[0044] As Torres de Hanói: uma oportunidade para raciocinar por recorrência

O Quebra-cabeças designado por Torres de Hanói (ou Torres de Brama) é constituído por três colunas (dispostas em linha ou como vértices de um triângulo) e por um número variável de discos (cujos diâmetros são sucessivamente maiores) que podem ser encaixados nas colunas.

As Torres de Hanói que se encontram na exposição Matemática Viva, situada no Pavilhão do Conhecimento (Lisboa), têm o seguinte aspecto (dispõem de apenas 4 discos):

(fotografia minha)

Há uma única regra para a colocação dos discos nas colunas: quando se encaixa um disco, ele não pode ser colocado sobre outro disco com diâmetro inferior.

E o objectivo do Quebra-cabeças é: estando N discos encaixados numa das colunas (a figura seguinte exemplifica-o para N = 3 discos) …

… pretende-se encaixá-los numa segunda coluna, com o apoio da terceira.

Para N = 1 basta um único movimento.

Para N = 2 são necessários … 3 movimentos.

Para N = 3, a dificuldade aumenta um pouco …

Para N = 4 já é necessária alguma organização …

Número de discos (N):	1	2	3	4	5	6
Nº mínimo de movimentos (MN):	1	3

Depois de algumas experiências percebemos que o raciocínio mais simples é: se sabemos resolver para N discos, então sabemos resolvê-lo para N + 1 discos. Chama-se a isto, raciocínio por recorrência.

De que forma expressar matematicamente o número mínimo de movimentos (M_N) em função do número de discos (N)?

[0043] Um truque de David Copperfield (para pensar nos fundamentos das magias)

Foi-me observado, a propósito das mensagens que já publiquei sobre «magias», que é preciso incentivar quem lê a pensar no que lê (e assim se tornar capaz de pensar para além do que leu).

Um dos aspectos sobre que é preciso pensar é o dos fundamentos dos truques mágicos, convindo não começar por casos muito complicados. Um bom exemplo é o seguinte truque do David Copperfield, apresentado através de um Power Point (que me chegou, em tempos, anexado a um email) e de que agora reproduzo todos os textos e as imagens essenciais:

Dentro de um momento entrarás num

mundo mágico …

… e nele testemunharás algo muito especial.

Farás parte de uma ilusão …

Através deste simples programa verás que …

… eu posso ler os teus pensamentos,

através do teu computador.

Olha bem os meus olhos e pensa na tua carta.

Eu não te conheço e não te posso ver.

Mas sou capaz de mostrar a tua carta.

Até à próxima!

Voltarei a este caso daqui a duas ou três semanas. E nessa altura apresentarei outro caso, um tanto mais difícil.

Entretanto, espero comentários e … até a próxima!

[0042] O foco meso-americano da agricultura e a estatueta maia do deus do Milho

A agricultura surgiu, mais ou menos independentemente, um pouco por todo o mundo. Um dos seus focos situou-se na América Central, onde primeiro surgiu o pimento e o abacate; depois, há 7 mil anos, o milho, o colondro, a abóbora e o tabaco, há 5 mil anos o feijão e há 3,5 mil anos o algodão de montanha, o Hirsutum de fibras robustas.

Cristóvão Colombo trouxe grãos de milho logo no regresso da primeira viagem, tendo o seu plantio sido fácil nas zonas meridionais da Península Ibérica (havia muita água, como no Novo Mundo). Os árabes levaram grãos para o Egipto em meados do século XVI, de onde o cultivo se estendeu para África, para a Índia e para a China, subindo mais lentamente para Norte, pelas dificuldades de adaptação ao frio, sendo hoje uma planta universal.

A Estatueta maia do deus do Milho, o 9º objecto que Neil MacGregor, do Museu Britânico, descreveu em «Uma História do Mundo em 100 Objetos», foi esculpida em calcário, por um cinzel de pedra e um martelo de basalto, e encontrada em Cópan, “uma importante cidade e centro religioso maia”.

Apesar de ter sido esculpida o mais tardar em 750 d.C., ela fazia parte de um culto com milhares de anos na América Central, com raízes na civilização olmeca. “Representa tanto o ciclo anual da sementeira, colheita e nova plantação como a fé num ciclo humano paralelo, de nascimento, morte e renascimento.” “Mas ainda mais, era matéria da qual os povos da América Central eram feitos. O deus hebreu fez Adão do pó, os deuses maias usaram o milho para fazer os seus humanos. A história mítica é contada na mais famosa epopeia de todo o continente americano, o Popol Vuh. Durante gerações, foi transmitida por tradição oral até ter sido fixada por escrito no século XVII.”

Há cerca de nove mil anos havia poucas fontes de alimento na América Central, nem havia animais domesticados e as plantas cultivadas, a abóbora, o feijão e o milho, eram-no a custo. O milho provém do teossinto, que “estava muito bem adaptado às condições locais”, tanto podendo crescer “em terrenos húmidos como na secura das montanhas, o que significava que podia ser cultivado em qualquer estação.” É também rico em hidratos de carbono (fornecendo rapidamente energia), mas indigesto, pelo que era acompanhado pelo chili. “Por volta do ano 1000, o milho tinha-se difundido tanto para norte como para sul, a todo o comprimento das Américas”, mas era “intragável”, sendo necessário cozinhá-lo numa mistura de água e lima, sem o que os aminoácidos e a vitamina B não se libertavam, sendo ainda preciso amassá-lo e transformá-lo numa massa por levedar; hoje, após uma longa selecção das sementes, é possível comê-lo sem esta preparação.

Fontes bibliográficas: Mazoyer, entrevistado (2000; pp. 91 e 126); MacGregor (2014; pp. 71-75)

Fonte da imagem: www.britishmuseum.org/explore/a_history_of_the_world/objects (em Janeiro de 2015)

[0041] S`tor, hoje de manhã vi ao pé de minha casa um pássaro que parecia um índio …

O mundo está sempre a entrar na escola, desta e de muitas outras maneiras …

A ave que deu origem a esta mensagem não foi a que se vê abaixo, não foi avistada no local onde esta o foi e nem sequer foi fotografada: apareceu de repente à minha frente, noutro relvado, perto de minha casa, em meados deste mês de Maio:

Parque da Paz (Cova da Piedade),

Agosto de 2015

Esta ave pertence à espécie conhecida como Poupa (classificação em latim: Upupa epops). Tem cerca de 25 a 29 cm (incluindo o longo bico). “Passa a maior parte do tempo no solo, alimentando-se (sobretudo de minhocas e insectos) em áreas de erva rasteira ou sem qualquer vegetação.” E “Nidifica em buracos de árvores, muros de pedra, caixas-ninhos ou nos alicerces de edifícios.”

Fotografia: Eva Maria Blum

Fonte (do texto): Svensson (2012; pp. 9 e 238)

[0040] Um documentário e uma exposição sobre Paula Rego: as suas «Histórias & Segredos»

O documentário, realizado por Nick Willing (2017), é apoiado pela exposição que está patente na Casa das Histórias / Paula Rego, em Cascais, de 7 de Abril a 17 de Setembro de 2017.

Catarina Alfaro, coordenadora da programação e conservação da Casa das Histórias, apresenta assim a exposição:

Fonte: www.casadashistoriaspaularego.com

[0039] Um dominó como qualquer outro … nas mãos de um mágico

O mágico espalha as pedras de um dominó sobre uma mesa, com os números virados para cima, e pede que duas pessoas da assistência o venham ajudar.

A tarefa que o mágico lhes solicita é simples: dispor todas as pedras formando a cadeia habitual: um «1» encostado a outro «1», um «2» a outro «2», e assim sucessivamente.

Aquilo que o mágico depois anuncia à assistência já não parece ser fácil: antes de os seus ajudantes iniciarem o trabalho, ele, mágico, vai adivinhar os números que se situarão nos extremos da cadeia quando esta acabar de ser formada - apesar da total liberdade com que os seus ajudantes a formarão.

E, para que possa ser confirmada a sua adivinha, o mágico escreve discretamente os números que acabou de adivinhar num cartãozinho e deixo-o, virado para baixo, num lugar visível mas inacessível a qualquer dos presentes.

E o trabalho dos ajudantes começa.

A cadeia de pedras que resultou foi, por exemplo, a seguinte:

Os ajudantes anunciam que os extremos da cadeia são o «5» e o «3».

Então o mágico pede a uma criança da assistência que venha pegar no cartãozinho e leia os números que lá estão escritos: e são o «5» e o «3»!

Fundamentação:

Cada número aparece oito vezes no dominó. Por exemplo, o «5» aparece em:

«0 + 5», «1 + 5», «2 + 5», «3 + 5», «4 + 5», «5 + 5» e «6 + 5».

Na cadeia construída, cada junção de peças utiliza duas vezes o mesmo número. Então, quando todas as peças estiverem colocadas, o número de vezes que cada número surgiu nas junções tem de ser par (oito vezes para seis dos números e seis vezes para o outro número, precisamente o que deve figurar em ambos os extremos.

Porquê nesta cadeia os dois números não são iguais?

O dominó tem 28 peças e nesta cadeia só estão … 27 peças: o mágico retirou prévia e secretamente uma das peças (que não seja doble), que foi, neste caso, a peça «3 + 5»!

Inspiração: Gardner (1991; p. 62)

[0038] «O Retrato na Arte Portuguesa»

Quase vinte anos após a edição original, em 2010, esta obra de José-Augusto França foi aumentada e reeditada. Nela, o autor traça o percurso estético e social da retratista em Portugal, comentando-a, em larga síntese, assim: “em Nuno Gonçalves e Columbano, se criou, originalmente e de maneira admirável para a história da arte portuguesa com capacidade internacional, a realidade da nação, nos seus dois pólos significativos – alfa e omega de uma imagística que, com a excepção do Sequeira de 1820, entretanto geralmente se subordinou a situações e gostos, quando não a pincéis ou cinzéis estrangeiros.”

Eis os “dois pólos” destacados por José-Augusto França:

Atribuído a Nuno Gonçalves, os painéis de São Vicente de Fora (3º quartel do século XV) que, depois das “personagens régias que até então tinham preenchido a necessidade imagética da sociedade medieval pela função simbólica que lhes competia”, surgem agora “60 personagens à procura de autor e à espera de entrar em cena”:

Da esquerda para a direita: painéis ditos dos Frades, dos Pescadores, do Infante, do Arcebispo, dos Cavaleiros e da Relíquia (óleo e têmpera sobre madeira, actualmente parte da colecção do Museu Nacional de Arte Antiga)

De Columbano Bordalo Pinheiro, O Grupo do Leão (1885): “o grande retrato colectivo da pintura nacional. Em volta de uma mesa, entre garrafas, canecas, copos e guardanapos amachucados que ninguém parece ter usado, catorze figuras de amigos e colegas, entre as quais o próprio criado de mesa, o Manuel, e o gerente, supõe-se.”

Da esquerda para a direita: Henrique Pinto, sentado; Ribeiro Cristino; José Malhoa; João Vaz; Alberto de Oliveira; Silva Porto; António Ramalho; Manuel Fidalgo, o empregado de mesa; Moura Girão; Rafael Bordalo Pinheiro, logo abaixo do irmão; Columbano, de cartola; António Monteiro, o proprietário da cervejaria; Cipriano Martins e, sentado de mão apoiada na cintura, Rodrigues Vieira (pintura com 376 x 201 cm, actualmente parte da colecção do Museu Nacional de Arte Contemporânea)

Fontes (texto e imagens):

França (2010; pp. 19-23, 84-85 e 110); www.museudearteantiga.pt, https://pt.wikipedia.org e www.museuartecontemporanea.pt (consultas em 26 de Março de 2017)