[0313] Frisos tipográficos

A imagem seguinte, da capa de um catálogo publicado em 1978, mostra-nos um dos gestos de uma profissão que, entretanto, foi substituída pela onda digital. Trata-se da profissão de Tipógrafo:

Um dia, durante uma conversa sobre padrões geométricos, a Madalena Campos sugeriu que o Eduardo Palaio poderia compor frisos na sua tipografia. E, algum tempo depois, o Eduardo Palaio disse que essa composição era possível, mostrando-me disso exemplos no catálogo referido acima.

Para o fazer, podemos repetir letras, desde que estas sejam as certas e a sua repetição bem planeada. Mas também podemos utilizar vinhetas, pois muitas delas são protótipos de um friso.
Seguem-se exemplos dos sete tipos de frisos matemáticos, ora usando, a vermelho, as letras «b», «d», «p» e «q» do Times New Roman digital, ora reproduzindo (um tanto desfocadamente, a negro) algumas das vinhetas apresentadas no catálogo (os eixos de simetria e os centros de rotação estão exemplificados a azul).


Frisos invariantes apenas através de translações:

Frisos invariantes apenas através da simetria horizontal (e de reflexões deslizantes e de translações):

Frisos invariantes apenas através de reflexões deslizantes (e de translações):

Frisos invariantes apenas através de rotações de 180º (e de translações):

Frisos invariantes apenas através de simetrias verticais (e de translações):

Frisos invariantes através de simetria horizontal e de simetrias verticais (e de rotações de 180º, de simetrias deslizantes e de translações):

Frisos invariantes apenas através de simetrias deslizantes e de rotações de 180º (e de simetrias verticais e de translações):

Fonte das imagens a negro: catálogo do INCM (1978; pp. 300, 308, 310, 318 e 322)

Agradecimento ao Eduardo Palaio, por  ter permitido que o catálogo do INCM passasse uns dias fora da Tipografia Popular do Seixa

[0312] Factos e argumentos sobre a Educação (III): o que é dito na escrita para a música

Let the children play (Carlos Santana & Leon Patillo: album «Festival», 1977)

Let the children have their way,
Let the children play,
Let the children play ...
(bis)

Yo le digo, caballero,
Que los niños le quieren jugar,
Ellos tienen que jugar,
Ellos tienen que jugar ...
(bis)

Let the children play,
Ellos tienen que jugar ...
Ellos tienen que jugar,
Let the children play ...

Another Brik in the Wall (Roger Waters : album «The Wall», 1979)

We don't need no education
We don't need no thought control
No dark sarcasm in the classroom
Teacher, leave them kids alone
Hey! Teacher! Leave them kids alone!

All in all, it's just another brick in the wall
All in all, you're just another brick in the wall
We don't need no education
We don't need no thought control
No dark sarcasm in the classroom
Teachers, leave them kids alone
Hey! Teacher! Leave us kids alone!

All in all, you're just another brick in the wall
All in all, you're just another brick in the wall

Wrong, do it again!
Wrong, do it again!
If you don't eat your meat
You can't have any pudding!
How can you have any pudding
If you don't eat your meat?
You! Yes!
You, behind the bike sheds!

Stand still, laddie!

A fisga (João Monge & João Gil: álbum «Rio Grande», 1996)

Trago a fisga no bolso de trás
E na pasta o caderno dos deveres
Mestre escola, eu sei lá se sou capaz
De escolher o melhor dos dois saberes

O meu pai diz que o sol é que nos faz
Minha mãe manda-me ler a lição
Mestre-escola, eu sei lá se sou capaz
Faz-me falta ouvir outra opinião

Eu até nem sequer sou mau rapaz
Com maneiras até sou bem mandado
Mestre escola diga lá se for capaz
Pra que lado é que me viro, pra que lado

Eu até nem sequer sou mau rapaz
Com maneiras até sou bem mandado
Mestre escola diga lá se for capaz
Pra que lado é que me viro, pra que lado

Trago a fisga no bolso de trás
E na pasta o caderno dos deveres
Mestre escola, eu sei lá se sou capaz
De escolher o melhor dos dois saberes

[0311] De quem nos fala a «ficção científica»?

A ficção científica também tem sido designada – e talvez mais adequadamente - como ficção social e científica.

Entre os escritos precursores deste género literário encontram-se obras como «Utopia» (1516), de Thomas More, «Somnium» (1611), de Johannes Kepler, «Histoire comique des Estats et empires de la Lune» (1657), de Cyrano de Bergerac, «Nova Atlantis» (1626), de Francis Bacon, «The Balloon-Hoax» (1844), de Edgar Allan Poe, e «Strange Case of Dr Jekyll and Mr Hyde» (1886), de Robert Louis Stevenson.

Foi com o francês Jules Verne (1828-1905) e com o inglês H. G. Wells (1866-1946), portanto na transição para o século XX, que as características deste género literário se começaram a explicitar. Entre os seus autores mais interessantes, activos até perto do início deste século, figuram o checoslovaco Karel Čapek (1890 - 1938), os ingleses Aldous Huxley (1894 - 1963), George Orwell (1903 - 1950) e Arthur C. Clarke (1917 - 2008), os norte-americanos Robert A. Heinleine (1907 - 1988), Isaac Asimov (1920 - 1992), Ray Bradbury (1920 - 2012) e Kurt Vonnegut Jr. (1922 - 2007), o canadiano A. E. van Vogt (1912 - 2000) e o polaco Stanislaw Lem (1921 - 2006).

Para Isaac Asimov, um destes autores, o objectivo deste tipo de ficção não é imaginar o «futuro»: “O verdadeiro futuro será o que as circunstâncias, a vontade humana e a inteligência do homem quiserem fazer dele; e o que podemos desejar é que todas elas conspirem para que o resultado seja bom. O meu objectivo, como futurista, é reconhecer o terreno que temos pela frente, a fim de a humanidade, na sua viagem através do tempo, tenha uma noção mais exacta daquilo a que pode aspirar e daquilo que deve evitar.”

Para Darko Suvin, um estudioso, o que é escrito por estes ficcionistas, são “parábolas”, tal como já estava bem explícito na «Guerra dos Mundos», que Wells publicou em 1898: logo no início, ao descrever a invasão da Terra pelos Marcianos, ele diz-nos que “os marcianos se comportaram em relação a nós, terrestres, como «nós», ingleses, nos comportámos relativamente aos povos coloniais”. Por isso, prossegue Suvin, os filmes como «A Guerra das Estrelas» são “nocivos”; são “uma mistura habilidosa” de filmes de guerra e de contos de fadas, são “sofrivelmente reaccionários, da nova direita americana, populista”, e o seu sucesso levou muitos romancistas americanos a “escrever com a esperança de ganhar dinheiro vendendo um das suas histórias a Hollywood, e isso implicou uma perda de qualidade média” do que eles escreveram.

Para Rod Serling, criador da série «Twilight Zone, existe uma diferença de grau entre a «fantasia» e a «ficção»: “Fantasia é o impossível tornado provável. Ficção científica é o improvável tornado possível.”

O canal televisivo ARTE exibiu há tempos dois documentários particularmente interessantes relacionados com a ficção social e científica, que, infelizmente já não estão acessíveis (mas que os interessados podem procurar por outros meios).

Num deles comparam-se as obras 1984, de Georges Orwell, com The Brave New World, de Aldous Huxley, duas visões futuristas sobre o controlo social e que, hoje, talvez se possa dizer estarem a ser concretizadas complementarmente:

No outro faz-se uma análise do testamento literário daquele que talvez se possa considerar o mais prolífico escritor deste género literário: Isaac Asimov:

Fontes: livro de Asimov (1986; p. 10); prefácio de Lima da Costa a Antologia de Ficção Científica (de que não possuo o nome da editora nem a data de publicação); entrevista a Darko Suvin (1983); Wikipédia (em português), artigo «Ficção científica» (acedido em 21 de Outubro de 2022)

Documentários referidos: «George Orwell, Aldous Huxley: “1984” ou “Le Meilleur des Mondes”?»; «Isaac Asimov. L`étrange testament du père des robots»

[0310] Os Códigos de Barras: quando as técnicas se impõem aos modelos

É através das compras nos supermercados que nós mais frequentemente entramos em contacto com os códigos de barras. Na caixa, o scanner lê o que deveremos pagar por cada produto, transmitindo-o para o talão que iremos receber; mas também informa o armazém da saída das quantidades compradas, ajudando assim a que o seu reabastecimento seja gerido. E nós trazemos para casa, nas etiquetas coladas às embalagens dos produtos comprados, os autocolantes com os misteriosos códigos de barras:

Código de barras para um certo chocolate

Há, no entanto, muitas outras situações em que os códigos de barras nos surgem. E em algumas delas é usado um sistema próprio, como na venda de livros e de medicamentos:

Código de um livro (sistema ISBN)

Um código de barras particularmente simples é o usado no endereçamento de correspondência: em vez de uma sequência de traços mais finos ou mais grossos, como nos exemplos acima, é usada uma sequência de traços com a mesma espessura mas com um pequeno número de alturas diferentes. Por exemplo, se forem usadas só duas alturas distintas, poderíamos ter este código:

Código para 5555512372
(segundo o antigo sistema ZIP norte americano

Um passo prévio à criação e à utilização deste código é a definição de um sistema numérico que esteja associado, sem ambiguidades, aos destinos que se querem considerar. E o exemplo dos correios portugueses ilustra-o bem.
Em 1978, os CTT criaram um Código Postal com quatro dígitos, que se podia resumir assim:

De 1000 a 1998: Cidade de Lisboa e algumas localidades limítrofes;
De 2000 a 2995: Região do Vale do Tejo, excepto Lisboa;
De 3000 a 3995: Região da Beira Litoral;
De 4000 a 4995: Região de Entre-Douro-e-Minho;
De 5000 a 5995: Região de Trás-os-Montes e Alto Douro;
De 6000 a 6995: Região da Beira Interior;
De 7000 a 7995: Alentejo;
De 8000 a 8995: Algarve
De 9000 a 9495: Região Autónoma da Madeira
De 9500 a 9995: Região Autónoma dos Açores.

Depois, em 1998, os CTT aumentaram este código com mais três dígitos, colocados à direita dos quatro primeiros dígitos, e deles separados por um hífen, assim definindo territórios muito mais pequenos, por segurança ainda descritos por uma designação postal com um máximo de 25 caracteres.

Após este primeiro passo, foi necessário transformar os dígitos em barras, para que possam ser facilmente lidas pelo scanner.
É aqui que os aspectos técnicos se impõem ao modelo binário que parece estar subjacente ao exemplo dado imediatamente acima, onde as barras curtas sugerem que se trata de um «0» e as altas sugerem tratar-se de um «1»: é que é importante todos os dígitos possuírem o mesmo número de traços, para que o scanner possa identificar onde começa e acaba a representação de cada um, o que não acontece se os dígitos foram representados como números binários puros!
A solução encontrada no código ZIP norte americano foi a seguinte:

A lógica matemática deste código está na segunda coluna. O dígito «6», por exemplo, está aí descrito como «0  1  1  0  0», o que deve ser calculado tendo como referência os «pesos» indicados no topo da coluna: 1 x 4 + 1 x 2 = 6.

Com estas informações, é possível verificar o código postal exemplificado atrás!
Será que os nossos CTT usam o mesmo sistema de codificação? É experimentar …

Fonte: Wikipédia (entradas: «Código Postal em Portugal»; «United States Postal Service Barcode»)

[0309] «Hoje não chove! Vamos observar como estão as plantas no fim deste Inverno?!»

«Vejam como as Figueiras perderam as folhas, apenas deixando visível a densa estrutura dos seus ramos»:

Pêra (Caparica), Março de 2023

«É nesta altura do ano que as flores da Ameixoeiras-de-jardim, um pouco antes das suas folhas, se começam a abrir»:

Parque da Paz (Almada), Fevereiro de 2019

«Nas bermas dos caminhos podemos observar o ressurgir dos ramos da Erva-doce, junto aos agora secos de onde caíram as sementes»:

Funchalinho (Caparica), Março de 2023

«Tal como as Chagas, que são comestíveis, além de ornamentais»:

Funchalinho (Caparuca), Março de 2023

«Por uns dias, talvez uma ou duas semanas, onde a concorrência de outras plantas é menor, surgem agora as Frésias, também chamadas Junquilhos»:

Miratejo (Corroios), Março de 2017

«Continuamos?!»

Fotografias (algumas aqui recortadas): Eva Maria Blum

[0308] Um passeio, uma memória

No Parque do Monsanto, em Lisboa, quem segue, na direcção do Poente, pela estrada que passa em frente ao Skatepark depara-se com uma curva invulgar. Nesta fotografia ela já é visível, lá ao fundo, fazendo um apertado ângulo de 90º, para a esquerda:

Foto de Eva Maria Blum

Imaginem que, em vez de andarem a pé por esta estrada, conduzem um «Fórmula 1» a cerca de 150 quilómetros por hora …
Imaginá-lo não é uma fantasia: é que isso já aconteceu!
Na tarde do dia 23 de Agosto de 1959, um Domingo, este pedaço de estrada fez parte do Circuito do Monsanto, uma das provas do calendário do Campeonato Mundial dos Pilotos de Fórmula 1!

Com uma extensão de 5,440 quilómetros, este circuito passava pela Auto-estrada (a actual A5) e por várias das estradas do Monsanto:

O circuito (a amarelo), sobre um mapa actual
E a curva referida acima (seta vermelha)

O vencedor deste circuito, Stirling Moss, conduzindo um Cooper-Climax T51, precisou de 2 horas 11 minutos e 55,41 segundos para completar as suas 62 voltas , à média de 153,39 km por hora. E já tinha sido dele a volta mais rápida, em 2 minutos e 5,07 segundos.
Participou neste circuito um piloto português, Mário Araújo Cabral, num Cooper-Maserati T51, que concluiu a corrida em 10º lugar.

Imagens da época

Esta corrida fez parte do 10º Campeonato Mundial dos Pilotos de Fórmula 1.
Stirling Moss ganhou-a, mas não foi campeão do mundo, nem neste ano, nem em nenhum outro. O título de 1959 foi para o australiano Jack Brabham, que também correu num Cooper.
O italiano Nino Farina tinha sido o primeiro campeão, em 1950, correndo num Alfa Romeo.
Depois, o argentino Juan Manuel Fangio foi campeão em 1951, 1954, 1955, 1956 e 1957, correndo em diferentes carros: Alfa Romeo, Maserati, Mercedes e Ferrari.
Os títulos de 1952 e de 1953 foram para o italiano Alberto Ascari, que correu num Ferrari.
E em 1958 o campeão foi o inglês Mike Hawthorn, num Ferrari.

Desde há muitos anos que não aprecio corridas de automóveis – qualquer corrida de automóveis (talvez goste um pouco dos «carrinhos de choque», nas feiras populares). Mas em 1959, com 13 anos acabados de fazer, achei muita piada a esta corrida: integrado numa «delegação familiar», encontrava-me entre os espectadores que assistiam ao Circuito do Monsanto do alto da «curva dos 90º”, que, há dias, percorri a pé!

Fonte (texto e imagem): Wikipédia (em português); e ainda
https://thebestmotors.wordpress.com/2015/04/08/grande-premio-de-portugal-de-f1-1959/

[0307] Factos e argumentos sobre a Educação (II): a «meritocracia» versus o «bem comum»

Num seu recente livro, A Tirania do Mérito, o filósofo Michael J. Sandel procede a uma crítica implacável da centralidade que a noção de «mérito» ganhou na nossa sociedade. Como pano de fundo dessa crítica está a pergunta que serve de subtítulo ao livro: O Que Aconteceu ao Bem Comum?

No início desta sua crítica, Sandel esclarece que não é, em absoluto, contra o «mérito»: quando pretendemos um serviço, como o de canalizador ou o de dentista, é importante que a pessoa escolhida para o desempenhar seja competente; e será justo que um bom candidato não seja rejeitado a favor de um menos bom, devido a preconceitos, raciais, religiosos, sexistas, ou outros.

Quais são, então, os «argumentos» de Sandel contra o «mérito»?

O seu argumento central é o seguinte: se os meritocratas estão contra os “benefícios” proporcionados a quem nasceu “no seio de uma família rica”, por que razão defenderão eles que os cargos, as boas remunerações e a fama sejam atribuídos a outras “ circunstâncias afortunadas – tais como possuir um dom natural”, por exemplo artístico, ou desportivo? Que direito tem alguém a reclamar benefícios pelos “talentos” e “capacidades” que possui se eles coincidem, “por acaso”, com aqueles que a sociedade onde nasceu valoriza?
Claro que o “esforço” para desenvolver esses dons também importa, continua Sandel, “pois ninguém, por muito talentoso que seja, alcança o sucesso a menos que faça um esforço para cultivar os seus talentos”. Por isso, os meritocratas gostam de enfatizar a importância do esforço, afirmando que, “nas condições certas”, e desde que se esforce, cada pessoa é responsável pelo seu “sucesso”, ou seja, dispõe da “liberdade” de que precisa para o alcançar. Mas … “o esforço não é tudo.”

A visão meritocrática, diz Sandel, já foi, historicamente, enunciada por Confúcio (a governação deveria ser entregue aos que se “destacavam em termos de virtude e de capacidade”), por Platão (o governo deveria estar nas mãos de “um rei-filósofo apoiado por uma classe de guardiães orientados para o bem comum”), por Aristóteles (“as pessoas de mérito deveriam ter maior influência nos assuntos públicos”) e, recentemente, por Thomas Jefferson (o governo deveria ser entregue a “uma «aristocracia natural» baseada na «virtude e no mérito»”, em vez de a “uma «aristocracia artificial fundada na riqueza e no nascimento»”). No entanto, acrescenta Sandel, esta “ligação entre mérito e juízo moral» tem vindo a ser rejeitada pela actual “versão tecnocrática da meritocracia”.

Em que se baseiam os actuais meritocratas? Escreve Sandel: “Em cada época, políticos e líderes de opinião, publicistas e anunciantes publicitários recorrem a uma linguagem valorativa de julgamento para fins de persuasão. Tal retórica baseia-se habitualmente em opostos de valoração: justo versus injusto, livre versus não livre, progressivo versus reaccionário, forte versus fraco, aberto versus fechado. Nas últimas décadas, em paralelo com a crescente influência dos modos meritocráticos de pensar, o contraste valorativo predominante tem sido o de inteligente versus estúpido.”
Ora, conclui Sandel, “Quanto mais o exercício da política é visto em termos de «inteligente versus estúpido», mais se defende que as decisões devem ser tomadas por pessoas «inteligentes» (peritos e elites), em vez de se permitir que os cidadãos debatam e decidam que políticas devem ser adotadas.”

Esta evolução de valores na nossa sociedade coloca leva a que se interrogue o papel desempenhado pelas universidades.
Hoje, um “diploma emitido por uma universidade de prestígio” tanto é “o principal meio de mobilidade ascendente” como é “o baluarte mais seguro contra a mobilidade descendente.” Mas a “maioria das atuais universidades, mesmo naquelas que gozam do mais alto prestígio”, não cuidam adequadamente de competências como a “sabedoria prática” e a “virtude cívica”, que são as bases para a “boa governação”. E isso mostra como a “versão tecnocrática da meritocracia” se desliga do “juízo moral”.

Max Weber, antes de esta evolução ter começado, já previra uma das suas mais dramáticas consequências: «O [indivíduo] afortunado raramente se contento com o facto de ser afortunado. Além disso, precisa de saber que também tem direito à sua boa fortuna. Quer estar convencido de que o “merece” e, sobretudo, que o merece em comparação com outros. Quer que lhe seja permitido acreditar que os menos afortunados recebem apenas o que merecem.»
E Michael Young, muitas décadas mais tarde, numa “altura em que o sistema de classes britânico estava a desmoronar-se e a dar lugar a um sistema de desenvolvimento educativo e profissional baseado no mérito”, previu que esta mudança iria gerar a “arrogância” dos afortunados e o “ressentimento” de todos os outros. E é este ressentimento, diz Sandel, que está hoje na base dos diversos populismos.

Como último argumento, Sandel defende que a inversão dos efeitos da «arrogância» e do «ressentimento» seja fundamentada num “bem comum” que olhe para o “nosso papel como produtores e não como consumidores”, contrariamente que fazem os “defensores da globalização baseada no mercado”. E, para o ilustrar, cita (entre outros) James Truslow Adams^, que sonhava com

“uma ordem social em que cada homem e cada mulher são capazes de alcançar a expressão mais completa daquilo de que são naturalmente capazes, e ser reconhecidos por outros por aquilo que são, independentemente das circunstâncias fortuitas de nascimento ou posição.”

Nota: a ordem de apresentação dos argumentos de Sandel, e a sua valorização relativa, são minhas, não são forçosamente as do autor

Fonte: livro de Sandel (2022; pp. 22, 37-38, 40, 42, 52, 110-111, 119, 126, 147-149, 243, 249 e 262)

Imagem: capa do livro de Sandel (2022)

[0306] Magia: amendoins que desaparecem mesmo debaixo dos nossos olhos!

Nos últimos dias as redes sociais fizeram-me chegar, repetidamente, um vídeo muito interessante, produzido com um mínimo de recursos: uma folha de papel, na qual tinham sido desenhados, com régua e caneta, treze quadrados; vinte amendoins dispostos criteriosamente nesses quadrados; duas pessoas, uma que mexe os amendoins de quadrado para quadrado e uma outra de que apenas ouvimos as respostas às perguntas da primeira; e talvez um telemóvel, para gravar o que se passou.

O que é mostrado no vídeo?

Inicialmente, os quadrados e a distribuição dos amendoins, que são os que a seguinte figura mostra.
Ouve-se a Primeira Pessoa perguntar Quantos amendoins estão em cada um dos quatro lados e ouvem-se as respostas da Segunda Pessoa, sempre iguais a Seis (tal como registei, a azul, na figura):

Após as primeiras deslocações de amendoins, feitas pela Primeira Pessoa (estão assinaladas a vermelho), o panorama fica assim (e o número de amendoins em cada um dos lados continua a ser Seis, responde a Segunda Pessoa):

A Primeira Pessoa procede então às segundas deslocações de amendoins:

E às terceiras deslocações:

E, por fim, procede às últimas deslocações de amendoins:

Então, pergunta a Primeira Pessoa, como se manteve a «soma seis», tendo os quatro amendoins do quadrado central desaparecido?

Que se passou, afinal?

Três pistas, para aqueles cuja persistência for suficiente: calculem o total de amendoins nas cinco figuras; observem a sua diferente distribuição entre a primeira e a última figura; reparem que os amendoins situados num vértice são duplamente adicionados pela Segunda Pessoa, pois há dois lados que nele confluem.

Boas reflexões …!

Desenhos: Pedro Esteves

[0305] Marés: dos cereais dos moinhos à energia das barragens

Que semelhanças e que diferenças se notam entre estas duas imagens aéreas?

As duas imagens mostram uma extensa superfície de água, tanto uma como a outra radicalmente separadas em duas partes por estruturas separadoras.
Mas, para que servem essas estruturas?
E a diferente dimensão das duas superfícies dirá alguma coisa acerca das respectivas finalidades?

A primeira imagem é do Moinho de Maré de Corroios (concelho do Seixal).
Originalmente edificado em 1403, por iniciativa de D. Nuno Álvares Pereira, serviu durante quase seis séculos como moagem, sendo hoje visitável com propósitos de educação patrimonial e turísticos.

A segunda imagem é da Barragem do Rance (Bretanha), situada no estuário do rio Rance, onde funcionaram, durante a Idade Média, diversos moinhos de maré onde os cereais eram moídos.
Desde 1966 funciona aí uma central eléctrica que utiliza a energia das marés. A barragem, com 750 metros de comprimento, isola do mar uma albufeira de 22 quilómetros quadrados cujo volume útil pode atingir 184 milhões de m³; a diferença de nível da água na preia-mar e na baixa-mar, na altura das marés vivas, é de 13,5 m.
A sua produção energética média anual é 540 GWh, um pouco mais do que a barragem do Castelo do Bode, no rio Zêzere, que produz 465 GWh por ano.

Uma das alternativas energéticas que o astrónomo Martin Rees propõe é a das “lagoas de maré” (assim foi feita a tradução).

Não era nada desprezável o número de moinhos de maré construídos na Idade Média. Só no ocidente europeu, a sua distribuição seria a seguinte:

Mas, como funcionavam estes «moinhos» e funcionam as novas «barragens»?
A água é represada num dos lados da superfície de água, e, após a maré cheia, a sua descida acciona um rodízio (no moinho) / uma turbina (na central eléctrica). Hoje este processo tanto funciona com a enchente como com a vazante da maré, o que raramente acontecia antigamente.
Um corte feito num antigo moinho exemplifica o que se passa no interior do moinho / da central:

Fontes: livro de Gago (1978; p. 18); folheto do Ecomuseu Municipal do Seixal (sem data); notícia de Boaventura (2019); livro de Rees (2021; p. 51); exposição permanente no Moinho de Maré de Corroios; Wikipédia
Fotografias: Câmara Municipal do Seixal (Moinho de Maré de Corroios); Wikipédia (Barragem do Rance); Pedro Esteves (mapa da distribuição dos moinhos de maré na Europa Ocidental durante a Idade Média)

Esquema do corte de um moinho de maré: Pedro Esteves

[0304] Painéis de padrão no Museu Nacional do Azulejo

Numa nova e longe de exaustiva visita a este museu, situado na Madre de Deus, em Lisboa, foram detectados sete tipos de painéis de azulejo de padrão.

Padrões cuja menor rotação, para que o desenho não seja alterado, é de 360º:

Tipo «p1»: nem existem reflexões, nem reflexões deslizantes

À primeira vista parece haver eixos de reflexão, tanto verticais como horizontais; mas isso é impedido pelo modo como o traço verde passa, alternadamente, sobre e sob o traço castanho.

Tipo «pm»: existem eixos de reflexão, mas não existem reflexões deslizantes cujo eixo não coincida com um dos anteriores

A separação entre os três azulejos de cima e os três azulejos de baixo exemplifica os eixos de reflexão; e não existem reflexões deslizantes cujo eixo não seja um eixo de reflexão simples.

Tipo «cm» (que surge pela primeira vez neste blogue): existem eixos de reflexão; e existem reflexões deslizantes cujo eixo não coincide com um dos anteriores

Há eixos de reflexão verticais; e, entre eles, há eixos de reflexão deslizante.

Padrões cuja menor rotação, para que o desenho não seja alterado, é de 180º:

Tipo «p1»: nem existem reflexões, nem reflexões deslizantes

As sobreposições entre os laços impedem a existência de reflexões.

Tipo «pmm»: existem eixos de reflexão em duas direcções; e todos os centros de rotação se encontram sobre eles

Há eixos de reflexão que se cruzam em X; e todos os centros de rotação se encontram sobre esses cruzamentos.

Padrões cuja menor rotação, para que o desenho não seja alterado, é de 90º:

Tipo «p4»: não existem eixos de reflexão

Mais uma vez, a sobreposição alternada entre os quadrados azuis e castanhos impede a existência de reflexões.

Tipo «p4m» (que surge pela primeira vez neste blogue, apesar de ser um dos mais frequentes): existem eixos de reflexão que fazem entre si ângulos de 45º

Todas as diagonais dos azulejos são eixos de reflexão.

Fotografias: Pedro Esteves (em 5 de Janeiro de 2023)

[0303] A hegemonia euro-americana nos campeonatos mundiais de futebol (masculino)

O Campeonato Mundial de Futebol masculino já foi disputado por vinte e duas vezes. Os países onde foram realizadas as suas fases finais e as equipas que participaram no jogo decisivo de cada uma delas estão descritos a seguir (as cores de fundo indicam os respectivos continentes):

Apenas quatro países foram, por duas vezes, sede da fase final: a Itália (1934 e 1990), a França (1938 e 1998), o Brasil (1950 e 2014), o México (1970 e 1986) e a Alemanha (em 1974 como Alemanha Ocidental e em 2006 como Alemanha).
Como uma dessas fases finais (a de 2002) foi realizada na Coreia do Sul e no Japão, foram 18 os países que as acolheram, distribuídos por 4 continentes: 11 vezes na Europa, 8 vezes nas Américas, 2 vezes na Ásia e 1 vez em África.

O jogo final de todas estas fases finais foi disputado apenas por equipas sul-americanas e europeias: 11 vezes por uma equipa sul-americana e uma equipa europeia, 9 vezes por duas equipas europeias e 2 vezes por duas equipas sul-americanas (precisamente nas duas primeiras fases finais, ambas disputadas nas Américas).
Esta hegemonia é reforçada se se acrescentarem à anterior lista as equipas que disputaram o jogo para o 3º e o 4º lugar: de novo apenas equipas sul-americanas e europeias, com uma única excepção, a da equipa de Marrocos, em 2022.
A primeira vez que a equipa vencedora jogou a fase final fora do seu continente aconteceu em 1958, quando o Brasil foi campeão na Suécia; e a segunda vez aconteceu em 2014, quando a Alemanha foi campeã no Brasil. As outras três excepções apenas aconteceram quando a fase final foi disputada na Ásia (em 2002 e 2022) e em África (2010).

Fonte dos dados constantes na tabela: Wikipédia

[0302] Reflexões sobre a «memória» (a propósito do blogue «Aprendizagens»)

Contrariamente ao Cosmovivências, que se baseia nas preocupações do «presente», o blogue Aprendizagens, seu irmão mais novo, foca o «passado», não como reverência em relação ao que «aconteceu», mas como forma de entender o terreno em que hoje estamos, que também é aquele sobre o qual, inevitavelmente, se está a construir o «futuro».

O endereço deste novo blogue é o seguinte: https://aprendizagens2023.blogspot.com/.

As ligações entre os diferentes tempos das nossas vidas, e os das vidas das sociedades que construímos, têm sido motivo para diversas reflexões.
Eis algumas delas (por ordem alfabética do nome próprio do autor):

Alberto Manguel:
“As histórias são a nossa memória, as bibliotecas são como que armazéns dessa memória, e a leitura é o labor através do qual podemos recriar essa mesma memória, recitando-a e dando-lhe brilho, traduzindo-a para a nossa própria experiência, o que permite que nos ergamos sobre aquilo que as gerações anteriores consideraram digno de preservação.” (2011)

José Saramago (entrevistado por Clara Ferreira Alves):
“Agrada-me pensar que o tempo não é essa diacronia, essa sucessão de momentos, agrada-me pensar no tempo como uma espécie de imensa tela onde se projetam e se fixam os acontecimentos. É como se eu visse os acontecimentos projetados numa superfície única, onde tudo estivesse ao lado de tudo, onde tinhas a batalha de Maratona e a chegada do homem à Lua, ou a Clara Ferreira Alves e a Lucrécia Bórgia [risos].” (1991)

Peter Bogdanovich:
“O passado não é o passado porque está sempre connosco.” (citado por Nuno Pacheco, 2023)

Pierre Nora:
“A memória é vida. É sempre transportada por um grupo de pessoas vivas e, por isso mesmo, está em permanente evolução. Encontra-se submetida às dialécticas da recordação e do esquecimento, sem se aperceber das suas sucessivas deformações, aberta a usos e manipulações de todas as espécies. Por vezes permanece latente durante longos períodos, após os quais subitamente revive. A história é sempre a reconstrução incompleta e problemática daquilo que já não existe. A memória pertence sempre ao nosso tempo e forma como que um limite vivo do presente eterno; a história é a representação do passado.” (citado por Hobsbawm, 1990)

Rui Bebiano, referindo-se a Pierre Nora:
“A memória histórica tanto pode legitimar as narrativas dominantes como contribuir para desenvolver interpretações alternativas.” (2019)

Rui Bebiano, referindo-se a Marc Augé:
“Para lembrar é preciso esquecer, ou silenciar.” (2019)

Stephen W. Hawking:
“É o passado que nos diz quem somos; sem ele, perdemos a nossa identidade.” (2020)

Yuval N. Harari:
“Os historiadores estudam o passado não para o repetir, mas para se libertarem dele.” (2018)


Nota: voltando à decisão que ficou em suspenso na mensagem «0300», decidi não recomeçar o blogue «Pontes na Nossa Banda».


Fontes: Bebiano (2019); Harari (2018; p. 73); Hawking (2020; p. 82); Hobsbawm (1990; p. 11); Manguel (2011; p. 19); Pacheco (2023); Saramago (1991)

[0301] Alguns exemplos de azulejos de padrão em Évora

Durante uma recente visita a Évora identifiquei, nos azulejos observados e fotografados, 3 tipos de «friso de padrão». Exemplos:

À esquerda, um elemento da fachada de um prédio sito na Rua João de Deus: como tem simetrias de reflexão de eixo vertical e de eixo horizontal é do tipo «mm».
À direita, em cima, um troço dos azulejos que correm ao longo de um dos corredores da Universidade de Évora: possui simetria de reflexão de eixo vertical, mas não de eixo horizontal; e não possui rotação de 180º. É do tipo «m1».
À direita, em baixo, um troço de uma das paredes da Igreja de S. João Baptista: não tendo qualquer tipo de reflexão (nem de eixo vertical, nem de eixo horizontal, nem deslizante), nem rotação de 180º, é do tipo «11».

Durante a mesma visita foram identificados quatro tipos de «painéis de padrão» nos azulejos observados e fotografados. Exemplos de dois desses tipos:

Em cima, painel da Igreja de S. Braz: o menor ângulo de rotação é de 90º; e existem reflexões com eixos fazendo ângulo de 45º. É do tipo «p4m».
Em baixo, painel do Registo Notarial (no Largo da Porta de Moura): o menor ângulo de rotação é de 360º; e não existem reflexões, nem reflexão deslizante. É do tipo «p1».

Exemplo de um terceiro tipo:

Trata-se da fachada de mesmo prédio sito na Rua João de Deus: de notar que, na parte de baixo, os azulejos não foram colocados com o cuidado necessário para que se mantivesse o padrão da parte de cima.
Portanto, olhando apenas para a metade superior: o menor ângulo de rotação é de 180º; e não existem reflexões, nem reflexão deslizante. É do tipo «p2».

Um exemplo do último tipo de painel situa-se no topo de uma das paredes da Igreja de S. João Baptista (imagem de cima), pelo que foi necessário observá-lo mais de perto (imagem de baixo):

O menor ângulo de rotação é de 90º. E, contrariando a primeira impressão, não existem reflexões, pois os dois componentes vegetalistas que se cruzam não as permitem. É do tipo «p4».

A classificação dos padrões foi abordada nas mensagens «148» e «233» (para os «frisos») e «119» e «123» (para os «papéis de parede», ou «painéis»).

Fotografias: Pedro Esteves (Novembro de 2022)

[0300] Encerramento deste blogue?

 

Em Dezembro passado, por motivos da saúde, fui obrigado a interromper este blogue.

O mais provável é que esta experiência não seja retomada, sendo substituída (a reunirem-se de novo as condições necessárias), por dois blogues de memórias, um dizendo respeito à Escola Secundária José Afonso (Seixal) e outro ao Núcleo da Associação de Professores de Matemática em Almada e Seixal.

Um grande abraço!

[0299] O sincronismo da vida ao longo dos 360º da Terra

Que um Dia seja composto por «24 horas» e que a circunferência da Terra meça «360 graus» são duas convenções que nos ajudam a conhecer o «momento» e o «local» em que a nossa vida decorre. Associando estas duas convenções surge uma outra, a dos vinte e quatro fusos horários, cada qual medindo, teoricamente, 15 graus; mas, administrativamente, adaptando-se em cada país ao que aí se decide.

Eis, referidos ao meridiano de Greenwich, o panorama mundial das horas (a Oeste da linha internacional de mudança de data está-se «num dia» e a Leste já se está no «dia seguinte»):

Podemos pensar apenas em nós e seguir a lenta progressão do nosso fuso horário ao longo do dia (visão diacrónica). Mas podemos escolher um momento do dia e imaginar o que se estava a passar ao longo de todos os fusos horários.
Por exemplo hoje, Domingo dia 5 de Novembro de 2021, já perto das cinco horas da tarde no meu fuso natal, que por acaso foi o de Greenwich:

Nas Américas, tanto as gentes do Sul como as do Norte estavam a meio de uma manhã em que a maioria não trabalha. No ocidente da Europa e de África, a tarde já estava avançada, ou mesmo terminada, enquanto que no poente africano, em toda a Ásia e nas grandes ilhas que separam os Oceanos Índico e Pacífico a noite já começara: em Tóquio já se entrara no dia 6 de Dezembro, Segunda-feira, dia de trabalho para a maioria.
E no Dubai, onde a noite já se impusera, dois jogadores lutavam pelo título mundial de Xadrez …

Imagens: respectivamente de http://educacao.globo.com/, de www.24timezones.com e de www.chess.com.

[0298] A Matemática e as Ludotecas (IV): o Jogo do Hex à prova

O Jogo do Hex, cujas regras já aqui fora apresentadas (na mensagem «0268»), é um dos jogos de que podem desfrutar os visitantes do Jardim do Campo Grande (ver mensagem «0296).

Não sendo um «jogo matemático», o Hex pode ser estudado pela Matemática. O primeiro grande contributo que os matemáticos lhe deram, através de David Gale (em 1979), foi a demonstração de que não pode haver empates neste jogo (o que, claro, já era conhecido por aqueles que o jogavam).
Um modo de verificar empiricamente esta impossibilidade de empate é colocarmos ao acaso as peças de ambos os jogadores num tabuleiro, até este estar totalmente preenchido, e confirmar que dois dos lados opostos estão ligados. Por exemplo, neste tabuleiro 6 x 6, o lado inferior esquerdo está ligado ao lado superior direito, tanto pelas peças verdes como pelas peças vermelhas (o jogador a quem cabia ligar esses lados seria, portanto, o vencedor):

Outro modo de proceder a esta verificação empírica é colocarmos as peças segundo uma regra que não vise a vitória de um dos jogadores, e concluir que também não conseguiríamos deixar de ligar dois dos lados opostos. Por exemplo, se juntássemos, no tabuleiro 6 x 6, as peças de cada jogador em pacotes de 2 x 3:

Desta vez são os lados inferior direito e superior esquerdo que estão ligados, tanto para um como para outro jogador.

O segundo grande contributo que os matemáticos deram para a compreensão deste jogo veio, uns anos mais tarde, de John Nash. Ele demonstrou que o primeiro jogador dispõe de uma «estratégia ganhante» (ver o que isso significa na mensagem «0274»). No entanto, apesar de o ficarmos a saber, continuamos a desconhecer que estratégia é essa, caso o tabuleiro seja suficientemente grande, como, por exemplo, o tabuleiro 11 x 11.
Para tabuleiros pequenos, já são conhecidas estratégias explícitas para o ganho do primeiro jogador: em 2002, Yang Jing, Simon Liao e Mirek Pawlak encontraram-na para o tabuleiro 7 x 7. E, em 2009, Philip Henderson, Broderick Arneson e Ryan B. Hayward fizeram o mesmo para o tabuleiro 8 x 8.

Apesar do que está matematicamente provado, jogar ao Hex (em tabuleiros grandes) continua a ser um desafio interessantemente falível!

 

Fontes: livros de Neto & Silva (2004; p. 91) e de Buescu (2014; p. 138); Wikipédia