[0152] Um quadrado duplamente mágico …

A magia:

É baseada numa ideia de H. Adrian Smtih e foi revelada por Luís de Matos:

o mágico

pede a um espectador escolhe um número (N), entre 25 e 99;

desenha um quadrado 4 x 4 e escreve, aparentemente ao acaso, 16 números nos quadradinhos;

mostra que o quadrado que desenhou e preencheu com números é um quadrado com as propriedades dos quadrados mágicos, sendo a sua «constante» o número escolhido inicialmente pelo espectador …

Justificação:

Luís de Matos partiu do seguinte quadrado mágico 4 x 4:

Trata-se de um dos muitos quadrados mágicos 4 x 4 existentes.

E estes são caracterizados por a soma dos quatro números das quatro colunas (verticais), das quatro linhas (horizontais), das duas diagonais, dos quatro quadrados 2 x 2 dos vértices e do quadrado 2 x 2 central ser constante, e igual a 34 se os números que o preenchem forem do 1 ao 16, como no caso acima.

Esta magia dispensa uma característica dos quadrados mágicos mais exigentes, a da não repetição dos números inscritos.

A chave da ideia consiste em substituir um só número em cada coluna, em cada fila, em cada quadrado 2 x 2 situado nos vértices e no quadrado 2 x 2 central por um número deduzido do que lá está de modo que a constante mágica seja igual ao número escolhido pelo espectador.

Para isso, o mágico calcula mentalmente R = N - 20; e depois preenche o quadrado tal como ele está acima, alterando os números de valor mais alto,

o 13 por R - 1,

o 14 por R,

o 15 por R + 1

e o 16 por R + 2:

Como se pode verificar, a soma constante passou a ser N, o número escolhido pelo espectador:

20 + R = 20 + N – 20 = N

O trabalho do mágico só tem um senão nesta magia: ele precisa de decorar o quadrado anterior (ou ter alguma outra forma de o reproduzir no momento em que tem de o preencher …).

Fonte: Matos (2016; pp. 209-211)

[0151] No Dia Internacional do Xadrez, uma pequena história sobre os tempos actuais

Para uns, o Dia Internacional do Xadrez comemora-se a 19 de Novembro, lembrando o dia em que nasceu José Raúl Capablanca (1888-1942), um dos mais extraordinários xadrezistas de sempre.

Para outros, mais institucionais, ele comemora-se a 20 de Novembro, para lembrar o dia em que a Federação Internacional de Xadrez (FIDE) foi fundada, em 1924.

Habituei-me ao primeiro destes dias, e prefiro a razão da sua escolha.

Está neste momento a decorrer, em Londres, mais uma final do Campeonato Mundial de Xadrez, individual. Defrontam-se Magnus Carlsen, norueguês, o campeão em título, e Fabiano Caruana, norte-americano, que venceu os restantes candidatos ao encontro final.

Na 6ª partida entre estes dois jogadores, que terminou empatada, tal como as anteriores (e, entretanto, também a 7ª partida), Carlsen, jogando com as peças brancas, dispunha da seguinte posição, antes do seu 67º movimento:

Para defender o seu Peão na casa f5 (ameaçado pelo Cavalo), optou por deslocar o Rei para a casa g6 (o que se regista assim: 67. Kg6), uma das hipóteses de que dispunha. Como agora o Rei branco ameaçava o Peão negro em f6, Caruana jogou: 67. …; Bg5. E Carlsen ripostou com 68. Bc4:

Durante estes lances o supercomputador Stockfish analisava as sucessivas posições e, para quem tinha acesso aos seus cálculos, anunciou que Caruana tinha um lance que lhe garantia ganhar o jogo num máximo de 30 lances: 68. ...; Bh4 (o Bispo para a casa h4). Mas Caruana jogou 68. ...; Cf3 (o Cavalo para a casa f3) …

Na conferência de imprensa que se segue ao final de cada um destes jogos os dois jogadores mostraram-se surpreendidos com a análise do Stockfish (em português: Bacalhau). E Carlsen chegou mesmo a dizer: “Eu não vou discordar dos computadores. Simplesmente não o entendo.”

Fontes: sítio da Chess.com (para a história e os diagramas); Wikipédia (para o Dia Internacional do Xadrez)

[0150] Mais três livros, sobre a Evolução, a Antropologia e a História

Recebi em Setembro, através de uma rede social, o seguinte desafio:

em cada um de sete dias seguidos divulgar a capa de um livro de cuja leitura tivesse gostado, sem qualquer outra explicação além da imagem …

Nas mensagens «0144» e «0145» dei a conhecer os quatro primeiros livros que escolhi e um pouco das razões pelas quais o fiz. Desta vez abordo os três últimos. Nenhum tem a ver com a Matemática: ser professor, e ser cidadão, exigem uma atenção muito para além da especialização; e para um professor convicto dos currículos abertos, essa exigência é ainda maior.

Stephen Jay Gould (1941-2002) descreve como os fósseis preservados desde há 530 milhões de anos nos xistos de Burguess, no Canadá, preservaram uma extraordinária variedade de seres que viviam nos mares de então, muito mais diversos do que os seres que vivem nos actuais mares.

A partir do estudo deste caso, concluiu que a contingência também tem um papel na evolução, pelo que, extrapolando para nós próprios, afirmou: “O Homo sapiens é uma entidade, não uma tendência.” “Somos fruto da história e temos de estabelecer os nossos próprios caminhos no mais diverso e interessante dos universos concebíveis – um universo que é indiferente ao nosso sofrimento, mas nos oferece a maior das liberdades para vingarmos, ou para falharmos, no percurso que escolhemos.”

Clifford Geertz (1926-2006) explica, na introdução, aquilo a que se propôs ao reunir alguns dos seus ensaios neste livro:

“Ver-nos como os outros nos vêem pode ser bastante esclarecedor. Acreditar que outros possuem a mesma natureza que possuímos é o mínimo que se espera de uma pessoa decente. A largueza de espírito, no entanto, sem a qual a objetividade é nada mais que autocongratulação, e a tolerância apenas hipocrisia, surge através de uma conquista muito mais difícil: a de ver-nos, entre outros, como apenas mais um exemplo da forma que a vida humana adotou em um determinado lugar, um caso entre casos, um mundo entre mundos. Se a antropologia interpretativa tem alguma função geral no mundo, é a de constantemente re-ensinar esta verdade fugaz.”

Marguerite Yourcenar (1903-1987) iniciou e abandonou por diversas vezes, durante décadas, o projecto de escrever sobre a vida do Imperador Adriano (76 – 138 d. C.). A explicação para as dificuldades encontradas e para a persistência com que não abandonou esse projecto está, de algum modo, resumida na seguinte anotação:

“Encontrei de novo num volume da correspondência de Flaubert, muito lido e muito sublinhado por mim pouco mais ou menos em 1927, a frase inesquecível «Não existindo já os deuses e não existindo ainda Cristo, houve, de Cícero a Marco Aurélio, um momento único em que só existiu o homem». Uma grande parte da minha vida ia passar-se a tentar definir, depois a escrever, esse homem sozinho e aliás ligado a tudo.”

Fontes: Gould (1995; pp. 331 e 334); Geertz (1998; p. 30); Yourcenar (1986; p. 249)

[0149] Três momentos interessantes na história da Magia

No livro de Luís de Matos (mensagem «0138») são contadas algumas histórias que nos permitem ter uma primeira ideia sobre a história da Magia.

O Papiro de Westcar, exposto no Museu Egípcio de Berlim, e cuja origem remonta a cerca de 1500 a. C., “contém cinco histórias que falam de milagres realizados por sacerdotes e mágicos” do Antigo Egipto.

Nele se refere “o mágico Dedi, descrito como tendo 110 anos de idade, capaz de comer 500 pães e beber 100 jarras de cerveja por dia, possuidor de mágicos poderes e capaz de fazer previsões”, figurando entre os seus feitos “a ressurreição de animais decapitados e a domesticação de leões.”

(retirado da Wikipédia e igualmente reproduzido em Matos, 2016)

Muito tempo depois, no início da nossa era, Herão de Alexandria criou, entre muitas outras máquinas que o tornaram célebre, uma a que chamou “Máquina Nº 37”.

Dispondo desta máquina, um sacerdote, ao chegar à entrada do templo onde o aguardava uma multidão de fiéis, acendia uma fogueira. Esta fazia aquecia a água que circulava através de canalizações secretas, que por sua vez accionava um mecanismo, invisível para quem assistia, que abria as enormes portas do templo e, provocando a “passagem de ar quente através de uma bateria de instrumentos de sopro”, produzia música:

(texto e imagem: Matos, 2016, p. 168)

No final século XVI começaram a ser publicados livros que mostravam como se podiam executar as magias que, até aí, eram consideradas sinais de poderes sobrenaturais.

«The Discovery of Witchcraft», de Reginald Scott, publicado em 1584, terá sido o primeiro desses livros, e pretendia, divulgando as magias, mostrar que elas não eram feitiçarias, protegendo assim aqueles que eram perseguidos por esta razão. O rei James, inglês, discordou de Scott e mandou destruir todos os exemplares deste livro.

A segunda edição de «The Discovery of Witchcraft» data de 1651 mas, entretanto, foram publicados livros semelhantes: em 1612 «The Art of Juggling»; em 1634 «Hocus Pocus Junior: The Anatomie of Legerdemain»; e muitos outros.

(imagens retiradas da Wikipédia: capa da edição de 1651; e

explicação do truque do degolamento de João Baptista aí figurada)

Fonte: Matos (2016; pp. 156, 168 e 188)

[0148] Uma classificação matemática dos «frisos»

Como classificar matematicamente os frisos das duas calçadas situadas no Rossio de Estremoz que foram referidos na mensagem «0140»?

A calçada / friso da esquerda possui um espelho longitudinal e duas famílias de espelhos verticais; e a calçada / friso da direita apenas possui duas famílias de espelhos verticais:

Para classificar estes frisos é necessário um fluxograma, estando a seguir apresentado, com adaptações, o que Arthur Coxford, Linda Burks, Claudia Giamati e Joyce Jonik propuseram:

Tendo o friso da esquerda simetrias de eixo vertical e simetria de eixo horizontal, é do tipo mm.

E o friso da direita, dispondo apenas de simetrias de eixo vertical é do tipo m1.

Fonte: Coxford, Burks, Giamati e Jonik (1993; p. 45)