[0360] A Matemática e as Ludotecas (VI): a combinatória do Xadrez 960

O jogo do Xadrez, apesar de muito interessante, proporciona muita vantagem a quem possui um conhecimento pormenorizado das suas primeiras jogadas (as «aberturas«). Entre as suas muitas variantes que já foram experimentadas, uma foi proposta, em 1996, pelo ex-campeão mundial Bobby Fisher (1943 – 2008), com o objectivo de favorecer jogos em que a criatividade tivesse mais espaço. Começou por ser conhecida como «Xadrez Aleatório de Fischer» (Fischer Random Chess), sendo igualmente designada por Xadrez 960.

O Xadrez 960 utiliza o mesmo tabuleiro e as mesmas peças que o Xadrez Clássico, mas coloca aleatoriamente as que se situam na primeira fila dos dois jogadores, submetendo a colocação a algumas condições e mantendo as peças brancas e negras dispostas simetricamente (Rei em frente de Rei, Dama em frente de Dama, etc.).

No sítio https://lichess.org/ é possível jogar esta variante contra o computador (que usa o programa Stockfish), escolhendo para este o nível que se desejar e para si próprio ou as brancas ou as negras. No figura seguinte está a posição inicial de uma partida, em que um Anónimo (que fui eu) joga de brancas, estando o Stockfish no nível 4 (ele tem 14, mas só os 8 primeiros nos são disponibilizados):

Antes de Fisher propor esta variante já havia sido experimentada uma outra, com ela muito parecida, em que não havia qualquer limitação à distribuição aleatória das grandes peças. O primeiro jogo que se conhece, registado, decorreu na cidade alemã de Mannheim, em 1842, opondo Van der Hoeven e Alexandre.
O que Fisher introduziu de novo foram duas condições destinadas a garantir, tal como no Xadrez Clássico, que os Bispos estejam situados em casas de cor diferente e que as Torres estejam situadas de modo que o Rei fique entre elas, para que possa ser executado um dos roques.

O que me atraiu a pensar nesta variante foi o número «960»: como teria sido ele calculado?

Para trabalhar este problema (que é do tipo «combinatório») com alunos, deve ser-lhes deixado algum tempo para que imaginem possíveis estratégias e as discutam, antes de avançarem para a resolução. Uma que poderá ser escolhida é a seguinte, dividida em quatro passos:

(1) Colocação dos Bispos. Havendo 4 casas brancas e 4 casas pretas disponíveis, o total de combinações para a posição destas duas peças é 4 x 4 = 16.

(2) Colocação do Rei e das Torres. O Rei só pode ser colocado numa das 6 casas centrais (isto é, excluídos os «cantos»), para que qualquer dos «roques» possa ser feito; mas é preciso ter em conta que, algures, estão os dois Bispos, sendo portanto necessário ver o que acontece nas 16 posições em que os Bispos podem estar colocados no tabuleiro; um exemplo é este (um Bispo colocado num canto e o outro a alguma distância dele:

Entre os dois Bispos tem de ser reservada 1 casa para uma das Torres, pelo que só sobram 4 casas para o Rei (tal como expliquei, não podem ser ocupadas nem a casa ao lado do Bispo esquerdo nem a casa do extremo direito); começando pela esquerda, a primeira dessas 4 posições do Rei é a seguinte:

A Torre da esquerda só tem 1 casa para ser colocada; e a outra tem 4 casas; então o total de combinações para as Torres é 1 x 4 = 4.

A segunda das 4 posições do Rei é esta:

Agora a Torre da esquerda tem 2 casas para ser colocada e a da direita tem 3; o total de combinações para a sua colocação é 2 x 3 = 6.

A terceira das 4 posições do Rei:

A Torre da esquerda tem 3 casas para ser colocada e a da direita tem 2; total de combinações, 3 x 2 = 6.

Finalmente, a quarta das 4 posições do Rei:

A Torre da esquerda tem 4 casa para ser colocada e a da direita só tem 1 casa; então o total de combinações para as Torres é 4 x 1 = 4.

Para esta posição inicial dos Bispos há 4 + 6 + 6 + 4 = 20 combinações viáveis para a colocação do Rei e das duas Torres; fazendo um raciocínio semelhante para as outras 15 posições iniciais dos Bispos, chega-se à mesma conclusão, em qualquer delas há apenas 20 combinações para a colocação destas três peças.

(3) Colocação da Dama e dos Cavalos. Como só sobram 3 casas vagas, há 3 possibilidades para a colocação da Dama; e os Cavalos são colocados nas 2 casas restantes; assim, o total de combinações para a posição destas três peças é 3.

(4) Então o número de posições iniciais possíveis para as oito peças é de 16 x 20 x 3, ou seja, 960.

Resta ainda uma questão prática: como colocar as peças aleatoriamente?
Existe software para o fazer (como o Lichess nos mostra), mas há outras soluções. Tendo em conta que apenas é preciso escolher «entre 2», «entre 3» e «entre 4» casas, como usar para tal um simples dado de 6 faces?
Alguém faz uma proposta?

Para quem gosta de jogar o melhor é experimentar. A partir da posição inicial mostrada acima (nela o Lichess informa-nos que ela é a nº 249), tentei a minha sorte (fiz alguns erros pelo meio, que me levaram a «andar para trás» depois de perceber que alguns lances tinham sido maus, usando para isso uma seta enrolada que está visível, à direita, durante o jogo) e consegui a vitória que vos dedico abaixo (clicar para ver o GIF):

https://lichess1.org/game/export/gif/white/EdiTsGJA.gif?theme=brown&piece=cburnett.

Boa sorte para quem quiser experimentar!


Nota: Ingo Althöfer já propôs um modo de usar um dado de 6 faces para a distribuição aleatória das peças, mas não fui procurar como ...


Fonte s(informação e imagens): sítios da Lichess e da Wikipédia

[0359] As plantas urbanas em Janeiro

Apesar de, nesta época do ano, não lhes prestarmos muito atenção, há plantas que estão a nascer, há plantas que estão em flor e até há plantas que já têm os seus frutos a crescer.

Aquela que mais me impressionou em Janeiro foi o Trevo-azedo. Já havia começado a florir em Dezembro, e assim se manteve ao longo de quase todo o mês passado; e, perto de Fevereiro (assim se mantendo até hoje), encheu de florzinhas amarelas as encostas baldias da Margem Sul:

Flor de Trevo-azedo, em Miratejo (fotografia em 13 de Janeiro)
A flor desta planta só abre plenamente desde que haja Sol e não muito frio

Explosão do Trevo-azedo, em Miratejo (fotografia em 2 de Fevereiro)
Quando os jardineiros municipais cortam o mato destes baldios,
o Trevo-azedo volta a florir rapidamente

É preciso não confundir os Trevos-azedos com os Trevos-comuns, que só agora estão a começar a florir. As suas flores são muito diferentes, mas as folhas apenas se confundem se não lhes prestarmos um mínimo de atenção:

Folhas do Trevo-comum (à esquerda) e do Trevo-azedo (à direita)

Há muitas outras plantas que floriram ao longo de Janeiro. Eis algumas, através de imagens de exemplares não cultivados:

Flores de uma planta do género Sonchus,
perto das praias atlânticas (fotografia em 16 de Janeiro)

Flor de Soagem, no Parque da Paz (fotografia em 27 de Janeiro)

Flores de Narciso, em Miratejo (fotografia em 1 de Fevereiro)

Alecrim em flor, no Parque da Paz (fotografia em 1 de Fevereiro)

Compreensivelmente, há muito menos plantas cujos frutos já estão em crescimento. Dois exemplos bastante que são visíveis:

Pequenas Nêsperas, em Miratejo (fotografia em 11 de Janeiro)

Medronhos a crescer, no Parque da Paz (fotografia em 27 de Janeiro)

Para facilitar pesquisas, aqui vão os nomes científicos destas plantas, as que escolhi para serem destacadas em Janeiro (em itálico: primeiro a designação do género, depois a da espécie):

Alecrim: Rosmarinus officinalis (família Lamiaceae)
Medronheiro: Arbutus unedo (família Ericaceae)
Narcissus, género (família Amaryllidaceae)
Nespereira: Eriobotrya japonica (família Rosaceae)
Soagem: Echium plantagineum (família Boraginaceae)
Sonchus, género (família Asperaceae)
Trevo-azedo: Oxalis pes-capre (família Oxalidaceae)


Fontes: para a primeira fase da identificação, o sítio PlantNet; para os pormenores, livro de Bingre & outros e Wikipédia
Fotografias: Eva Maria Blum

[0358] A sociedade e a arte: um documentário sobre quatro décadas do século XIX em França

São quatro episódios, cada um com uma duração entre 46 e 49 minutos. No seu conjunto formam o documentário intitulado L'armée des romantiques (ou, em tradução livre para português, O exército dos românticos), realizado por Amélie Harrault.

Não foi por acaso que no título em francês foi usada a palavra «exército». Depois da revolução francesa (iniciada em 1789), Paris (e não tão intensamente o resto da França) teve três períodos de grandes agitação social: em 1830 (quando a monarquia, reposta em 1814, foi posta em xeque mas não derrubada); em 1848 (quando a monarquia foi derrubada, dando lugar à IIª República, que apenas durou até 1852); e em 1871 (quando a monarquia foi definitivamente derrubada, dando lugar à IIIª República). Durante estes anos, o grupo dos artistas «românticos» (músicos, escritores, poetas, fotógrafos e pintores que se cruzaram em Paris, marcando a história das artes e das ideias) contribuiu, embora nem sempre convergindo na acção e na ideologia, para as mudanças políticas que então aconteceram.

Encontravam-se neste grupo (lista ordenada por ano de nascimento):
Eugène Delacroix (1798 – 1863): pintor;
Honoré de Balzac (1799 – 1850): escritor; autor de «A Comédia Humana»;
Alexandre Dumas (1802 – 1870): romancista e dramaturgo;
Victor Hugo (1802 - 1885): romancista, poeta, dramaturgo, ensaísta, estadista e activista dos direitos humanos; autor de «Les Misérables» e de «Notre-Dame de Paris»;
Hector Berlioz (1803 – 1869): compositor;
George Sand, pseudónimo de Amandine Aurore Lucile Dupin (1804 – 1876): romancista e memorialista;
Frédéric Chopin, de origem polaca (1810 – 1849): compositor;
Gustave Courbet (1819 – 1877): pintor;
Félix Nadar (1820 - 1910): fotógrafo, caricaturista e jornalista;
Charles Baudelaire (1821 – 1867): poeta, ensaísta, tradutor e crítico de arte.

Talvez esta conhecida pintura, de Delacroix, simbolize o mais radical dos envolvimentos dos membros deste grupo:

«A Liberdade Guiando o Povo» (1830; óleo sobre tela, 269 x 326; actualmente no Louvre)

Ah!
Se quiserem ver facilmente estes episódios terão de o fazer até 19 de Julho de 2025, pois a partir daí eles não estarão disponíveis na mediateca da ARTE.
As línguas em que os é possível ouvir são o Alemão, o Espanhol, o Francês, o Inglês, o Italiano e o Polaco, acompanhadas, se o quiserem com legendas, ou na mesma língua, ou numa das outras.


Acesso ao documentário: https://www.arte.tv/fr/videos/RC-026018/l-armee-des-romantiques/ (esta é a versão em Francês; mas no ecrâ que vos aparece é possível escolher outra língua na barra de cima, à direita)

Fontes: www.arte.tv/; Wikipédia

[0357] Um problema de Xadrez inspirado no Natal nórdico

O problema proposto aos visitantes do sítio www.chess,com no dia do último Natal foi o seguinte:

A solução, não sendo trivial, também não é particularmente difícil, sendo até ajudada pelo título dado ao problema, bem adequado ao imaginário da época: «Corrida de Renas».

Reparem, o tabuleiro está disposto para quem joga com as peças brancas, pelo que os seus dois Peões está quase a ser coroados.
E reparem também, como curiosidade, que todas as peças pretas ainda se encontram no tabuleiro, pelo que a sua vantagem parece ser desmesurada – no entanto ...

Tentem então descobrir a solução do problema.
Se não conseguirem resolvê-lo, ou se quiserem verificar a correcção da vossa solução, apreciem a como o programa Stockfish o resolveu este desafio clicando aqui:

 

https://lichess1.org/game/export/gif/white/qL6GFhUw.gif?theme=brown&piece=cburnett .

 

Eis a posição do xeque-mate:

Fontes: https://www.chess.com/daily-chess-puzzle/2024-12-25 (problema e imagem) e https://lichess.org (solução)

[0356] Sobre o décimo sétimo Objectivo do Desenvolvimento Sustentável: Parcerias para a Implementação dos Objectivos

Neste blogue, os dezassete Objectivos do Desenvolvimento Sustentável foram genericamente apresentados na mensagem «0080».

Depois foi feita uma apresentação específica, comentada, aos seguintes objectivos: erradicar a pobreza (mensagens «0154», «0196» e «0206»), erradicar a fome («0157»), saúde de qualidade («0169»), educação de qualidade («0176»), igualdade de género («0178»), água potável e saneamento  («0239»), energias renováveis e acessíveis («0244»), trabalho digno e crescimento económico («0267»), indústria, inovação e infraestruturas («0275»), reduzir as desigualdades («0294»), cidades e comunidades sustentáveis («0314»), produção e consumo sustentáveis («0324»), acção climática («0334»), proteger a vida marinha e proteger a vida terrestre («0339») e paz, justiça e instituições eficazes («0348»).

O 17º e último destes objectivos é:

Em https://unric.org/pt/objetivos-de-desenvolvimento-sustentavel, este objectivo foi-nos apresentado assim:

Objetivo 17: Parcerias para a Implementação dos Objetivos
Fortalecer a mobilização de recursos internos, inclusive através do apoio internacional aos países em desenvolvimento, para melhorar a capacidade nacional para cobrança de impostos e outras fontes de receita
Os países desenvolvidos devem implementar de forma plena os seus compromissos em matéria de assistência oficial ao desenvolvimento [AOD], inclusive canalizar 0,7% do rendimento nacional bruto [RNB] para AOD aos países em desenvolvimento, e alocar 0,15% a 0,20% desse valor para os países menos desenvolvidos.
Mobilizar recursos financeiros adicionais para os países em desenvolvimento a partir de múltiplas fontes
Ajudar os países em desenvolvimento a alcançar a sustentabilidade da dívida de longo prazo através de políticas coordenadas destinadas a promover o financiamento, a redução e a reestruturação da dívida, conforme apropriado, e analisar a dívida externa dos países pobres altamente endividados de forma a reduzir o superendividamento
Adotar e implementar regimes de promoção de investimentos para os países menos desenvolvidos
Tecnologia
Melhorar a cooperação Norte-Sul, Sul-Sul e triangular ao nível regional e internacional e o acesso à ciência, tecnologia e inovação, e aumentar a partilha de conhecimento em termos mutuamente acordados, inclusive através de uma melhor coordenação entre os mecanismos existentes, particularmente no nível das Nações Unidas, e por meio de um mecanismo de facilitação de tecnologia global
Promover o desenvolvimento, a transferência, a disseminação e a difusão de tecnologias ambientalmente corretas para os países em desenvolvimento, em condições favoráveis, inclusive em condições concessionais e preferenciais, conforme mutuamente acordado
Operacionalizar plenamente o Banco de Tecnologia e o mecanismo de capacitação em ciência, tecnologia e inovação para os países menos desenvolvidos até 2017, e aumentar o uso de tecnologias de capacitação, em particular das tecnologias de informação e comunicação
Capacitação
Reforçar o apoio internacional para a implementação eficaz e orientada da capacitação em países em desenvolvimento, a fim de apoiar os planos nacionais para implementar todos os objetivos de desenvolvimento sustentável, inclusive através da cooperação Norte-Sul, Sul-Sul e triangular
Comércio
Promover um sistema multilateral de comércio universal, baseado em regras, aberto, não discriminatório e equitativo no âmbito da Organização Mundial do Comércio, inclusive através da conclusão das negociações no âmbito da Agenda de Desenvolvimento de Doha
Aumentar significativamente as exportações dos países em desenvolvimento, em particular com o objetivo de duplicar a participação dos países menos desenvolvidos nas exportações globais até 2020
Concretizar a implementação oportuna de acesso a mercados livres de cotas e taxas, de forma duradoura, para todos os países menos desenvolvidos, de acordo com as decisões da OMC, inclusive através de garantias de que as regras de origem preferencial aplicáveis às importações provenientes de países menos desenvolvidos sejam transparentes e simples, e contribuam para facilitar o acesso ao mercado
Questões sistémicas
Coerência de políticas e institucional

Aumentar a estabilidade macroeconómica global, inclusive através da coordenação e da coerência de políticas
Aumentar a coerência das políticas para o desenvolvimento sustentável
Respeitar o espaço político e a liderança de cada país para estabelecer e implementar políticas para a erradicação da pobreza e o desenvolvimento sustentável
As parcerias multissetoriais
Reforçar a parceria global para o desenvolvimento sustentável, complementada por parcerias multissetoriais que mobilizem e partilhem conhecimento, perícia, tecnologia e recursos financeiros, para apoiar a realização dos objetivos do desenvolvimento sustentável em todos os países, particularmente nos países em desenvolvimento
Incentivar e promover parcerias públicas, público-privadas e com a sociedade civil que sejam eficazes, a partir da experiência das estratégias de mobilização de recursos dessas parcerias
Dados, monitorização e prestação de contas
Até 2020, reforçar o apoio à capacitação para os países em desenvolvimento, inclusive para os países menos desenvolvidos e pequenos Estados insulares em desenvolvimento, para aumentar significativamente a disponibilidade de dados de alta qualidade, atuais e fidedignos, desagregados ao nível do rendimento, género, idade, raça, etnia, estatuto migratório, deficiência, localização geográfica e outras características relevantes em contextos nacionais
Até 2030, aumentar as iniciativas existentes para desenvolver medidas do progresso do desenvolvimento sustentável que complementem o produto interno bruto [PIB] e apoiem a capacitação estatística nos países em desenvolvimento


Jeffrey Sachs, um defensor radical do desenvolvimento sustentável, afirmou este ano numa entrevista ao jornal «Público», que o “Desenvolvimento sustentável signfica um mundo que é economicamente próspero, socialmente justo, ambientalmente sustentável e em paz. E nós não temos nada disso actualmente.”

Dificilmente se encontrará uma afirmação mais convincente sobre os limites encontrados por este enormemente ambicioso projecto.


Fonte: entrevista a Sachs (2024)

[0355] Crise na Cozinha: as medidas de volume são um terror!

Quanto mais o Natal se aproxima mais aumentam, na cozinha, os momentos de desespero relacionados com a interpretação de receitas onde é reclamada a utilização de submúltiplos do litro! Eis dois exemplos dos instrumentos que provocam estas crises laborais:

Estes desesperos parecem estar associados a diversas questões nestes instrumentos:
(1) Onde está a indicação de que o volume é um litro?
(2) Que significam aquelas letras a seguir aos números?
(3) Que têm estes números a ver uns com os outros?

Comentário à questão (1)

Na ferramenta da esquerda não está explícita a altura a que corresponde o «litro».
E na ferramenta da direita apenas está escrito «1/2 L», pelo que dois volumes destes equivalerão ao «litro».
Utilizando uma ideia que era usada nas escolas há umas décadas atrás, podemos imaginar um litro como equivalendo ao volume de um cubo com os lados iguais a 10 centímetros (mais ou menos meio palmo de um adulto).
Mas sabê-lo ainda não nos ajuda a usar as ferramentas cujas imagens estão mostradas acima.

Comentário à questão (2)

Podemos deduzir que dentro do cubo com 10 centímetros de lado existem mil cubinhos, cada um com um só centímetro de lado, pois uma aresta do cubo tem 10 cubinhos; uma face do cubo tem x 10 = 100 cubinhos; e o cubo todo tem 10 faces, portanto 10 x 100 = 1000 cubinhos:

Isto permite-nos expressar os submúltipos do «litro» de dois modos distintos mas equivalentes:
F Se partirmos do cubinho e lhe chamarmos «centímetro cúbico» (símbolo: «cm³»; ou, à inglesa, «ccm»), as quatro figuras acima correspondem a «1 cm³», a «10 cm³», a 100 cm³» e a «1000 cm³»; então ficamos a saber que «1 litro = 1000 cm³» (isto é, igual a «1 decímetro cúbico», simbolizado por «1 dm³»);
F Se partirmos do cubo grande (ou seja, do «litro»), a sua face tem dez vezes menos cubinhos (sendo por isso designada por «decilitro», cujo símbolo é «dl»); a sua aresta é cem vezes mais pequena (o «centilitro», ou «cl») e o cubinho isolado é-o mil vezes (o «mililitro, ou «ml»).

Note-se que, na base destas duas linguagens está o «mililitro», equivalente ao «centímetro cúbico». Sabendo-o, podemos estabelecer equivalências de volumes entre os dois instrumentos figurados acima

Comentário à questão (3)

Os instrumentos que ajudam quem trabalha na cozinha com volume inferiores ao litro dispõem de indicações para ajudar a determinar onde se situa o nível desejado.
No entanto podem surgir embaraços interpretativos se a receita que estamos a consultar usa uma linguagem (por exemplo a dos « cm³») e o instrumento de que dispomos usa outra (por exemplo, «1/2» de litro, «1/4» de litro, etc.).
Para os ajudar a superar estes embaraços aqui vai uma tabela que estabelece algumas equivalências (e que facilmente pode ser ampliada com mais linhas horizontais, copiada e colocada entre os livros de receitas):

A maioria dos volumes intermédios indicados pode ser determinada por simples adição das medidas indicadas nos instrumentos de cozinha, como, por exemplo:

400 ml = 200 ml + 200 ml

ou

8 dl = 5 dl + 2 dl + 1 dl.

Talvez fosse interessante ter nas cozinhas um ou mais azulejos que, em vez de serem brancos, como quase sempre são, dispusessem de indicações para ajudar quem cozinha a tomar algumas das decisões que exigem o domínio de conceitos matemáticos como os referidos atrás.
Por exemplo, este azulejo quadrado com15 centímetros de lado:

No século XVIII os jesuítas colocaram nas paredes de algumas das suas salas de aula (pelo menos em Évora e Lisboa) azulejos com ensinamentos básicos relacionados com a Astronomia, a Matemática e a Física (e outras disciplinas?), aos quais os seus estudiosos chamam, hoje, «azulejos didácticos» (há alguns desses azulejos expostos em Coimbra, no Museu Nacional de Machado de Castro: ver mensagem «108» deste blogue).
A ser experimentada com sucesso a produção de azulejos com ensinamentos práticos como os propostos acima, de modo a que figurem em locais chave do nosso dia-a-dia, poder-se-lhes-ia chamar «Novos Azulejos Didácticos», sendo de destacar que eles agora não figurariam em salas de aula, mas sim onde nós vivemos, trabalhamos e também aprendemos!


Fotografia e desenhos: Pedro Esteves

[0354] Jogos para os quais há material em casa (XI): o «Leopardos e Vacas»

Este jogo, originário do Sri Lanka, simula o combate entre 2 Leopardos e 24 Vacas, pertencendo assim à família dos «jogos de caça» (como o «Raposa e Galinhas», que este blogue divulgou através da mensagem «0258») e dos «jogos de guerra» (como o «Assalto», aqui divulgado pela mensagem «0332»).
O tabuleiro onde se joga é o seguinte:

Trata-se de um jogo para dois jogadores, que se alternam a jogar.
Começa o que tem os Leopardos, colocando um deles em qualquer ponto (intersecção de linhas azuis) do tabuleiro. Depois, o outro jogador coloca uma Vaca, num ponto livre do tabuleiro. De seguida são colocados o último Leopardo e uma segunda Vaca. E a partir daqui as jogadas dos Leopardos consistem na movimentação de um deles; e as das Vacas na colocação das restantes vinte e duas, só então podendo ser movimentada uma delas quando for a sua vez de jogar.

O movimento de uma Vaca é feito entre dois pontos vizinhos do tabuleiro, ligados por uma linha, estando livre o ponto de chegada.
O movimento de um Leopardo é realizado de um de dois modos:
* ou deslocando-o entre dois pontos do tabuleiro, tal como se movem as Vacas;
* ou fazendo-o saltar sobre uma (ou mais) Vaca(s), como no jogo das Damas, retirando do tabuleiro a(s) Vaca(s) assim capturadas (este movimento só é possível se o ponto situado a seguir a uma Vaca a capturar estiver livre, podendo o Leopardo, após cada captura, mudar de direcção para capturar outra Vaca).

Para que o jogador que tem as Vacas não adopte uma atitude meramente defensiva, o seu objectivo deve ser o de encurralar os dois Leopardos, isto é, não lhes permitir realizar qualquer movimento (de deslocação, de captura); se não o conseguir, os Leopardos acabarão por capturar todas as Vacas.

Após terminar um jogo, os jogadores trocam de peças, jogando assim, rotativamente, tantas vezes quantas as que acordarem.

Para jogar o Leopardos e Vacas em casa, são portanto necessárias 2 peças para representar os Leopardos, 24 peças para representar as Vacas e um tabuleiro. Este pode ser obtido através da página Documentos deste blogue, aí clicando em Jogos de Reflexão e procurando na respectiva Drop Box o ficheiro sobre este jogo, o qual permite imprimir o tabuleiro ou ajudar a que se faça dele um paciente desenho.

Nem todas as fontes apresentam exactamente as mesmas regras para este jogo, e a té o mesmo tabuleiro. Um outra versão deste é semelhante à anterior, sem as 4 x 3 = doze casas mais afastadas do centro:

Fontes: regras divulgadas pela organização Oikos; livro de Guik (pp. 257-258)
Desenhos: Pedro Esteves

[0353] A Declaração Universal sobre os Arquivos

Em Novembro de 2011, na 36ª Conferência Geral da Unesco, realizada em Paris, foi aprovada a Declaração Universal sobre os Arquivos, através da qual se assumiu o valor dos documentos de arquivo como património e memória, bem como fundamento para muitas das decisões que são tomadas.

Tal como então foi recordado, «os arquivos não são imensas campas nas quais fiquem enterradas as experiências humanas e os seus dramas, mas ao contrário, os arquivos representam muitas das condições que permitem a formação de uma consciência humana» (Jaime Torres Bodet, Diretor-geral da Unesco, em discurso de 1948).

Declaração Universal sobre os Arquivos

“Os Arquivos registam decisões, ações e memórias. Os Arquivos constituem um património único e insubstituível transmitido de geração em geração. Os documentos de arquivo são geridos desde a sua criação para preservar o seu valor e significado. Os Arquivos são fontes fiáveis de informação para uma governação responsável e transparente. Desempenham um papel essencial no desenvolvimento das sociedades ao contribuir para a constituição e salvaguarda da memória individual e coletiva. O livre acesso aos arquivos enriquece o conhecimento sobre a sociedade humana, promove a democracia, protege os direitos dos cidadãos e melhora a qualidade de vida. Por isso reconhecemos:

•  o caráter único dos arquivos como provas autênticas das atividades administrativas, culturais e intelectuais e como um reflexo da evolução das sociedades;
•  o papel essencial dos arquivos para garantir uma gestão eficaz, responsável e transparente, para proteger os direitos dos cidadãos, assegurar a memória individual e coletiva, e para compreender o passado, documentar o presente com vista a orientar o futuro;
•  a diversidade dos arquivos permite documentar todas as áreas da atividade humana;
•  a multiplicidade de suportes e formatos em que os documentos são produzidos e conservados, incluindo papel, eletrónico, audiovisual e outros;
•  o papel dos arquivistas, profissionais qualificados, com formação inicial e contínua, ao serviço da sociedade, apoiando o processo de produção dos documentos, a sua avaliação, seleção e conservação, e a respetiva disponibilização;
•  a responsabilidade coletiva, envolvendo, cidadãos, decisores públicos, proprietários ou detentores de arquivos públicos ou privados, arquivistas e outros profissionais da informação, na gestão de arquivos.

 Por isso comprometemo-nos a trabalhar em conjunto, para que:

•  sejam adotadas e aplicadas políticas e legislação arquivística adequadas;
•  todos os organismos públicos ou privados que produzem e utilizam documentos para o exercício das suas atividades valorizem e exerçam eficazmente a gestão dos seus arquivos;
•  sejam disponibilizados os recursos necessários para apoiar a adequada gestão dos arquivos, inclusive a contratação de profissionais qualificados;
• os arquivos sejam geridos e conservados de forma a garantir a sua autenticidade, fiabilidade, integridade e utilização;
•  os arquivos sejam acessíveis a todos, respeitando a legislação em vigor sobre esta matéria e sobre os direitos dos cidadãos, dos produtores, dos proprietários e dos utilizadores;
•  os arquivos sejam utilizados de modo a contribuir para a promoção de uma cidadania responsável.”

Fonte: Direcção-Geral de Arquivos (2011)

[0352] A omnipresença da Geometria no Mosteiro de Santa Cruz (Coimbra)

Pode ser que qualquer ideologia, ao aspirar à interpretação perfeita do mundo, procure e apure uma linguagem simples para o expressar.

Esta hipotética relação entre o que é complexo e a sua formulação depurada parece explicar a força com que os padrões geométricos estruturam os espaços construídos com uma intenção ideológica.

Assim o senti no Mosteiro de Santa Cruz, em Coimbra:

Nas formas exteriores

Nas formas interiores

Nas estruturas

Nos pavimentos

Nas paredes e nos tectos

Nos revestimentos

No mobiliário

Fotografias (em 21 de Agosto de 2024): Pedro Esteves (segunda, terceira e última); Eva Maria Blum (restantes)

[0351] Um ilusionismo baseado na Partição de Perigal

É na Partição de Perigal que se baseia uma das demonstrações mais estéticas do Teorema de Pitágoras.

Este teorema, que tanto pode ser enunciado de forma algébrica (a célebre lengalenga da «soma dos quadrados dos catetos» ser igual ao «quadrado da hipotenusa») como de forma geométrica (os anteriores «quadrados», a x a, b x b e c x c, passam a ser interpretados como «áreas de quadrados»), foi elegantemente demonstrado no século XIX pelo matemático inglês Henry Perigal (1801 – 1898).
Qual foi o seu método?

A partir do desenho de qualquer triângulo rectângulo (escolhi um com catetos 3 x 5 cm, a verde no desenho) desenhamos três quadrados que têm como um dos lados os seus catetos e a sua hipotenusa (não estão coloridos no desenho). O resultado é este:

A interpretação geométrica do Teorema de Pitágoras diz-nos que a área do quadrado pequeno (à esquerda) mais a área do quadrado médio (em baixo) é igual à área do quadrado grande (em cima à direita). Como demonstrou Perigal esta afirmação?

Primeiro é preciso cortar o quadrado médio duas vezes, de tal modo que os dois cortes se cruzem no seu centro, sendo um deles paralelo e o outro perpendicular à hipotenusa (ou seja, cada um deles é paralelo a dois lados do quadrado grande).
Decidi colorir (a amarelo) os quatro quadriláteros resultantes e colorir também (a azul) o quadrado pequeno:

A Partição de Perigal é o resultado dos cortes que deram os quatro quadriláteros amarelos.
Agora, Perigal, dispondo de cinco polígonos (o azul e os quatro amarelos) com uma área total igual à área dos dois quadrados mais pequenos, «compôs» (que é o inverso de «partir») com eles o quadrado grande. E obteve isto:

É claro que Perigal ainda não tinha acabado a sua demonstração, mas o que falta já não interessa para perceber o que se passa no «ilusionismo» referido no título desta mensagem.

O referido «ilusionismo» surgiu-me através de um vídeo divulgado por uma das chamadas «redes sociais» (acessível através de https://www.facebook.com/reel/1012762403394683).
Que é nele mostrado?
Numa moldura de madeira, quadrangular, encontram-se encaixados quatro quadriláteros que imediatamente lembram os da Partição de Perigal, parecendo «bem ajustados» à moldura.
Após serem retirados de lá, é-nos mostrado um quadradinho, bastante pequeno, que é colocado no centro da moldura. Por fim, cada um dos quatro quadriláteros regressam à moldura, preenchendo todo o espaço deixado livre pelo quadradinho.
Com foi possível a moldura ter estado totalmente preenchida pelos quatro quadriláteros e, afinal, ainda permitir, com outra disposição, acolher mais um quadradinho?



Comentários:

Há outras «magias» baseadas no efeito usado nesta: existe uma pequena folga numa das configurações, enquanto na outra configuração não existe qualquer folga.
Neste caso, a folga estava na primeira configuração, e ela corresponde à área do quadradinho que surge na segunda configuração, mas distribuída por todo o perímetro da moldura.
Para o entender, basta considerar as fases da demonstração de Perigal: se o cateto mais pequeno for mesmo muito pequeno (equivalente ao «quadradinho»), o quadrado médio vai ser quase do tamanho do quadrado grande. Se a moldura tiver a dimensão do quadrado grande, a colocação dos quatro quadriláteros quase o preenche por completo, criando a ilusão visual de não haver espaço vazio ...

Este truque ilusionista é, no fundo, um pouco parecido com as demonstrações do Teorema de Pitágoras que são feitas nas escolas: quando se chega ao momento de ver tudo em pormenor (medidas dos lados e dos ângulos, etc.), que é onde a demonstração se consolida, tudo se precipita e a lição está terminada.

Tal «c.q.d.» («como queríamos demonstrar»)


Desenhos: Pedro Esteves
Fotografia: pesquisa via Google

[0350] Um instrumento portátil para medir comprimentos: o nosso corpo

Na seguinte imagem estão representadas, artisticamente, quatro unidades de comprimento que usam como referência o nosso corpo:

São elas o Cúbito (à esquerda), o Palmo (ao centro), a Polegada (em cima) e, apenas parcialmente, a Braça (à direita)
Esta última está plenamente representada nesta outra imagem:

De onde vieram estas imagens? Da actual decoração de um edifício  situado em Frankfurt am Main, que outrora se destinava à comercialização dos produtos fabricados pelos padeiros, o Weckmarkt («Weck» é o nome pelo qual as nossas «Bolinhas» são conhecidas no Sul da Alemanha; e «Markt» significa «Mercado»).

Eis como se aparentava esse edifício há dez anos atrás:

Havia, nas proximidades deste edifício, outros destinados à comercialização de frutas, de legumes, de carnes, etc..

Ás quatro unidades de comprimento referidas acima poder-se-iam também juntar outras como o Pé e o Passo, igualmente baseadas no nosso corpo. E, se nos contentassemos com as alegorias, poderíamos ainda recordar o uso quotidiano de expressões como Por um cabelo e Por uma unha negra ...

Fotografias Eva Maria Blum (5 Setembro 2014)

[0349] Magia: uma tragédia onde todos escapam!

No blogue «Aprendizagens» é referido um interessante truque de magia que, sob o ponto de vista de um dos espectadores, pode ser descrito assim (com uns desenhos meus a ajudar):

“O mágico deu a cada um de nós uma peça de jogo e uma folha com a planta de uma escola. E disse-nos:

- A vossa peça representa-vos. Coloquem-na ou na Sala de Professores, ou no Bar, ou no Refeitório, ou na Biblioteca. Esse será o lugar onde vocês estão agora na escola.

Cada um colocou a sua peça no espaço que quis. Eu coloquei a minha na Biblioteca.

- Já estão prontos? – perguntou o mágico. Como estávamos ele prosseguiu:
- Então cada um de vocês vai deslocar-se pela escola, atravessando, sucessivamente, quatro portas, à vossa escolha!
Nós fizemos como ele disse. Ouvi o tique tique tique das peças a deslocarem-se pela escola. Eu dei uma volta e parei no Refeitório.
- Muito bem. – disse o mágico – Agora vai acontecer o primeiro acto da tragédia que vos anunciei, o Laboratório de Ciências foi invadido por ratazanas! Pintem de vermelho esse espaço!
Distribui-nos uns lápis vermelhos. E nós pintalgámos o Laboratório de Ciências.

- Estão todos a salvo? – inquiriu o mágico.
Todos dissemos que sim, um pouco surpresos por ninguém ter estado no Laboratório.
- Ah! Ainda bem. Então atravessem agora três portas, por favor. Já está? A segunda desgraça acontece neste momento: há uma intoxicação no Refeitório; pintem-no de vermelho!
Eu tinha ido até ao Laboratório de Física, escapando por um triz ao acidente no Refeitório!

Começávamos a perceber que íamos passar o tempo a fugir de problemas, se não fossemos apanhados por eles. Pintámos de vermelho o Refeitório e aguardámos.
- Agora atravessem mais duas portas, à vossa escolha.
O mágico aguardou um pouco e continuou:
- Já o fizeram? Eis a terceira peça da tragédia: as prateleiras da Biblioteca desabaram. Pintem de vermelho a Biblioteca!

Eu fora do Laboratório de Física para o de Química, por pouco não regressara à Biblioteca!
E a coisa prosseguiu: a seguir cada um de nós atravessou mais três portas (eu fui para a Sala de Professores, talvez por pensar que aí nunca poderia acontecer nada).
Desta vez simultaneamente, aconteceram mais duas desgraças: as Casas de Banho inundaram-se e deu-se uma explosão no Laboratório de Química! Incrível, eu tinha escapado! E os outros também não se queixaram quando o mágico nos perguntou se estávamos todos bem!

- Óptimo! Vocês têm uma intuição magnífica para evitar desastres! Agora, atravessem mais três portas. Já está? Oh, mais um problema, rebentou um incêndio na Sala de Professores, pintem-na de vermelho!

Eu tinha saído precisamente da Sala de Professores e regressado ao Laboratório de Física. Tal como todos os outros estava estava bem, estávamos todos bem! Recebemos então mais uma intrução, atravessar uma só porta.
Fui para o Bar e quando lá cheguei recebemos a notícia de duas novas tragédias: o tecto do Polivalente tinha desabado e havia uma fuga de gás no Laboratório de Física!

- Onde é que cada um de vocês está? – perguntou um tanto alarmado o mágico, como que disposto a socorrer-nos, custasse o que custasse.
- No Bar ... – foi a nossa invariável resposta.
Estávamos todos no Bar!!!
- Uhm, se calhar não é a vossa intuição, - disse o mágico –Talvez seja apenas sorte. Bom, já que estão todos aí, pago-vos uma bebida!”


Fundamentação:

Se se pode aceitar uma pessoa com sorte, por não estar em nenhum dos espaços no momento em que se deu nele um acidente, já não é nada provável que tal tenha acontecido a todos os participantes, nem que todos se encontrassem no Bar quando aconteceram os últimos desastres.

Decidi chamar à base teórica deste truque Geometria do Rei de Xadrez: se a planta da escola fosse um tabuleiro de Xadrez 3 x 3 e cada um dos participantes se pudesse movimentar nele como o Rei no jogo do Xadrez (cada movimento desloca-o da casa onde está para uma das casas laterais, ou a de cima, ou a de baixo, ou a da esquerda, ou a da direita), sendo preta a casa inicial, após um número ímpar de movimentos o Rei está noutra casa preta; e após um número par de movimentos ele está numa casa branca:

O mágico começou por dar uma instrução que colocou todos os participantes em «casas pretas» (se os espaços da escola fossem como o tabuleiro do exemplo dado atrás) e sitou o primeiro acidente numa casa branca: ninguém lá estava!
Depois repetiu o processo, cuidando de não deixar as casas ainda não acidentados sem acesso ao Bar, pois era esse o destino que tinha imaginado para todos!


Muitos truques de magia têm uma base «teórica» muito simples, tal como este tem. Mas manter a simplicidade na «prática» pode dar muito trabalho (inventar uma boa história; preparar a interacção com os participantes; produzir o material necessário).


Fonte: José Paulo Viana em 1994, no 4º Encontro Regional de Professores de Matemática de Almada e Seixal, cuja memória foi registada em https://aprendizagens2023.blogspot.com/2024/07/081-o-nucleo-da-apm-em-1993-94.html; a história contada acima é da minha responsabilidade (não assisti à apresentação do Zé Paulo)