[0272] O tabuleiro de Galton

Muitos dos que já assistiram a concursos televisivos se lembrarão de ver um tabuleiro, colocado verticalmente ou com uma pequena inclinação, guarnecido na sua parte central com um conjunto de pinos dispostos triangularmente. Chegado o momento de ser usado, eram-lhe introduzidas sucessivas bolas no topo; e estas, ao caírem, desviavam-se ou para a esquerda ou para a direita ao embaterem nos pinos, até que se alojavam num dos receptáculos dispostos ao longo da base:

Um tabuleiro assim chama-se Tabuleiro de Galton.

A construção destes tabuleiros deve assegurar que as bolas têm a mesma probabilidade de se desviarem para um ou outro lado de cada pino ao embaterem nele. Sendo assim, a proporção teórica das bolas que passarão nos sucessivos níveis de pinos é a seguinte:

Por exemplo no 4ª nível, a proporção teórica, para cada 8 bolas lançadas, é de 1 bola nos dois intervalos extremos e de 3 bolas em cada um dos intervalos centrais.
Este triângulo de números, encaixado no interior do triângulo de pinos, é chamado Triângulo de Pascal. E os números de cada nível correspondem aos coeficientes do desenvolvimento do chamado Binómio de Newton, (a + b) ⁿ, correspondendo o 1º nível a n = 0, o 2º nível a n = 1, e assim sucessivamente.
Francis Galton (1822 - 1911), o inventor deste tabuleiro, juntou num só instrumento manipulável as contribuições de dois matemáticos de peso. E, através dele, exemplificou aquilo a que hoje se chama, em Estatística, uma distribuição binomial.

 

Lembrei-me deste tabuleiro quando passeava numa praia ao longo da maré baixa. A água tinha escorrido devagar, em direcção ao mar, e formara o padrão que se vê nesta fotografia:

Podemos imaginar que existem pinos dispostos triangularmente. Mas observamos que não há uma maior acumulação de «bolas» no «centro» da chegada. É que neste «tabuleiro» as «bolas» não descem a partir de um só ponto, mas de todos os pontos de um topo tão longo quanto a linha chegada. A distribuição estatística das gotas de água que deslizam para o mar é, portanto, uniforme.

 

Fonte: livro de Cundy & Rollet (1989; pp. 217-219)
Fotografia: Eva Maria Blum

[0271] Estará o progresso no Salto em Altura esgotado?

 Em 1987 comprei este interessante livro na Feira do Livro de Lisboa:

Entre os problemas aí abordados encontra-se o da localização do «ponto de fuga» (ou «limite assimptótico») de um determinado fenómeno, o que, em dado momento, foi ilustrado com o caso das melhores marcas mundiais na corrida de 1 500 metros (masculinos).
Como já aqui analisei os casos de duas outras «corridas» (os 100 metros, na mensagem «0068»; e os 10 mil metros, na mensagem «0194»), vou abordar a seguir o caso de um «salto».

A lista dos máximos mundiais, quer masculinos quer femininos, é consultável no sítio Track and Field Statistics. Os máximos oficiais do salto em Altura masculino são os seguintes (três deles estão assinalados com um asterisco, por repetirem o máximo que já estava em vigor):

Para se ter uma visão mais intuitiva da evolução deste máximo vale a pena experimentar uma outra apresentação destes dados. Por exemplo, apreciando quantas vezes o máximo foi melhorado numa década e em quantos centímetros em relação à década anterior:

Depois dos esplendorosos anos 60, 70 e 80 parece ter havido um esgotamento das melhorias no Salto em Altura. Ter-se-á verificado o mesmo noutras disciplinas do Atletismo?
A ter apenas em conta as «corridas» dos 100 e dos 10 mil metros, onde se verificaram diversas melhorias nos últimos 20 anos, não se pode afirmar que houve um esgotamento generalizado. Mas pode-se conjecturar ter havido um abrandamento generalizado.
Dar-nos-á isso alguma pista sobre o «ponto de fuga» dos nossos progressos atléticos?

Fontes: livro de Guillen (1987); sítio Track and Field Statistics

[0270] As palavras que dizemos (III): «inteligência artificial»

O problema que a expressão inteligência artificial levanta foi assim resumido pelo matemático Jorge Buescu:
“Há décadas que se ouve falar em «inteligência artificial», «cérebro electrónico» e conceitos relacionados.”
“No entanto, estes conceitos parecem bastante avessos a uma definição rigorosa. Em ciências da computação diz-se por vezes, meio jocosamente, que o conceito de inteligência é tão difícil de definir que, quando o situamos numa meta concreta e ela é atingida, verificamos que afinal o sistema que o conseguiu não é inteligente, e temos de rever a nossa definição. O exemplo clássico esteve em voga muitos anos: quando uma máquina conseguisse vencer um Grande Mestre numa partida de xadrez, mereceria ser chamada «inteligente».
Pois isso aconteceu em 1997: o Deep Blue, um computador construído para o efeito pela IBM, venceu o Grande Mestre Garry Kasparov. No entanto, ninguém pode dizer que o Deep Blue era inteligente: simplesmente analisava, por força bruta e de forma extraordinariamente rápida, o valor das jogadas, o que pelos vistos fazia melhor do que qualquer mortal. Mas era incapaz de fazer algo mais do que jogar xadrez.”
Prudentemente, Jorge Buescu decidiu deixar-nos com a dúvida sobe se, no futuro, esta recorrente limitação da «inteligência artificial» iria ou não ser superada.

Ao abordar este problema, Yuval Harari, um historiador, escolheu a hipótese mais radical:
“A noção de que os humanos terão sempre uma habilidade distintiva fora do alcance dos algoritmos não-conscientes não passa de uma ilusão”. O que a ciência actual afirma sobre a «vida» em geral, e portanto sobre aquilo a que chamamos «inteligência», “pode ser resumido em três princípios básicos:
1. Os organismos são algoritmos. Todos os animais, incluindo o Homo Sapiens, são um conjunto de algoritmos orgânicos aperfeiçoados pela seleção natural ao longo de milhões de anos de evolução.
2. Os cálculos dos algoritmos não são influenciados pelos materiais de que é feita a calculadora. Quer o ábaco seja feito de madeira, ferro ou plástico, o resultado da soma de duas contas com outras duas será sempre de quatro contas.
3. Daí que não haja qualquer razão para se pensar que os algoritmos orgânicos conseguem fazer coisas que os inorgânicos nunca conseguirão fazer. Desde que os cálculos sejam válidos, o que interessa se a base dos algoritmos é o carbono ou o silício.”

O físico Michio Kaku pendeu, mais do que Jorge Buescu, outro representante das ciências duras, para o pessimismo em relação à «inteligência artificial»:
“Em 2016, a notícia de que o programa informático AlphaGo, da Deep Mind, tinha vencido Lee Sedol, o campeão mundial do antigo jogo do Go, veio dar um novo impulso à área da inteligência artificial.”
“O AlphaGo é o programa de jogos mais avançado de sempre. No xadrez, há em média 20 a 30 jogadas que se podem fazer a qualquer momento, mas no Go existem cerca de 250 jogadas exequíveis. De facto, o número total de configurações de jogo do Go ultrapassa o número total de átomos no Universo.” No entanto, depois desta proeza, “depressa se tornou evidente que, apesar da sua sofisticação, o AlphaGo só conseguia fazer uma coisa: vencer no Go.” “Por mais poderoso que seja um hardware, não podemos ir ter com a máquina, dar-lhe uma palmada nas costas, felicitá-lo por ter vencido um humano e esperar uma resposta coerente. A máquina ignora totalmente que acaba de fazer história científica. Na verdade, a máquina nem sequer sabe que é uma máquina.”

António Damásio, um neuro-cientista, tanto criticou o modo como a «inteligência artificial» tem sido desenvolvida como lhe sugeriu outras direcções de desenvolvimento. Ao ser entrevistado por Pedro Rios afirmou:
“Grande parte da IA [Inteligência Artificial] é muito estúpida [risos]. O mais curioso na IA é que é muito limitada por aspectos cognitivos. É pensar a inteligência apenas com o aspecto mais moderno (o cognitivo) e não com os aspectos fundamentais que vêm do afecto. Ora, a inteligência dos seres vivos começou com aspectos que têm que ver com a regulação da vida. Uma vez que houve sistema nervoso, [a inteligência] passou a ser ligada pelos sentimentos e pela consciência. E só na parte final passou a ser uma inteligência dos factos, que tem que ver com olhar para o mundo e, através da visão, da audição e do tacto, descrevê-lo. Em vez de olhar para a nossa trajectória biológica, a IA foi directamente ao fim. E assim conseguiu uma coisa magnífica, que é ter uma inteligência rápida, que resolve uma quantidade de problemas, mas que, muitas vezes, os resolve de uma forma não particularmente inteligente e não condutiva ao ser humano que precisa de afecto e carinho.
O que estamos a propor é que se faça uma nova espécie de IA que tenha em conta o afecto e que vem das chamadas soft robotics (matérias que podem ser modificadas, que se podem premer ou mudar com o frio e o calor). É uma forma de dar uma resposta do tipo que nós temos quando o nosso corpo responde a boa ou má temperatura, a calorias suficientes ou insuficientes. É uma nova linha de máquinas artificiais que julgo ter imenso futuro.”
“A IA é um aspecto extremo da inteligência em que não há praticamente vulnerabilidade. E nós, seres humanos, estamos no meio: temos certas vulnerabilidades e certas capacidades. Para um robô se relacionar consigo ou comigo, é preciso que tenha qualquer coisa de um ser humano médio. Você não pode estar um dia inteiro sem beber água, vai ficar desidratado. Essas vulnerabilidades vêm do facto de que a vida não é um algoritmo fixo, mas uma constante adaptação a condições biológicas. Trazer vulnerabilidades para a robótica é uma maneira de a aproximar de nós. O problema da IA e a sua limitação é ser invulnerável.”

Sam Copeland, tal como outros analistas de Xadrez, não gosta de usar a expressão «inteligência artificial», preferindo chamar «máquinas» às suas materializações neste jogo.
Por um lado, afirmou:
“O consenso genérico parece reconhecer que os melhores humanos apenas asseguram uns tantos empates, jogando de brancas, mas em geral, perderão a grande maioria das partidas e não tem esperança de ganhar qualquer jogo.”
Mas, por outro, apresenta uma grande variedade de exemplos onde as «máquinas» mostram ser incapazes de compreender (e de actuar em) situações concretas de jogo. O diagrama seguinte é uma dessas posições:

Fontes: livros de Buescu (2014; pp. 211-212), de Harari (2018; p. 356) e de Kaku (2018; pp. 157-158); entrevista a Damásio no «jornal «Público» (2020); artigo de Copeland (2021; tradução minha)

[0269] Quebra-cabeças: o Circuito Fechado

Este quebra-cabeças é constituído por 18 peças rectangulares com dimensão 1 x 2 e por um tabuleiro quadrangular com dimensão 6 x 6.

Das 18 peças, 15 possuem um desenho especial (igual em ambas faces, por comodidade), tal como se mostra na figura.

Objectivo para quem quiser resolver este quebra-cabeças: colocar as 18 peças no tabuleiro de modo a obter uma linha fechada.
Ao ser colocada, cada peça deve cobrir exactamente dois dos quadrados do tabuleiro e não pode sobrepor-se a qualquer outra peça já nele colocada.
Há um número indeterminado de soluções.

 

Estas regras podem ser acedidas através da página «Documentos» deste blogue.

[0268] Jogos para os quais há material em casa (VI): o Hex

O tabuleiro do HEX é composto por hexágonos (origem do nome dado ao jogo), formando aquilo que se parece com um «losango». Os «lados» opostos deste «losango» têm a mesma cor, que no exemplo figurado a seguir, são o azul e o vermelho:

Os jogadores experientes escolhem tabuleiros com lados formados por onze, ou até por mais, hexágonos.
As peças de um dos jogadores têm uma das cores dos «lados» e as peças do outro têm a outra cor (basta serem de cor diferente)
Na sua vez de jogar, cada jogador coloca uma das suas peças num hexágono desocupado, com o objectivo de formar uma cadeia contínua com as suas peças ligando um dos lados do tabuleiro ao lado oposto (os lados que têm a cor das suas peças).
Cada um dos jogadores tenta não só completar a sua própria cadeia, como, naturalmente, impedir a formação da cadeia do seu adversário.

Usualmente, os hexágonos situados nos «vértices» do «losango» são considerados parte integrante dos «lados» de ambos os jogadores, mas antes de iniciarem um jogo os dois jogadores podem acordar em exclui-los.

Os principiantes podem usar tabuleiros mais pequenos. As figuras (a) e (b) ilustram os resultados de dois jogos entre principiantes:

Este jogo, inventado pelo matemático dinamarquês Piet Hein, em 1942, tem uma característica pouco frequente: não pode haver empates!
É possível demonstrar este facto recorrendo a métodos matemáticos. Mas ele também pode ser argumentado a partir do simples raciocínio lógico: alguém tenta?

Na Drop Box associada a este blogue encontra-se um ficheiro com as regras deste jogo e a imagem do tabuleiro de tamanho 12 x 12. Para jogar, basta imprimir o tabuleiro e arranjar o número de peças suficiente para nele jogar, nem que sejam «grãos» contra «feijões»!

[0267] O oitavo Objectivo do Desenvolvimento Sustentável: trabalho digno e crescimento económico

Na mensagem «0080» foram genericamente apresentados os dezassete Objectivos de Desenvolvimento Sustentável que as Nações Unidas propuseram aos governos e aos cidadãos do mundo cumprir entre 2015 e 2030.
Os primeiros sete foram referidos nas mensagens «0154», «0196» e «0206» (erradicar a pobreza), «0157» (erradicar a fome), «0169» (saúde de qualidade), «0176» (educação de qualidade), «0178» (igualdade de género), «0239» (água potável e saneamento) e «0244» (energias renováveis e acessíveis).

O 8º desses objectivos, …

… é-nos apresentado assim em https://unric.org/pt/objetivos-de-desenvolvimento-sustentavel:

Objetivo 8: Trabalho Digno e Crescimento Económico

Sustentar o crescimento económico per capita de acordo com as circunstâncias nacionais e, em particular, um crescimento anual de pelo menos 7 % do produto interno bruto [PIB] nos países menos desenvolvidos
Atingir níveis mais elevados de produtividade das economias através da diversificação, modernização tecnológica e inovação, inclusive através da focalização em setores de alto valor agregado e dos setores de mão-de-obra intensiva
Promover políticas orientadas para o desenvolvimento que apoiem as atividades produtivas, geração de emprego decente, empreendedorismo, criatividade e inovação, e incentivar a formalização e o crescimento das micro, pequenas e médias empresas, inclusive através do acesso aos serviços financeiros
Melhorar progressivamente, até 2030, a eficiência dos recursos globais no consumo e na produção, e empenhar-se em dissociar crescimento económico da degradação ambiental, de acordo com o enquadramento decenal de programas sobre produção e consumo sustentáveis, com os países desenvolvidos a assumirem a liderança
Até 2030, alcançar o emprego pleno e produtivo, e trabalho decente para todas as mulheres e homens, inclusive para os jovens e as pessoas com deficiência, e remuneração igual para trabalho de igual valor
Até 2020, reduzir substancialmente a proporção de jovens sem emprego, educação ou formação
Tomar medidas imediatas e eficazes para erradicar o trabalho forçado, acabar com a escravidão moderna e o tráfico de pessoas, e assegurar a proibição e a eliminação das piores formas de trabalho infantil, incluindo recrutamento e utilização de crianças-soldado, e até 2025 acabar com o trabalho infantil em todas as suas formas
Proteger os direitos do trabalho e promover ambientes de trabalho seguros e protegidos para todos os trabalhadores, incluindo os trabalhadores migrantes, em particular as mulheres migrantes, e pessoas em empregos precários
Até 2030, elaborar e implementar políticas para promover o turismo sustentável, que gera empregos e promove a cultura e os produtos locais
Fortalecer a capacidade das instituições financeiras nacionais para incentivar a expansão do acesso aos serviços bancários, de seguros e financeiros para todos
Aumentar o apoio à Iniciativa de Ajuda para o Comércio [Aid for Trade] para os países em desenvolvimento, particularmente os países menos desenvolvidos, inclusive através do Quadro Integrado Reforçado para a Assistência Técnica Relacionada com o Comércio para os países menos desenvolvidos
Até 2020, desenvolver e operacionalizar uma estratégia global para o emprego dos jovens e implementar o Pacto Mundial para o Emprego da Organização Internacional do Trabalho [OIT]

 

As seguintes considerações de David Attenborough (no livro referido na mensagem «0259») são úteis para analisar criticamente este objectivo:

“Há quem sonhe com um futuro em que a Humanidade se liberta globalmente do seu vício de crescimento, deixa para trás o PIB como início e fim de tudo, e se concentra numa nova medida sustentável de sucesso […]. O Índice do Planeta Feliz, criado pela New Economics Foundation em 2006, visa isso mesmo, combinando a pegada ecológica de um país com elementos de bem-estar-humano, como a esperança de vida, os níveis médios de felicidade e uma medida de igualdade. Quando classificamos os países segundo este índice, obtemos uma tabela totalmente diferente do que usando apenas o PIB. Em 2016, a Costa Rica e o México eram os primeiros, com melhores classificações em bem-estar e pegadas ecológicas muito mais pequenas do que os Estados Unidos e o Reino Unido. O Índice do Planeta Feliz não é seguramente infalível. Dado que é uma classificação combinada, é possível, como aconteceu com a Noruega, ficar numa posição elevada com uma pegada ecológica pesada se a pontuação de bem-estar for muito alta. Também é possível, como o Bangladeche, ficar numa posição elevada com um baixo bem-estar se a pegada for leve. No entanto, o Índice do Planeta Feliz e outros semelhantes estão a ser seriamente ponderados por vários países como alternativas ao PIB e a encorajar um debate mais amplo sobre o objectivo resultante de todas as atividades da Humanidade na Terra.

Em 2019, a Nova Zelândia deu o passo arrojado de abandonar formalmente o PIB como principal de sucesso económico. Não adoptou qualquer das alternativas já existentes, mas criou o seu próprio índice baseado nas preocupações nacionais mais prementes […].”

Fonte: livro de Attenborough (2020; pp. 149-150)

[0266] Irremediavelmente algemados: uma magia topológica

Além de algemadas, duas pessoas estão inseparavelmente ligadas uma à outra pelas correntes das suas algemas:

Como podem os algemados separar-se um do outro?
Não, não vale pensar que os pulsos podem deslizar por dentro das algemas, tal como o desenho parece sugerir. Também deve ser posta de parte a hipótese de as algemas, ou as correntes, serem cortadas.

Podem treinar aí em casa: duas pessoas, duas cordas com cerca de metro e meio, e as quatro extremidades das cordas formando laços que envolverão os quatro pulsos. É melhor deixar alguma folga nos laços.
Experimentem então libertar-se …

 

Solução:

Um dos algemados desloca uma parte da sua corrente até que ela esteja situada por debaixo de uma das mãos do outro algemado:

Depois dobra a corrente, para cima, fá-la passar entre a algema e a mão do outro algemado e vai-a esticando até que ela passa por cima da mão, altura em que a puxa para fora da algema:

As correntes deixaram de estar entrecruzadas:

Topologicamente, os algemados sempre estiveram «livres» um do outro (mas não livres das suas algemas)!
Experimentem aí em casa …

Inspiração: livro de Gardner (1991; pp. 100-102)
Desenhos: Pedro Esteves

[0265] A Matemática e as Ludotecas (I): a Lógica e a Heurística

Já me tinha esquecido deste diapositivo:

Ele fez parte de um Power Point que apresentei na 9ª Conferência Internacional de Ludotecas, realizada em Lisboa, em Maio 2002, a que dei o título: «LUDOTECAS ESCOLARES E MATEMÁTICA, nos concelhos de Almada e Seixal». E pretendia chamar a atenção para dois argumentos que podem ser avançados para justificar a utilização de Quebra-cabeças e de Jogos de Reflexão nas escolas: à direita temos uma posição do Quatro em Linha e à esquerda a posição inicial dos discos nas Torres de Hanói; no caso da posição do Quatro em Linha, podemos deduzir, logicamente, que as peças verdes já não conseguem evitar a derrota; e no caso da posição inicial dos discos das Torres de Hanói, não sendo possível antecipar o modo de os deslocar precisaremos de imaginar um processo heurístico para o fazer. Em muitas situações profissionais (que envolvem ou não a Matemática), e também em situações não profissionais, é necessário recorrer à conjugação destas duas formas de agir. Então, numa Ludoteca, ao brincarem, os jovens também se preparam para as suas futuras vidas como cidadãos.

Se além dos «quebra-cabeças» e dos «jogos de reflexão» pensarmos nas muitas outras actividades lúdicas que podem ser propostas numa Ludoteca escolar, há ainda outros argumentos que justificam que se brinque nas escolas, como os do desenvolvimento das capacidades de concentração, das motoras e das associadas ao relacionamento entre iguais e entre gerações.

Torres de Hanói: ver mensagens «0044» e «0050»
Quatro em Linha: nunca me referi a este jogo neste blogue; ele é parecido com o Cinco em Linha (mensagem «0004»), com duas diferenças, basta alinhar 4 peças próprias para vencer o jogo e as peças vão sendo dispostas no tabuleiro (que é vertical) por gravidade (a partir de uma ranhura existente no bordo superior)

[0264] Regresso

 Cabo Espichel (concelho de Sesimbra), nas redondezas do Farol:

Fotografias: Pedro Esteves (em 22 de Março de 2021)

[0263] O quebra-cabeças «Master Mind»

Os tabuleiros das versões comerciais deste quebra-cabeças, inventado em 1970 por Mordecai Meirowitz, são muito semelhantes ao seguinte:

O desafio implícito neste quebra-cabeças exige dois parceiros, um para o lançar e outro para o resolver.
Ambos têm à disposição um grande conjunto de pinos, com sete cores distintas. Aquele que lança o desafio escolhe quatro desses pinos, com uma combinação de cores à sua escolha, e coloca-os num local onde só podem ser vistos por si (na figura, esses pinos estão em primeiro plano, e têm quatro cores diferentes: verde, azul, laranja e roxo). E aquele que resolve o desafio deve descobrir, através de sucessivas tentativas e deduções, quais são as cores dos pinos escolhidos pelo outro parceiro e em que posição se encontram.
No exemplo figurado, a primeira tentativa feita pelo parceiro adivinhador (visível na linha mais afastada) foi constituída por dois pinos amarelos e dois pinos verdes.
O seu parceiro deve então informá-lo do resultado dessa tentativa: coloca ao lado dela mini-pinos que indicam quantos pinos da tentativa feita têm a cor certa: se estão na casa errada (neste caso é só um), assinala cada um deles com um mini-pino branco; se estão na casa certa (neste caso não há nenhum), assinala cada um deles com um mini-pino laranja.
O adivinhador, tendo em conta estas indicações, faz uma segunda tentativa (neste exemplo o seu resultado foi assinalado por um mini-pino de cada cor). E depois uma terceira, e assim sucessivamente, até acertar (no caso desta figura foram necessárias seis tentativas, a que correspondem quatro mini-pinos laranja).

Trata-se de um desafio que mistura um pouco de probabilidades (baseadas nas combinações possíveis das cores) com muita lógica.

Se se colocarem vários adivinhadores lado a lado, com a mesma configuração de cores a adivinhar e sem que cada um possa olhar o tabuleiro dos outros, este quebra-cabeças é transformado num jogo.

Se não houver um tabuleiro comercial aí em casa, mas uma grande vontade de o experimentar, pode-se, por exemplo, usar uma simples folha de papel quadriculado e, em vez de pinos coloridos, usar números de 1 a 7 para os simular (para os mini-pinos basta simulá-los através de duas letras: um S (de «Sim») para lugar certo e um N (de «Não») para lugar errado).
Boas tentativas!

 

Fonte (texto e imagem): Wikipédia

As regras deste jogo podem ser descarregadas da Drop Box acessível a partir da página «Documentos» deste blogue

[0262] A cidade e a memória

 

Italo Calvino (1923-1985), em As Cidades Invisíveis (1972), imagina Marco Polo a descrever ao imperador Kublai Khan as cidades que visitara. Por vezes afasta-se para observar os dois homens e procura perceber o que pensam, ou poderiam pensar:

“Marco entra numa cidade; vê alguém numa praça viver uma vida ou um instante que poderiam ser seus; no lugar daquele homem agora poderia estar ele se tivesse parado no tempo muito tempo antes, ou se muito tempo antes numa encruzilhada em vez de tomar uma estrada tivesse tomado a oposta e ao cabo de uma longa volta viesse encontrar-se no lugar daquele homem naquela praça. Agora, daquele seu passado verdadeiro ou hipotético ele está excluído; não pode parar; tem de prosseguir até outra cidade onde o espera outro seu passado, ou algo que talvez tivesse sido um seu possível futuro e agora é o presente de outro qualquer. Os futuros não realizados são apenas ramos do passado: ramos secos.”

A memória é o tema que domina a descrição de Marco Polo sobre cinco das cidades que visitou.

Ao viajante que chega a Diomira “numa noite de Setembro, quando os dias já diminuem e as lâmpadas multicolores se acendem todas ao mesmo tempo por cima das portas das lojas de peixe frito, e de um terraço uma voz de mulher grita: uh!”, apetece-lhe “invejar os que agora pensam que já viveram uma noite igual a esta e que então foram felizes.”

Mas é em Isidora que o viajante encontra“a cidade dos seus sonhos: com uma diferença. A vida sonhada continha-o jovem; a Isidora chega em idade tardia. Na praça há o paredão dos velhos que vêem passar a juventude; ele está sentado em fila com eles. Os desejos são já recordações.”

Descrever “Zaira tal como é hoje deveria conter todo o passado de Zaira. Mas a cidade não conta o seu passado, contém-no como as linhas da mão, escrito nas esquinas das ruas, nas grades das janelas, nos corrimões das escadas, na antenas dos para-raios, nos postes das bandeiras, cada segmento marcado por sua vez de arranhões, riscos, cortes e entalhes.”

É inútil partir “em viagem para visitar a cidade [de Zora]: obrigada a permanecer imóvel e igual a si própria para melhor ser recordada, Zora estagnou, desfez-se e desapareceu. A Terra esqueceu-a.”

Em Maurília “o viajante tem de gabar a cidade nos postais e preferi-la à presente, com o cuidado porém de conter o seu desgosto pelas mudanças”: “a magnificência e prosperidade de Maurília transformada em metrópole, se comparadas com a velha Maurília provinciana, não compensam uma certa graça perdida, a qual contudo só poderá ser gozada agora nos velhos postais”; mas nem estes “representam Maurília como era, mas sim outra cidade que por acaso se chamava Maurília como esta.”

 

Fonte: livro de Calvino (2006; pp. 11, 12, 14-15, 19-20, 30-31 e 33-34)
Imagem: capa de uma das edições em português

[0261] Paragem na «Station Champs-Elysées-Clemenceau», em Paris VIII

Há duas estações de metropolitano que celebram a amizade luso-francesa, uma em Lisboa, a estação Picoas, e a outra em Paris, a estação Champs-Elysées-Clemenceau. Uma das saídas da primeira imita as estações parisienses concebidas no início do século XX, com o seu inconfundível estilo Arte Nova. E as decorações murais do interior da segunda foram concebidas por Manuel Cargaleiro, em azulejo, umas inauguradas em 1995, as mais recentes em 2019.

 

Agora não estamos em tempo de viagens físicas, mas como podemos realizar virtualmente algumas, sendo esta uma delas, venham daí comigo:

Trouxeram o cartão?

Se quiserem obter mais informações, façam o favor de clicar aqui.

Estas decorações são descritas como «geométricas», o que se apoia nos elementos básicos usados por Manuel Cargaleiro, sobretudo «círculos» e «quadrados». Nalguns casos estas figuras esboçam um «friso», noutros dispõem-se de modo simétrico a um ou mais eixos, mas em nenhum caso sugerem a infinitude do «papel de parede». E em certos locais da estação agrupam-se, como se quisessem lembrar a cidade que fica mais acima …

 

Fonte (texto e fotografias): sítio de Paris La Douce

[0260] A Música e a Humanidade

Passados oitenta anos sobre a sua descoberta, numa gruta pré-historicamente ocupada em Marsoulas, nos Pirinéus, a concha de um búzio que abrigou um Caracol-do-mar (Charonia lampas) foi reclassificada como um antigo instrumento de sopro.

Tendo como dimensões máximas 31 centímetros de altura, 18 centímetros de largura e 0,8 centímetros de espessura, foram nela identificadas perfurações que a adaptaram à produção de sons e decorações que a tornaram num objecto simbólico.
A sua datação arqueológica atribui-lhe cerca de 18 mil anos de idade, o que a torna um dos mais antigos instrumentos musicais conhecidos (ver mensagem «0023»). Aqueles que a fabricaram e utilizaram teriam de usufruir de uma extensa rede de trocas, pois a costa atlântica situa-se a mais de 200 quilómetros de distância da gruta.

Com a ajuda de um tocador de trompa, foi possível produzir com esta concha três sons próximos das notas «dó», «ré», e «dó sustenido», segundo a moderna nomenclatura musical.
Carregue neste neste link e ouça esses sons:

Fonte (texto e imagens): artigo de Freitas (2021)

[0259] O testemunho e a visão de David Attenborough

Nascido em 1926, David Attenborough publicou em 2020, com 94 anos, um livro. Trata-se do seu testemunho sobre a saúde do nosso planeta, que ele tão amplamente conheceu como divulgador, e da sua visão sobre o que estamos a fazer, mas muito precisamos reforçar, para que ele não se degrade irremediavelmente:

Sendo um livro de muito fácil leitura, não dispensa a síntese, recorrendo para isso ao chamado Modelo Donut, que quantifica a situação de nove áreas naturais chave para nos proporcionar uma descrição do estado do planeta:

Quanto ao futuro, David Attenborough resume, através de um slogan simples de recordar, o que temos urgentemente de garantir: “Temos de tornar o mundo selvagem outra vez!”
Mas para que o consigamos talvez precisemos, acrescento eu, de o reforçar através de um outro slogan: “Temos de nos tornar humanos não domesticados outra vez!”

 

Fonte: Attenborough (2020; imagem da p. 123; citação da p. 135)

[0258] Jogos para os quais há material em casa (V): Raposa e Galinhas

Os jogos sempre estiveram em interacção com a época em que surgiram.
No tempo em que a caça era um modo de vida, foram inventados, um pouco por todo o mundo, jogos que simulavam a competição entre aqueles que caçam e aqueles que evitam ser caçados. O jogo Raposa e Galinhas (também conhecido por Raposa e Gansos) é um deles, e ainda era jogado na Europa da Idade Média.

O seu tabuleiro tem a forma de cruz, subdividida em 20 quadrados. Um dos jogadores tem treze Galinhas e o outro tem uma Raposa.

Inicialmente, as Galinhas estão juntas no fundo da cruz, como está ilustrado a seguir, ficando a posição inicial da Raposa à escolha do seu jogador (desde que a casa esteja livre):

A Raposa é a primeira a movimentar-se; a partir daí, os movimentos dos jogadores alternam-se.
Cada movimento é feito entre dois cruzamentos vizinhos, em qualquer direcção, de modo a terminar numa casa que esteja livre.
Alternativamente, a Raposa pode saltar sobre uma Galinha que esteja numa casa adjacente, retirando-a do tabuleiro, tal como se faz no jogo das Damas (o cruzamento de chegada tem de estar livre, claro), podendo, de uma só vez, mudando ou não de direcção, capturar diversas Galinhas. Mas, diferentemente das Damas, a capturar da(s) Galinha(s) não é obrigatória.
As Galinhas vencem se conseguirem encurralar a Raposa, impedindo-a de jogar:
A Raposa vence se capturar Galinhas suficientes para não poder ser encurralada pelas sobreviventes.

 

Como as Galinhas dispõem de alguma vantagem, este jogo deve ser jogado um número par de vezes, alternado quem joga com a Raposa e com as Galinhas.

 

Trata-se de um jogo não simétrico (pelas peças, pelos objectivos).
Existirá uma estratégia ganhadora para um dos jogadores?

 

Se não puder imprimir o tabuleiro (há um ficheiro a que pode aceder na página «Documentos» deste blogue), pode desenhá-lo numa folha de papel, de preferência quadriculada.
Para a Raposa, como é só uma peça, é fácil encontrar em casa algo que a represente. Para as Galinhas, podem ser usadas moedas, ou sementes de Eucalipto apanhadas no jardim mais próximo!

[0257] Caixa Negra: um quebra-cabeças que também é uma metáfora

Para este quebra-cabeças são necessários dois tabuleiros iguais, um para quem joga, outro para o juiz (pode-se usar uma folha de papel, de que se fazem tantas cópias quantas as vezes que se quer jogar). No centro desses tabuleiros está um quadrado (a «caixa negra»), subdividido em 64 pequenos quadrados, estando a sua fronteira numerada de 1 a 32:

O juiz escolhe 4 dos pequenos quadrados do seu tabuleiro (de que só ele terá conhecimento), colocando em cada um deles uma marca. Suponhamos, como exemplo, que o tabuleiro do juiz, após a colocação das 4 marcas, é o seguinte:

O objectivo para quem joga é a localização dos 4 quadrados onde o juiz colocou as marcas, podendo para isso enviar «raios» que atravessam a caixa negra. Cada raio é enviado perpendicularmente a um dos bordos da caixa negra, sendo indicado ao juiz qual o número correspondente a esse bordo.
Como qualquer raio se desloca em linha recta, excepto se for desviado pelas marcas, o juiz vai calcular o que sucede a cada raio que é enviado, informando quem joga do quadrado onde esse raio vai sair da caixa, através do correspondente número.
As marcas podem ter duas influências sobre os raios:
(a) Os raios que chocam com ela voltam para trás;

(b) Os raios que lhe forem tangentes são desviados perpendicularmente à trajectória de tangência.
Claro, se um raio não for desviado, sairá pelo extremo oposto da caixa negra.
Será com base nas informações sobre os locais de saída dos raios, dadas pelo juiz, que o jogador irá, primeiro, conjecturar onde estão situadas as marcas, até, por fim, ter a certeza da sua exacta localização.

 

Quatro exemplos, vistos no tabuleiro do juiz:

O raio que entra em «26» é desviado por uma marca, saindo em «23».
O que entra em «28» é desviado, em sentidos opostos, por duas marcas, pelo que volta para trás.
O raio que entra em «32» também volta para trás, dado ter chocado com uma marca.
O raio que entra em «14» é desviado duas vezes, saindo em «10»

 

Ao fim do número suficiente de tentativas, é possível concluir onde estão situadas as marcas.

 

Este quebra-cabeças pode ser transformado num jogo, havendo então um juiz e vários jogadores que tentam descobrir o posicionamento das mesmas marcas (aquele que fizer menos tentativas ganha).

 

A designação «Caixa Negra» é uma metáfora para o desafio básico da Ciência: a realidade é uma caixa negra que tem de ser desvendada através de sucessivas experimentações. Talvez o melhor exemplo para esse desafio é o da compreensão do que são as estruturas atómicas e subatómicas: literalmente, a matéria é bombardeada por raios, sofrendo estes desvios que ficam registados em detectores; as razões pelas quais esses desvios ocorreram são depois estudadas e levam à formulação de teorias sobre o que os provocou …

 

Estas regras e um tabuleiro encontram-se num ficheiro acessível na Drop Box a que se acede através da página «Documentos» deste blogue, escolhendo aí «Quebra-cabeças».

 

Desenhos: Pedro Esteves

[0256] Os azulejos didácticos dos jesuítas em Évora

Lembrou o investigador Francisco António Lourenço Vaz:

“Poucos anos antes da extinção da Universidade de Évora, determinado pelo Marquês de Pombal em 1759, as aulas do Colégio Espírito Santo foram revestidas com azulejos [didácticos], obra concluída em 1749, ou seja, 10 anos antes da extinção. Esta pode ter sido a última reforma pedagógica dos jesuítas na Universidade de Évora.”

 

O uso de azulejos, como forma de reforçar ou ilustrar os ensinos ministrados com o apoio de manuais (possuidores de poucas imagens), fora determinado mais de uma década antes, tendo já sido concretizado no Colégio de Santo Antão em Lisboa e no Colégio das Artes em Coimbra.
Em Évora, os painéis de azulejos destinados a apoiar o ensino do Latim, das Humanidades e da Retórica foram colocados em oito salas; e os destinados ao apoio ao ensino das Artes em cinco: a aula de Geometria (sala 114), cujo ensino era propedêutico para a Física, a de Filosofia (sala 119), a de Física (sala 120) e a de Metafisica (sala 121).

 

Nos dois seguintes painéis, instalados na sala 114, estão tratados temas relacionados com a Geometria, a Astronomia e a Balística:

E neste outro painel, um dos instalados na sala 120, está ilustrada a célebre experiência de Magdeburgo, que demonstrou a existência de pressões próximas do vácuo, um tema da Física:

Fonte: PDF de Vaz (2020)

Fotografias (um pouco recortadas): Eva Maria Blum (2015)

[0255] O tempo de Vida da Terra reduzido a «dois metros»

Há pelo menos dois tipos de modelos que procuram transmitir-nos uma noção do que são as durações muito grandes, como o tempo de Vida da Terra (cerca de 4 600 milhões de anos) ou o tempo de Vida do Universo (entre 13 000 e 15 000 milhões de anos).Um desses modelos aposta na sensibilidade que desenvolvemos à duração do dia e do ano, dado estarmos permanentemente expostos a um e a outro. E o outro modelo também aposta na nossa sensibilidade, mas a outra medida: a dos comprimentos. Na mensagem «0181», que prolongava a «0128», referi um exemplo deste segundo modelo, o de fazer com que um passo nosso equivalesse à passagem de um século (mostrando de quantos passos precisaríamos para regressar a diversos momentos do passado).
Volto desta vez ao modelo dos «comprimentos», inspirado numa ideia de John McPhee: reduzir o tempo de vida da Terra à distância entre as pontas dos dedos dos braços estendidos.

Recorrendo-me da parte superior do célebre desenho de Leonardo da Vinci, e regressando ao tema da Vida da Terra («Ma» quer dizer «Milhões de anos»):

De acordo com esta representação,

a primeira mão, o primeiro braço, o tronco e o segundo braço correspondem ao tempo em que a vida surgiu, ao desenvolvimento das células até formar agregados de células e, depois, as primeiras formas complexas de vida, embora suficientemente toscas para quase não deixarem registo fóssil;

o Câmbrico (há cerca de 540 Ma atrás), altura em que surgiram as grandes linhagens da vida actual, só se inicia ao chegar ao pulso da segunda mão;

e a história humana está reduzida a um espaço tão pequeno, na extremidade da segundo mão, que uma só passagem com uma lima de unhas a erradicaria.

 

Fonte: Bryson (2004; p. 336)

[0254] Uma magia algébrica

A magia:

O mágico anuncia aos espectadores que quiserem participar nesta magia: qualquer que seja o número secreto que cada um escolher, todos irão convergir para o mesmo número; como mágico, irei adivinhar, antes de todos começarem a trabalhar, qual é esse número; e não farei perguntas.

Um exemplo:

A justificação:

Para demonstrar que este «truque» funciona é necessário recorrer à Álgebra. E verificar, entre outras coisas, se é adequado o universo dos números proposto aos espectadores (maior ou igual a 51 e menor ou igual a 100).

O mágico não revelou que o número dado aos espectadores (neste exemplo foi o 68), adicionado ao número final (desta vez o 31) é igual a 99! E também não revelou que esse número está sujeito à mesma regra dos números que cada espectador deve escolher (maior ou igual a 51 e menor ou igual a 100).
Então, algebricamente, cada espectador escolhe um número inteiro, N, e o mágico dá-lhe outro número que é igual a 99 – S, sendo S o número que está dentro do envelope (a «solução»). Seguem-se os seguintes passos:

N + 99 – S

N + 99 – S – 100

N + 99 – S – 100 + 1

N – N + 99 – S – 100 + 1

Reparem, portanto: N anula N; 99 – 100 + 1 também se anulam; apenas sobra o S …´

Difícil?

 

Fonte: livro de Kordemsky (1978; pp. 131-132)

[0253] As «diferenças entre alunos» ou as «diferenças entre países»?

A última edição do TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study, o estudo internacional que visa conhecer, de 4 em 4 anos, os desempenhos dos alunos do 4º e do 8º anos em Matemática e Ciências), foi realizada em 2019 e os seus resultados divulgados no final de 2010.

Num dos nossos jornais os resultados obtidos por alunos portugueses foram resumidos através dos seguintes quadros:

Os comentários públicos que foram sendo conhecidos através de vários meios de informação centraram-se na descida das médias dos nossos do 4º ano e na correspondente descida da classificação. Pouca atenção foi dada às diferenças de género e entre escolas públicas e privadas. E nenhuma atenção foi dada à diferença entre os diversos desempenhos dos nossos alunos, que o olhar apenas focado nas médias não captura.
Em vez de nos compararmos obsessivamente com outros países, não será principalmente sobre as nossas diferenças internas que devemos conversar?

 

Fonte das imagens: Jornal de Notícias de 9 de Dezembro de 2020

 Para quem quiser informações vindas directamente dos organizadores deste estudo, ver: www.timss.org

[0252] A Música e a Cidade

O som que predomina nas cidades talvez seja uma mistura dos produzidos pelo trânsito e pelas vozes mais próximas. Podem juntar-se-lhes outros sons, como o de um prédio em obras, como o de um pregão. Se não for muito agressivo, o som que predomina nas cidades pode ser reconfortante, ao diz-nos que não estamos sozinhos.
Em momentos e em locais particulares, o som das cidades pode ser muito específico: insuportável (num engarrafamento), entusiasmante (num estádio), fervilhante (num mercado), …

 

E se grande parte de uma cidade tivesse como único som (ou pelo menos principal) a música?
Em Frankfurt am Main, na véspera do Natal, dez igrejas harmonizaram musicalmente os seus sinos, coordenaram digitalmente os seus movimentos e, pelo fim da tarde, proporcionam-nos um concerto.
Experimente (são 25 minutos e 33 segundos).

Clique em Das Große Stadtgeläute von Frankfurt am Main | Stadt Frankfurt am Main
carregue em Speichern (se lhe solicitarem cookies)
e desça pela página, até encontrar esta imagem (onde terá de clicar de novo):

Este ano, para não favorecer a aglomeração de pessoas, devido à pandemia, não houve concerto ao vivo. Mas o concerto foi disponibilizado pela internet.

Deve ser raro uma cidade dar de si uma tal imagem.
Mas não é difícil que uma pequena comunidade, como a de uma escola (que é uma cidade em miniatura), dispondo de um espaço próprio e da possibilidade de decidir muito do que nele faz e quando, o possa fazer.
Não querem experimentar?!

 

Fonte: sítio da Stadt Frankfurt am Main