[0236] O Báculo de Jacob: um instrumento de medição a usar na Matemática escolar (V)

O Triângulo do Lenhador (mensagem «0228»), o Gnómon (mensagens «0229» e «0231») e a Prancheta (mensagem «0232») são instrumentos auxiliares numa estratégia de medição de comprimentos baseada nas figuras semelhantes.

Um outro instrumento auxiliar na medição de comprimentos é o Báculo de Jacob. Foi usado na Idade Média em operações de topografia e agrimensura, tendo sido descrito por Levi ben Gerson (1288 - 1344) e, já no século XVI, por Oronce Fine, que nos deixou a seguinte ilustração do seu uso:

Desta vez a estratégia de medição não se baseia em figuras semelhantes, mas nas propriedades algébricas das figuras geométricas.

Esquematicamente, o Báculo de Jacob é constituído por uma régua (cujos pontos extremos são A e B, na figura seguinte) e por uma travessa, que lhe é perpendicular (pontos C e D), podendo a travessa deslizar, através de uma ranhura situada na sua zona média (E), ao longo da régua:

Para calcular a distância entre dois pontos (F e G, na próxima figura) o observador tem de efectuar duas medições (tal como se mostra, acima, na ilustração de Oronce Fine):

Primeira medição: o observador, colocado em A, aponta a régua a [FG]; deslocando a travessa ao longo de [AB], procura a posição desta de modo a sobrepor, à sua esquerda, a visão de C e F e, à sua direita, a visão de D e G;

Segunda observação: fazendo a travessa recuar, em direcção a A, de um comprimento (h) igual ao de [CD], o observador avança para uma nova posição que lhe permita sobrepor as visões de C` e F e de D` e G.

Conclusão: a distância (d) entre A e A` é igual à distância entre F e G

Demonstração (ver nova figura): pretende-se mostrar que o comprimento de [FG], ou y, é igual a d;

convenciona-se que o comprimento de [CD], igual ao de [C`D`], é igual a h e que a distância de A a [FG] é x; então, pelo teorema de Tales, o comprimento de [AE] está para h assim como x está para y; do mesmo modo, o comprimento de [A`E`] está para h assim como x-d está para y; o comprimento de [A`E`] pode ser substituído pelo comprimento de [AE] subtraído de h; então

pelo que y = d.

Generalização: admite-se que a régua está graduada em unidades iguais a h, a partir de A (ponto de observação); segue-se o procedimento técnico descrito atrás, com a única diferença de a travessa ser deslocada de uma distância qualquer (e não forçosamente igual a h), ou no sentido de A, ou no de B; então, se a travessa for deslocada de n unidades (n ▪ h) e raciocinando de modo semelhante ao anterior, conclui-se ser n ▪ y = d (com y e d em metros, por exemplo) e, portanto,

y = d / n;

 resolvendo a primeira equação em ordem a x vem x = y ▪ comprimento de [AE] / h (com x e y em metros e comprimento de [AE] e h em unidades de h, o que implica ser h igual a 1), pelo que

x = y ▪ comprimento de [AE] = (d ▪ comprimento de [AE]) / n

Em termos práticos, é preciso:

·      ler na graduação da régua as duas posições da travessa, calcular o módulo da sua diferença (igual a n) e registar o valor da posição inicial (comprimento de [AE])

·      medir a deslocação efectuada entre as duas posições de observação (d; em metros, por exemplo)

·      calcular o comprimento inacessível (y = d / n, que virá em metros se d for medido em metros)

·      calcular a distância a que a posição de observação inicial está do ponto médio do comprimento inacessível (x = y ▪ comprimento de [AE], que também virá em metros)

Fonte: livro de Reis (1996; p. 84) e folheto de Ransom

Desenho das figuras: Pedro Esteves

[0235] A Tapeçaria de Bayeux e o cometa Halley

Ao descrever o reinado dos primeiros doze césares (período da história de Roma entre meados do século I a. C e o final do século I d. C.), Suetónio (69 – cerca de 141 d. C.) refere, em pelo menos duas ocasiões, que o surgimento de uma “estrela cabeluda” nos céus foi interpretado pelos romanos como um alerta para a eminente ocorrência de importantes acontecimentos.

As estrelas cabeludas, hoje conhecidas por cometas, visitam-nos regularmente, sendo compreensível que a sua passagem aconteça na proximidade temporal de algum acontecimento mais ou menos saliente, algures, à superfície deste vasto e agitado planeta.

Entre os casos mais interessantemente documentados está o da aparição do cometa Halley em 1066 d. C.. Nos anos anteriores a Inglaterra começara a sentir o problema da sucessão dinástica, tendo o seu rei, Eduardo, sem descendentes, decidido enviar ao rei Guilherme da Normandia a indicação de que deveria ser seu sucessor (havia intrincadas relações familiares entre estas duas dinastias). No entanto Harald, um nobre inglês, opôs-se a dada altura a esta solução e quando Eduardo morreu, em Janeiro de 1066, proclamou-se rei de Inglaterra, opondo-se assim a Guilherme. Mas o aparecimento do cometa, na Primavera, foi considerado como um mau augúrio pelos seus apoiantes.

Esta história foi registada na chamada Tapeçaria de Bayeux, e termina com a invasão de Inglaterra por Guilherme e a derrota de Harald na batalha de Hastings:

Esta tapeçaria, originalmente com quase 70 metros de comprimento por meio metro de altura, pode ser olhada por nós como se se tratasse de uma banda desenhada, tendo sido realizada pouco depois dos acontecimentos que relata, talvez ao longo de dez anos, encontrando-se em Bayeux, na Normandia.

Há relatos históricos que podem estar associados a outras passagens do cometa Halley pelos nossos céus antes de 1066. Mais seguros são os registos referentes às passagens posteriores: em 1145, 1222, 1301, 1378, 1456, 1531, 1607, 1682, 1759, 1835, 1910 e 1986.

O inglês Edmundo Halley (1656 – 1742), depois de estudar os registos das passagens de 1531, 1607 e 1682, concluiu tratar-se do mesmo cometa, prevendo o ano em que voltaria a cruzar os céus da Terra.

 

Uma modelação da última passagem, em 1986, pode ser vista em:

Ver: animação do Trajecto do cometa Halley em 1986

A próxima passagem deste cometa está prevista para … 2061.

 

Fontes: livro de Suetónio (2007; pp. 332 e 417); catálogo da exposição «Die letzten Wikinger / Les derniers Vikings», do Archäologisches Museum Frankfurt (2009), em particular os artigos de Bertelsen (pp. 16-26) e de Byørn (pp. 38-47); Wikipédia (versão inglesa); Wikipédia (para o cometa e para Edmund Halley)

As três primeiras imagens são da Tapeçaria de Bayeux

[0234] Criação e recolha de «frisos de padrão» nas actividades escolares

Escolhendo como peça inicial o canto de um dos azulejos sevilhanos referido na mensagem anterior, eis um exemplo de cada um dos 7 frisos de padrão:

Estes são padrões genéricos, de que nos podem surgir outros exemplos em calçadas, em azulejos, em tapetes, em cestos, etc..

Intencionalmente, a peça escolhida como inicial não possui qualquer simetria, correspondendo à peça inicial do friso de tipo «11». A partir dela, através de isometrias, foram formados os exemplos de peças iniciais dos outros tipos de friso:

Procedendo a infinitas translações de cada uma destas peças obtém-se o respectivo friso.

Todos os tipos de frisos são invariantes se submetidos a determinadas transformações isométricas (a seguir descritas a verde):

Na escola, a criação de frisos de padrão é uma possível estratégia para estudar as transformações isométricas. Ela pode ser precedida, ou sucedida, pela recolha (fotográfica, pictográfica) e identificação de frisos de padrão patentes nas diversas facetas da cultura local.

[0233] Três frisos de azulejos de padrão, num novo museu, em Estremoz

Na mensagem «0148» foi apresentada uma adaptação de um dos fluxogramas que têm sido usados para classificar os frisos que dispõem de um padrão.

Se se tratar de frisos com duas cores (por exemplo, azul sobre fundo branco), há apenas 7 padrões matematicamente possíveis. Na nova adaptação daquele fluxograma que é apresentada a seguir, eles são identificados a partir da conjugação de perguntas (a vermelho) às quais só se pode responder com «Sim» ou «Não» (a azul), conduzindo a uma classificação através de símbolos (a verde):

Entre as peças referidas no catálogo da exposição 800 Anos de História do Azulejo, patente no Museu Berardo Estremoz (recentemente inaugurado), três delas exemplificam os casos mais frequentes destas padrões.

Friso mm

Peça proveniente de Sevilha (séculos XV-XVI):

Possui dois tipos de eixo de simetria, um vertical e outro horizontal. Tem só um eixo horizontal. Mas existem infinitos eixos verticais (considera-se que o friso se estende sem fim, tanto para a esquerda como para a direita), em posições semelhantes às exemplificadas:

Friso m1

Peça proveniente de Sevilha (século XVI):

Apenas possui um tipo de eixo de simetria, vertical, embora as suas concretizações possam ser infinitas, como no caso anterior:

Friso 11

Peça proveniente de Lisboa (século XIX-XX):

Não possui qualquer tipo de eixo de simetria, nem um centro de rotação de 180º. Apenas repete uma figura (assinalada), através de sucessivas translações horizontais (dado exemplo):

Fontes: livro de Coxford, Burks, Giamati e Jonik (1993; p. 45); catálogo (em PDF) de exposição patente no no Museu Berardo Estremoz (2020; pp. 58-59, 72-73, 124-125 e 542-543)