[0370] Mais um Jogo de Reflexão: o «Abalone»

Este jogo foi criado por Michel Lalet e Laurent Levi em 1987 e comercializado a partir de 1990.

Trata-se de um jogo para dois jogadores.
O seu tabuleiro é hexagonal e dispõe de 61 casas onde, inicialmente, estão colocadas 14 peças negras e 14 peças brancas ocupando dois dos seus lados opostos, como se mostra nesta figura:

O jogador que tem as peças negras joga em primeiro lugar, sendo as suas jogadas alternadas entre os dois jogadores.

Como as casas são pequenos buracos feitos no tabuleiro e as peças são berlindes, cada peça pode deslizar suavemente do buraco onde se encontra para um dos 6 buracos que lhe são adjacentes, se este estiver vazio. Este é o modo de jogar um só peça.
Há ainda três modos de deslocar 2 ou 3 peças de uma só vez.

a) Deslocando duas ou três peças lateralmente:

b) Deslocando duas ou três peças em fila:

c) Deslocando duas ou três peças em fila empurrando, simultaneamente, um menor número de peças da outra cor que lhes estejam encostadas na mesma fila (duas peças apenas podem empurrar uma peça; três podem empurrar duas ou uma)

Caso a peça mais afastada que vai ser empurrada estiver na borda do tabuleiro, ao sê-lo vai sair do tabuleiro.
O jogo é ganho pelo primeiro jogador que empurrar 6 peças adversárias para fora do tabuleiro.
Trata-se, portanto, de um jogo que não admite empates.


A experiência dos que jogam regularmente ao Abalone mostra que alguns jogadores têm tendência para o fazer defensivamente, podendo prolongar indefinidamente um jogo. Dois ex-alunos meus, que se defrontavam regularmente na Ludoteca da nossa escola, inventaram uma posição das peças a que chamaram «Rosa», com a ideia de poder ter uma prolongada atitude defensiva. Eis como eles procuravam colocar as peças:

Para dificultar este tipo de situações em campeonatos, nalguns países adoptaram-se posições de partida diferentes, de que as seguintes são dois exemplos:

Havendo 14 berlindes de uma terceira cor, é possível jogar a uma variante do Abalone destinada a três jogadores, sendo então escolhidos para a posição inicial das peças três lados não adjacentes do tabuleiro.


É possível jogar Abalone on-line em https://www.playabalone.com/pt/.


As regras deste jogo já se encontram na Drop Box que está acessível a partir da página «Documentos» deste blogue, clicando aí em Jogos de Reflexão.


Texto e imagens: informações de exemplar comercializado deste jogo; e Wikipédia («Abalone»)

[0369] Factos e argumentos sobre a Educação (VII): agir, pensar e teorizar em conjunto

Em Portugal, os vinte anos que se seguiram ao «25 de Abril» constituem um período que se tem vindo a revelar interessante para compreender como as suas dinâmicas transformantes iniciais foram sendo apaziguadas e, em grande parte, reduzidas a rotinas institucionais.

O caso da educação interessa-me em particular, por, a partir de 1979-80, nele ter estado envolvido.


Três curtas histórias com professores

1974-75

O testemunho intitulado 25 de Abril: As Transformações nas Escolas e nos Professores, da autoria da professora Eduarda Dionísio, faz parte de um livro que pretendeu fazer um balanço do movimento que, em 1974-75, iniciou a transformação do nosso país:

Desde o início a sua autora quis deixar claro que “mesmo quando vencemos [referindo-se aos professores que dinamizaram as transformações que iria descrever], fomos minoritários e as escolas em 74-75 não foram evidentemente um mar de rosas que se recorde simplesmente com saudade.”
Depois, colocando quase sempre de lado as dificuldades resultantes desse relativo isolamento, esta professora descreve e comenta algumas das transformações que foram realizáveis nesse tempo excepcional, como as implícitas nestes excertos:
“Rapidamente, cada um tomou em mãos a mudança da escola onde trabalhava, sem muito esperar por qualquer «orientação de política educacional». Contando cada escola com as suas próprias forças. […]. Em breve, os professores descobririam também o que até ali não tinha sido uma evidência: nas escolas, havia estudantes e, para estes, também o 25 de Abril tinha chegado. E havia «funcionários administrativos» — e «auxiliares», que, de um momento para o outro, já não eram designados por «pessoal menor» ...”
“Foram muitos os professores que não quiseram ter férias em 74. Tomaram «revolucionariamente» para si as tarefas que anteriormente cabiam ao reitor e às secretarias - desde as matrículas à organização das turmas, passando pelos horários e pela organização da escola. Tratava-se de, quando o «Ano Lectivo nº 1» da «Era da Revolução» se iniciasse, ter entre as mãos uma escola nova.”
Embora as escolas não tenham sido o único campo da sua acção, pois os professores referidos também se investiram na fundação do sindicalismo docente, “foi sobretudo nas escolas que se iam dando as grandes transformações. Os professores estavam organizados em «grupos de trabalho» que proliferavam - para tudo e mais alguma coisa - para estudar, propor, pôr em prática. Os «organigramas» - palavra nova - dos novos modelos de «gestão escolar» - conceito novo - sucediam-se e eram vivamente discutidos. Tratava-se de assegurar a máxima participação de todos os que trabalhavam e estudavam nas escolas, a maior representatividade de todos em todos os órgãos (todos eles novos - desde os conselhos de grupo aos conselhos de turma, passando pelas reuniões de escola e de sector, etc. ...), a mais larga «abertura ao meio». Tratava-se de ter nas mãos a escola em que se trabalhava ou se estudava - que se «habitava», como se dizia então -, fazê-la acompanhar o movimento social, a «revolução», quando não até ultrapassar o seu passo ... Isto passava-se sobretudo nas escolas que batalhavam […] pela «autonomia» e que eram contra um modelo único de gestão, como o Ministério e a [corrente dominante no] Sindicato preconizavam.”

1988-89

Década e meia depois, o Núcleo de Lisboa da recém fundada Associação de Professores de Matemática (APM) organizou uma série de encontros para «intercâmbio de ideias». Para os divulgar, os seus animadores elaboraram um folheto em que convidavam os colegas a participar, tendo, quando aberto (o folheto seria dobrado em três), um apelo à participação, num dos seus lados, e o programa dos encontros, no verso. Eis o lado correspondente ao apelo:

Aqui se destacava a “mudança da escola”, a “reflexão” sobre as “experiências” já feitas, o “intercâmbio” e, talvez como conceito global, a ideia de que a “renovação currículo” se estava a fazer na “acção”.

1994-95

Pouco tempo depois, em 1992, as diferentes Associações de Professores decidiram criar um Secretariado («SIAP») que lhes permitisse ser um “forum de discussão pedagógica”, intervir na “definição da política educativa nacional” (nomeadamente na Reforma Educativa cuja generalização estava então em curso) e organizar “formação contínua de professores no âmbito interdisciplinar.”
Uma das iniciativas do SIAP ocorreu em Maio de 1995, tendo por tema “Cumprir os Programas”:

O encontro foi constituido por uma Mesa Redonda, em que participaram representantes de várias Associações de Professores, e por três Conferências, a cargo de outros tantos professores.

Na síntese da Mesa Redonda, feita pelo seu moderador, Luís Filipe Teixeira, afirmou-se a necessidade de alterar o “pendor centralizador” do Ministério da Educação, em direcção de uma “gestão dos programas mais descentralizada e flexível”, de modo a reconhecer uma maior “autonomia” e “capacidade de inovação e de acção” aos professores; defendeu-se que os programas deveriam ter uma “visão mais global”, se se pretendia “formar cidadãos intervenientes e livres”, e que, para tal, deveria haver “formação” e “sensibilização dos professores”; e criticou-se o “sistema de avaliação em vigor”, em particular devido à ”leitura específica e redutora dos programas” que as “provas globais” tinham introduzido.

Numa das conferências, Alcino Matos Vilar, com base em vários estudos da teoria educacional, descreveu diversos modelos de “inovação curricular” que poderiam servir de apoio à “mudança do sistema educativo”.

Noutra das conferências, Angelina Carvalho analisou a ligação entre a “inovação” e a “reforma” educativa; depois de questionar o significado atribuído a estas palavras, concluíu que é no seio das Associações de Professores, desde que estas não se remetessem a um espaço de “corporativismo defensivo e pouco problematizador”, que poderiam crescer as “elites de transformação” que desejava.

E, na terceira conferência, Fernando Nunes apresentou os resultados de um inquérito que a APM dirigira, cerca de um ano antes, a professores de Matemática do ensino não superior de todo o país, concluindo que, apesar de existir entre os inquiridos uma óbvia «diversidade de opiniões», os professores estavam interessados na Reforma Curricular, embora tanto a considerassem como “positiva” como a sentissem com algum “desconforto”, dadas as desfavoráveis condições de implementação de que dispunham.


Alguns contributos de dois investigadores

Depois de aprovada a Lei de Bases do Sistema Educativo, em 1986, e de iniciados os trabalhos de preparação da Reforma Educativa que viria a ser conhecida pelo nome do Ministro da Educação que a lançou, Roberto Carneiro, as transformações educativas «a partir de cima» concentraram-se na definição da carreira docente. Pelo que foi neste contexto que alguns investigadores, preocupados com a autonomia dos professores e com o papel das escolas nas mudanças educativas, escreveram e divulgaram um conjunto de reflexões e de propostas.

1991-92

Um desses investigadores foi António Nóvoa. Em 1991, como se lembrasse aos professores que a profissão docente tinha uma história, ele descreveu as etapas que, em Portugal, tinham marcado a sua evolução.
A primeira dessas etapas correspondera ao exercício da profissão docente, ou a tempo inteiro, ou como actividade principal. A segunda, à existência de um suporte legal para o exercício da docência. A terceira, à constituição de instituições específicas para a formação de professores. E, por fim, a quarta, que correspondia à “diversificação das dinâmicas associativas”, expressa na constituição de associações de professores, sucedânea do “modelo sindical” hegemónico, e que optara ou pela “identificação a um saber disciplinar”, ou pela “manifestação de tendências pedagógicas”, ou pela “vontade de exercer um novo poder profissional”.
E, esquematicamente, apresentou estas quatro etapas assim:

Tratando-se de etapas já parcialmente cumpridas, o seu futuro, acrescentou Nóvoa, iria depender do modo como, por um lado, fossem estabelecidos os «saberes» de referência dos professores, existindo, sobre isso, uma tensão entre a sua transmissão e a sua produção; e, por outro, do modo como fossem definidas as «normas» e os «valores» da sua cultura profissional, tais como as condições de acesso, de progressão, de avaliação, etc.. Pelo que, advertiu, se “os próprios professores não se investirem neste projecto é evidente que outras instâncias (Estado, Universidades, etc.) ocuparão o território deixado livre”.

Ainda nesse ano, ao intervir no encontro anual da Associação de Professores de Matemática, realizado no Porto, António Nóvoa insistiu neste tema da caracterização da docência. Segundo afirmou, “grande parte dos actores educativos encara a convivialidade como um valor essencial e rejeita uma centração exclusiva nas aprendizagens escolares”, pelo que eram passíveis de crítica as perspectivas científicas sobre o que deve ser o professor, sobre como ele deve ensinar e sobre como o deve fazer na sala de aula. Essas perspectivas, explicou, vieram impor “uma separação entre o eu pessoal e o eu profissional”, favorecendo, ao serem passadas para o “plano institucional”, o “processo de proletarização” dos docentes.
Consequentemente, Nóvoa defendeu que o “processo identitário dos professores” é sustentado pela “Adesão” (caso da confiança que eles têm na “capacidade dos educandos”), pela “Acção” (como o é a sua “maneira de trabalhar na sala de aula”) e pela “Autoconsciência” (ou seja, pelo “«trabalho de pensar o trabalho»”, não só consumindo conhecimento, mas também o produzindo “do ponto de vista teórico e conceptual”), pelo que, concluíu, a definição da “identidade” profissional seria um “processo” que exigiria “tempo” e que incluiria a “capacidade de exercermos com autonomia o nosso trabalho”.

No ano seguinte, 1992, António Nóvoa deslocou a sua atenção para o papel das escolas, começando por fundamentar um problema central com que elas se deparavam: se “as variáveis sociais, culturais e familiares interferem no sucesso dos alunos”, essas “diferenças [...] só se transformam em desigualdades devido à estrutura e ao funcionamento do sistema educativo.” Pelo que, prosseguiu, nos últimos anos “a renovação da investigação educacional tem-se feito a partir de um esforço de construção de uma pedagogia centrada na escola”, o que “implica a elaboração de uma nova teoria curricular e o investimento dos estabelecimentos de ensino como lugares dotados de margens de autonomia, como espaços de formação e de auto-formação participada, como centros de investigação e experimentação, enfim, como núcleos de interacção social e de intervenção comunitária.”

E, noutra ocasião, Nóvoa abordou uma das vias pela qual os professores podiam transformar as escolas, a via da formação. Depois de admitir que “a reflexão científica na área da formação de professores [...] continua a denotar grandes fragilidades, sendo incapaz de produzir novos paradigmas de pensamento e acção”, instigou assim os docentes: “É preciso ter a coragem de uma crítica frontal, assumida em primeira linha no interior da profissão docente, das instituições de formação de professores e da comunidade científico-educacional. Caso contrário, outros actores sociais se encarregarão de liderar esta reflexão, com consequências imprevisíveis para o prestígio profissional e a autonomia científica dos professores.” E, em particular, visou a formação contínua, pois ela tendia a “articular-se” com “os objectivos do sistema, nomeadamente com o desenvolvimento da reforma”, o que, comentou, é “inaceitável”, devendo antes ser concebida “na lógica do desenvolvimento profissional dos professores e do desenvolvimento organizacional das escolas”. Pelo que propôs que ela visasse mais fortemente o seu contexto, se abrisse às decisões tomadas no local e na região, fosse mais individualizada, explorasse as potencialidades das estratégias de investigação-acção e de investigação-formação, se integrasse na situação de trabalho, introduzisse as novas tecnologias educativas e utilizasse as teorias da aprendizagem da formação de adultos.

Sendo assim, a formação contínua baseada nas escolas poderia apoiar um triplo desenvolvimento:
«Desenvolvimento pessoal: produzir a vida do professor». Cada professor deve desempenhar, em simultâneo, «o papel de formador e de formando», pois “A formação não se constrói por acumulação (de cursos, de conhecimentos ou de técnicas), mas sim através do trabalho de reflexividade crítica sobre as práticas e de (re)construção permanente de uma identidade pessoal. Por isso é tão importante investir a pessoa e dar um estatuto ao saber da experiência.”
«Desenvolvimento profissional: produzir a profissão docente». Se a formação organizada «em torno dos professores individuais» favorece o «isolamento» e a imagem dos «professores como transmissores de um saber produzido no exterior da profissão», as “Práticas de formação que tomem como referência as dimensões colectivas contribuem para a emancipação profissional e para a consolidação de uma profissão que é autónoma na produção dos seus saberes e dos seus valores.” “Os professores têm de se assumir como produtores da «sua» profissão. Mas sabemos hoje que não basta mudar o profissional; é preciso mudar também os contextos em que ele intervém”. “As escolas não podem mudar sem o empenhamento dos professores; e estes não podem mudar sem uma transformação das instituições em que trabalham.”
«Desenvolvimento organizacional: produzir a escola». “A formação deve ser encarada como um processo permanente, integrado no dia-a-dia dos professores e das escolas, e não como uma função que intervém à margem dos projectos profissionais e organizacionais”. “A formação contínua deve capitalizar as experiências inovadoras e as redes de trabalho que já existem no sistema educativo português, investindo-as do ponto de vista da sua transformação qualitativa, em vez de instaurar novos dispositivos de controlo e de enquadramento.”

Um outro investigador que escreveu e divulgou textos de apoio à autonomização dos professores e das escolas foi Rui Canário. Através de alguns artigos publicados em 1991 e 1992, ele, tal como Nóvoa, procurou alargar e reconceptualizar a visão tradicional que ainda prevalecia sobre as escolas: “Uma escola eficaz dos pontos de vista educativo e social”, escreveu ele, “supõe uma mudança de natureza das práticas pedagógicas, diversificação de práticas, adequadas a públicos social e culturalmente diferenciados. Só assim a escola poderá promover processos de aprendizagem pertinentes relativamente aos contextos culturais dos alunos, o que implica uma articulação mais interactiva entre a escola e a comunidade local.” Pelo que não apostava nos “sistemas escolares”, mas sim nas “escolas”, pois “é por aí que passam as mudanças”. As escolas, prosseguiu, “estão condenadas à inovação e a fazê-lo num contexto estrutural de penúria de recursos. Para que as inovações sejam possíveis e pertinentes não é necessário convencer os professores a trabalhar mais, ou mobilizá-los de forma voluntarista, mas sim favorecer situações que lhes permitam aprender a pensar e agir de forma diferente, à escala do estabelecimento de ensino, enriquecendo, reconstruindo e reorientando a sua cultura profissional.” Com as escolas vocacionadas para a diversidade dos alunos e com os professores no centro das escolas, seria pois à luz de uma “fusão num processo único das vertentes da inovação, da formação e da investigação [por parte dos professores] que, a nosso ver deverá ser reequacionada a questão do processo de mudança das escolas.”

Argumentos

Os professores envolvidos nas três curtas histórias e os dois investigadores que os procuraram apoiar no início da década de 1990 tinham um desígnio transformante em comum: a vontade de desenvolver uma forte autonomia dos docentes e das escolas, em função do apoio às aprendizagens de alunos social e culturalmente diferenciados.
Essa maior autonomia pressupunha uma menor influência tutelar por parte de Estado, bem como por parte de outros actores com quem o Estado se aliasse.

Tanto professores como investigadores reconheceram, embora apenas de passagem, a existência de diversidades, por vezes grandes, nas suas próprias comunidades profissionais. Mas nem professores nem investigadores trabalharam conceptualmente o modo de essas diversidades serem encaradas para que a respectiva comunidade fosse eficaz.

Nos vinte anos que se seguiram ao «25 de Abril», o contexto político e educacional mudou muito, em particular para os docentes, e nem estes o explicitaram, nem os investigadores realçaram as consequências dessa mudança sobre as suas propostas.
Se em 1974-75 os professores empenhados na transformação das escolas e de si próprios puderam recusar qualquer tutela e se, no início da década de 1990, estes professores ainda não tinham desistido de uma parte das suas iniciativas transformantes, pouco tempo depois, como se notou na organização do encontro do SIAP, já se notava uma certa resignação perante as imposições reformistas da tutela: por muito que alguns dos intervenientes tenham pretendido encarar de forma crítica a proposta de «Cumprir os Programas», esta bandeira era um sinal de capitulação. O que, alguns anos mais tarde, também foi notado por Sérgio Niza, quando se queixou de a criação do SIAP ter querido transformar as associações profissionais em “parceiros” de uma “reforma educativa concebida e dirigida pelo Estado”.

Estas duas debilidades (as consequências mal esclarecidas das diversidades internas às comunidades de docentes e de investigadores; e a fraca consciência do papel acrescido que o Ministério da Educação entretanto assumira) tornaram-se particularmente relevantes a propósito de duas das etapas da definição da profissionalidade docente, a da constituição das instituições de formação de professores e a da emergência do associativismo profissional dos docentes. Em ambos os casos já tinham sido desenvolvidos esboços de alianças com a tutela por partes das comunidades envolvidas na concretização daquelas etapas.

Um tema que deveria ter sido debatido antes do final da primeira metade da década de 1990, pelos professores e pelos investigadores mais interessados em transformações que conduzissem a maiores autonomias docentes e escolares, seria o da «nova teoria curricular», pois aí se poderiam ter afrontado aquelas duas debilidades. Ao não o terem feito, aqueles que poderiam resistir à iniciativa de «revisão e reorganização curriculares» tomada pela nova tutela na segunda metade dessa década ficaram desarmados e as suas escolas foram definitivamente integradas nas rotinas institucionais.

Em resumo, os professores teorizaram pouco; e os investigadores teorizaram sem que tal resultasse de um contacto demorado com os professores. Ambas as comunidades parece terem estado excessivamente fechadas em si próprias, ou incapazes de saírem de si.


Nota:
Nesta argumentação pressupus que: agir implica alterar o que existe e pressupõe, sempre, alguma forma de teoria; e pensar é a ligação que se estabelece entre a acção e a teoria.
Daqui deduzo que a procura de uma melhor teoria é uma forma de apoiar uma melhor acção.


Fontes (texto e imagens): livro com artigo de Dionísio (1994), livro do SIAP (1995), livros com artigos de Canário (1991 e 1992 [a] e [b]), de Nóvoa (1991 [a] e [b], 1992 [a], [b] e [c]) e de Niza (2015); e folheto do Núcleo de Lisboa da APM (1989)

[0368] Matemática Cultural (II): a matematização do espaço

A exposição Crónicas de uma Lisboa desconhecida está patente no Palácio Pimenta (Campo Grande), sede do Museu de Lisboa, até ao próximo mês de Março.

Na produção de algumas das peças exibidas nesta exposição (plantas, mapas, modelos) foram utilizadas ferramentas que fazem parte do dia-a-dia profissional de Agrónomos, de Arquitectos, de Desenhadores, de Engenheiros, de Geógrafos, de Urbanistas e de Topógrafos, com a finalidade de lhes conferir uma relação biunívoca com a realidade física (a cidade) que pretendem representar.

Uma parte importante dessas ferramentas faz parte do mundo que costumamos designar por Matemática.

Um primeiro exemplo é o da «Planta dos principais centros industriais de Lisboa», elaborada pelo topógrafo J. M. Pinto Leal e datada de 1934:

Nela está bem evidente a sua escala: 1 : 25 000. Mas, como mostrarei abaixo, esta não é a única forma de estabelecer a razão de proporcionalidade que liga a métrica da realidade e a da sua representação.

Numa outra planta de Lisboa, elaborada por Carlos Pezerat, Pierre Joseph Pezerat e Francisco Goullard e concluída em 1856, figura o Campo de Santa Anna (actual Campo dos Mártires da Pátria):

Aqui, a ferramenta em destaque é a utilização das curvas de nível.

Sendo o «mapa» e a «planta» representações em duas dimensões, a «maqueta» (ou «modelo») é uma representação em três dimensões: as curvas de nível também estão lá, mas podem confrontar-se com as dimensões verticais dos edificados urbanos, proporcionando uma maior aproximação visual ao que a realidade é, ou se pretende que seja, como nesta «Maqueta da zona dos Olivais Sul», de autoria desconhecida, produzida em 1960-61, em madeira, cortiça e cartão, à escala 1 / 500:

Nesta outra planta da Cidade de Lisboa, datada de cerca de 1900 e igualmente de autoria desconhecida, o destaque está na utilização de um sistema de coordenadas que permite a quem a utilizar uma rápida localização dos elementos urbanos (como a generalidade das ruas e os edifícios notáveis). Para tal, a planta foi quadriculada e aos intervalos horizontais (abcissas) foram atribuídos números e aos verticais (ordenadas) atribuídas letras, como se se tratasse de um gigantesco tabuleiro da Batalha Naval:

Um dos aspectos interessantes na história das plantas e dos mapas é a diversidade de modos de representar as respectivas escalas. Entre outros exemplos, nesta exposição encontram-se estes dois, ambos baseados numa representação «física» das distâncias (um segmento de recta que equivale, na realidade, a uma determinada distância):

A unidade de medida é o «palmo»

A unidade de medida é o «metro»

As ferramentas matemáticas usadas para produzir estas plantas e mapas encontram-se na intersecção das práticas culturais de diversas profissões (conforme referi acima), que por sua vez interagem com a cultura dos matemáticos profissionais da respectiva época. E é tendo esta observação em conta que essas ferramentas, e o modo como são usadas, se podem considerar como fazendo parte de uma Matemática Cultural específica.


Fonte: peças patentes na exposição temporária «Crónicas de uma Lisboa desconhecida» (Palácio Pimenta / Museu da Cidade, Lisboa)
Fotografias: Pedro Esteves

[0367] Um painel de azulejos cuja classificação matemática não é tão fácil como parece

No Núcleo Urbano Antigo do Seixal ainda existe um apreciável número de fachadas de edifícios que ainda hoje ostentam painéis e frisos de azulejo. E a regulamentação municipal exige que a renovação exterior de um edifício não altere essa imagem, pelo que, na mais radical das hipóteses, os azulejos podem ser retirados, se estiverem velhos, desde que sejam substituídos por azulejos semelhantes mas novos. E foi isso que sucedeu aquando da renovação de um dos edifícios situado na Praça da República, cujo azulejo gerador do painel da fachada tem esta imagem:

O painel gerado por este azulejo ficou com este aspecto:

À primeira vista, este painel possui quatro famílias de eixos de simetria: uma vertical, outra horizontal e duas diagonais às anteriores:

Há, no entanto, um pormenor no interior de cada azulejo que invalida estas simetrias: os arcos externos não as admitem, pois se sobrepõem ligeiramente num dos extremos, conforme se nota neste seu zoom:

Assim, este painel apenas admite rotações que tenham por centro o ponto médio de qualquer dos azulejos!
Sendo de 90º a menor rotação executável para que a imagem do painel não se altere, a sua classificação sob o ponto de vista matemático (ver mensagem «0119») é «p4».


Fonte: a fotografia do painel é de Eva Maria Blum; as imagens do azulejo e do seu centro resultam do scan de um seu exemplar e da sua manipulação com o apoio do programa Paint; e o desenho é meu