[0156] Astronomia, Matemática e … facturas da electricidade (the Sidney Harris point of view)

O cartoonista Sidney Harris nasceu nos Estados Unidos da América algures antes da IIª Grande Guerra (não parece muito motivado para revelar exactamente quando), tendo-se especializado nos temas da Ciência, da Matemática e da Tecnologia.

Para animar a próxima passagem de ano, mas também para deixar algumas dicas para a irrequietude mental, eis três dos cartoons de Sidney Harris (mantenho a tradução francesa, retraduzindo-a para português):

O quê! O Big Bang é isto?

 Mas esta é a versão simplificada para o grande público.

Tomas Edison recebendo a sua primeira factura da electricidade.

Fonte: cartoons de Harris (1992; pp. 124, 79 e 120, respectivamente)

[0155] Voltando à «partição dos números naturais»

Na já longínqua mensagem «0002» escrevi que uma das contribuições de Srinivasa Ramanujan (1887 - 1920) para a Matemática, em colaboração com Godfrey Hardy (1877 – 1947), visou a partição de um número natural. E dei o exemplo da partição do número 5, que pode ser feita de sete modos diferentes:

5

4 + 1

3 + 2

3 + 1 + 1

2 + 2 + 1

2 + 1 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1 + 1

A seguinte tabela dá uma ideia da evolução do número de partições de N, podendo nela verificar-se que o número de partições para N = 5, ou p(5), é igual a 7:

Para fazer face a este crescimento explosivo de p(N), Leonard Euler (1707 - 1783) criou uma função geradora que o permitia determinar, recursivamente. E em 1915 já se conhecia cada um dos seus valores até p(200). O que Ramanujan e Hardy fizeram pouco depois, em 1918, foi expandir assimptoticamente as possibilidades recursivas das fórmulas de cálculo, apoiados no dom genial de Ramanujan para se aperceber da existência de padrões. Ele identificou, e depois demonstrou, que as partições dos números naturais possuíam algumas propriedades estranhas:

p(5N + 4) é divisível por 5, para qualquer N

(verificar na tabela acima que p(4) = 5, p(9) = 30, p(14) = 135 e p(19) = 490;

estes números são divisíveis por 5);

p(7N + 5) é divisível por 7, para qualquer N

(verificar na tabela acima que p(5) = 7, p(12) = 77 e p(19) = 490;

estes números são divisíveis por 7);

p(11N + 6) é divisível por 11, para qualquer N

(verificar na tabela acima que p(6) = 11 e p(17) = 297;

estes números são divisíveis por 11).

Em 1937 um outro matemático, Hans Rademacher (1892 – 1969), conseguiu criar uma fórmula exacta que concretizava a função p(N) de Ramanujan e Hardy, mas ela exigia que fossem sendo adicionados infinitos números … o que a tornava impraticável.

Só no início de 2011 Ken Ono (1968), especialista em Teoria de Números e Análise Combinatória, conseguiu dois novos e importantes resultados sobre este problema. Ele demonstrou que as propriedades que Ramanujan associara aos números primos 5, 7 e 11 eram generalizáveis a todos os números primos. E para o fazer mostrou que a aritmética das partições tem uma estrutura fractal. Poucos dias depois, juntamente com Jan Brunier, apresentou uma fórmula algébrica finita para a função das partições de um número natural, designando-a por P(z).

Como o próprio Ken Ono concluiu, desde que esta fórmula é conhecida publicamente deixou de ser possível utilizar partições para criptografar dados em computadores: “Nunca mais ninguém vai usar partições em criptografia, porque sabemos agora que elas não são aleatórias mas sim completamente previsíveis. Não podemos continuar a fingir que são misteriosas”.

Fonte sobre os novos avanços sobre a partição de números naturais: blogue do Parque da Ciência Newton Freire Maia (texto de Ednilson Rotini)

[0154] Sobre o primeiro Objectivo do Desenvolvimento Sustentável: erradicar a pobreza

Na mensagem «0080» foram genericamente apresentados os dezassete Objectivos de Desenvolvimento Sustentável que as Nações Unidas propuseram aos governos e aos cidadãos do mundo cumprir entre 2015 e 2030.

O primeiro desses objectivos é:

E, em https://unric.org/pt/objetivos-de-desenvolvimento-sustentavel, foi-nos apresentado assim:

“Objetivo 1: Erradicar a pobreza

Até 2030, erradicar a pobreza extrema em todos os lugares, atualmente medida como pessoas que vivem com menos de 1,25 dólares por dia.

Até 2030, reduzir pelo menos para metade a proporção de homens, mulheres e crianças, de todas as idades, que vivem na pobreza, em todas as suas dimensões, de acordo com as definições nacionais.

Implementar, a nível nacional, medidas e sistemas de proteção social adequados, para todos, incluindo escalões, e até 2030 atingir uma cobertura substancial dos mais pobres e vulneráveis.

Até 2030, garantir que todos os homens e mulheres, particularmente os mais pobres e vulneráveis, tenham direitos iguais no acesso aos recursos económicos, bem como no acesso aos serviços básicos, à propriedade e controle sobre a terra e outras formas de propriedade, herança, recursos naturais, novas tecnologias e serviços financeiros, incluindo microfinanciamento.

Até 2030, aumentar a resiliência dos mais pobres e em situação de maior vulnerabilidade, e reduzir a exposição e a vulnerabilidade destes aos fenómenos extremos relacionados com o clima e outros choques e desastres económicos, sociais e ambientais.

Garantir uma mobilização significativa de recursos a partir de uma variedade de fontes, inclusivé por meio do reforço da cooperação para o desenvolvimento, para proporcionar meios adequados e previsíveis para que os países em desenvolvimento (em particular, os países menos desenvolvidos) possam implementar programas e políticas para acabar com a pobreza em todas as suas dimensões.

Criar enquadramentos políticos sólidos ao nível nacional, regional e internacional, com base em estratégias de desenvolvimento a favor dos mais pobres e que sejam sensíveis às questão da igualdade do género, para apoiar investimentos acelerados nas ações de erradicação da pobreza.”

Há muitas dificuldades que cumprimento deste justo objectivo encontra. O jornalista José Vítor Malheiros deu um exemplo de uma delas:

“Há cerca de um ano, no final de um debate organizado pela rede Economia com Futuro sobre a situação do país, que reuniu duas ou três dezenas de economistas nas instalações do ISEG [Instituto Superior de Economia e Gestão], em Lisboa, Manuela Silva começou a ler as conclusões da reunião. A dado momento, quando enumerava uma série de objectivos que tinham emanado das intervenções e das discussões, lê «Redução da pobreza» e estaca na leitura. Franze o sobrolho, olha o papel que tem na mão com surpresa e diz: «Isto aqui está mal. É preciso corrigir isto. Nós não queremos reduzir a pobreza. Nós queremos ERRADICAR a pobreza.»”

O economista Jeffrey Sachs, que esteve envolvido na elaboração dos Objectivos de Desenvolvimento do Milénio, que, entre 2000 e 2015, antecederam os Objectivos de Desenvolvimento Sustentável, escreveu: “O PIB [Produto Interno Bruto] mundial é de 130 biliões de dólares; dividido por todos os humanos daria um PIB per capita [por pessoa] de 19 mil dólares anuais”. É portanto economicamente possível erradicar totalmente a pobreza!

Fonte: sítio do Centro Regional de Informação das Nações Unidas; Sachs, citado numa crónica jornalística por Tavares (2018)

[0153] Tangram, um quebra-cabeças que tanto apela à Arte como à Geometria

Sabe-se que o Tangram tem origem chinesa, mas a origem desta palavra, pela qual conhecemos este quebra-cabeças no Ocidente, não é certa: Tang pode referir-se à dinastia Tang (séculos VII a X d.C.), onde ele terá sido criado; e gram pode ser o sufixo grego que designa uma figura (como em diagrama).

O Tangram é constituído por 7 peças, usualmente (mas não obrigatoriamente) empacotadas formando um quadrado:

O objectivo deste quebra-cabeças é a composição de uma figura dada, usando sempre as 7 peças, podendo ser escolhida qualquer das suas faces. No exemplo seguinte é preciso, portanto, determinar onde estarão colocados os 2 triângulos grandes, o triângulo médio, os 2 triângulos pequenos, o quadrado e o paralelogramo, para que a figura se forme:

Ao usar o Tangram, os mais novos aprendem a conhecer, usar e combinar figuras geométricas, sensibilizam-se para a estética destas figuras e habituam-se a persistir na resolução dos desafios que lhes são propostos, ou que eles próprios se colocam.

Há uma centena de desafios deste tipo para os curiosos num ficheiro que pode ser descarregado da pasta «Quebra-cabeças», acessível a partir da página «Outros Documentos» deste blogue. Daí também pode ser descarregado um outro ficheiro com as 7 peças, movimentáveis, se arrastadas ou rodadas pelo «rato», de modo a resolver digitalmente as figuras propostas ou a inventar outras.

Há diversas outras explorações do Tangram que exploram um pouco mais a Geometria. Por exemplo, compor figuras convexas, ou seja, figuras cuja fronteira não apresenta reentrâncias. Há só 13 destas figuras, que vale a pena tentar resolver (antes de ver as soluções no fim desta mensagem):

Um triângulo (rectângulo):

Seis quadriláteros:

Dois pentágonos:

Quatro hexágonos:

Soluções:

Fonte (texto e duas primeiras figuras): Wikipédia (versão em francês)