Na já longínqua mensagem «0002» escrevi que uma das contribuições de Srinivasa Ramanujan (1887 - 1920) para a Matemática,
em colaboração com Godfrey Hardy (1877 – 1947), visou a partição de um número natural.
5
4 + 1
3 + 2
3 + 1 + 1
2 + 2 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1
A seguinte tabela dá uma ideia da evolução do número de partições
de N, podendo nela verificar-se que o número de partições para N = 5, ou p(5), é igual a 7:
Para fazer face a este
crescimento explosivo de p(N), Leonard
Euler (1707 - 1783) criou uma
função geradora que o permitia determinar, recursivamente. E em 1915 já se conhecia cada um dos seus valores até p(200). O
que Ramanujan e Hardy fizeram
pouco depois, em 1918, foi expandir assimptoticamente as possibilidades recursivas das
fórmulas de cálculo, apoiados no dom genial de Ramanujan para se aperceber da
existência de padrões. Ele identificou, e depois demonstrou, que as partições
dos números naturais possuíam algumas propriedades estranhas:
p(5N + 4) é divisível por 5, para qualquer N
(verificar na tabela acima
que p(4) = 5, p(9) = 30, p(14) = 135 e p(19) = 490;
estes
números são divisíveis por 5);
p(7N + 5) é divisível por 7,
para qualquer N
(verificar na tabela acima
que p(5) = 7, p(12) = 77 e p(19) = 490;
estes
números são divisíveis por 7);
p(11N + 6) é divisível por 11, para qualquer N
(verificar na tabela acima
que p(6) = 11 e p(17) = 297;
estes
números são divisíveis por 11).
Em 1937 um outro matemático, Hans
Rademacher (1892 – 1969), conseguiu criar
uma fórmula exacta que concretizava a função p(N)
de Ramanujan e Hardy, mas ela exigia que fossem sendo adicionados infinitos números … o que a
tornava impraticável.
Só no início de 2011 Ken Ono (1968), especialista em Teoria de Números e Análise
Combinatória, conseguiu dois novos e importantes resultados sobre este
problema. Ele demonstrou que as propriedades que Ramanujan associara aos números primos
5, 7 e 11 eram generalizáveis a todos os números primos. E para o fazer
mostrou que a aritmética das partições tem uma estrutura fractal. Poucos dias
depois, juntamente com Jan Brunier, apresentou uma fórmula algébrica finita para a função
das partições de um número natural, designando-a por P(z).
Como o próprio Ken Ono concluiu, desde
que esta fórmula é conhecida publicamente deixou de ser possível utilizar
partições para criptografar dados em computadores: “Nunca mais ninguém vai usar partições em criptografia, porque
sabemos agora que elas não são aleatórias mas sim completamente previsíveis.
Não podemos continuar a fingir que são misteriosas”.
Fonte sobre os novos avanços sobre a
partição de números naturais: blogue
do Parque da Ciência Newton Freire Maia (texto de Ednilson Rotini)
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