[0019] Mais uma magia topológica, baseada na curva de Jordan

A curva representada abaixo chama-se curva de Jordan: é contínua, não se cruza a si mesma e termina onde começou.

Intuitivamente, sabemos que esta curva divide o plano em duas regiões, uma «interior» e outra «exterior».

Foto de Pedro Esteves,

tirada no Ciência Viva do Parque das Nações, em 2006

O ponto «X» está obviamente no «exterior». Mas o ponto «A», onde está?

Interessei-me por este problema concreto porque percebi que ele permite uma «Magia com Matemática» muito interessante:

um chão de Ginásio com uma corda disposta como uma enorme curva de Jordan;

a Julieta e 5 seus dos furibundos familiares de um lado;

o Romeu e 5 dos seus carrancudos familiares do outro;

acima, à volta, o público torcendo-se de desespero;

o Mágico distribuindo, uma a uma, as 12 personagens pelo labirinto formado pela curva, aparentando estar a tomar decisões aleatórias;

os membros de cada uma das famílias olhando os da outra, pensando o que vocês imaginam;

e a Julieta e o Romeu olhando-se como vocês sabem;

e depois a corda, lentamente puxada, de modo a manter cada protagonista no seu lugar;

e ops!, no meio, fechados para sempre, os 10 familiares ludibriados pelo Mágico, e no exterior, a Julieta e o Romeu livres das chatices familiares para sempre;

e, claro, o público em delírio!!!

Ei!, e como é que o Mágico, na sua aleatoriedade ilusória, dispõe as 12 personagens?

Observem como, sempre que se atravessa a corda, se muda do «exterior» para o «interior», do «interior» para o «exterior», e assim sucessivamente:

Nunca concretizei esta Magia, talvez pela sua grande dimensão, talvez por não andar à procura de «espectáculo».

Mas na 4ª feira passada, conversando sobre Magias e Labirintos com as minhas colegas Ângela Queiroz, Conceição Tomaz, Filomena Viegas, Maria do Céu Vigário, Rita Vieira e Teresa Nascimento, começámos a pensar em fazê-lo.

Mas levantou-se um problema engraçado: se dispusermos de um chão com 20 x 20 metros, de quantos metros de boa corda precisaremos para construir uma curva deste tipo?

Apesar da nossa intuição, não é fácil demonstrar matematicamente a afirmação de que o plano fica separado em duas regiões por esta curva, uma «interior» e outra «exterior»; foi Camille Jordan que o conseguiu fazer pela primeira vez, em 1887.

Inspiração: Gardner (1991; pp. 96-100)

Referência à demonstração: Wikipédia