[0120] Mais um exemplo de padrão geométrico plano

Um determinado restaurante especializado em peixe tem as suas paredes revestidas deste modo:

Trata-se de mais um padrão plano, classificável matematicamente como papel de parede, sendo, decorativamente, também um papel de parede.

Este caso de «papel de parede» não possui nem rotações (cada uma delas exige um centro em torno do qual todo o plano rode e repita a imagem inicial) nem simetrias axiais (cada uma delas exige um eixo que repita uma imagem, como num espelho, do outro lado), mas que tem duas direcções de translação (está assinalado um dos possíveis motivos que tanto se repete verticalmente como horizontalmente):

Tal como num dos exemplos da mensagem anterior, este é um papel de parede do tipo p1.

O fluxograma para identificação e classificação de padrões geométricos planos apresentado na mensagem «0072» fica, agora, actualizado assim:

Fotografia: Eva Maria Blum

[0119] Uma classificação dos «papéis de parede» aplicada aos «azulejos de padrão»

Através do seguinte fluxograma é possível classificar como «papel de parede» os quatro casos de azulejo de padrão referidos em mensagens anteriores:

Na mensagem «0016» foi apresentado o caso de um painel de azulejos que possui uma única propriedade geométrica, duas translações:

Portanto, as três perguntas a que o diagrama classificativo dos papéis de parede sujeita este painel de azulejos têm resposta negativa: ele é de tipo p1.

As duas translações são comuns a todos os papéis de parede; o que os distingue são as outras propriedades. Num dos casos apresentados na mensagem «0011» existe pelo menos uma simetria em relação a um eixo (concretamente, duas famílias de eixos de simetria axial, ambos verticais):

As perguntas a que este painel de azulejos é sujeito têm então como resposta: um «não» (não há qualquer rotação); um «sim» (há uma simetria axial); e um «não» (não há simetrias deslizantes). Ele é do tipo pm.

No outro caso apresentado na mensagem «0011» existe pelo menos um centro de rotação (concretamente, quatro famílias de centros de rotação, todos de 180º):

As perguntas a que é submetido respondem-se através de um «180º» (a sua menor amplitude da rotação), de um «não» (não há simetria axial) e de outro «não» (não há simetria deslizante). Ele é do tipo p2.

Finalmente, no caso apresentado na mensagem «0035» existe uma combinação de rotações (quatro famílias de centros para dar meias voltas) e de simetrias axiais (duas famílias verticais e outras duas horizontais):

As perguntas a que é submetido respondem-se através de um «180º» (a sua menor amplitude da rotação) e de três «sins» (há simetria axial; essas simetrias são em duas direcções; e os centros de rotação encontram-se sobre esses eixos de simetria). Este painel de azulejos é do tipo pmm.

Para exemplificar os 17 casos de papel de parede através de painéis de azulejos, falta mostrar … mais 13 exemplos!

Fonte (para o organigrama classificativo): Coxford Jr., Burks, Giamati & Jonik (1993; p. 42)

A primeira e a última imagens foram trabalhadas sobre fotografias de Eva Maria Blum; e a segunda e a terceira imagens de um painel de azulejos foram trabalhadas sobre imagens de um «pdf» da autoria de Ana Almeida (pp. 3 e 27)

[0118] Para breve a apresentação pública da magia baseada na curva de Jordan?

Em Janeiro de 2017 foi aqui referida uma «magia» baseada na Curva de Jordan (mensagem «0019»). Alguns meses depois, no dia 27 de Maio, essa «magia» foi experimentada no Parque da Paz (Cova da Piedade) por um grupo de 7 professores, a maioria de Matemática. E funcionou!

Uma das soluções experimentadas para a «curva» foi parecida com um caracol:

E a outra foi esta, com 5 dos professores em acção (isto é, na «curva», sem saberem se estariam «dentro» ou «fora» dela):

Consta que em breve se fará uma apresentação pública desta experimentação e pesquisa, no mesmo local …

Entretanto, para divertir os curiosos, aqui vai o acesso a um vídeo artístico de Tom Colbie, no qual há sempre algumas placas que se mexem e que exigem que se pergunte permanentemente: «dentro ou fora?»

http://www.facebook.com/tom.colbieart/videos/1716432338448527/.

Fotografias (parcialmente cortadas): Teresa Nascimento

Fonte do vídeo: página de Tom Colbie no Facebook

[0117] Como construir uma figura «tetraédrica» a partir de um rectângulo?

Surgiram dúvidas acerca desta construção, esboçada com ligeireza na mensagem «0115».

Aqui vai uma correcção:

Agora os pontos médios dos dois lados da esquerda (ainda separados) são unidos por traços aos extremos do lado da direita:

Depois estes quatro traços (que irão ser arestas da figura «tetraédrica») servem para dobrar «para dentro» as suas abas:

Finalmente, vislumbram-se à esquerda os dois «acentos circunflexos»: os seus quatro extremos são unidos num só ponto, que será o ponto médio da «aresta vertical» da figura «tetraédrica» (fusão dos dois «acentos circunflexos»):

[0116] Primeiro esboço de síntese sobre o que são os Currículos Abertos

Os currículos abertos apoiam-se nos contributos de todos

As perguntas de cada um são o seu primeiro contributo para a aprendizagem:

Queixou-se Karl Popper (filósofo da ciência; 1902-1994): “(…) a nossa pedagogia consiste em sobrecarregar as crianças com respostas, sem que elas tenham colocado questões, e às perguntas que fazem não se presta atenção”. “Esta é a pedagogia habitual: respostas sem perguntas e perguntas sem respostas.” [mensagem «0077»]

Os saberes dos colectivos são as principais reservas para a aprendizagem:

Afirmou Jerome Bruner (psicólogo educacional e pedagogo; 1915-2016): “Há coisas que cada indivíduo sabe (mais do que ele próprio julga); mais ainda conhece o grupo ou é passível de ser descoberto por meio da discussão em grupo; e muito mais ainda se encontra armazenado algures – na «cultura», isto é, nas cabeças das pessoas mais sabedoras, nos directórios, nos livros, nos mapas, e por aí adiante.” [mensagem «0006»]

E dois fundadores da Etnomatemática, Ubiratan d`Ambrósio (1932) e Paulus Gerdes (1952-2014), mostraram como a ela é uma das vias para revelar saberes culturais.

O primeiro evidenciou os conflitos existentes entre as aprendizagens realizadas fora e dentro da escola: a “aptidão numérica «erudita» elimina a assim chamada aptidão numérica «espontânea». (...). Há uma crescente perda de utilidade para o modo tradicional de fazer aritmética (...). Uma vez indo à escola, a tendência é perder essas habilidades, e não ser capaz de substituí-las pela forma «erudita».” [mensagem «0101»]

E o segundo definiu assim a Etnomatemática: “é o campo que estuda ideias matemáticas nos seus contextos histórico-culturais”; “Cada povo – cada cultura e sub cultura – desenvolve a sua própria matemática, de certa maneira específica.” [mensagem «0010»]

Os currículos abertos acompanham a vida de cada um

A aprendizagem começa antes de se entrar na escola:

Disse João dos Santos (psicólogo educacional; 1913-1987): “o drama é que não há continuidade entre o que se aprende livremente antes de se entrar para a escola e aquilo que se aprende na escola”; antes de se entrar para a escola “aprende-se a viver e a conviver e num plano de relação verbal”, enquanto “o que se ensina na escola, é apenas a linguagem escrita, só tem que ver com a linguagem escrita, que é vista pela escola como se tudo o resto não tivesse importância nenhuma, como se o falar, o dialogar, o brincar não tivesse importância nenhuma”.

“É que o importante na escola, para começar, é que o adulto se aperceba de que a criança já sabe imensas coisas. E a maior parte das vezes a escola e os professores ignoram que a criança já tem um saber, e que é um saber extraordinariamente importante, e partem do princípio de que o que elas sabem não tem nenhum valor, o que é perfeitamente errado e prejudicial.” No fim de contas, a escola pretende que “o que não é mensurável, quer dizer, o que vai até ao infinito, ao céu e às estrelas”, seja reduzido “a uma escala do mensurável”, pelo que “a criança que ainda está numa fase de instabilidade, que anda a percorrer o seu universo e a alargá-lo para o compreender”, vê-se reduzida “às dimensões de uma mesa, de um papel”. É por isso que “todas as dificuldades escolares têm que ver com um estado de tristeza da criança.” [mensagem «0112»]

Os currículos abertos apoiam-se na diversidade dos saberes

Os «saberes» são muito mais do que «conhecimentos»:

Boaventura de Sousa Santos (sociólogo) lembrou que a riqueza e a complexidade do paradigma da modernidade tem-se mostrado “tão susceptível de variações profundas como de desenvolvimentos contraditórios”; e que ela assenta em dois pilares, o da “regulação” (princípios do Estado, do mercado e da comunidade) e o da “emancipação” (racionalidades “estético-expressiva das artes e da literatura”, “cognitivo-instrumental da ciência e da técnica” e “moral-prática da ética e do direito”). “Desde o início que se previra a possibilidade de virem a surgir excessos e défices, mas tanto uns como outros foram concebidos de forma reconstrutiva (...). Essa gestão reconstrutiva dos excessos e dos défices foi progressivamente confiada à ciência e, de forma subordinada, embora também determinante, ao direito. Promovida pela rápida conversão da ciência em força produtiva, os critérios científicos de eficiência e eficácia logo se tornaram hegemónicos, ao ponto de colonizarem gradualmente os critérios racionais das outras lógicas emancipatórias.” [mensagem «0057»]

O mundo que nos rodeia proporciona pontos de partida e de chegada para as aprendizagens:

Exemplos de temas já abordados neste blogue:

Azulejos de padrão (ou não) (Arte; História; Matemática; Técnica): [mensagens «0011», «0024», «0029», «0031», «0035», «0053» e «0108»]; sobre o Azulejo de Padrão escreveu Eduardo Néry: “No azulejo, o conceito de padrão encontra-se intimamente ligado ao da repetição de um motivo gráfico ou pictórico, organizado segundo eixos de simetria ou de outros esquemas estruturantes, quase sempre de raiz geométrica, mesmo quando os motivos ornamentais se inspiram na natureza.”

[mensagem «0011»]

Cinema (Filosofia; História; Matemática): [mensagens «0027», «0040» e «0058»]; …

Desporto (Corpo; Matemática): [mensagens «0068» e «0102»]; …

Jogo de Reflexão (História; Matemática): [mensagens «0004», «0021», «0037», «0055», «0067», «0079» e «0081»]; …

Livro (Ciência; Corpo; Filosofia; História): [mensagens «0017», «0036», «0076» e «0083»]; …

Magias com Matemática (Culturas; Matemática): [mensagens «0005», «0008», «0018», «0019», «0026», «0033», «0039», «0043», «0047», «0051», «0062», «0064», «0086», «0099» e «0103»]; …

Museu (Cultura; História; Matemática): [mensagens «0016», «0038», «0046» e «0052»]; …

Natureza (Ciências da Natureza; História; Filosofia): [mensagens «0025», «0028», «0041», «0069», «0088», «0089», «0106» e «0110»]; …

Padrões geométricos (Arte; Culturas; História; Matemática): [mensagens «0061», «0070», «0072», «0073», «0075» e «0096»]; …

Quebra-cabeças (Culturas; Matemática): [mensagens «0013, «0014», «0022», «0044», «0050», «0067» e «0082»]; …

Quando se estabelecem pontes entre os «conhecimentos» geram-se «saberes»:

Exemplo: o Earth Science Curriculum Project, cujas primeiras ideias foram testadas ao longo de dois anos lectivos (1964-66) por um vasto grupo de professores norte-americanos nas suas escolas. Este projecto pretendia que as aprendizagens no Ensino Básico se baseassem na história integrada do planeta Terra, em vez de serem precocemente sujeitas às habituais subdivisões em Astronomia, Biologia, Ecologia, Física, Geografia, Geologia, Meteorologia, Paleontologia, Química – e em Matemática [mensagem «0001»]

Outros exemplos: [mensagem «0092»]

[0115] Sobre o «pacote», não sobre o «açúcar»

Se dobrarmos um rectângulo de papel de modo que dois lados opostos se sobreponham, e imaginarmos que os seus bordos se unem, obtemos um pacote:

Já que podemos imaginar que os seus lados se unem, antes de unir os dois lados da esquerda dobramos cada um deles a meio, como se fossem dois acentos circunflexos virados um para o outro:

<  >.

Esticamo-los de modo a tocarem-se e então, mentalmente, unimo-los. O pacote, em vez de «plano», passa a ser uma figura «tetraédrica»:

Há pacotes de açúcar com esta forma, talvez por razões de marketing (chamam mais a nossa atenção).

Se os lados do rectângulo inicial medirem «a» e «b», qual é a área total deste «tetraedro»?

E o seu volume?

[0114] Interpelações da arte: «No Place Like Home»?

Em casa sentimo-nos seguros, cada coisa parece ter o significado que sempre pensámos que teria. Precisamos desta segurança, e, mais ou menos, vamo-la tendo.

E no entanto …

… Marcel Duchamp apercebeu-se, em 1927, quando vivia no «11 rue Larrey Paris», que a «Porta» que se fechava para as escadas quando queria entrar na cozinha e que se fechava para a cozinha quando queria subir as escadas não era uma porta normal: estava aberta e fechada simultaneamente.

E há muitas outras coisas assim. Porque a realidade é mais complexa do que pensámos. Porque outros lhe atribuem significados diferentes dos nossos. Ou simplesmente porque é agradável descobrir a diversidade naquilo que nos rodeia.

No fundo, o mundo como a nossa casa. E a exposição «No Place Like Home», exibida algures em Lisboa, ajuda-nos a perceber isso.