Facebook deste bloguer.

[0275] Sobre o nono Objectivo do Desenvolvimento Sustentável: Indústria, Inovação e Infraestruturas

Na mensagem «0080» foram genericamente apresentados os dezassete Objectivos de Desenvolvimento Sustentável que as Nações Unidas propuseram aos governos e aos cidadãos do mundo cumprir entre 2015 e 2030.

O 9º desses objectivos é:

Em https://unric.org/pt/objetivos-de-desenvolvimento-sustentavel, ele é-nos apresentado assim:

Objetivo 9: Indústria, inovação e infraestruturas

Desenvolver infraestruturas de qualidade, de confiança, sustentáveis e resilientes, incluindo infraestruturas regionais e transfronteiriças, para apoiar o desenvolvimento económico e o bem-estar humano, focando-se no acesso equitativo e a preços acessíveis para todos.

Promover a industrialização inclusiva e sustentável e, até 2030, aumentar significativamente a participação da indústria no setor de emprego e no PIB, de acordo com as circunstâncias nacionais, e duplicar a sua participação nos países menos desenvolvidos.

Aumentar o acesso das pequenas indústrias e outras empresas, particularmente em países em desenvolvimento, aos serviços financeiros, incluindo crédito acessível e sua integração em cadeias de valor e mercados.

Até 2030, modernizar as infraestrutursa e reabilitar as indústrias para torná-las sustentáveis, com maior eficiência no uso de recursos e maior adoção de tecnologias e processos industriais limpos e ambientalmente corretos; com todos os países atuando de acordo com suas respectivas capacidades.

Fortalecer a investigação científica, melhorar as capacidades tecnológicas de setores industriais em todos os países, particularmente os países em desenvolvimento, inclusive, até 2030, incentivar a inovação e aumentar substancialmente o número de trabalhadores na área de investigação e desenvolvimento por milhão de pessoas e a despesa pública e privada em investigação e desenvolvimento.

Facilitar o desenvolvimento de infraestruturas sustentáveis e resilientes em países em desenvolvimento, através de maior apoio financeiro, tecnológico e técnico aos países africanos, aos países menos desenvolvidos, aos países em desenvolvimento sem litoral e aos pequenos Estados insulares em desenvolvimento.

Apoiar o desenvolvimento tecnológico, a investigação e a inovação nacionais nos países em desenvolvimento, inclusive garantindo um ambiente político propício para, entre outras coisas, a diversificação industrial e a agregação de valor às matérias-primas.

Aumentar significativamente o acesso às tecnologias de informação e comunicação e empenhar-se para oferecer acesso universal e a preços acessíveis à internet nos países menos desenvolvidos, até 2020.

Um dos aspectos questionáveis nos «objectivos do desenvolvimento sustentável» é o modo como são apresentados separadamente, como se pudessem ser assim concretizados. E este objectivo, em particular, por envolver a «indústria», a «inovação» e as «infraestruturas», é particularmente sensível a essa separação.
Outro dos aspectos questionáveis é a evocação do «desenvolvimento» sem que sejam clarificados os modelos que não devem ser seguidos, dada a experiência tida até hoje com este conceito.

Estes dois questionamentos são melhor compreendidos se encararmos os seguintes dados estatísticos, que nos dão uma imagem sobre os últimos 50 anos:

a população mundial duplicou;

a extracção de recursos naturais aumentou 3,4 vezes;

esta extracção foi responsável por metade das emissões de gases com efeito de estufa e por mais de 90 % da perda de biodiversidade e dos problemas de stress hídrico associados à acção humana.

O modelo económico subjacente a este crescimento, e que está em uso desde a revolução industrial, pode ser simplistamente resumido em «extrair, transformar, vender / comprar, usar e deitar fora».
Se este modelo aumentou o bem-estar geral, também gerou vários problemas, como a poluição de cursos de água e da atmosfera: mais de 90 % da população mundial respira ar poluído e as doenças a isso associadas matam, segundo a Organização Mundial de Saúde, 600 mil crianças por ano.

Neste blogue, os dezassete Objectivos do Desenvolvimento Sustentável foram genericamente apresentados na mensagem «0080».
Depois foi feita uma apresentação específica, com o respectivo comentário, aos seguintes: erradicar a pobreza (mensagens «0154», «0196» e «0206»), erradicar a fome («0157»), saúde de qualidade («0169»), educação de qualidade («0176»), igualdade de género («0178»), água potável e saneamento  («0239»), energias renováveis e acessíveis («0244») e trabalho digno e crescimento económico («0267»).

 

Fonte (texto e inforgrafias) sobre as questões dos recursos: artigo de Coentrão (2019) no jornal «Público»

[0274] A Matemática e as Ludotecas (II): a estratégia ganhante no Jogo do 31

Um jogo só é jogo se, ao ser iniciado, o seu desfecho for imprevisível.

Há no entanto jogos que, ao serem analisados, se revelam serem não jogos, dado um dos participantes dispor, desde a sua primeira intervenção, daquilo a que se chama uma estratégia ganhante.

Um desses casos é o Jogo do 31, um jogo para dois jogadores, cujas regras são as seguintes:
O primeiro jogador diz um número, que pode ser «1», «2» ou «3»;
O segundo jogador adiciona a esse número outro número, que também só pode ser «1», «2» ou «3»;
A alternância entre os jogadores prossegue, levando cada um a adicionar «1», «2» ou «3» à soma anterior;
O jogo termina no número «31», perdendo o jogador que o disser.

Propor um jogo destes numa Ludoteca em que há um grupo de frequentadores habituais é esgotá-lo ao fim de algum tempo: eles vão começar a perceber que existe um modo de jogar que favorece um dos jogadores.
Claro que, a haver um animador da Ludoteca, pode ser ele a lançar o desafio da identificação desse modo de jogar, ou seja, da estratégia ganhante, deixando que o grupo o resolva.
E, algum tempo depois, o animador da Ludoteca pode recomeçar este processo com outro grupo de frequentadores habituais.

Mais difícil é o animador da Ludoteca convencer um grupo de frequentadores mais entusiastas a, durante uma ou duas horas (ou em dois ou três dias), atacar o desafio referido. Nesse caso, a descoberta deixa de ser espontânea a passa a ser laboratorial.
Mais rapidamente ou mais devagar, o grupo acabará por chegar a um raciocínio parecido com o seguinte:
J A única forma de um dos jogadores (G, de «ganhante») ter a certeza de que vai ganhar é ser ele a completar a soma «30», pois, a seguir, o outro jogador (P. de «perdedor») só dispõe da soma «31» e perde;
J Para ter a certeza de que vai somar o «30», G não pode deixar que P o faça; então terá de ser P a somar o «26», pois qualquer que seja a escolha seguinte de P, este não chegará ao «30», ficando à distância suficiente para que G lá chegue;
J Continuando este raciocínio, G vai ter de dizer as somas «30», «26», «22», «18», «14», «10», «6» e «2»;
J Há um único jogador que tem a certeza de poder dizer a soma «2»: o primeiro;
J Então o «Jogo do 31» é um jogo em que o primeiro jogar joga e ganha (se conhecer qual é a «estratégia ganhante», claro).

Então, que se pode concluir sobre as seguintes variantes:
J Quem diz o «31» ganha;
J Em vez de acabar em «31» o jogo acaba noutro número (por exemplo: «25»).
J Em vez de adicionar «1», «2» ou «3», pode-se adicionar de «1» a outro número (por exemplo: «5»).


Esta série, «a Matemática e as Ludotecas», começou com a mensagem «0265», onde abordei a Lógica e a Heurística nas actividades lúdicas de carácter reflexivo.