[0018] Adivinha baseada na organização dos calendários

Os calendários que usamos, desde os tradicionais (para colocar na carteira ou pendurar na parede) aos disponibilizados pelos telemóveis, organizam os 28 a 31 dias de cada mês num rectângulo com 7 x 4, ou 7 x 5, ou 7 x 6 casas.

Esta forma de organizar uma sequência de números confere-lhe uma interessante propriedade matemática que o mágico Stover explorou, na chamada previsão de Stover, e que funciona assim:

• pede-se a alguém que escolha num calendário um quadrado 4 x 4 e que o escreva num quadro;
• o mágico diz-lhe que lhe vai pedir para escolher 4 desses 16 números e anuncia que vai prever a sua soma (escreve-a algures, deixando o registo à guarda de alguém insuspeito);
• o participante escolhe então um número e o mágico pede-lhe para cortar os outros números que estão na mesma horizontal (são três) e na mesma vertical (outros três);
• o participante escolhe um segundo número (entre os disponíveis), e corta mais quatro números, de acordo com a instrução anterior;
• o participante escolhe um terceiro número entre os disponíveis e corta mais dois números; resta-lhe um último número disponível, que terá, portanto, de ser a sua quarta escolha;
• finalmente, o mágico pede à assistência para fazer a soma dos quatro números escolhidos e depois pede a alguém que confira a sua previsão – que está certa.

Um exemplo das quatro escolhas (e respectivos cortes), dado um quadrado

4 x 4 qualquer:

Donde, a soma: 6 + 12 + 21 + 25 = 64.

Que fez o mágico?

Ou melhor: que Matemática está implícita no quadrado e que é possível aproveitar?

Designando por X o número mais baixo no quadrado 4 x 4 (está no canto superior esquerdo) e verificando que

• «andar um quadrado para a direita» é o mesmo que adicionar «1» ao número desse quadrado e
• «andar um quadrado para baixo» é o mesmo que adicionar «7» ao número desse quadrado,

então o exemplo dado acima pode ser visto assim (número de casas andadas para a direita a vermelho; e 7 vezes o número de casas andado para baixo a azul):

Dada a regra (imposta na escolha dos números …) de só poder haver um número em cada fila, vertical ou horizontal, a soma dos quatro números escolhidos incluirá sempre as seguintes parcelas:

X + X + X + X = 4 X

0 + 1 + 2 + 3 = 6

0 + 7 + 14 + 21 = 42

= 4 X + 48

O mágico só precisa de olhar para o número mais baixo (X) e calcular mentalmente: 4 X + 48.

Para quem procura entender os fundamentos desta «adivinha», esta é uma interessante oportunidade para desenvolver a sensibilidade para as propriedades das sequências numéricas.

Inspiração: Gardner (1991; p. 65)