[0351] Um ilusionismo baseado na Partição de Perigal

É na Partição de Perigal que se baseia uma das demonstrações mais estéticas do Teorema de Pitágoras.

Este teorema, que tanto pode ser enunciado de forma algébrica (a célebre lengalenga da «soma dos quadrados dos catetos» ser igual ao «quadrado da hipotenusa») como de forma geométrica (os anteriores «quadrados», a x a, b x b e c x c, passam a ser interpretados como «áreas de quadrados»), foi elegantemente demonstrado no século XIX pelo matemático inglês Henry Perigal (1801 – 1898).
Qual foi o seu método?

A partir do desenho de qualquer triângulo rectângulo (escolhi um com catetos 3 x 5 cm, a verde no desenho) desenhamos três quadrados que têm como um dos lados os seus catetos e a sua hipotenusa (não estão coloridos no desenho). O resultado é este:

A interpretação geométrica do Teorema de Pitágoras diz-nos que a área do quadrado pequeno (à esquerda) mais a área do quadrado médio (em baixo) é igual à área do quadrado grande (em cima à direita). Como demonstrou Perigal esta afirmação?

Primeiro é preciso cortar o quadrado médio duas vezes, de tal modo que os dois cortes se cruzem no seu centro, sendo um deles paralelo e o outro perpendicular à hipotenusa (ou seja, cada um deles é paralelo a dois lados do quadrado grande).
Decidi colorir (a amarelo) os quatro quadriláteros resultantes e colorir também (a azul) o quadrado pequeno:

A Partição de Perigal é o resultado dos cortes que deram os quatro quadriláteros amarelos.
Agora, Perigal, dispondo de cinco polígonos (o azul e os quatro amarelos) com uma área total igual à área dos dois quadrados mais pequenos, «compôs» (que é o inverso de «partir») com eles o quadrado grande. E obteve isto:

É claro que Perigal ainda não tinha acabado a sua demonstração, mas o que falta já não interessa para perceber o que se passa no «ilusionismo» referido no título desta mensagem.

O referido «ilusionismo» surgiu-me através de um vídeo divulgado por uma das chamadas «redes sociais» (acessível através de https://www.facebook.com/reel/1012762403394683).
Que é nele mostrado?
Numa moldura de madeira, quadrangular, encontram-se encaixados quatro quadriláteros que imediatamente lembram os da Partição de Perigal, parecendo «bem ajustados» à moldura.
Após serem retirados de lá, é-nos mostrado um quadradinho, bastante pequeno, que é colocado no centro da moldura. Por fim, cada um dos quatro quadriláteros regressam à moldura, preenchendo todo o espaço deixado livre pelo quadradinho.
Com foi possível a moldura ter estado totalmente preenchida pelos quatro quadriláteros e, afinal, ainda permitir, com outra disposição, acolher mais um quadradinho?



Comentários:

Há outras «magias» baseadas no efeito usado nesta: existe uma pequena folga numa das configurações, enquanto na outra configuração não existe qualquer folga.
Neste caso, a folga estava na primeira configuração, e ela corresponde à área do quadradinho que surge na segunda configuração, mas distribuída por todo o perímetro da moldura.
Para o entender, basta considerar as fases da demonstração de Perigal: se o cateto mais pequeno for mesmo muito pequeno (equivalente ao «quadradinho»), o quadrado médio vai ser quase do tamanho do quadrado grande. Se a moldura tiver a dimensão do quadrado grande, a colocação dos quatro quadriláteros quase o preenche por completo, criando a ilusão visual de não haver espaço vazio ...

Este truque ilusionista é, no fundo, um pouco parecido com as demonstrações do Teorema de Pitágoras que são feitas nas escolas: quando se chega ao momento de ver tudo em pormenor (medidas dos lados e dos ângulos, etc.), que é onde a demonstração se consolida, tudo se precipita e a lição está terminada.

Tal «c.q.d.» («como queríamos demonstrar»)


Desenhos: Pedro Esteves
Fotografia: pesquisa via Google