terça-feira, 31 de janeiro de 2017

[0020] Martin Gardner (1914-2010)

Martin Gardner não frequentou aulas de Matemática para além das do Ensino Secundário. É, no entanto, considerado como um dos maiores divulgadores da Matemática de sempre.
Formou-se em Filosofia, interessou-se por uma grande variedade de temas (Matemática, Magias, Arte, Jogos e Quebra-cabeças, Religião, Ciência, Literatura). Durante 25 anos (de 1956 a 1981), escreveu artigos de divulgação na coluna «Mathematical Games» da revista «Scientific American». O grande sucesso destes artigos e dos livros que escreveu ter-se-á devido à sua capacidade para o fazer adoptando o ponto de vista do leitor.

O matemático Jorge Nuno da Silva contou o seguinte episódio sobre a sua vida:

A sua paixão pela matemática recreativa levou-o a defender a sua utilização na sala de aula, como método para cativar os alunos. Numa das suas entrevistas conta como, ainda muito novo, foi surpreendido pela professora de matemática quando investigava o Jogo do Galo. Foi repreendido: «aqui na aula só nos ocupamos de assuntos matemáticos». A sua opinião, muitos anos depois, continuava a ser a de que o Jogo do Galo é um óptimo instrumento didáctico, que permite leccionar sobre vários temas curriculares de uma forma agradável.

 Martin Gardner

(Fonte: Silva, 2014)

sexta-feira, 27 de janeiro de 2017

[0019] Mais uma magia topológica, baseada na curva de Jordan

A curva representada abaixo chama-se curva de Jordan: é contínua, não se cruza a si mesma e termina onde começou.

Intuitivamente, sabemos que esta curva divide o plano em duas regiões, uma «interior» e outra «exterior».

Foto de Pedro Esteves,
tirada no Ciência Viva do Parque das Nações, em 2006

O ponto «X» está obviamente no «exterior». Mas o ponto «A», onde está?

Interessei-me por este problema concreto porque percebi que ele permite uma «Magia com Matemática» muito interessante:

um chão de Ginásio com uma corda disposta como uma enorme curva de Jordan;
a Julieta e 5 seus dos furibundos familiares de um lado;
o Romeu e 5 dos seus carrancudos familiares do outro;
acima, à volta, o público torcendo-se de desespero;
o Mágico distribuindo, uma a uma, as 12 personagens pelo labirinto formado pela curva, aparentando estar a tomar decisões aleatórias;
os membros de cada uma das famílias olhando os da outra, pensando o que vocês imaginam;
e a Julieta e o Romeu olhando-se como vocês sabem;
e depois a corda, lentamente puxada, de modo a manter cada protagonista no seu lugar;
e ops!, no meio, fechados para sempre, os 10 familiares ludibriados pelo Mágico, e no exterior, a Julieta e o Romeu livres das chatices familiares para sempre;
e, claro, o público em delírio!!!

Ei!, e como é que o Mágico, na sua aleatoriedade ilusória, dispõe as 12 personagens?
Observem como, sempre que se atravessa a corda, se muda do «exterior» para o «interior», do «interior» para o «exterior», e assim sucessivamente:


Nunca concretizei esta Magia, talvez pela sua grande dimensão, talvez por não andar à procura de «espectáculo».
Mas na 4ª feira passada, conversando sobre Magias e Labirintos com as minhas colegas Ângela Queiroz, Conceição Tomaz, Filomena Viegas, Maria do Céu Vigário, Rita Vieira e Teresa Nascimento, começámos a pensar em fazê-lo.
Mas levantou-se um problema engraçado: se dispusermos de um chão com 20 x 20 metros, de quantos metros de boa corda precisaremos para construir uma curva deste tipo?

Apesar da nossa intuição, não é fácil demonstrar matematicamente a afirmação de que o plano fica separado em duas regiões por esta curva, uma «interior» e outra «exterior»; foi Camille Jordan que o conseguiu fazer pela primeira vez, em 1887.

Inspiração: Gardner (1991; pp. 96-100)
Referência à demonstração: Wikipédia


sábado, 21 de janeiro de 2017

[0018] Adivinha baseada na organização dos calendários

Os calendários que usamos, desde os tradicionais (para colocar na carteira ou pendurar na parede) aos disponibilizados pelos telemóveis, organizam os 28 a 31 dias de cada mês num rectângulo com 7 x 4, ou 7 x 5, ou 7 x 6 casas.

Esta forma de organizar uma sequência de números confere-lhe uma interessante propriedade matemática que o mágico Stover explorou, na chamada previsão de Stover, e que funciona assim:
  • pede-se a alguém que escolha num calendário um quadrado 4 x 4 e que o escreva num quadro;
  • o mágico diz-lhe que lhe vai pedir para escolher 4 desses 16 números e anuncia que vai prever a sua soma (escreve-a algures, deixando o registo à guarda de alguém insuspeito);
  • o participante escolhe então um número e o mágico pede-lhe para cortar os outros números que estão na mesma horizontal (são três) e na mesma vertical (outros três);
  • o participante escolhe um segundo número (entre os disponíveis), e corta mais quatro números, de acordo com a instrução anterior;
  • o participante escolhe um terceiro número entre os disponíveis e corta mais dois números; resta-lhe um último número disponível, que terá, portanto, de ser a sua quarta escolha;
  • finalmente, o mágico pede à assistência para fazer a soma dos quatro números escolhidos e depois pede a alguém que confira a sua previsão – que está certa.
Um exemplo das quatro escolhas (e respectivos cortes), dado um quadrado
4 x 4 qualquer:



Donde, a soma: 6 + 12 + 21 + 25 = 64.

Que fez o mágico?
Ou melhor: que Matemática está implícita no quadrado e que é possível aproveitar?

Designando por X o número mais baixo no quadrado 4 x 4 (está no canto superior esquerdo) e verificando que
  • «andar um quadrado para a direita» é o mesmo que adicionar «1» ao número desse quadrado e
  • «andar um quadrado para baixo» é o mesmo que adicionar «7» ao número desse quadrado,

então o exemplo dado acima pode ser visto assim (número de casas andadas para a direita a vermelho; e 7 vezes o número de casas andado para baixo a azul):



Dada a regra (imposta na escolha dos números …) de só poder haver um número em cada fila, vertical ou horizontal, a soma dos quatro números escolhidos incluirá sempre as seguintes parcelas:

X + X + X + X = 4 X
0 + 1 + 2 + 3 = 6
0 + 7 + 14 + 21 = 42
= 4 X + 48

O mágico só precisa de olhar para o número mais baixo (X) e calcular mentalmente: 4 X + 48.

Para quem procura entender os fundamentos desta «adivinha», esta é uma interessante oportunidade para desenvolver a sensibilidade para as propriedades das sequências numéricas.

Inspiração: Gardner (1991; p. 65)

quinta-feira, 19 de janeiro de 2017

[0017] Alexander von Humboldt (1769-1859)

Nasceu alemão, numa altura em que a Alemanha ainda estava dividida em diversos estados.
Tornou-se conhecido em todo o mundo ocidental depois de uma viagem às Américas, entre 1799 e 1804, que viria a inspirar Charles Darwin, algumas décadas mais tarde, na sua viagem no «Beagle».
Escreveu sobre essa e sobre outra viagem que realizou, à Rússia, em 1829, procurando transformar as suas observações numa visão integrada da Natureza e do Homem. Preocupou-se também com os problemas das sociedades da sua época, condenando veemente o colonialismo e a escravatura.
Influenciou um grande número de cientistas e de filósofos.

Andrea Wulf, autora de uma sua biografia, publicada recentemente, comentou assim, numa entrevista, o modo como Alexander von Humboldt articulava os seus sentimentos com o seu conhecimento:

“É uma das coisas mais importantes sobre Humboldt. Isso está a faltar por completo. Na última cimeira do clima, em Dezembro, senti falta deste sentido da natureza maravilhosa, de uma sensibilização forte e apaixonada pelo nosso planeta. Tínhamos centenas de funcionários públicos, diplomatas, linguistas, todos a esforçarem-se por chegar a acordos com base em projecções estatísticas, o que é muito importante. Mas este reconhecimento de que só vamos proteger aquilo que amamos, isso está a faltar.

Alexander von Humboldt
pintado por Friedrich Georg Weitsch em 1806    

Alexander von Humboldt integrava uma corrente de pensamento particularmente forte na Alemanha da primeira metade do século XIX e conhecida como a dos «Naturphilosophen». Eles pretendiam “transcender as distinções existentes entre o mundo físico e o mundo humano, entre a investigação abstrata e a criatividade inspirada, entre ciência e literatura.” E opunham-se aos “filósofos mecânicos”, como Descartes e Newton (Fara, 2013; pp. 229-230).

Por isso, Humboldt, que media compulsivamente uma grande variedade de fenómenos, ficou conhecido pelas suas inovações na interpretação qualitativa e global do mundo e não pelas medidas que sobre este coleccionou. Escreveu ele (citado por Wulf, 2016; p. 93): “Aquilo que fala à alma escapa às nossas medições.

(Fontes: Fara, 2013; Wulf, 2016; Wulf, entrevistada por Ferreira, 2016)

sábado, 14 de janeiro de 2017

[0016] A exposição temporária «Azulejos portugueses de padrão (séculos XVII – XX)»

Está patente no Museu Nacional do Azulejo (Lisboa), até Fevereiro de 2017.

Da apresentação feita pelo Museu (em www.museudoazulejo.pt/):
A par da azulejaria figurativa, os padrões tiveram sempre uma importante presença na azulejaria portuguesa, desde logo no século XVII em que das olarias de Lisboa saiu uma enorme variedade de exemplares que, formando «tapetes», foram revestir as paredes interiores de igrejas, conventos e palácios.
Na primeira metade do século XVIII, período de domínio da azulejaria figurativa, o padrão foi pouco utilizado, regressando após o Terramoto de 1755 para o revestimento interior dos novos edifícios da Lisboa «pombalina».
Já na segunda metade do século XIX, o azulejo de padrão teve um grande incremento, possibilitado pela industrialização. Fábricas de Lisboa, Porto e Gaia produziram milhões de exemplares para revestimento exterior de edifícios, marcando a paisagem urbana em Portugal, assim como de algumas cidades do Brasil.
Ao longo do século XX e até à atualidade, o potencial da azulejaria de padrão tem vindo a ser desenvolvido pelo trabalho de alguns dos mais conceituados artistas, apresentando-se na exposição obras de Maria Keil (1914-2012), Querubim Lapa (1925-2016), Manuel Cargaleiro (n. 1927) e Eduardo Nery (1937-2013), entre outros.


Falta nesta exposição uma definição de «padrão». Se fosse feita sob o ponto de vista da Matemática (por exemplo), distinguir-se-ia entre o painel bidimensional de azulejos (tendente a preencher uma parede) e a sua, por vezes existente, borda unidimensional (ou friso).

Foto de Eva Maria Blum
Painel de azulejos de padrão “D. Maria” (MNAz Inv. nº 7955 Az)
Lisboa, 1790-1810. Faiança policroma. Doação: Amigos do Museu do Azulejo

Sob o ponto de vista matemático, na parede deste azulejo nem existe uma simetria em relação a um eixo, nem um centro de rotação [ver mensagem [0011]): apenas existe uma translação em duas direcções (o que é comum a qualquer parede preenchido por um padrão):



sábado, 7 de janeiro de 2017

[0015] Um olhar para as 14 mensagens de 2016

TENTATIVAS PARA COMPREENDER A MENTE HUMANA

Jerome Bruner (2000; pp. 22 e 23):

Para o computacionalismo, a mente humana, como “qualquer sistema que processa informação”, “tem de ser governado por «regras» específicas ou procedimentos que determinem o que fazer com os dados recebidos.”
Para o culturalismo, a mente humana é “interpretativa, carregada de ambiguidade, sensível à ocasião e, frequentemente, em harmonia com a circunstância. Os seus «mal formados procedimentos» assemelham-se mais a «máximas» do que a regras totalmente especificáveis. Mas dificilmente são desprovidos de princípios.”
É a “prefixação de categorias que impõe o limite mais severo ao computacionalismo”. Se se reconhecer “tal limitação, a alegada luta de morte entre culturalismo e computacionalismo desvanece-se.”
[mensagem 0009]

Ainda Jerome Bruner (2000; pp. 65 e 164):

“Aparentemente, são dois os modos genéricos como os seres humanos organizam e gerem o seu conhecimento do mundo, e até estruturam a sua experiência imediata: um parece mais especializado para tratar de «coisas» físicas, o outro, para tratar das pessoas e das suas obrigações. A estes se chamam convencionalmente o pensamento lógico-científico e o pensamento narrativo.”
O pensamento lógico-científico é ajuizado “mediante a verificação ou a prova – ou, mais precisamente, através da sua verificabilidade ou testabilidade”.
O pensamento narrativo é julgado “com base na verosimilhança ou na sua afinidade com a vida.”


COMO OS ADULTOS PENSAM QUE AS CRIANÇAS APRENDEM

Jerome Bruner (2000; pp. 81 a 86, 90 e 91) descreveu quatro “modelos dominantes”:

As crianças enquanto aprendizes por imitação: a aquisição do «saber-fazer”.
“Do ponto de vista da imitação, a competência apenas se atinge através da prática.” “O conhecimento «desenvolve-se como um hábito» e não se prende nem a teorias nem a negociações ou discussão.”
As crianças que aprendem a partir de uma exposição didáctica. A aquisição de conhecimento proposicional.”
“O objecto de aprendizagem para o aluno é concebido como estando «na» mente dos professores, tanto como nos livros, nos mapas, na arte, na base de dados, seja onde for.” Isso pressupõe que “a mente infantil é passiva, qual receptáculo apto a ser preenchido.”
“A perspectiva didacticista vê a criança de fora (…). É nitidamente de via única: o ensino não é um diálogo mútuo, mas um ditado de um para outrem.”
As crianças enquanto pensadores. O desenvolvimento do intercâmbio intersubjectivo.”
“O professor (…) preocupa-se em perceber o que a criança pensa e como chega àquilo em que acredita” “Exercer a pedagogia é ajudar a criança a entender melhor, mais consistentemente, menos unilateralmente.” “A criança não é puramente ignorante nem um recipiente vazio, é antes alguém capaz de raciocinar, de encontrar sentido, tanto por si mesma como através da discussão com os outros.”
As crianças enquanto detentoras de conhecimento: A gestão do conhecimento «objectivo»”.

O “ensino deveria auxiliar as crianças a captar a distinção entre o conhecimento pessoal, por um lado, e «aquilo que é tido por conhecido» pela cultura, por outro. Porém, elas não devem só captar esta distinção, mas também entender a base que a sustenta, por assim dizer, na história do conhecimento.”

[mensagem 00012]

Um exemplo do terceiro destes modelos, baseado na experiência que todos acumulamos quando jogamos os chamados Jogos de Reflexão (que vão desde o Jogo do Galo às Damas e ao Xadrez): essa experiência pode ser mobilizada como um apoio para outras aprendizagens, como as da demonstração, em Matemática
[mensagem 0004]

Um exemplo do quarto destes modelos, embora ilustrado no caso de um adulto, foi a história do genial matemático indiano Srinivasa Ramanujan
António Fernandes (2016; p. 43) comentou assim o modo como a exigência prematura de «rigor» pode matar a «criatividade»: “O facto é que absoluto rigor e criatividade nem sempre caminham lado a lado, nem mesmo em Matemática. E num processo que conduz à demonstração de um resultado matemático, existem períodos criativos, imaginativos, e especulativos, eventualmente menos rigorosos, como é típico das actividades exploratórias em território desconhecido.”
[mensagem 0002]


OS INDIVÍDUOS E OS GRUPOS COMO RESERVATÓRIO DE CONHECIMENTO

Jerome Bruner (2000; pp. 80-81):

“Há coisas que cada indivíduo sabe (mais do que ele próprio julga); mais ainda conhece o grupo ou é passível de ser descoberto por meio da discussão em grupo; e muito mais ainda se encontra armazenado algures – na «cultura», isto é, nas cabeças das pessoas mais sabedoras, nos directórios, nos livros, nos mapas, e por aí adiante.”
[mensagem 0006]

Paulus Gerdes, através da Etnomatemática, estudou um exemplo dos conhecimentos armazenados pelas culturas africanas, definindo assim os seus estudos (2007; pp. 42-43): a etnomatemática “é o campo que estuda ideias matemáticas nos seus contextos histórico-culturais”; “Cada povo – cada cultura e sub cultura – desenvolve a sua própria matemática, de certa maneira específica.”

[mensagem 0010]

Paulus Gerdes e a Etnomatemática


Um exemplo (não só português) que poderia ser estudado pela etnomatemática: o Azulejo de Padrão.
Eduardo Néry (citado por Saporiti, 1998; p. 199) descreveu assim este tipo de azulejo:
“No azulejo, o conceito de padrão encontra-se intimamente ligado ao da repetição de um motivo gráfico ou pictórico, organizado segundo eixos de simetria ou de outros esquemas estruturantes, quase sempre de raiz geométrica, mesmo quando os motivos ornamentais se inspiram na natureza.”

[mensagem 0011]


A INTERACÇÃO ENTRE «CULTURA» E «EDUCAÇÃO»

Jerome Bruner (2000; p. 70):

“A educação é uma complexa procura no sentido de ajustar uma cultura às necessidades dos seus membros e de ajustar os seus membros e seus modos de conhecer às necessidades da cultura.”
[mensagem 0006]

Alguns exemplos de actividades culturais que podem ser retomadas na educação como base para novas aprendizagens:

As Magias.
Disse um dia o arquitecto Manuel Vicente: “primeiro [aprende-se] com o encantamento e depois com o conhecimento.”
[mensagem 0008]

E os Labirintos.
[mensagem 0013]e [mensagem 0014]

Um exemplo de como a luta entre culturas pode implicar a existência de uma luta no interior da educação:
Uma das críticas que têm sido feitas aos testes internacionais (e também aos exames nacionais) é a de eles acabarem por «estreitar o currículo». Por isso é interessante olhar para o exemplo da Finlândia que, até 2006 obteve muito bons resultados. Eero Väätäinen (citado por Descamps, 2013) que coordenou uma escola e o sector da educação duma cidade, descreveu assim o espírito das reformas educativas na Finlândia:
“Não devemos esquecer que as crianças não andam na escola para fazer testes. Elas vêm aprender a vida, encontrar o seu próprio caminho. Acaso se pode avaliar a vida?”
A partir de 2009 começaram a destacar-se alguns países asiáticos, que hoje ocupam todos os primeiros lugares. Um investigador educacional finlandês, Jouni Välijärvi (citado por Gomes, 2011) procedeu à seguinte comparação:
“Na Coreia, os alunos levantam-se às 6h00 e voltam a casa às 21h00, e ainda têm que fazer trabalhos de casa. Para estes jovens, a escola e a educação são tudo na vida. Os finlandeses, entre tempo na escola e trabalhos de casa, passam um total de 30 horas por semana, face a 50 horas da Coreia.”
[mensagem 0007]


TENTATIVAS PARA CRIAR OUTROS MODELOS CURRICULARES

O Earth Science Curriculum Project (1973) foi testado ao longo de dois anos lectivos (1964-66) por um vasto grupo de professores norte-americanos, que usaram as primeiras ideias nas suas escolas. Este projecto pretendia que a aprendizagem no Ensino Básico se baseasse na história integrada do planeta Terra, em vez de ser precocemente sujeita às habituais subdivisões em Astronomia, Biologia, Ecologia, Física, Geografia, Geologia, Meteorologia, Paleontologia, Química – e até, nalguns aspectos, em Matemática

[mensagem 0001]